Математическое моделирование

В. В. Иванов      О. В. Кузьмина 

 
 
 
 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ 

 
 
 

Учебно-методическое  пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

2016 

УДК 519.8:519.6 
ББК  22.193 

И 18 

 

Рецензенты: 

доктор технических наук, заведующий кафедрой сопротивления  

материалов и прикладной механики Поволжского государственного 

технологического университета С.П. Иванов; 

кандидат технических наук, заведующий кафедрой электромеханики 

Марийского государственного университета С.В. Волков 

 
 
 

Печатается по решению  

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 
 
 

Иванов, В. В.  

И 18     Математическое моделирование: учебно-методическое пособие / 

В.В. Иванов, О.В. Кузьмина.– Йошкар-Ола: Поволжский государ-
ственный технологический университет, 2016. – 88 с.  
ISBN 978-5-8158-1744-9 
 

Изложены основные понятия, методологические приемы и методы ис-

следования,  применяемые при построении математических моделей 
сложных технических объектов строительства, теплоэнергетики и эколо-
гии. Приведен теоретический материал, необходимый для выполнения 
контрольных и  расчетно-графических работ, даны примеры решения за-
дач, варианты заданий. 

Для студентов и магистрантов, обучающихся по направлениям «Стро-

ительство», «Строительство уникальных зданий и сооружений», а также 
для студентов и аспирантов других специальностей. 
 

УДК 519.8:519.6 

ББК 22.193 

 

ISBN 978-5-8158-1744-9  
     © Иванов В.В., Кузьмина О.В., 2016 

© Поволжский государственный  
технологический университет, 2016 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Математическое моделирование широко используется при ре-

шении прикладных задач в различных областях техники. 

Цель данного учебно-методического пособия – изложить в до-

ступной читателям форме понятия, методологические приемы и ме-
тоды исследования,  применяемые при построении математических 
моделей сложных технических объектов строительства, теплоэнер-
гетики, экологии. 

Пособие основано на лекциях по дисциплинам «Математическое 

моделирование», «Прикладная математика», «Вероятностно-статис-
тические методы в строительстве», которые читаются студентам и 
магистрантам института строительства и архитектуры ПГТУ. Ис-
пользовались монографии, учебные пособия, научные статьи, по-
священные прикладному математическому моделированию, в том 
числе результаты исследований, полученные авторами пособия.  

Материалы в пособии излагаются в следующем порядке. В пер-

вом разделе дано краткое описание общепринятой методологии по-
строения модели: основные понятия, определения, этапы построения 
модели объекта и пр. Во втором и третьем разделах показано приме-
нение данной методологии при решении различных задач граждан-
ского строительства и экологической безопасности, начиная со сло-
весного описания технического задания на проектирование и закан-
чивая  математической моделью. В четвертом разделе изложены 
краткие сведения о численных методах решения поставленных в по-
собии задач, приведены численные примеры решения. В приложе-
нии даются варианты контрольных работ и расчетно-графических 
заданий. В конце каждого раздела приводится рекомендуемая для 
изучения литература. 

 
 
 

ВВЕДЕНИЕ  
 
Понятие модели развивалось исторически. Первоначально моде-

лью называли некое вспомогательное средство, объект, который в 
определенной ситуации замещал другой объект, оригинал.  При этом 
не сразу была понята универсальность законов природы, всеобщ-
ность моделирования, то есть не просто возможность, но и необхо-
димость представления любых знаний в виде модели. Древние фи-
лософы считали невозможным моделирование естественных процес-
сов. Они полагали, что отобразить природу можно только с помо-
щью логики, методов рассуждений, споров. 

Осмысление основных особенностей моделей привело к много-

численным определениям; типичным из них является следующее: 
модель – некий объект-заменитель, который в определенных усло-
виях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие 
нас свойства и характеристики оригинала. Затем были осознаны мо-
дельные свойства чертежей, карт – реальных объектов искусствен-
ного происхождения, воплощающих абстракцию довольно высокого 
уровня. 

Следующий шаг состоял в признании того, что моделями могут 

служить не только реальные объекты, но и абстрактные (символь-
ные) и идеальные (чисто мыслительные) построения. Примером та-
ких моделей являются математические модели. При этом понятие 
абстрактной модели вышло за пределы математических моделей, 
стало относиться к любым знаниям и представлениям о мире. Мо-
дель – способ существования знаний.  

При разработке новых технических объектов практически всегда 

прибегают к моделированию. Конечно, после математического или 
(и)  предметного моделирования создается реальный объект – обра-
зец, который проходит ещё и натурные испытания. Моделирование 
позволяет ускорить и удешевить разработку готового к эксплуата-
ции объекта. 

