Основы математического моделирования социально-экономических процессов

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ 

ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И 

ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ 

 

ФГБОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ 

ГПС МЧС РОССИИ 

 

 
 
 
 

Двойцова И.Н. 

 
 
 

Основы математического моделирования  

социально-экономических процессов 

 

Учебное пособие  

 
 

Допущено ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия 

Государственной противопожарной службы МЧС России в качестве  

учебного пособия 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Железногорск 

2022 
 

УДК 51-7 
ББК 22.1 

Д201 

 

 

Автор: Двойцова Ирина Николаевна, канд. с-х. наук. 

 
 
 

Рецензент: зав. кафедрой высшей математики и системного моделирования 
сложных процессов Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС России, 
кандидат педагогических наук, доцент Трофимец Елена Николаевна 
 
 
 
 

Двойцова, И.Н. Основы математического моделирования социально
экономических процессов [Текст]: учебное пособие / И.Н. Двойцова – 
Железногорск: ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС 
МЧС России, 2022. – 112 с.: ил. 

 
 
Учебное пособие предназначено для обучающихся по специальности 

38.03.04 Государственное и муниципальное управление и может быть 
использовано для самостоятельного изучения дисциплины.  

Данное издание представляет собой краткий теоретический курс основ 

современных методов математического моделирования и исследования 
социально-экономических процессов, методов и способов применения 
математического 
моделирования 
в 
управлении 
производственными, 

муниципальными и государственными структурами. С помощью данного 
учебного пособия возможно изучение основных принципов современных 
подходов к построению математических моделей социально-экономических 
систем, овладение навыками построения, аналитического и численного 
исследования математических моделей социально-экономических процессов, 
а также построение математических моделей исследуемых систем, их анализ 
и оптимизация. 

УДК 51-7 
ББК 22.1 

 

 
© ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2022 
© Двойцова И.Н., 2022 

Оглавление  

Введение………………………………………………………………………... 
Раздел 1. Основные понятия математического моделирования социальноэкономических процессов ……………………………….……………….…... 
1. Понятия «моделирование» и «модель» ...............................................….… 
1.1. Модель........................................................................................................... 
1.2. Цели построения моделей........................................................................... 
1.3. Свойства моделей ........................................................................................ 
1.4. Формы представления модели.................................................................... 
1.5. Моделирование............................................................................................. 
1.6. Классификация моделирования ................................................................. 
1.7. Классификация моделей.............................................................................. 
Контрольные вопросы …………. ...................................................................... 
2. Математические модели и их классификации.............................................. 
2.1. Математическая модель............................................................................... 
2.2. Обобщенная математическая модель......................................................... 
2.3. Нелинейность математических моделей.................................................... 
2.4. Степень соответствия математической модели объекту........................... 
2.5. Классификация математических моделей ................................................. 
Контрольные вопросы …………....................................................................... 
3. Построение математической модели и вычислительный эксперимент…. 
3.1. Этапы построения математической модели ............................................. 
3.2. Подходы к построению математических моделей.................................... 
3.3. Вычислительный эксперимент.................................................................... 
3.4. Имитационное моделирование .................................................................. 
3.4.1. Статистическое моделирование............................................................... 
3.4.2. Метод Монте–Карло................................................................................. 
Контрольные вопросы …………....................................................................... 
Раздел 2 Оптимизационные математические модели……………………….. 
1. Примеры задач линейного программирования……………………………. 
1.1. Задача оптимального использования ресурсов (задача о коврах)……… 
1.2. Задача о размещении производственных заказов ………………………. 
1.3. Симплекс – метод………………………………………………………….. 
1.4. Транспортная задача………………………………………………………. 
1.5. Задача о назначениях……………………………………………………… 
1.6. Задачи целочисленного программирования……………………………... 
Контрольные вопросы …………....................................................................... 
Раздел 3. Эконометрические модели…………………………………………. 
1 Классификация эконометрических моделей……………………………….. 
2. Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа…………….. 
3. Понятие корреляции. Корреляционный анализ…………………………… 
4. Дисперсионный анализ. Правило сложения дисперсий………………….. 
5. Сущность регрессионного анализа………………………………………… 
5.1. 
Экономическая 
и 
математическая 
интерпретация 
параметров 

уравнения 
парной 
линейной 
регрессии. 
Средний 
коэффициент 

эластичности ………………………………………………………………….. 
5.2. Оценка качества уравнения регрессии …………………………………. 
Контрольные вопросы …………....................................................................... 
Список литературы…………………………………………………………….

