Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

МАТЕМАТИКА УПРАВЛЕНИЯ КАПИТАЛОМ

John Wiley & Sons, Inc.
New York • Chichester • Brisbane • Toronto • Singapore

THE MATHEMATICS
OF MONEY MANAGEMENT

Risc Analysis Techniques
for Traders

Ralph Vince

Москва
2016

МАТЕМАТИКА 
УПРАВЛЕНИЯ КАПИТАЛОМ

Методы анализа риска для трейдеров 
и портфельных менеджеров

Ральф Винс

Перевод с английского

4-е издание

П А Б Л И Ш Е Р

УДК 336.722.8:330.4
ББК 65.262.1
 
В49

ISBN 978-5-9614-1529-2 (рус.)
ISBN 0471547387 (англ.)

© John Wiley & Sons, Inc., 1992
© Издание на русском языке, 
оформление, перевод. 
ООО «Альпина Паблишер», 2016

УДК 336.722.8 : 330.4
ББК 65.262.1

В49

Винс Р.

Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и 
портфельных менеджеров / Ральф Винс; Пер. с англ. — 4-е изд. — М.: Альпина 
Паблишер, 2016. — 400 с.

ISBN 978-5-9614-1529-2

Книга, основанная на теории вероятностей, статистике и современной теории портфеля, рассказывает о том, как использовать различные методы управления капиталом 
на фьючерсном, валютном, фондовом и других рынках. Концепции, изложенные в этой 
книге, в большинстве своем просты, как и практические примеры, наглядно иллюстрирующие их использование в торговле. Сочетая практику современной теории портфеля 
с концепцией оптимального f, автор показывает, как соизмерять ставки и возможные 
последствия торговых решений. Стратегии, рассмотренные в этой книге, позволяют 
определять оптимальное количество контрактов для торговли на любых рынках, максимизировать прибыль при торговле с реинвестированием, рассчитывать весовые коэффициенты компонентов инвестиционного портфеля.
Книга ориентирована на профессиональных трейдеров и аналитиков, частных и институциональных инвесторов, работающих на фондовом рынке, рынке FOREX, а также 
на рынках фьючерсов и опционов.

Все права защищены. Никакая часть этой книги 
не может быть воспроизведена в какой бы то ни 
было форме и какими бы то ни было средствами, 
включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ 
для частного или публичного использования, 
без письменного разрешения владельца авторских 
прав. По вопросу организации доступа к электронной библиотеке издательства обращайтесь 
по адресу lib@alpinabook.ru

Перевод с английского В.И. Ритман

Редактор А.А. Лиманский

ОГЛАВЛЕНИЕ

Посвящение ...........................................................................................................9

Введение .............................................................................................................10

Обзор книги ..............................................................................................10
Некоторые распространенные ложные концепции ................................13
Сценарии и стратегия худшего случая .....................................................14
Система математических обозначений ....................................................16
Синтетические конструкции в этой книге ..............................................16
Оптимальное количество для торговли и оптимальное f ........................19

Глава 1
Эмпирические методы ..........................................................................................23

Какой долей счета торговать? ..................................................................24
Основные концепции ...............................................................................27
Серийный тест  .........................................................................................27
Корреляция ...............................................................................................31
Обычные ошибки в отношении зависимости .........................................37
Математическое ожидание .......................................................................39
Реинвестировать торговые прибыли или нет ..........................................42
Измерение степени пригодности системы 
для реинвестирования посредством среднего геометрического .............44
Как лучше всего реинвестировать ............................................................47
Торговля оптимальной фиксированной долей ........................................49
Формулы Келли ........................................................................................50
Поиск оптимального f с помощью среднего геометрического ...............52
Средняя геометрическая сделка ...............................................................56
Почему необходимо знать оптимальное f вашей системы ......................57
Насколько может быть серьезен проигрыш ............................................59
Современная теория портфеля ................................................................61
Модель Марковица ...................................................................................61
Стратегия среднего геометрического портфеля ......................................67
Ежедневные процедуры при использовании 
оптимальных портфелей ..........................................................................67
Сумма весов систем в портфеле, превышающая 100% ...........................70
Как разброс результатов затрагивает геометрический рост ....................74
Фундаментальное уравнение торговли ....................................................79

