Математические задачи принятия решений в динамических организационных системах

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 
В ДИНАМИЧЕСКИХ 
ОРГАНИЗАЦИОННЫХ 
СИСТЕМАХ

ГАРАНТИРОВАННЫЙ И ИГРОВОЙ 
ПОДХОДЫ

А.Ф. ТАРАКАНОВ

МОНОГРАФИЯ

Москва
ИНФРА-М
2022

УДК 519.816(075.4)
ББК 22.17
 
Т19

Тараканов А.Ф.
Т19  
Математические задачи принятия решений в динамических организационных системах. Гарантированный и игровой подходы : монография / А.Ф. Тараканов. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 342 с. — 
(Научная мысль). — DOI 10.12737/1871445.

ISBN 978-5-16-017744-1 (print)
ISBN 978-5-16-110437-8 (online)
В монографии развивается теория принятия решений в динамических 
организационных системах со сложной структурой в условиях конфликта 
и неопределенности. Приводится обзор современного состояния теории. 
Изучаются системы: иерархические, коалиционные и коалиционно-иерархические (гибридные). Основное внимание в процессе конструирования 
математических моделей систем уделяется описанию способов информационного взаимодействия лиц, принимающих решения. При этом учитываются варианты их неблагожелательного (конфликтного) и благожелательного «настроя» друг к другу. Предлагается два подхода к принятию 
решений, основанных на принципе гарантированного результата и подходах теории игр. А именно: 1) принятие решений с точки зрения выделенного участника системы на основе штрафных функций и получение 
необходимых условий оптимальности; 2) принятие решений на основе 
специальных принципов оптимальности, сконструированных с использованием принципов Нэша, Парето, Джоффриона, Штакельберга, Слейтера, 
угроз — контругроз и получение достаточных условий оптимальности. Некоторые теоретические результаты иллюстрируются модельными примерами.
Для научных работников, аспирантов и студентов, занимающихся теоретическими и практическими вопросами принятия решений в сложных 
системах.

УДК 519.816(075.4)
ББК 22.17

Р е ц е н з е н т ы:
Сумин А.И., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики Военно-воздушной академии имени 
профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина;
Хвостов А.А., доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и механики Воронежского государственного технического университета

ISBN 978-5-16-017744-1 (print)
ISBN 978-5-16-110437-8 (online)
© Тараканов А.Ф., 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ .............................................................................................................................. 5 

ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................................................... 11 

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ .......................................................................... 25 

1.1. Предварительные сведения ............................................................................................................. 25 

1.2. Гарантирующее решение в бескоалиционной игре в условиях неопределённости 
с использованием метода штрафных функционалов .......................................................................... 38 

1.3. Равновесные решения и их свойства .............................................................................................. 55 

1.4. Вспомогательные сведения из математического программирования и оптимального 
управления ................................................................................................................................................ 66 

1.5. Равновесие Нэша................................................................................................................................ 69 

1.6. Максимальность по Парето .............................................................................................................. 72 

1.7. Гарантирующее равновесие Нэша–Парето .................................................................................... 76 

1.8. Максимальная гарантия по Парето ................................................................................................. 82 

ГЛАВА 2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В ДВУХУРОВНЕВЫХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ 
СИСТЕМАХ И КОАЛИЦИОННЫХ ИГРАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА 
ШТРАФНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ............................................................................................ 86 

2.1. Иерархическая система при точном знании Центром однозначной реакции Исполнителя ... 86 

2.2. Иерархическая система с вычислением Центром однозначной реакции Исполнителя .......... 95 

2.3. Иерархическая система с благожелательным Исполнителем ................................................... 111 

2.4. Гарантированный подход Центра ................................................................................................. 130 

2.5. Иерархическая система с игроками на нижнем уровне, действующими самостоятельно ... 149 

2.6. Кооперативная игра ......................................................................................................................... 169 

2.7. Иерархическая система с кооперативным объединением игроков на нижнем уровне ....... 184 

2.8. Иерархическое взаимодействие двух коалиций ......................................................................... 198 

ГЛАВА 3. РАВНОВЕСНЫЕ РЕШЕНИЯ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 
И КОАЛИЦИОННЫХ ИГРАХ ................................................................................................. 215 

3.1. Иерархическая система с благожелательными Центром и Исполнителем ............................. 215 

3.2. Равновесие на основе информационного обмена между Центром и Исполнителем ........... 225 

