Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2013, №94

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

УДК 530.12+524.7
UDC 530.12+524.7

МЕТРИКА МЕСТНОГО СУПЕРКЛАСТЕРА
ГАЛАКТИК И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

GENERAL RELATIVITY AND METRIC OF
LOCAL SUPERCLUSTER  

Трунев Александр Петрович
к.ф.-м.н., Ph.D.

Alexander Trunev
Cand.Phys.-Math.Sci., Ph.D.

Директор, A&E Trounev IT Consulting, Торонто,
Канада

Director, A&E Trounev IT Consulting, Toronto, Canada 

Обсуждается метрика суперкластеров галактик
совместная с метрикой Вселенной. Показано, что
метрика  должна быть универсальной, зависящая
только от фундаментальных констант. Даны примеры
универсальных метрик, получаемых в теории
гравитации Эйнштейна. На основе осесимметричных
решений уравнений Эйнштейна предложены
универсальные метрики, описывающие свойства 
галактик, групп и кластеров галактик. 

It is shown that the metric of clusters of galaxies should
be universal, depending only on the fundamental
constants and compatible with the metric of the universe.
There are examples of universal metrics obtained in
Einstein's theory of gravitation. On the basis of
axisymmetric solutions of Einstein’s equation proposed
universal metric describing the properties of galaxies,
groups and clusters of galaxies

Ключевые слова: ГАЛАКТИКА, 
ГАЛАКТИЧЕСКИЙ КЛАСТЕР ГЕОМЕТРИЯ
ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ,  ТЕОРИЯ
ГРАВИТАЦИИ ЭЙНШТЕЙНА,  ТЕМНАЯ
МАТЕРИЯ, ТЕМНАЯ ЭНЕРГИЯ

Keywords: GALAXY, GALACTIC CLUSTER,
SPACE-TIME GEOMETRY, GENERAL
RELATIVITY, BLACK MATTER, BLACK ENERGY

Введение

Как  известно,  пространство  в  масштабе  100  и  более  мегапарсек  является

неоднородным  по  плотности  как  обычной,  так  и  темной  материи,  которая

концентрируется
 в
 кластерах,
 включая
 местный
 Суперкластер,
 которому

принадлежит  наша  Галактика  /1-3/.  Для  объяснения   неоднородности  Вселенной

обычно используется теория гравитационной неустойчивости /4-9/. В моделях /4-6/

и других предполагается, что в первоначально однородном пространстве возникают

флуктуации  плотности,  которые  приводят  к  формированию  кластеров  обычной  и

темной  материи.  Моделирование  распределения  темной  матери  в  кластерах

представляет  собой  сложную  задачу,  так  как  темную  материю  можно  наблюдать,

главным  образом,  по  результату  ее  гравитационного  взаимодействия  с  обычной

материей.  

По разным оценкам содержание темной материи в Суперкластере значительно

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

превосходит  содержание  обычной  материи,  что  характерно  и  для  других

суперкластеров.  В  этой  связи  возникает  вопрос  о  зависимости  метрики  от

распределения  материи  /10-11/.   В  работе  /11/  было  показано,  что  на  основе

аксиально-симметричных
 решений
 уравнений
 Эйнштейна
 можно
 описать

зависимость гравитационного потенциала от расстояния в спиральных галактиках.

В  настоящей  работе  построены  аксиально-симметричные  решения   уравнений

Эйнштейна, описывающие распределение гравитационного потенциала в масштабе

кластера галактик. 

Модификация уравнений Эйнштейна

Теория  гравитации  Эйнштейна  /12-14/  широко  используется  в  современной

космологии,  особенно,  в  связи  с  открытием  ускоренного  расширения  Вселенной

/15-16/. 

Эйнштейн  /12/  так  определил  принципы  теории  относительности:  «Теория,

как  мне  кажется  сегодня,  покоится  на  трех  основных  положениях,  которые  ни  в

какой степени не зависят друг от друга. Ниже они будут коротко сформулированы,

а в дальнейшем освещены с некоторых  сторон. 

а)  Принцип  относительности: законы  природы  являются  лишь  высказываниями  о

пространственно-временных совпадениях; поэтому они находят свое естественное

выражение в общековариантных уравнениях. 

б)  Принцип  эквивалентности:  инерция  и  тяжесть  тождественны;  отсюда  и  из

результатов  специальной  теории  относительности  неизбежно  следует,  что

симметричный «фундаментальный тензор» (

g
) определяет метрические свойства

пространства,  движение  тел  по  инерции  в  нем,  а  также  и  действие  гравитации.

Описываемое  фундаментальным  тензором  состояние  пространства  мы  будем

обозначать как «G-поле». 

