Оптимальное управление экономическими системами

ОПТИМАЛЬНОЕ

УПРАВЛЕНИЕ

ЭКОНОМИЧЕСКИМИ

СИСТЕМАМИ 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва

ИНФРА-М

2022

М.П. ВЛАСОВ
П.Д. ШИМКО

Допущено УМО по образованию 

в области производственного менеджмента 

в качестве учебного пособия для студентов высших 
учебных заведений, обучающихся по специальности 

«Экономика и управление на предприятии (по отраслям)»

Власов М.П.

Оптимальное управление экономическими системами : учебное 

пособие / М.П. Власов, П.Д. Шимко. — Москва : ИНФРА-М, 
2022. — 312 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс]. — (Высшее 
образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-005426-1

Учебное пособие представляет систематизированное изложение теории 

оптимального управления организациями. В основе теории моделирования — 
концепция единства представления анализируемого процесса как совокупности 
описательной, математической, алгоритмической, информационной моделей, 
которые, в свою очередь, зависят от возможностей вычислительной техники 
и субъективного подхода к проблеме исследователя.

Примеры моделей носят учебный характер, но многие из них были разработаны 
авторами для различных фирм и нашли практическое применение.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 

«Информационные системы и технологии», и может быть полезно аспирантам 
и специалистам как справочник по моделированию и оптимизации.

 ББК 65.050я73

Материалы, отмеченные знаком 
, 

доступны в электронно-библиотечной системе Znanium.com

В58

ISBN 978-5-16-005426-1
© Власов М.П., Шимко П.Д., 2014

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра экономики и управления связью СПбГУТ 
(зав. кафедрой д-р экон. наук, проф. В.В. Макаров);
канд. экон. наук, доц. В.М. Русинов (ВЭШ СПбГУЭФ)

УДК 658.5.011(075.8)
ББК 
65.050я73

 
В58

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие подготовлено в соответствии с программами 
экономических дисциплин для следующих специальностей и специализаций:
 
• «
Экономика и управление на предприятии (по отраслям)»;
 
• «Финансы и кредит»;
 
• «Бухгалтерский учет и аудит»;
 
• «Менеджмент организации»;
 
• «Маркетинг и управление проектами»;
 
• «Прикладная информатика (по областям)»;
 
• «Математические методы в экономике».
В центре внимания пособия находятся общие принципы функционирования 
экономических систем различной степени агрегиро-
ванности и сложности, способы формализации экономических процессов 
в этих системах, т.е. синтез формально-математических и 
содержательных представлений об экономических явлениях, а также 
освоение методов компьютерной реализации экономико-математических 
моделей, проведение вычислительных экспериментов и экономическая 
интерпретация их результатов.
Изложение материала пособия опирается на знания, полученные 
студентами при изучении курсов «Экономическая теория», «Экономика 
предприятия», «Менеджмент», «Маркетинг» и других дисциплин 
прикладной экономики. Инструментальной основой рассматриваемых 
в пособии методов и моделей принятия оптимальных управленческих 
решений в сложных экономических системах являются дисциплины: «
Высшая математика», «Теория вероятностей», «Математическая 
статистика» и «Математическое программирование». 
Пособие состоит из 14 глав, где приведена систематизация оптимизационных 
математических моделей. Главы 1–8 составляют настоящее 
пособие, главы 9–14, отмеченные знаком 
, доступны в 
электронно-библиотечной системе znanium по адресу http://znanium.
com.