3.3. Гарантирующее равновесие в иерархической системе при однозначной реакции 
Исполнителя ............................................................................................................................................ 230 

3.4. Гарантированный подход Центра при отсутствии информации о стратегии Исполнителя ... 244 

3.5. Равновесие Нэша–Слейтера в иерархической системе .............................................................. 247 

3.6. Гарантирующее равновесие Парето в иерархической системе................................................. 253 

3.7. Равновесие Парето в иерархической системе с дискретным множеством 
неопределённых факторов ................................................................................................................... 259 

3.8. Равновесие Штакельберга–Слейтера в иерархической системе ............................................... 266 

3.9. Паретовское равновесие угроз и контругроз в коалиционной игре ......................................... 274 

3.10. Джоффрионовское равновесие угроз и контругроз в коалиционной игре ........................... 282 

3.11. Гибридное равновесие Нэша–Парето в системе с частично коалиционной структурой ...... 288 

3.12. Гибридное равновесие в системе с частично коалиционной структурой при 
субъективных оценках управлений ...................................................................................................... 294 

ГЛАВА 4. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В ГИБРИДНЫХ СИСТЕМАХ ................................. 301 

4.1. Гарантирующее равновесие Нэша в кооперативно-иерархической системе .......................... 301 

4.2. Гарантирующее равновесие Парето в кооперативно-иерархической системе ....................... 309 

4.3. Гарантирующее равновесие Нэша–Парето в коалиционно-иерархической системе ............. 317 

4.4. Гарантирующее равновесие Парето в коалиционно-иерархической системе с выбором 
весовых коэффициентов ........................................................................................................................ 327 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................................ 336 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ..................................................................................... 338 

 

 

 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 

Моделирование разнообразных ситуаций с использованием игрового 

подхода давно практикуется специалистами в теории принятия решений. Это 
связано с возможностью адекватного описания средствами теории игр сложных 
управляемых систем и принятия в них оптимальных решений. Основы теории 
игр в её различных направлениях заложены в хорошо известных работах 
Von Stackelberg H.1, 
Бержа К.2, 
Льюса Р.Д. 
и 
Райфы Х.3, 
Нэша Дж.4, 

Понтрягина Л.С.5, Айзекса Р.6, Неймана Дж. и Моргенштерна О.7, Оуэна Г.8, 
Красовского Н.Н и А.И. Субботина9. 

Возникновение и становление теории дифференциальных игр относится к 

концу шестидесятых – началу семидесятых годов двадцатого века, когда в 
основном было завершено построение теории позиционных антагонистических 
дифференциальных игр. Дифференциальным играм посвящены, например, 
работы 
Жуковского В.И., 
Салуквадзе М.Е. 
и 
Чикрия А.А.10,11,12,13, 

Клейменова А.Ф.14, 
Кононенко А.Ф., 
Горелова М.А.15,16, Лутманова C.В.17, 

                                                           
1 Von Stackelberg H. The theory of the market economy. London: Hodge, 1952. 328 с. 
2 Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. Лит., 1961. 127 с. 
3 Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. – М.: ИЛ, 1961. 644 с. 
4 Нэш Дж. Бескоалиционные игры / Матричные игры. – М.: Физматгиз, 1961. С. 205–221. 
5 Понтрягин Л.С. К теории дифференциальных игр // УМН. 1966, Т. 21, № 4(130). С. 219–274; 
Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Тр. МИАН. 1985, Т. 
169. С. 119–158. 
6 Айзекс Р. Дифференциальные игры. – М.: Мир, 1967. 480 с. 
7 Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука, 1970. 708 с. 
8 Оуэн Г. Теория игр. – М.: Мир, 1971. 230 с. 
9 Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. – М.: Наука, 1974. 456 с. 
10 Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения. – 
Тбилиси: Мецниереба, 1998. 462 с. 
11 Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределённости: равновесие угроз и 
контругроз. – М.: КРАСАНД, 2010. 192 с. 
12 Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределённости: равновесие по Нэшу. 
– М.: URSS, 2010. 162 с. 
13 Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. – Киев: Наукова 
думка, 1994. 320 с. 
14 Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. – Екатеринбург: 
Наука. Уральское отделение, 1993. 185 с. 
15 Кононенко А.Ф. О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических 
дифференциальных играх // ДАН СССР. 1976, Т. 231, № 2. С. 285–288; Теоретико-игровой анализ 
двухуровневой иерархической системы управления // ЖВМиМФ. 1974, Т. 14, № 5. С. 1161–1170. 
16 Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Динамические модели конфликтов. III. Иерархические игры // АиТ. 
2015, № 2. С. 89–106; Динамические модели конфликтов. II. Равновесия // АиТ. 2014, №12, С. 56–77; 
О построении решений в динамических моделях многосторонних конфликтов // ЖВМиМФ. 1987, Т. 
27, № 9. С. 1327–1334. 
17 Лутманов С.В. Принцип компромисса в дифференциальных играх нескольких лиц // Тр. ИММ УрО 
РАН. 2014, Т. 20, № 1. С. 148–155; Построение компромиссных позиционных стратегий в 
нелинейных дифференциальных играх нескольких лиц // Изв. ИМИ УдГУ. 2005, № 4 (34). С. 67–80; 
Достаточные условия существования равновесного набора стратегий в дифференциальных играх 
нескольких лиц // ДУ. 1980, Т. 16, № 10. С. 1760–1765; Достаточные условия существования 