……6 

 

……7 
……7 
……9 
…..10 
…..10 
..…12 
…..12 
…..14 
…..16 
…..20 
..…21 
..…21 
..…22 
..…23 
..…24 
…..25 
…..35 
…..36 
..…36 
…..39 
…..42 
..…50 
…..53 
…..53 
…..61 
..…62 
…..69 
…..69 
..…70 
…..71 
…..75 
..…79 
…..81 
…..82 
..…82 
…..84 
…..89 
..…92 
…..96 
…..97 

 
 

....102 
…105 
....109 
…110

 

Введение 

Различные элементы математического моделирования применялись 

одновременно с появлением точных наук. С данным фактом связано то, что 

часть из них носят имена корифеев науки, например, Ньютона и Эйлера, а 

слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого 

Аль-Хорезми. Второе «рождение» этой методологии пришлось на конец 

40‑ х - начала 50‑ х годов XX века и было обусловлено, по крайней мере, 

двумя причинами: появлением компьютеров, хотя и скромных по нынешним 

меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему 

рутинной вычислительной работы, и беспрецедентным социальным заказом 

на выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно
ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными 

методами. С помощью математического моделирования данная задача была 

решена. На первом этапе ядерные взрывы и полеты ракет моделировались 

посредством ЭВМ, а уже впоследствии были реализованы на практике. 

Данный 
факт 
способствовал 
дальнейшему 
развитию 
методологии 

моделирования, без которой в настоящее время не реализуется ни одни 

крупномасштабный технологический, экологический или экономический 

проект. 

Технические, 
экологические, 
экономические 
и 
иные 
системы, 

изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию 

обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над 

ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как 

многие из этих систем существуют в «единственном экземпляре». Цена 

ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому 

математическое моделирование является неизбежной составляющей научно
технического прогресса. 

Модель - это объект, который создается исследователем для анализа и 

изучения реальной действительности и сохраняет ее существенные свойства. 

 

Моделирование - это процесс построения, изучения и применения 

моделей. 
Математическое 
моделирование, 
являясь 
методологией, 

используется как инструмент в научных дисциплинах подобно математике, 

физике и биологии и не конкурирует с ними. Практически во всех сферах 

творческой 
деятельности 
применяется 
моделирование, 
начиная 
от 

исследователей 
и 
заканчивая 
военачальниками. 
Математическое 

моделирование 
должно 
обеспечиваться 
выполнением 
следующих 

требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, 

основанная на опыте (апостериорный), анализ адекватности используемых 

моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т.д. При 

моделировании трудноформализуемых объектов нужно дополнительно 

учитывать разграничение математических и нематематических терминов, а 

также особенности использования существующего математического аппарата 

к изучению объектов. 

 

Раздел 1 Основные понятия математического моделирования 

социально-экономических процессов 

1. Понятия «моделирование» и «модель» 

Можно 
выделить 
несколько 
этапов 
создания 
методологии 

математического моделирования: 

Появление точных наук. Методы вычислений носят имена таких 

корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово «алгоритм» происходит от 

имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. 

Конец 40‑ х–начало 50‑ х годов XX века: 

- появление компьютеров; 

- разработка ядерных технологий. 

Появление информационного общества. Методология математического 

моделирования становится интеллектуальным ядром информационных 

технологий. 

 

В раннем возрасте человек начинает взаимодействовать с различными 

моделями. Игра по построению конструкций из кубиков представляет собой 

создание некоторых моделей.  