 

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 
 

1.1. Основные понятия, определения  

и назначение моделирования 

 
Моделирование – один из методов изучения окружающего нас 

мира. Моделирование относят к общенаучным методам, применяе-
мым как на эмпирическом (наблюдение, эксперимент, измерение), 
так и на теоретическом (абстрагирование, идеализация, формализа-
ция и пр.) уровне познания. При построении и исследовании модели 
могут применяться и другие методы познания. 

Под моделью (лат. modulus – мера, образец, норма) понимают 

такой материальный или мысленно представляемый объект, который 
в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя 
некоторые важные для данного исследования типичные его черты. 
Процесс построения и использования модели называется моделиро-
ванием. При построении модели исследователь исходит из постав-
ленных целей и учитывает только наиболее существенные факторы. 
Поэтому любая модель неполна. Другие, неучтенные и незначитель-
ные факторы в совокупности могут приводить к значительным раз-
личиям между объектом и моделью. По мнению Норберта Винера, 
«отца» кибернетики, «наилучшей моделью кота является другой кот, 
а еще лучше тот же самый кот» [1]. 

Модель считается адекватной (лат. adaequatus – приравненной) 

объекту, если результаты моделирования могут служить основой для 
прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта.  

Цели моделирования. Модель нужна для того, чтобы: 
- понять, как устроен объект, каковы его структура, основные 

свойства, законы развития и взаимодействия с окружающей средой; 

- научиться управлять объектом; 
- прогнозировать поведение и свойства объекта.  

Классификация моделей. В литературе отмечается, что любая 

классификация условна, так как она отражает, с одной стороны, при-
страстия авторов, а с другой – ограниченность их знаний. Хорхе Лу-
ис Борхес утверждает: «...Не существует классификации мира, кото-
рая не была бы произвольной и проблематичной. Причина проста: 
мы не знаем, что такое мир... Невозможность постигнуть божествен-
ную схему мира ... не может отбить у нас охоту создавать наши, че-
ловеческие схемы...» [1]. 

Различают: 
- материальное моделирование, при котором используется мате-

риальный аналог объекта, например, использование макетов в архи-
тектуре; моделей (уменьшенных копий объекта) при создании 
транспортных средств; модели кораблей, самолетов;  

- идеальное моделирование. Оно подразделяется на интуитивное 

и научное моделирование. Интуитивное моделирование основано на 
интуитивном представлении об объекте. Научное моделирование, 
основанное на предположениях, гипотезах, является логически 
обоснованным. Интуитивное и научное моделирование дополняют 
друг друга. А. Пуанкаре утверждает: «...Для того чтобы создать 
арифметику, ...геометрию или какую-то ни было науку, нужно нечто 
другое, чем чистая логика ... нужна интуиция» [1]. В настоящее вре-
мя получены весьма сложные схемы классификации идеальных мо-
делей. Одним из элементов данной схемы является математическое 
моделирование. 

Математическое моделирование – это идеальное научное знако-

вое моделирование, при котором описание объекта осуществляется 
на языке математики, а исследование модели проводится с исполь-
зованием тех или иных математических методов. Оно имеет ряд 
преимуществ по сравнению с натурным моделированием: эконо-
мичность, возможность моделирования гипотетических (не реализо-
ванных в природе) объектов, реализации режимов, опасных или 
труднореализуемых на практике, возможности изменения масштаба 
времени и пр. 

Математические модели подразделяются на различные классы в 

зависимости от сложности объекта (простые и объекты-системы или 
структурные модели), оператора модели, под которым понимается 
совокупность математических уравнений (алгебраических, диффе-
ренциальных и пр., линейных и нелинейных и т.д.), используемых 
при описании модели и параметров модели, описывающих состоя-
ние и управление моделируемого объекта.  

Различают модели с сосредоточенными параметрами, у которых  

оператор может быть представлен в виде одного или системы обык-
новенных дифференциальных уравнений [2]. Состояние таких си-
стем характеризуется функцией или конечным набором функций, 
аргументом которых служит только временная переменная t . Рас-
сматривают модели с распределенными параметрами. Их парамет-
ры, которые, кроме времени, зависят от пространственных коорди-
нат. «В каждый момент времени их состояние характеризуется неко-
торым распределением величин по области, по поверхности тел, т.е. 
вектор – функциями пространственных координат. Такие системы 
или процессы обычно описываются  дифференциальными или инте-
гро-дифференциальными и другими функциональными уравнениями 
с частными производными. К ним относятся задачи, рассматривае-
мые в аэрогазодинамике, магнитогазодинамике, теории упругих и 
пластических тел, строительной механике, процессы горения, хими-
ческих реакций, нагрева и охлаждения тел и т. д.» [4]. 