Малафеева О.А.18, Никольского М.С.19, Тынянского Н.Т.20, Чистякова С.В.21, 
Basar T. и Olsder G.J.22, Cruz J.B. (Jr)23, Chen C.I24, Starr A.W. и Ho Y.C.25 и 
многих других. 

Предлагаемая монография является развитием26 на динамические системы. 

Изучаются следующие варианты организационных систем: кооперативный, 
коалиционный, иерархический, гибридный (с комбинированной структурой). 
При этом наибольший интерес с точки зрения приложений и одновременно 
трудности исследования представляет система с иерархической структурой. 

Возникновение иерархической структуры обусловлено невозможностью 

или неэффективностью сосредоточения всех процессов сбора и обработки 
информации и принятия решений в организационной системе в рамках одного 
управляющего органа (далее – Центр). Центр “делегирует” часть своих 
управленческих функций нижнему уровню иерархии. С одной стороны, такая 
децентрализация процесса принятия решений в иерархической системе в целом 
упрощает его, но с другой стороны, возникают новые проблемы, связанные с 
несовпадением 
интересов 
(целей) 
элементов 
системы, 
различной 

информированностью управляющих элементов, намеренным искажением 
информации, сложностью нахождения эффективных механизмов, заменяющих 
принцип централизованного управления и т.д. Отсюда видно, что принятие 
решений чаще всего происходит в условиях неопределённости, источниками 
которой могут служить, например, ошибки в измерениях, неточно известные 
параметры, возмущающее воздействие внешних сил, помехи и неточности при 
передаче информации, информационный “голод”, “человеческий фактор”. 

Указанные выше вопросы не исследовались в рамках классической теории 

управления, они потребовали для своего решения развития новой теории. В 
результате была создана информационная теория иерархических систем, 

                                                                                                                                                                                                 
равновесного набора стратегий в дифференциальных играх нескольких лиц // ДН. 1980, Т. 16, № 10. 
С. 1760-1765. 
18 Малафеев О.А. О существовании ситуаций ε-равновесия в смешанных стратегиях в 
бескоалиционных дифференциальных играх // ДУ. 1979, Т. 15, № 4. С. 609–613; Стационарные 
стратегии в дифференциальных играх // ЖВМиМФ. 1977, Т. 17, № 1. С. 42–51. 
19 Никольский М.С. О равновесии по Штакельбергу в программных стратегиях в линейных 
дифференциальных играх // ДУ. 2006, Т. 42, № 12. С. 1657-1662. 
20 Тынянский Н.Т., Жуковский В.И. Дифференциальные игры с ненулевой суммой (бескоалиционный 
вариант) / Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1977, Т. 15. С. 199-266; Дифференциальные игры с 
ненулевой суммой (кооперативный вариант) / Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1979, Т. 17. С. 3112. 
21 Чистяков С.В. О бескоалиционных дифференциальных играх // ДАН СССР. 1981, Т. 259, № 5. С. 
1052-1055. 
22 Basar T., Olsder G.J. Dynamic Noncooperative Game Theory. – New York: Academic Press, 1999. 520 p. 
23 Cruz J.B. (Jr) Survey of Nash and Stackelberg Equilibrium Strategies in Dynamic Games // Annals of 
Economic and Social Measurement. 1975, Vol. 4, No. 2. PP. 339-344. 
24 Cruz J.B. (Jr), Chen C.I. Series Nash Solution of Two-Person Nonzero-Sum Linear-Quadratic Differential 
Games // J Optim Theory Appl. 1971, Vol. 7, Issue 4. PP. 240-257. 
25 Starr A.W., Ho Y.C. Nonzero-Sum Differential Games // J Optim Theory Appl. 1969, Vol. 3, Issue 3. PP. 
184-206. 
26 Тараканов А.Ф. Математические задачи принятия решений в организационных системах. – М.: 
ИНФРА-М, 2019. 246 с. 