ОГЛАВЛЕНИЕ
6

Глава 2
Характеристики торговли фиксированной долей и полезные методы ......................85

Оптимальное f для начинающих трейдеров 
с небольшими капиталами .......................................................................86
Порог геометрической торговли  .............................................................87
Один комбинированный денежный счет
по сравнению с отдельными денежными счетами ..................................90
Рассматривайте каждую игру как бесконечно повторяющуюся .............93
Потеря эффективности при одновременных ставках
или торговле портфелем ...........................................................................96
Время, необходимое для достижения определенной цели
и проблема дробного f ..............................................................................99
Сравнение торговых систем ................................................................... 103
Слишком большая чувствительность 
к величине наибольшего проигрыша ..................................................... 104
Приведение оптимального f к текущим ценам ...................................... 106
Усреднение цены при покупке и продаже акций .................................. 112
Законы арксинуса и случайное блуждание ............................................ 114
Время, проведенное в проигрыше ......................................................... 117

Глава 3
Параметрическое оптимальное f при нормальном распределении ......................... 119

Основы распределений вероятности ..................................................... 120
Величины, описывающие распределения ............................................. 121
Моменты распределения ........................................................................ 124
Нормальное распределение .................................................................... 128
Центральная предельная теорема .......................................................... 130
Работа с нормальным распределением .................................................. 131
Нормальные вероятности ....................................................................... 135
Последующие производные нормального распределения ................... 142
Логарифмически нормальное распределение ....................................... 144
Параметрическое оптимальное f ............................................................ 145
Распределение торговых прибылей и убытков (P&L) ........................... 148
Поиск оптимального f по нормальному распределению ...................... 153
Алгоритм расчета .................................................................................... 157

Глава 4
Параметрические методы для других распределений ........................................... 169

Тест Колмогорова–Смирнова (КС) ..................................................... 170
Создание характеристической функции распределения ...................... 173
Подгонка параметров распределения .................................................... 180
Использование параметров для поиска оптимального f ....................... 189
Проведение тестов «что если» ................................................................ 197

ОГЛАВЛЕНИЕ

Приведение f к текущим ценам .............................................................. 198
Оптимальное f для других распределений 
и настраиваемых кривых ........................................................................ 199
Планирование сценария ......................................................................... 200
Поиск оптимального f по ячеистым данным ......................................... 210
Какое оптимальное f лучше? .................................................................. 212

Глава 5
Введение в методы управления капиталом
с использованием параметрического подхода   .................................................... 215

Расчет волатильности ............................................................................. 217
Банкротство, риск и реальность ............................................................. 220
Модели ценообразования опционов ..................................................... 222
Модель ценообразования европейских опционов
для всех распределений .......................................................................... 230
Одиночная длинная позиция по опциону и оптимальное f .................. 236
Одиночная короткая позиция по опциону ............................................ 246
Одиночная позиция по базовому инструменту ..................................... 247
Торговля по нескольким позициям 
при наличии причинной связи .............................................................. 251
Торговля по нескольким позициям 
при наличии случайной связи ................................................................ 255

Глава 6
Корреляционные связи и выведение эффективной границы ................................. 259

Определение проблемы .......................................................................... 261
Решение систем линейных уравнений
с использованием матриц ....................................................................... 272
Интерпретация результатов .................................................................... 279

Глава 7
Геометрия портфелей ......................................................................................... 289

Линии рынка капитала (Capital Market Lines — CML) ......................... 290
Геометрическая эффективная граница .................................................. 295
Неограниченные портфели .................................................................... 302
Оптимальное f и оптимальные портфели .............................................. 307
Порог геометрической торговли для портфелей ................................... 310
Подведение итогов.................................................................................. 311

Глава 8
Управление риском ............................................................................................ 317

Размещение активов ............................................................................... 318
Переразмещение: четыре метода ........................................................... 325

ОГЛАВЛЕНИЕ
8

Зачем переразмещать? ............................................................................ 333
Страхование портфеля — четвертый метод переразмещения............... 333
Необходимые залоговые средства  ......................................................... 342
Ротация рынков ...................................................................................... 347
Резюме ..................................................................................................... 348
Несколько слов о торговле акциями ...................................................... 349