ВВЕДЕНИЕ

Каждый человек, который сталкивается с решением проблем, 
сам того не замечая, занимается моделированием. Это происходит 
независимо от области его интересов и потребностей. Это может 
быть как профессиональная деятельность, так и бытовая сфера. По-
следствия неправильного решения проблемы на бытовом уровне 
обычно затрагивают или самого этого человека, или тех, с кем он 
непосредственно соприкасается. И если было принято и реализовано 
определенное решение, то этот человек ощущает все последствия 
принятого решения. Совершенно другая ситуация возникает в про-
фессиональной сфере. Решения в этой области могут не затрагивать 
того, кто принял эти решения. Но последствия реализации принятых 
решений часто носят необратимый характер, а потери в сфере дея-
тельности такого специалиста могут быть катастрофическими.
Процесс получения решения можно представить в виде ряда эта-
пов, которые можно представить в виде ряда простейших вопросов.
1. Что это такое?
2. Зачем это надо?
3. Как это выглядит?
4. Что с этим делать?
Рассмотренный процесс называется моделированием. В каждой 
дисциплине этот процесс отражается в последовательности изложе-
ния учебного материала. Но каждый специалист, особенно в эконо-
мической сфере, должен уметь решать возникающие в процессе его 
деятельности задачи. Почему авторы делают акцент именно на эко-
номической сфере? Только потому, что последствия ошибочных эко-
номических решений обходятся обществу особенно дорого.
Первоначально теория оптимального управления экономиче-
скими системами была определена как научный метод, дающий в 
распоряжение руководителя количественные основания для приня-
тия решений, связанных с деятельностью подчиненных организаций. 
Подчеркивалось, что речь идет о прикладной науке, применяющей 
достижения других фундаментальных наук для анализа специфиче-
ских проблем совершенствования руководства.
Теория оптимального управления экономическими системами — 
научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим 
применением методов наиболее эффективного управления различ-
ными организационными системами. Теория оптимального управ-
ления является частью теории исследования операций, терминоло-
гию которой она широко использует.
Управление любой системой реализуется как процесс, подчиня-
ющийся определенным закономерностям. Их знание помогает опре-

делить условия, необходимые и достаточные для осуществления 
данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие про-
цесс и внешние условия, должны быть количественно определены и 
измерены. Следовательно, цель оптимального управления — коли-
чественное обоснование принимаемых решений по организации 
управления.
С течением времени круг интересов, затрагиваемых этой теорией, 
значительно расширился и охватывает области экономики, военного 
дела, энергетики, освоения природных ресурсов. Важное место отво-
дится изучению проблем автоматизации производства и управления 
различными видами деятельности, поскольку сам процесс автомати-
зации отражает единство вещественного, энергетического и инфор-
мационного аспектов развития общества. Конкретным выражением 
этого стало создание разнообразных автоматизированных систем. Все 
они, по существу, являются организационно-техническими систе-
мами, соединяющими достижения современной науки об управлении 
с разработкой новых машин, процессов, форм организации.
При решении конкретной задачи управления формулировка оптимизационной 
модели предполагает:
1) изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие 
решений, и установление критериев эффективности, позволяющих 
оценить преимущество того или иного варианта действия;
2) построение экономических и математических моделей для задач 
принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности 
и их использование в качестве инструмента управления.
Примерами применения теории оптимального управления экономическими 
системами, отражающими ее специфику, могут служить 
следующие задачи.
Задача № 1. Для обеспечения высокого качества выпускаемых 
изделий на заводе организуется система выборочного контроля. Требуется 
выбрать такие формы его организации — например, назначить 
размеры контрольных партий, указать последовательность контрольных 
операций, определить правила отбраковки, — чтобы обеспечить 
необходимое качество при минимальных расходах.
Задача № 2. Для реализации определенной партии сезонных товаров 
создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать 
параметры сети — число точек, их размещение, количество персо-
нала — так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эф-
фективность распродажи.
Задача № 3. К заданному сроку необходимо провести массовое 
медицинское обследование группы населения с целью выявления 
определенных заболеваний. На обследование выделены материаль-
ные средства, оборудование, персонал. Требуется разработать такой 
план обследования — установить число медпунктов, их размещение, 