в)  Принцип  Маха:  G-поле  полностью  определено  массами  тел.  Масса  и  энергия,

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

согласно  следствиям  специальной  теории  относительности,  представляют  собой

одно  и  то  же;  формально  энергия  описывается  симметричным  тензором  энергии;

это  означает,  что  G-поле  обусловливается  и  определяется  тензором  энергии

материи».

Здесь  первые  два  положения  –  принцип  относительности  и  принцип

эквивалентности,  видимо,  являются  универсальными,  тогда  как  принцип  Маха,

очевидно,  не  может  быть  непосредственно  реализован  в  построении  геометрии.

Действительно,  если  геометрия  определяется  массами  тел,  то  чем  тогда

определяются сами массы?  Этот вопрос в современной науке привел к открытию

бозона  Хиггса,  от  которого  зависят  массы  всех  других  элементарных  частиц.

Механизм
 Хиггса,
 ведущий
 к
 возникновению
 массы,
 является
 весьма

специфическим,  поскольку связан со  спонтанным нарушением  симметрии  /17-18/.

Но  симметрия  это  геометрическое  свойство  системы,  поэтому  принцип  Маха   в

этом
 случае
 сводится
 к
 тавтологическому
 утверждению,
 что
 геометрия

определяется  геометрией.  Другие  механизмы  генерации  массы,  основанные  на

результатах квантовой теории гравитации /19/ и теории Янга-Миллса /20/, приводят

к аналогичному выводу.

Поэтому  следует  изменить  принцип  Маха  таким  образом,  чтобы  он

соответствовал физическому содержанию не только теории  гравитации Эйнштейна,

но  и  любой  другой  теории  /10-11/.  Уравнения  гравитационного  поля  Эйнштейна

имеют вид /12/:   







T
c
G
g
R
g
R
4

8
2
1





                                                       (1)

 Здесь  
 
 



T
g
R
,
,
 
 -  тензор  Риччи,  метрический  тензор  и  тензор

энергии-импульса;
 
 
c
G,
,

 космологическая
 постоянная
 Эйнштейна,

гравитационная  постоянная  и  скорость  света  соответственно.  Как  известно,

Эйнштейн  предложил  в  1912-1955  гг.  несколько  альтернативных  теорий

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

гравитации, среди которых теория (1) получила всеобщее признание. 

Множество  споров  вызывала  космологическая  постоянная,  введенная

Эйнштейном  в  1917  г  в  работе  /12/  для  объяснения  существования  статической

Вселенной.  
 Однако  в  1922  г  Фридман  получил  решение,  описывающие

нестационарную Вселенную, на основе уравнений общей теории относительности,

предложенных  Эйнштейном  в  1915  г,  в  которых   
0


.  В  1929  г  Хаббл

экспериментально  обнаружил  разбегание  галактик  и  сформулировал  закон,

связывающий  расстояние  до  галактик  с  красным  смещением.  Эти  результаты

явились  подтверждением   модели  Фридмана,  после  чего  Эйнштейн  опубликовал

статью   /14/,  в  которой  написал,  что  «При  этих  обстоятельствах  следует  задать

вопрос,
 можно
 ли
 описать
 опытные
 факты;
 не
 вводя
  -член,
 явно

неудовлетворительный с теоретической точки зрения». 

В
 настоящее
 же
 время,
 учитывая
 многочисленные
 данные,

свидетельствующие об  ускоренном расширении  Вселенной,  следует признать,  что

 -член  является  вполне  удовлетворительным  и,  более  того,  единственным

разумным  объяснением  наблюдаемого  эффекта.  Однако  происхождение  этого

эффекта относится к одной из самых больших загадок современной физики /21-24/.

Действительно,  это  слагаемое  могло  бы  возникнуть  как  следствие  квантовых

флуктуаций,  но  соответствующие  оценки  показывают,  что  существует  огромное

различие,  составляющее  120  порядков  между  экспериментальной  величиной    и

предсказанием  квантовой  теории  гравитации.  Это  различие  можно  несколько

сократить, используя различные соображения /21/, но нельзя устранить.   

Отмеченное  огромное  различие  между  фактами  и  теорией  означает,  что

между  геометрией  микромира  и  геометрией  в  масштабе  всей  Вселенной  нет

никакой  связи.  Но  тогда  и  принцип  Маха,  и  следующее  из  него  уравнение

Эйнштейна  (1)  теряют  свой  смысл.  Чтобы  разрешить  это  противоречие,  был

формулирован  новый  принцип,  который,  как  нам  представляется,  управляет

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

геометрией миров /10-11/. 

Принцип  максимальной  определенности:  Метрика  пространства-времени

зависит только от таких фундаментальных констант, которые определяются с

максимально возможной точностью.       