Заключительный комментарий ........................................................................... 351

Приложение А
Тест хиквадрат ................................................................................................. 354

Приложение В
Другие распространенные распределения ............................................................ 358

Равномерное распределение .................................................................. 359
Распределение Бернулли ........................................................................ 362
Биномиальное распределение ................................................................ 362
Геометрическое распределение .............................................................. 367
Гипергеометрическое распределение ..................................................... 368
Распределение Пуассона ........................................................................ 370
Экспоненциальное распределение ........................................................ 372
Распределение хиквадрат ...................................................................... 376
Распределение Стьюдента ...................................................................... 377
Полиномиальное распределение ........................................................... 380
Распределение Парето ............................................................................ 381

Приложение C
Подробнее о зависимости: 
разворотные точки и тест длины фазы ................................................................ 385

Список рекомендованной литературы ................................................................. 389

Указатель .......................................................................................................... 393

ПОСВЯЩЕНИЕ

Благоприятный прием книги «Формулы управления портфелем» (Portfolio 
Management Formulas) превзошел мои самые смелые ожидания. Я написал ее, 
чтобы познакомить читателей с концепцией оптимального f и показать ее взаимосвязь с теорией портфеля. 
Эта книга подарила мне много друзей, кроме того, меня поразил столь огромный интерес, проявленный к математическим методам управления капиталом. Все это послужило причиной создания книги, которую вы держите в руках. 
Я многим обязан Карлу Веберу, Венди Грау и другим сотрудникам компании John 
Wiley & Sons, которые предоставили мне возможность спокойно работать над 
этой книгой.
Есть и другие люди, с кем я общался и кто помогал мне в работе. Среди них 
Флоренс Бобек, Хьюго Бурасса, Джо Бристор, Саймон Дэвис, Ричард Файерстоун, Фред Гем (мы работали вместе какое-то время), Моника Мэйсон, Гордон 
Николс и Майк Паскаул. Я благодарен им всем. Мне также хочется поблагодарить 
Фрэна Бартлетта из компании G&H Soho, чей энтузиазм и титанический труд 
превратили гору моих хаотических идей в законченный продукт, который вы держите сейчас в руках.
Конечно, я не могу назвать здесь всех, кто так или иначе помог мне, но я от 
души говорю всем спасибо.
Эта книга полностью истощила мои силы, и не думаю, что когда-нибудь смогу написать еще одну. Именно поэтому мне бы хотелось посвятить ее тем людям, 
которые оказали на меня самое большое влияние: Реджине, моей маме, за то, что 
научила меня ценить силу воображения; Ларри, моему отцу, за то, что он научил 
меня «играть» с числами, и Арлин, моей жене, партнеру и лучшему другу. Эта 
книга посвящается вам троим. Благодарю вас за то, что вы есть!
Р.В.
Шагрин Фоллз, Огайо
Март, 1992 