При обучении распространено использование моделей в той или иной 

форме. Для изучения правил, например, русского языка применяются 

различные схемы и таблицы, которые являются моделями, отражающими 

свойства изучаемого объекта. Подготовку текста можно рассматривать как 

моделирование некоторого события или явления с помощью родного языка. 

На уроках точных наук также используются макеты изучаемых реальных 

объектов. 

Следует заметить, что во взрослой жизни человек также постоянно 

сталкивается с моделями реальных объектов, процессов и явлений. При этом 

для 
создания 
сложных 
изделий 
необходима 
работа 
коллективов 

разработчиков. В качестве примера можно привести большой адронный 

коллайдер (где планируется провести моделирование Большого взрыва, 

после которого, согласно гипотезе, возникла наша Вселенная) и всем 

известный фильм «Титаник», где для сцен гибели корабля было 

использовано более десяти моделей судна. 

Инструментом математического моделирования в первую очередь 

является математика. В настоящее время математическое моделирование 

применяется в: 

· 
 традиционных областях - физика, химия, биология; 

· 
 новых областях и дисциплинах - технические, экологические и 

экономические системы.  

Сложности: 

- прямой натурный эксперимент либо опасен, либо невозможен; 

- система существует в единственном экземпляре; 

· 
 социальных процессах. 

 

 

 

1.1. Модель 

Что такое модель? Модель от лат. modulus - мера, мерило, образец, 

норма). Под моделью можно понимать: 

· 
 образец, служащий эталоном (стандартом) для серийного или 

массового воспроизведения (модель автомобиля, модель одежды и т.п.), а 

также тип, марка какого-либо изделия, конструкции; 

· 
 изделие (изготовленное из дерева, глины, воска, гипса и др.), с 

которого снимается форма для воспроизведения в другом материале 

(металле, гипсе и др.); 

· 
 человека, позирующего художнику (натурщик), и вообще 

изображаемые объекты («натура»); 

· 
 устройство, 
воспроизводящее, 
имитирующее 
(обычно 
в 

уменьшенном масштабе) строение и действие какого–либо другого 

устройства в научных, практических (например, в производственных 

испытаниях) или спортивных целях. 

Перед тем как запустить в производство новый самолет, его 

обкатывают в аэродинамической трубе - это модель. Для того чтобы 

продемонстрировать 
систему 
кровообращения, 
лектор 
обращается 
к 

нарисованному плакату - это модель. На стене висит картина Айвазовского 

«Девятый вал» - это модель. 

Под моделью обычно понимают материальный или мысленно 

представляемый объект, который в процессе познания замещает объект - 

оригинал, сохраняя некоторые важные его черты. Каждый изучаемый 

процесс можно описать различными моделями, при этом ни одна модель не 

может сделать это абсолютно полно и всесторонне. Однако использование 

упрощенной модели, отражающей отдельные черты исследуемого объекта, 

позволяет яснее увидеть взаимосвязь причин и следствий, входов и выходов, 

быстрее сделать необходимые выводы, принять правильные решения [3]. 

 

 

 

1.2. Цели построения моделей 

Реальный объект в сравнении с моделью сложен для анализа и менее 

информативен. Необходимо заметить, что исследование непосредственным 

образом большинства объектов и явлений невозможно. Так, эксперименты с 

экономикой страны или со здоровьем ее населения в принципе невозможны. 

Среди целей моделирования можно выделить следующие [2]: 

· 
 понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, 

внутренние связи, основные свойства, законы развития, саморазвития и 

взаимодействия с окружающим миром; 

· 
 научиться управлять объектом или процессом, определить 

наилучшие способы управления при заданных целях и критериях; 

· 
 прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации 

заданных способов и форм воздействий на объект. 

Модель может быть представлена различными способами. В широком 

смысле модель определяют как отражение наиболее существенных свойств 

объекта. 

 

1.3. Свойства моделей 

Основными 
требованиями, 
предъявляемыми 
к 
математическим 

моделям, 
являются 
требования 
адекватности, 
универсальности 
и 

экономичности (рисунок 1).  