основы которой заложили Моисеев Н.Н. и Гермейер Ю.Б.27,28. За рубежом 
первой 
крупной 
работой 
по 
иерархическим 
системам 
была 
книга 
Mesarovich M.D., Macko D., Takahara Y.29. Существенный вклад в развитие 
теории внёс Горелик В.А.30,31,32,33 Значительными вехами явились книги34,35, а 
также работа Федорова В.В.36. 
Со 
временем 
стало 
ясно, 
что 
многообразие 
структур 
реальных 
иерархических систем значительно превосходит те представления, которые 
сложились к концу XX века. Например, был выделен класс коалиционноиерархических систем 37. Обоснованием их актуальности может служить то, что 
в 
современной 
социальной 
и 
экономической 
жизни 
возникают 
и 
взаимодействуют структуры, в которых имеется координирующий центр 
(верхний уровень иерархии) и группы – коалиции (нижний уровень иерархии), 
которые помимо собственных интересов обязаны выполнять и решения центра. 
Например, к такой структуре близка структура управляющего совокупностью 
экономических объектов органа, состоящего из председателя и членов (может 
быть, коллективных). 
Изучение непосредственно кооперативных и коалиционных структур 
происходит уже давно и довольно успешно38,39,40,41,42,43,44. К соответствующим 
математическим моделям приводят исследования в области экономики 

                                                           
27 Гермейер Ю.Б., Моисеев Н.Н. О некоторых задачах теории иерархических систем управления / В 
сб.: Проблемы прикладной математики и механики. – М.: Наука, 1971. С. 30-43. 
28 Гермейер Ю.Б., Моисеев Н.Н. Введение в теорию иерархических систем управления. Math 
Operationsforschung und Statist. 1973. V. 4. No. 2. P. 133-154. 
29 Mesarovich M.D., Macko D., Takahara Y. The Theory of Multi-level Hierarchical Systems. – New York: 
Academic Press, 1970. 294 p. 
30 Горелик В.А. Принцип гарантированного результата в неантагонистических играх двух лиц с 
обменом информацией / В сб.: Исследование операций. – М.: ВЦ АН СССР, 1971. Вып. 2. С. 102-108. 
31 Горелик В.А. Игры с близкими интересами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. № 5. С. 11661179. 
32 Горелик В.А. Приближенное нахождение максимина с ограничениями, связывающими переменные 
// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. № 2. С. 510–517. 
33 Горелик В.А. Максиминные задачи на связанных множествах в банаховых пространствах // 
Кибернетика. 1983. № 1. С. 64-67. 
34 Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в экологоэкономических системах. – М.: Радио и связь, 1982. 144 с. 
35 Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах 
управления. – М.: Радио и связь 1991. 288 с. 
36 Федоров В.В. Численные методы максимина. – М.: Наука, 1979. 280 с. 
37 Говоров А.Н., Тараканов А.Ф. Коалиционно-иерархическая игра в условиях неопределённости // 
Известия АН. Теория и системы управления. 2008. № 3. С. 75-80. 
38 Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. – М.: Физматгиз, 1961. 126 с. 
39 Воробьёв Н.Н. Коалиционные игры // Теория вероятностей и её применения. 1967. Т. XII. Вып. 2. 
С. 289-306. 
40 Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука, 1970. 708 с. 
41 Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. – М.: МГУ, 1984. 106 с. 
42 Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. – Киев: Наукова 
думка, 1994. 320 с. 
43 Жуковский В.И. Введение в линейно-квадратичные дифференциальные игры при 
неопределённости. В 2 частях. – М.: МНИИПУ, 1997. 435 с. 
44 Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределённости. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. 336 с. 