вид и количество анализов, чтобы выявить как можно больший про-
цент из числа заболевших.
Необходимо также отметить задачи об использовании ресурсов 
(планирование производства), о смесях, об использовании мощно-
стей (загрузке оборудования), о раскрое материалов, транспортную 
задачу и другие, в которых требуется найти решение, когда некото-
рый критерий эффективности (например, прибыль, выручка, за-
траты ресурсов и т.п.) принимает минимальное или максимальное 
значение.
Приведенные задачи относятся к разным областям практики, но 
в них есть общие черты: в каждом случае речь идет о каком-то управ-
ляемом мероприятии (операции), преследующем определенную 
цель. В задаче № 1 — это организация выборочного контроля с 
целью обеспечить качество выпускаемой продукции; в задаче № 2 — 
организация временных торговых точек с целью проведения сезон-
ной распродажи; в задаче № 3 — массовое медицинское обследова-
ние с целью определения процента заболевших. В каждой задаче 
заданы некоторые условия проведения этого мероприятия, в рамках 
которых следует принять решение — такое, чтобы мероприятие при-
несло определенную выгоду. Условиями проведения операции в каж-
дой задаче оказываются средства, которыми мы располагаем, время, 
оборудование, технологии, а решение в задаче № 1 заключается в 
выборе формы контроля — размера контрольных партий, правил 
отбраковки; в задаче № 2 — в выборе числа точек размещения, ко-
личества персонала; в задаче № 3 — в выборе числа медпунктов, вида 
и количества анализов.
Для оптимального управления экономическими системами ха-
рактерно использование терминологии теории исследования опера-
ций. Поэтому упомянутые термины нуждаются в определении, так 
как они часто находят применение и в других дисциплинах.
Рассмотрим два взаимодополняющих определения операции.
•
• Операцией называется совокупность взаимосогласованных дей-
ствий, направленных на достижение вполне определенной цели. 
До тех пор пока цель не определена, нет смысла говорить об опе-
рации. Если же цель определена и существуют разные пути ее 
достижения, то желательно найти лучший из них, добиваясь со-
гласованности предпринимаемых действий. Понятие «лучший» 
относительно и требует уточнения во всех случаях. Это понятие 
должно быть конкретным и начинает что-либо означать, когда 
назван показатель (критерий) качества выбираемых решений. 
Например, план А лучше плана В с точки зрения более полной 
загрузки оборудования или, с другой стороны, издержек произ-
водства. Во втором случае может не достигаться наиболее полная 
загрузка оборудования. Из этих замечаний следует утверждение 
о единственности цели в каждой конкретной операции.

•
• Операция — любое управляемое мероприятие, направленное на 
достижение цели. Результат операции зависит от способа ее про-
ведения, организации, иначе — от выбора некоторых параметров.
Всякий•определенный•выбор•параметров•называется•решением. Оп-
тимальными считают те решения, которые по тем или иным сообра-
жениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей опти-
мального управления является предварительное количественное 
обоснование выбираемых решений.
Замечание•№•1. Следует обратить внимание на постановку про-
блемы: само принятие решений выходит за рамки оптимального 
управления и относится к компетенции ответственного лица или 
группы лиц, которые могут учитывать и другие соображения, отлич-
ные от математически обоснованных.
Замечание•№•2. Если в одних задачах оптимальным является ре-
шение, при котором некоторый критерий эффективности принимает 
максимальное или минимальное значение, то в других задачах это 
вовсе не обязательно. Так, в задаче № 2 оптимальным можно считать 
такое количество торговых точек и персонала в них, при котором 
среднее время обслуживания покупателей не превысит, например, 
пяти минут, а длина очереди в среднем в любой момент окажется не 
более трех человек.
Оперирующей•стороной называются отдельные лица и коллективы, 
объединенные организационным руководством и активно стремящиеся (
в рамках данной операции) к достижению поставленной 
цели. В зависимости от масштабов операции и характера своего участия 
в ней представители оперирующей стороны могут либо сами 
формулировать себе цель, либо получать директивы извне. Следовательно, 
вопрос о составе оперирующей стороны должен обсуждаться 
каждый раз специально, и это обстоятельство дает возможность рассматривать 
ход той или иной операции с разных точек зрения.
Примером оперирующей стороны является персонал фирмы, 
обеспечивающий своевременное и качественное выполнение договорных 
обязательств фирмы.
Активными•средствами•проведения•операции называется совокупность 
материальных, энергетических, финансовых, трудовых, информационных 
и других ресурсов, а также организационных возможностей, 
используемых оперирующей стороной для обеспечения 
успешного хода операции и достижения ее цели. Очевидно, оперирующая 
сторона должна обладать определенной свободой выбора 
активных средств и способностью как-то влиять на развитие событий 
(в противном случае операция перестает быть управляемой, а оперирующая 
сторона становится пассивным наблюдателем). Неслучайно 
в сферу оптимального управления попадают разнообразные 
проблемы распределения ресурсов. Примерами активных средств 