ВВЕДЕНИЕ

Обзор книги

В первом предложении книги «Формулы управления портфелем» (Portfolio Management 
Formulas), которая послужила источником этой книги, я писал, что она посвящена 
математическим инструментам. Эта книга — о механизмах.
Мы возьмем инструменты и построим более совершенные, более мощные 
инструменты — механизмы, где целое больше, чем сумма частей, а затем попытаемся понять их устройство, чтобы не воспринимать их как какие-то «черные 
ящики». При этом мы не будем детально разбирать все без исключения темы (что 
сделало бы книгу слишком большой). Как известно, чтобы строить реактивный 
двигатель, не нужно отлично знать химию, главное — понимать, как работает 
реактивное топливо. То же можно сказать и об этой книге, которая использует 
статистику и затрагивает вычислительные методы. Я не пытаюсь дать математики больше, чем необходимо для понимания текста. Однако если вы знаете вычислительные методы (или статистику), то вам все будет понятно, а если вы не 
знаете, то все равно сможете использовать и понимать материал, изложенный в 
этой книге.
Статистика пользуется определенными математическими функциями. Эти 
функции, такие как гамма-функции и неполные гамма-функции, бета- и неполные 
бета-функции, нередко называют функциями математической физики, но их рассмотрение осталось за границами нашей книги. Напомню, эта книга об управлении счетами, а не математическая физика. Тем, кто действительно хочет знать 
«химию реактивного топлива», я предлагаю заглянуть в книгу У. Пресса и др. 
«Числовые рецепты» (Numerical Recipes), на которую есть ссылка в списке рекомендованной литературы.
Я попытался осветить материал настолько глубоко, насколько возможно, 
учитывая, что не обязательно знать вычислительные методы или функции математической физики, чтобы быть хорошим трейдером или управляющим деньгам и. 
Мое мнение таково: между умом и зарабатыванием денег на финансовых рынках 
нет прямой зависимости. Этим я не хочу сказать, что чем вы глупее, тем выше 
ваши шансы на успех в торговле. Я имею в виду, что ум — не самая большая составляющая уравнения, определяющего хорошего трейдера. По-моему, в становлении хорошего трейдера более важную роль играют психологическая выносливость и дисциплина, нежели ум. Каждый успешный трейдер, которого я когда-либо 
встречал или о котором слышал, по крайней мере раз в жизни крупно ошибался 
и терял довольно много. Общим знаменателем, характеристикой, которая отличает хорошего трейдера от остальных, является то, что он поднимает телефонную 
трубку и размещает ордер даже в самой тяжелой ситуации. Это требует от человека намного больше, чем ему может дать знание вычислительных методов или 
статистики.

ВВЕДЕНИЕ

Одним словом, я написал эту книгу, чтобы ею могли пользоваться реальные 
трейдеры на реальных рынках. Я не академик. Мне надо, чтобы она помогала 
практикам, а это превыше академических высот.
Более того, я попытался дать больше базовой информации, чем требуется, 
в надежде, что читатель будет исследовать концепции глубже, чем это сделал я.
Меня всегда интриговала музыка, особенно теория музыки. Мне нравится 
читать и узнавать о ней, однако я не музыкант. Чтобы быть музыкантом, нужна 
определенная дисциплина, чего не может дать простое понимание основ музыкальной теории. То же можно сказать и о торговле. Управление деньгами требует 
хорошей торговой программы, но знание о том, как надо управлять деньгами, не 
сделает из вас успешного трейдера.
Эта книга о музыкальной теории, а не инструкция игры на инструменте. Она 
не о победе над рынками, и вы не найдете в ней ни одного ценового графика. Эта 
книга посвящена математическим концепциям и делает важный шаг от теории к 
практике, но она не наделит вас способностью легко встречать удары, которые 
торговля неизбежно «припасла» для вас.
Эта книга не является продолжением «Формулы управления портфелем». 
Cкорее, книга «Формулы управления портфелем» заложила основу для тем, рассматриваемых здесь.
Эта книга глубже и серьезнее. Для тех, кто не читал «Формулы управления 
портфелем», глава 1 раскроет основные ее концепции. Включение этих концепций делает книгу, которую вы держите в руках, не зависимой от моей предыдущей 
книги.
Многие идеи, раскрытые здесь, уже применяются на практике профессиональными управляющими капиталом. Однако идеи, которые распространены 
среди профессиональных управляющих капиталом, обычно недоступны частным инвесторам. Поскольку здесь замешаны деньги, все стараются держать 
в тайне методы управления портфелем. Поиск этой информации — как попытка найти сведения об атомной бомбе. Я крайне признателен библиотекарям, которые помогли мне разобраться в лабиринтах профессиональных 
журналов и заполнить пробелы в моих знаниях, без чего мне не удалось бы 
написать эту книгу.
Чтобы использовать инструменты, которые здесь описываются, не обязательно применять механическую объективную торговую систему. Другими словами, 
тот, кто, например, использует волны Эллиотта для принятия торговых решений, 
также может применять оптимальное f.
Однако методы, описанные в этой книге, как и те, которые освещены в книге 
«Формулы управления портфелем», требуют, чтобы сумма ваших ставок была положительна. Другими словами, эти методы дадут вам многое, но они не сделают 
чуда. Грамотное управление деньгами не превратит ваши убытки в прибыли. Вы 
изначально должны иметь выигрышный подход.