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные 

свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень 

совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Точность 

модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия 

характеризуются 
внешними 
параметрами. 
В 
пространстве 
внешних 

параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше 

заданной предельно допустимой погрешности. Определение области 

адекватности 
моделей 
- 
сложная 
процедура, 
требующая 
больших 

вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности 

 

пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно 

превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому 

для вновь проектируемых объектов может не решаться. 

 

 

Рисунок 1 – Свойства моделей 

 

Универсальность. Определяется в основном числом и составом 

учитываемых в модели внешних и выходных параметров. 

Экономичность. Модель характеризуется затратами вычислительных 

ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти. 

Простота. Модель, при которой желаемый результат достигается за то 

же время с той же точностью при учете меньшего количества факторов при 

расчете, называется простой. 

Потенциальность 
(предсказательность). 
Возможность 
получения 

новых знаний об исследуемом объекте с помощью применения модели.  

Достаточная точность результатов решения задачи, надежность 

функционирования модели. 

Способность к совершенствованию модели без ее коренной переделки. 

Простота форм исходных данных и их заполнения при выдаче задания 

на расчет. 

 

С помощью разрабатываемой модели решается широкий круг задач. 

Противоречивость требований к модели обладать широкой областью 

адекватности, 
высокой 
степенью 
универсальности 
и 
высокой 

экономичностью обусловливает использование ряда моделей для объектов 

одного и того же типа. 

 

1.4. Формы представления модели 

Среди форм представления моделей можно выделить следующие: 

· 
инвариантная 
- 
запись 
соотношений 
модели 
с 
помощью 

традиционного математического языка безотносительно к методу решения 

уравнений модели; 

· аналитическая - запись модели в виде результата аналитического 

решения исходных уравнений модели; 

· алгоритмическая - запись соотношений модели и выбранного 

численного метода решения в форме алгоритма; 

· схемная (графическая) - представление модели на некотором 

графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы, 

диаграммы и т.п.); 

· физическая - представление моделей как уменьшенных копий 

реальных аппаратов и технологических процессов; 

· аналоговая - модели, основанные на подобии явлений, имеющих 

различную 
физическую 
природу, 
но 
описываемых 
одинаковыми 

математическими уравнениями. 

 

1.5. Моделирование 

По мере того, как какая-либо наука становится более точной, в ней во 

все больших масштабах применяется математическое описание исследуемых 

объектов и явлений. В частности, данный принцип давно утвердился во 

многих областях физики. Чтобы избежать бесполезного конструирования и 

сборки 
многочисленных 
дорогих 
прототипов, 
используют 
методы 

 

компьютерного моделирования. С помощью моделирования, основанного на 

большом количестве экспериментальной информации, можно описать 

поведение проектируемых систем. Кроме того, компьютерное моделирование 

в ряде случаев является катализатором для экспериментальных исследований 

и производства. В последнее время расширяется круг задач, при решении 

которых применяется компьютерное моделирование. Если в прошлом 

моделирование, 
в 
частности 
компьютерное, 
было 
направлено 
на 

количественное описание процессов в материалах, то в настоящее время 

большое внимание уделяется созданию новых перспективных материалов и 

прогнозированию их свойств. 

Рассматривая элементарную картину общего метода познания мира 

(рисунок 2), можно идентифицировать реальный и умозрительный мир. В 

реальном мире наблюдают различные явления и процессы, происходящие 

как в природной, так и в техногенной среде. Умозрительный мир - это мир 

ума, описывающий представление людей о реальном мире с помощью 

наблюдения, моделирования и предсказания. 

 

Рисунок  2 – Элементарное описание общего метода познания 

 

При моделировании используются модели трех типов: 

· 
 описывающие поведение объектов или результаты наблюдений 

за явлениями; 

· 
 объясняющие причину такого поведения и получение таких 

результатов; 

· 
 позволяющие предсказать поведение и результаты в будущем.