Отметим, что в современной физике к таким константам относятся скорость

света,  постоянная  Планка,  постоянная  тонкой  структуры,  масса  электрона,  масса

протона  и  некоторые  другие  величины.  Тензор  энергии  импульса  материи  имеет

сравнительно  низкую  точность  определения,  а  с  учетом  большого  содержания

темной материи в Суперкластере, вообще не определен,  поэтому не может входить

в  число  параметров,  от  которых  зависит  метрика  пространства-времени.

Следовательно,  в  масштабе  100  мегапарсек  будут   справедливы  гипотезы  

геометродинамики  /25-28/. 

 Чтобы сохранить основную идею определения метрики в теории гравитации

Эйнштейна и при этом удовлетворить принципу максимальной определенности, мы

предположим,  что  уравнение  Эйнштейна  (1)  распадается  на  два  независимых

уравнения:

0
8
)
(

0
2
1

4





















T
c
G
g

g
R
g
R

                                                       (2)

Здесь   –  некоторая  функция,  зависящая  от  фундаментальных  констант

доступных измерению с максимально возможной точностью. Отметим, что первым

уравнением  определяется  метрика  пространства-времени,  а  вторым  уравнением

задается распределение материи, которое соответствует этой метрике. 

В  модели  (2)  сохраняются  все  результаты,  связанные  с  определением

пространств  Эйнштейна  /29/,  поскольку  соответствующие  метрики  являются

решением  первого  уравнения  (2).  Среди  этих  решений  отметим  метрику

Шварцшильда  /30/,  которой  определяется  поле  тяготения  точечной  массы  в

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

сферически-симметричном случае; метрику Фридмана — Леметра — Робертсона —

Уокера  (FLRW)  /16/,  описывающую  расширение  Вселенной  в  стандартной

космологической модели; метрику аксиально-симметричных гравитационных полей

/29, 31-33/. 

При таком подходе отпадает необходимость строить гипотезы относительно

распределения  массы  и  энергии  во  Вселенной.  Основой  всех  наблюдаемых

феноменов  является  метрика,  которой  соответствует  распределение  массы  и

энергии,  определяемое  из  второго  уравнения  (2).  Метрика  зависит  только  от

фундаментальных  констант,  а  распределение  массы  и  энергии  полностью

определяется геометрией, что согласуется с механизмом возникновения массы и в

стандартной  модели,  и  в  квантовой  теории  гравитации.  Очевидно,  что  нет

необходимости  выводить  этот  механизм  из  каких-то  других  физических  явлений,

так  как  все  эти  явления  уже  отражены  в  метрике  пространства-времени,  которое

является не только ареной всех событий,  но и их причиной и следствием /25-28/.

Материя  в  модели  (2)  является  пассивной  компонентой,  наличие  которой  не

является  обязательным.  Это  можно  сравнить  с  течением  подкрашенной  воды,  в

котором  краска  является  пассивной  компонентой,  позволяющей  осуществлять

визуализацию движения, но не влияющей на движение.    

Аксиально-симметрические поля 

Гравитационные  поля,  обладающие  осевой  симметрией,  рассматривались  в

работах Вейля /31/, Леви-Чевита /32/, Дельсарта /33/, Петрова /29/, Зекериса /34-35/

и других. Метрический тензор таких полей в предположении их статичности может

быть приведен к виду /29/:

  











e
g
e
g

g
g
g
g
g

x
x
e
e
g

q
p

pq
pq



























44
33

24
14
34
23
13

2

,

,0

,
)
1(

                                                            (3)

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

Здесь  
2
,1
,

q
p
;  

2
2
2
1
x
x



;   
)
,
(
),
,
(
3
3
x
x








 -  функции,  удовлетворяющие

уравнениям Эйнштейна. Легко видеть, что метрика (3) имеет в качестве предела при

 
0
,



 метрику  плоского  пространства  Минковского,
 что  соответствует

специальному  выбору  граничных  условий  далеко  за  пределами  рассматриваемой

системы. Этот выбор не является очевидным в случае кластеров, которые, согласно

современным представлениям, погружены не в пустое пространство Минковского, а

в пространство, наполненное темной материей и темной энергией.   

Компоненты тензора Эйнштейна 



Rg
R
G
2
1


в метрике (7) имеют вид

  




















































































































































































































































2

3

2

2
3

2

2

2

3

2

2

2
2
44

2

3

2

33

3
3
3

4
34

2

2

3

2

2

3

2

2
3

2

2

2

2

4
1
2
1
1

,
4
1
2
1

,
1
2

,0

,
4
1
2
1

4
1
2
1

2
x
x
x
e
G

x
G

x
x
x
G

G
G

x
x
x

x
x

x
x
e
G

p

p

p

q
p

q
p

pq
pq


















































       (4)              

                  

В частности для вакуума, полагая 
0
2
1






Rg
R
G
, находим уравнения поля:

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

.0
2
1

,0

,0
2

,0
1

2

3

2

2
3

2

2

2

4

3
3
3

2

3

2

2

3

2

2

2

1
2






























































































x
x

x
x

x

x
































                                        (5)

Можно  проверить,  что  не  все  уравнения  (5)  являются  независимыми  и  что

выполняются следующие два соотношения






























3
3
2
3
1
1
3
3
2
4
,
x
x
x
                                       (6)

Следовательно,  можно в качестве системы уравнений для определения двух

функций  
)
,
(
),
,
(
3
3
x
x








 выбрать,  например,  первое  и  четвертое  уравнения

(5), имеем 

 

.0
2
1

,0
1

2

3

2

2
3

2

2

2

3

2

2

2

2

















































x
x

x















                                        (7)

Разрешая систему уравнений (7) приходим к определению статических полей

гравитации  в  случае  наличия  осевой  симметрии.  Решение  задачи  не  зависит  от

распределения  материи,  но  зависит  от  граничных  условий,  которые  можно

сформулировать,  например,  на  осях  симметрии  и  на  удаленной  границе.  В

результате
 находим
 гравитационный
 потенциал,
 не
 используя
 объемных

источников.   В  этом  случае  роль  темной  материи  играют  граничные  условия,

которые  можно  определить  путем  измерений  скорости  галактик,  например  по

красному смещению. 

Сила,  действующая  на  частицу  в  статическом  гравитационном  поле,

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

определяется в общем случае из выражения /36/

















vg
v
f
c
g
g
c

mc
44
44
2
2

2

ln
/
1
                                      (8)

Здесь  
v
,
m
-  масса  и  вектор  скорости  частицы,  
44
4 / g
g
g




(все  компоненты

этот вектора равны нулю в случае метрики (3)).

Отметим,  что  в  нерелятивистском  пределе  потенциал   

2
/
2
c

 
,  где     
гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (7)

находим
 оценку

4
2
2
/
4
~
c




.
 В
 случае
 движения
 галактик
 скорость
 и

гравитационный потенциал связаны между собой, что позволяет оценить величину 

3
2
10
~
/
2


c


.  В  таком  случае  в  первом  приближении  можно  пренебречь  малой

величиной 

6
2
10
~
~



. В результате, как и в теории гравитации Ньютона,  приходим

к уравнению Лапласа для определения гравитационного потенциала. 

Динамика отдельных тел моделируется в соответствии с теорией Ньютона с

использованием выражения силы (8), что согласуется с гипотезой (2). Рассмотрим

уравнение  движения  потока  частиц  в  гравитационном  поле  в  нерелятивистском

приближении, имеем

  














v
v
v

t
dt
d

                                                           (9)

В метрике (3) в случае стационарного радиального движения находим

R
R








2

2
v

                                                                      (10)

Здесь радиальная координата 

3
2
2
,
x
z
z
R




.

Отсюда находим зависимость потенциала от радиальной координаты 

2
)
(

2

0

v

 
 R

                                                                (11)

В  работе  /11/  был  указан  потенциал  общего  вида,  который  с  хорошей

Научный журнал КубГАУ, №94(10), 2013 года

http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/61.pdf

точностью описывает гравитационное поле в спиральных галактиках        

0
2
2
2
2

2
2
)
2
(
)
(
)
1(
ln
)
,
(



















nk
z
z
b
n
a
z

m
z

                    (12)

Здесь  параметры  
0
,
,
,
,
,


m
k
b
a
 вычисляются  по  данным  скорости  вращения.

Потенциал  (12)  является  решением  первого  уравнения  (7)  с  ненулевой  правой

частью
 при  
1;0

n
  соответственно:      

  

.1
;0
,
1

2

2

2

2











n
z
n









                                                       (13)

В  частном  случае  
0




m
n
a

 выражение  (12)  сводится  к  квадратичной

зависимости 

0
2
0
2
2
)
(
)
,
(










bR
z
b
z
                                                  (14)

Учитывая,  что в нерелятивистском приближении   

2
/
2
c

 
,  имеем из (13) и (14)

4
/
2
c
b


. Следовательно, уравнение (11) сводится в этом случае к виду 

2
2
2
2

4
2
R
c
bR





v

                                                                (15)

Записывая  это  уравнение  в  векторном  виде,  что  справедливо  в  рассматриваемом

случае радиального течения, находим окончательно

R
R
v
H
c



2


                                                                (16)

Здесь  H -  постоянная  Хаббла.  Таким  образом,  мы  вывели  основной  закон

космологии, связанный с расширением Вселенной, используя модель (2) и метрику

(3), а также установили физический смысл параметра  , фигурирующего в модели

(2). Отметим, что обычно закон (16) выводится из модели изотропной Вселенной, в

которой  красное  смещение  связано  со  скоростью  и  расстоянием  до  источника

излучения уравнением /35/