ВВЕДЕНИЕ

Большинство методов, рассматриваемых в этой книге, эффективны при долгосрочных стратегиях. На протяжении всей книги вы будете встречать термин 
«асимптотический смысл», что означает возможный результат чего-либо, осуществленного бесконечное число раз, когда вероятность приближается к определенности при увеличении количества попыток. Другими словами, что-то, в чем мы 
можем быть почти уверены с течением времени. Смысл этого выражения содержится в математическом термине «асимптота», определяющим такую «прямую, 
которая, будучи неопределенно продолжена, приближается к данной кривой так, 
что расстояние между кривой и прямой линией приближается к нулю на бесконечном расстоянии от начала координат».
Торговля никогда не была легким занятием. Когда трейдеры изучают эти концепции, они часто приобретают ложное чувство силы. Я говорю «ложное», так как 
складывается впечатление, будто что-либо, что очень трудно сделать, на самом 
деле очень легко, если понять механику процесса. Когда вы будете читать эту 
книгу, помните, что в ней нет ничего, что может сделать вас лучшим трейдером, 
ничего, что может улучшить ваш фактор времени входа на рынок и выхода с него, 
ничего, что улучшит ваш торговый выбор. Эти трудные задачи так и останутся 
вашими задачами, даже после того как вы прочтете эту книгу.
После издания книги «Формулы управления портфелем» меня не раз спрашивали, почему я решил ее написать. Обычный аргумент против заключался в том, 
что рынок предполагает конкуренцию, а написать книгу— все равно что открыть 
свои секреты противнику.
Однако мало кто представляет, насколько велики сегодня рынки. Да, рынки 
предполагают игру, в которой деньги переходят от одного участника к другому. Но 
в силу их огромного размера вы, читатель, вряд ли станете моим соперником.
Чаще всего я сам являюсь своим главным врагом. Это верно не только в отношении торговли на рынках, но и жизни вообще. Другие трейдеры не представляют для меня такой угрозы, какую представляю я сам. Думаю, в этом я не одинок, 
и большинство трейдеров согласятся со мной.
В середине 80-х годов, когда компьютер стал основным инструментом трейдеров, появилось большое количество торговых программ, которые открывали 
позицию по стоп-ордеру, и размещение этих стоп-ордеров часто зависело от текущей волатильности на данном рынке. Эти системы некоторое время работали 
прекрасно. Затем, к концу десятилетия, такие виды систем почти перестали использовать. В лучшем случае они приносили только малую долю прибылей, по 
сравнению с несколькими годами ранее. Большинство трейдеров, применявших 
эти системы, впоследствии перестали ими пользоваться, заявляя, что «раз все ими 
пользуются, то как они могут работать?».
Как правило, эти системы применяли на рынке фьючерсов на казначейские 
облигации. Давайте рассмотрим теперь взаимоотношения между рынками. Когда 
цены на рынке спот и фьючерсном рынке расходятся (обычно не более чем на 
несколько тиков), в игру вступают арбитражеры, покупая менее дорогостоящий 

ВВЕДЕНИЕ

из двух ин струментов и продавая более дорогостоящий. В результате расхождение 
между ценой спот-рынка и ценой фьючерсного рынка достаточно быстро исчезает. Разница между ценой на спот-рынке и фьючерсном рынке может быть действительно большой, только когда внешний шок (какие-либо неожиданные события 
или новости) ведет цены к большему расхождению, чем это бывает при обычном 
процессе арбитража. Такие разрывы происходят обычно в течение очень короткого времени и встречаются довольно редко. Арбитражер зарабатывает на разнице в ценах, тем самым сглаживая их. В результате рынок фьючерсов казначейских 
облигаций внутренне привязан к огромному спот-рынку казначейских обязательств. Фьючерсный рынок отражает, по крайней мере до нескольких тиков, то, 
что происходит на гигантском спот-рынке, который никогда не был ведомым 
системными трейдерами, скорее наоборот.
Вернемся теперь к нашему разговору. Маловероятно, чтобы трейдеры на спотрынке и на фьючерсном рынке начали торговать в одной системе в одно и то же 
время! Так же маловероятно, чтобы участники спот-рынка решили вступить в 
сговор против тех, кто процветает на фьючерсном рынке. Тот факт, что многие 
фьючерсные трейдеры торговали с помощью этих систем, не может считаться 
причиной того, что эти системы перестали работать, поскольку это означало бы, 
что крупный участник на любом небольшом по объему рынке был бы обречен на 
неудачу. И глупо полагать, что, как только выйдет в свет моя книга по концепциям управления счетом, все сливки с рынка будут моментально сняты.
Победа над рынком требует большего, чем понимание концепций управления 
деньгами. Она требует дисциплины, чтобы вынести удары, которые 19 из 20 людей 
не смогут вынести. Этому вас не научит ни одна книга. Тот, кто заявляет, что он 
заинтригован «интеллектуальным вызовом рынков», — не трейдер. Рынки столь же 
интеллектуальны, как и кулачный бой. Лучший совет, который я могу дать, — 
всегда закрывать свой подбородок и челюсть. Проиграете вы или выиграете, все 
равно будут удары. В действительности на рынках мало что относится к интеллектуальному вызову; в конечном счете торговля — это тест на самообладание и 
выносливость. Эта книга пытается детально объяснить стратегию кулачного боя, 
и ее следует использовать только тому, кто уже обладает необходимой выносливостью.