являются: технологическое оборудование, электроэнергия, время, 
находящееся в распоряжении персонала фирмы, производственные 
мощности, запасы сырья, трудовые ресурсы, фонд оплаты труда, 
определяющий численный и квалификационный состав персонала 
фирмы.
Стратегиями•оперирующей•стороны•в•данной•операции называются 
допустимые способы расходования ею имеющихся активных средств. 
Здесь слово «допустимые» следует понимать как «не выходящие за 
пределы технических, организационных, физических возможностей 
(ограничений)». Среди допустимых обычно находятся и оптимальные (
предпочтительные) стратегии, превосходящие остальные по 
каким-либо признакам. Оптимальные (от лат. optimus) стратегии 
должны представлять первоочередной интерес для оперирующей 
стороны.
Примеры стратегий: принятая последовательность обработки информации 
в том или ином подразделении фирмы, установленный 
распорядок дня руководителя фирмы, рекомендуемый принцип по-
иска неисправностей в сложном изделии, выбранный режим обслу-
живания заявок на ремонт оборудования.
Действующими•факторами•операции называются объективные 
условия и обстоятельства, определяющие ее особенности и непо-
средственно влияющие на ее исход. Различают факторы:
 
• определенные (точно известные);
 
• неопределенные (имеющие вероятностную природу или прояв-
ляющиеся беспорядочно).
Все они разделяются на контролируемые и неконтролируемые 
оперирующей стороной. Причем неконтролируемыми обычно бы-
вают неопределенные факторы. Наличие контролируемых факторов 
указывает на возможность управления ходом операции. Совокуп-
ность действующих факторов всегда характеризует среду, в которой 
проводится та или иная операция.
Примеры действующих факторов:
 
• фиксированная продолжительность рабочей смены;
 
• наличие резервов трудовых ресурсов и запасов сырья и мате-
риалов для срочного выполнения заказов;
 
• обязательность контроля информации в процессе обработки;
 
• погодные условия на воздушных трассах;
 
• надежность арендуемых каналов передачи данных;
 
• характер действий разумного противника в том или ином конф-
ликте или при ведении конкурентной борьбы.
Первые три фактора относятся к определенным, а последние 
три  — к неопределенным.
Критерием•эффективности•операции•(или•выбранной•стратегии) 
называется показатель требуемого, ожидаемого, достигнутого соот-

ветствия между результатом предпринимаемых действий и целью 
операции. Важнейшей функцией критерия является сравнительная 
оценка различных стратегий до начала их реализации. Его исполь-
зуют также на завершающем этапе операции для характеристики 
полученных результатов. Как правило, интерес представляют стра-
тегии, позволяющие достичь максимальных (минимальных) значе-
ний критерия, если, конечно, он имеет численное выражение. Сле-
довательно, необходимо тщательно отбирать критерии во избежание 
ошибочных интерпретаций цели операции и неоправданного расхо-
дования активных средств. Примеры критериев:
 
• полная стоимость перевозки грузов со складов к местам назна-
чения (в транспортной задаче);
 
• полное время занятости поточной линии назначенными рабо-
тами (в задаче составления календарных планов);
 
• вероятность своевременного обслуживания заявки на ремонт-
ном участке (в задаче массового обслуживания);
 