Математические модели подразделяют по целям моделирования: 

дескриптивные модели (описывают зависимость выходных парамет-
ров модели от входных), оптимизационные (находят оптимальные 
(наилучшие) по некоторому критерию параметры), управленческие 
(применяются для принятия эффективных управленческих решений 
в различных областях деятельности человека). Модели различают 
также по методам реализации: аналитические (выходные параметры 
получаются в виде аналитических выражений), приближенные (ис-
пользуют методы вычислительной математики). 

 

1.2. Этапы построения математической модели 

 

1.2.1. Содержательная постановка задачи 

 

Содержательная постановка задачи моделирования включает 

перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме 
основных вопросов об объекте моделирования, интересующих за-
казчика. Составлением такого перечня занимаются специалисты-
постановщики. Из многочисленных пожеланий и требований за-
казчика они должны выделить главное, то, что может быть реали-
зовано. 

Содержательная постановка задачи, дополнительные требования 

к реализации модели и представлению результатов оформляются в 
виде технического задания на проектирование и разработку модели. 
Техническое задание является итоговым документом. В целом этап 
проработки технического задания может составлять до 33% време-
ни, выделенного на создание всей модели. 

Пример. Содержательная постановка задачи о полете баскетбольного 
мяча. Модель должна позволять: 

- вычислять положение мяча в любой момент времени его полета; 
- определять точность попадания мяча в корзину после броска при 

различных начальных значениях параметров. 

Исходные данные: 
- масса и радиус мяча; 
- начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча; 
- координаты центра и радиус корзины. 
 

1.2.2. Концептуальная постановка задачи 

 
Концепция (лат. conception – восприятие) – система взглядов на 

те или иные явления; общий замысел, художника, ученого и т.д. 

Концептуальная постановка задачи моделирования – это сформулированный 
в терминах конкретной дисциплины (физики, химии, 
строительной механики, сопротивления материалов и пр.) перечень 

основных вопросов, интересующих заказчика, а также перечень гипотез 
относительно свойств и поведения объекта моделирования. 
Выбор и обоснование принимаемых гипотез позволяет создать идеализированную 
модель объекта, выделить главные и отбросить второстепенные, 
по мнению постановщиков задачи, факторы, описывающие 
поведение объекта. 

Пример. Концептуальная постановка задачи о полете баскетболь-

ного мяча. 

Движение баскетбольного мяча может быть описано с помощью за-

конов классической механики Ньютона (т.е. выбрали дисциплину, в тер-
минах которой будем описывать полет мяча – теоретическая механика). 

Примем гипотезы: 
- объект моделирования (баскетбольный мяч) имеет радиус R ; 
- будем считать мяч материальной точкой массой m , положение 

центра масс совпадает с центром мяча; 

- движение мяча происходит в поле сил тяжести Земли с постоян-

ным ускорением свободного падения g  и описывается уравнениями 

классической механики Ньютона; 

- движение мяча происходит в вертикальной плоскости, проходящей 

через точку броска и центр корзины; 

- пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызван-

ными вращением мяча вокруг центра масс. 

 

1.2.3. Математическая постановка задачи 

 
Математическая постановка задачи моделирования – это сово-

купность математических соотношений, описывающих поведение и 
свойства объекта моделирования. Для большинства задач моделиро-
вания, связанных с проблемами строительной механики, теории 
упругости, сопротивления материалов и пр., эти соотношения вклю-
чают системы обыкновенных дифференциальных уравнений или 
уравнений в частных производных и пр. 

Пример. Математическая постановка задачи о полете баскетболь-

ного мяча.  

Как следует из результатов работы [1], задача о полете баскетболь-

ного мяча свелась к решению задачи Коши для системы обыкновенных 
дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальны-
ми условиями. 

 

1.2.4. Выбор метода решения 

 
Различают аналитические и численные методы решения. Анали-

тические методы применимы лишь для относительно простых моде-
лей, численные методы позволяют рассчитывать более сложные мо-
дели. Однако с повышением сложности модели и, соответственно, 
метода ее решения, появляются проблемы анализа полученных ре-
зультатов. 

 

1.2.5. Реализация математической модели 

 
Математическая модель реализуется путем программирования 

алгоритма решения, выполнения серии расчетов на ЭВМ с различ-
ными исходными данными по модели и методу решения, тестовых 
расчетов и т.д. 

 

1.2.6. Проверка адекватности модели 

 
Под адекватностью модели понимается степень соответствия ре-

зультатов, полученных по разработанной модели, с данными экспе-
римента или тестовой задачи.  

Проверка адекватности включает: 
- проверку используемого метода решения, включая возможные 

ошибки в программной реализации; 

-  анализ справедливости принятых гипотез; 
- установление точности полученных результатов.