Некоторые распространенные ложные концепции

В этой книге мы оспорим некоторые распространенные концепции:

•  потенциальную прибыль можно рассматривать как линейную функцию 
потенциального риска, т.е. чем больше вы рискуете, тем больше ваша возможность выиграть;

•  ваше положение в спектре риска зависит от инструмента, которым вы торгуете;

ВВЕДЕНИЕ

•  диверсификация уменьшает убытки (она может это сделать, но только до 
определенной степени — намного меньше, чем считают большинство трейдеров);

•  цена ведет себя рационально.

Последней из этих ложных концепций, касающейся рационального поведения 
цены, вероятно, менее всего придается значения, хотя ее последствия могут быть 
особенно разрушительными. Под «рациональным поведением» подразумевается, 
что при торговле на определенном ценовом уровне цена движется (по тикам) 
обычно вверх или вниз. Таким образом, если цена движется от одной точки к 
другой, то можно заключить сделку в любой точке между ними. Большинство 
смутно осознает, что цена не ведет себя таким образом, и тем не менее используют торговые методы, которые допускают, что цена движется именно так.
Цена является искусственно воспринимаемой величиной и поэтому не может 
меняться столь упорядоченно. Временами она делает большие скачки и переходит 
с одного уровня на другой, полностью минуя все промежуточные значения. Цена 
порой делает просто гигантские скачки, и происходит это намного чаще, чем 
считает большинство трейдеров. Ошибка при выборе позиции стоит дорого, она 
может привести к краху и даже полностью уничтожить счет трейдера.
Стоит ли упоминать здесь об этом? Я думаю это необходимо, потому что основа 
любой эффективной игровой стратегии (а управление деньгами в конечном счете 
является игровой стратегией) — надеяться на лучшее и готовиться к худшему.

Сценарии и стратегия худшего случая

С частью «надеятьсяся на лучшее» разобраться довольно легко. Подготовиться же 
к худшему психологически довольно сложно, и большинство трейдеров предпочитают просто не думать о таком развитии событий. Это касается не только торговли, но и других сфер человеческой деятельности. Когда сценарии худшего 
случая имеют очень маленькую вероятность, ими можно пренебречь. Однако 
всегда надо быть готовым к худшему случаю, и это должно стать одной из составляющих стратегии управления деньгами.
Вы увидите, что мы всегда будем продумывать стратегию исходя из сценария 
худшего случая. Мы всегда будем включать его в математический метод, чтобы 
просчитать ситуации, которые предполагают осуществление худшего случая.
Наконец, необходимо учитывать следующую аксиому. Если вы играете в игру с 
неограниченной ответственностью, то обанкротитесь с вероятностью, которая 
приближается к уверенности, когда длина игры приближается к бесконечности. Не 
очень приятная перспектива, не правда ли? Поясним сказанное на примере: если 
вы можете умереть от удара молнией, то в конце концов это произойдет. Если вы 
торгуете инструментом с неограниченной ответственностью (таким как фьючерсы), 
то в итоге понесете убыток такой величины, что потеряете все.