• вероятность обнаружения неисправности (в задаче диагностики).
Состоянием•операции•в•некоторый•момент•времени t называется 
совокупность ее характеристик (особенностей), проявляющихся в 
этот момент и отражающих объективно сложившееся положение дел. 
Всякая операция представляет процесс, существующий во времени, 
проходящий различные этапы (фазы) развития и завершающийся 
получением конечного результата, сопоставимого с исходной целью. 
Обычно этот процесс как-то проявляет себя, обнаруживает некото-
рые свойства и поэтому может подвергаться воздействиям опериру-
ющей стороны. Если подобные проявления измеримы и если они 
допускают количественную оценку, то можно говорить о них как о 
варьируемых параметрах, формально отражающих ход операции и 
называемых обычно фазовыми переменными.
Пояснить введенное определение удобно на примере производ-
ственного процесса, состоящего в выполнении ряда работ на каком-
либо оборудовании с целью получения конечного продукта (воз-
можно, изделия, массива данных и т.п.). Оценка состояний процесса 
в разные моменты следует здесь из ответов на вопросы:
 
• какая работа (по порядку) выполняется?
 
• сколько времени осталось до ее окончания?
 
• сколько работ завершено?
 
• какие материалы используются в ходе выполнения каждой ра-
боты?
 
• какой персонал задействован для выполнения каждой работы?
Приведенные вопросы не исчерпывают весь список и зависят от 
степени детализации, точки зрения и цели операции. Очевидно, ис-
комые ответы можно представить в виде набора чисел e1 (номер оче-
редной работы), e2 (оставшееся до ее завершения время), e3 (количе-

ство законченных работ), …, меняющихся во времени (фазовые пе-
ременные). С их помощью нетрудно описать динамику процесса 
применительно к конкретной обстановке.
Математической•моделью•операции называются формальные со-
отношения, устанавливающие связь принятого критерия эффектив-
ности с действующими факторами операции, для которых опреде-
лена область их изменения.
Чтобы построить математическую модель, необходимо оценить 
количественные проявления рассматриваемых факторов и указать 
группы изменяемых параметров, формально представляющих эти 
факторы. Однако следует иметь в виду, что никаких правил постро-
ения математических моделей не существует. Каждая модель есть 
проявление знаний, опыта, искусства оперирующей стороны. Про-
цесс создания модели требует четкого осознания цели операции, 
проникновения в существо моделируемых явлений, умения отделить 
главное от второстепенного. Математические модели могут иметь 
вид формул, систем уравнений или неравенств, а также таблиц, чис-
ловых последовательностей, геометрических образов, отражающих 
зависимости между критерием эффективности операции и теми па-
раметрами, которые представляют учтенные действующие факторы. 
Примеры математических моделей рассматриваются во многих кур-
сах, а также в данном.
Решением,•связанным•с•выбранной•математической•моделью, назы-
вается конкретный набор значений управляемых (контролируемых) 
параметров (фазовых переменных). Решение можно получить раз-
личным путем, с различной степенью точности, в различных пред-
положениях свойств неуправляемых (неконтролируемых) парамет-
ров, но независимо от этого оно должно рассматриваться лишь как 
вспомогательный материал, нуждающийся в осмыслении и сопоставлениях. 
Ни одна формальная модель не может дать исчерпывающих 
сведений о развитии реальных событий из-за практически 
всегда присутствующих неконтролируемых факторов. Но полученные 
с помощью модели решения позволяют оперирующей стороне 
ориентироваться в окружающей среде, вносить полезные уточнения 
в свою деятельность, совершенствовать модель, анализировать различные 
стратегии, выявлять второстепенные факторы планируемой 
операции. Примеры решений можно найти в любой области целенаправленной 
деятельности — технике, экономике, военном деле.
Исследователями•операций могут быть названы отдельные специалисты 
или группы специалистов, осуществляющие разработку стратегий, 
допустимых в тех или иных операциях, математических моделей, 
использующих различные критерии и понятия оптимального 
выбора, методов исследования моделей в интересах сравнения конкурирующих 
стратегий и отыскания среди них хотя бы приближенно