(конкуренция групп предприятий), политики (коалиции партий, политические 
блоки, международные переговоры), экологии (охрана окружающей среды), 
биологии (взаимодействие сообществ животных). Коалиционные структуры на 
практике могут взаимодействовать между собой по-разному: конкурируя или 
сотрудничая. В первом случае для принятия решений используют принцип 
угроз и контругроз (или, иначе, угроз-контругроз), а во втором – хорошо 
известные принципы оптимальности Нэша, Парето, Джоффриона и др. Среди 
зарубежных 
заслуживают 
внимания 
работы45,46, 
в 
которых, 
однако, 
неопределённый фактор не привлекался. 
Целью монографии является построение и исследование информационных 
моделей процессов принятия решений в динамических иерархических и 
коалиционных управляемых системах и их комбинированных вариантах в 
условиях конфликта и неопределённости, получение условий оптимальности и 
демонстрация результатов на примерах. Указанные модели формализуются и 
описываются с использованием теоретико-игрового подхода. 
Научную 
новизну 
работы 
составляют 
результаты 
исследования 
двухуровневых иерархических и коалиционных систем, в которых имеет место 
неконтролируемый неопределённый фактор, состоящие в следующем. В 
иерархической системе принятие решений происходит с помощью принципов 
Нэша, Парето, Штакельберга, Слейтера и др. При этом указанные принципы 
видоизменяются с учётом “вертикального” направления передачи информации. 
В коалиционной системе решения принимаются на основе концепции угрозконтругроз, Парето, Джоффриона. Исследована возможность применения к 
обеим системам метода штрафных функционалов и получения с его помощью 
необходимых условий оптимальности с точки зрения выбранного ЛПР. 
Предложены подходы к принятию решений в системе с коалиционноиерархической структурой и с кооперативным объединением игроков на 
нижнем уровне, к построению гибридного равновесия в системе с 
коалиционной 
структурой, 
к 
индивидуальной 
оценке 
объективно 
реализовавшейся неопределённости. 
Основное содержание книги разделено на четыре главы. 
В первой главе в применении к простейшим игровым задачам представлен 
используемый базовый математический аппарат. 
Вторая глава посвящена вопросам принятия решений при различных 
информационных предположениях с использованием метода штрафных 
функционалов. Рассматриваются двухуровневая иерархическая система с 
одним и несколькими игроками на нижнем уровне, а также кооперативная игра 
и иерархическое взаимодействие двух коалиций. 
В п. 2.1 рассматривается случай точного знания управляющим центром 
(далее – Центр) однозначной реакции элемента нижнего уровня (далее – 

                                                           
45 Basar T. and Selbuz H. Closed-Loop Stackelberg Strategies with Applications in the Optimal Control of 
Multilevel Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1979. Vol. AC-24. No. 2. P. 166-179. 
46 Basar T. Equilibrium Strategies in Dynamic Games with Multi-levels of Hierarchy // Automatica. 1981. 
Vol. 17. No. 5. P. 749-754. 

Исполнитель) на управление Центра. В п. 2.2 Центр вычисляет однозначную 
реакцию Исполнителя. В п. 2.3 делается предположение о благожелательном 
отношении Исполнителя к Центру с учётом последним неопределённого 
фактора. Гарантированный подход Центра по отношению к выбору решения 
Исполнителем рассмотрен в п. 2.4. В п. 2.5 исследовано принятие решений в 
иерархической системе с подсистемой, когда несколько игроков на нижнем 
уровне действуют независимо друг от друга. В п. 2.6 рассмотрена 
кооперативная игра, а в п. 2.7 – иерархическая система с кооперативной 
подсистемой, когда все игроки нижнего уровня объединены в кооператив и 
действуют сообща. В п. 2.8 рассматривается игра двух коалиций и предлагается 
подход к принятию решения с точки зрения одной из коалиций с 
использованием принципа угроз-контругроз. 
Третья 
глава 
посвящена 
построению 
равновесных 
ситуаций 
в 
иерархических системах и коалиционных играх. В п. 3.1 использован принцип 
Парето (при доброжелательных отношениях Центра и Исполнителя). В п. 3.2 
построено равновесие на основе обмена информацией между уровнями 
иерархии. В п. 3.3 рассмотрена возможность построения равновесия на основе 
гарантированного подхода Центра. В пп. 3.5-3.7 строятся гарантирующие 
равновесия Нэша–Слейтера, Нэша–Парето и Штакельберга–Слейтера. В 
пп. 3.8-2.10 в игре двух коалиций построены коалиционные гарантирующие 
равновесия угроз-контругроз (между коалициями). Для фиксации отношений 
внутри коалиций используются принципы Парето (п. 3.8), Джоффриона (п. 3.9) 
и абсолютного активного равновесия (п. 3.10). В п. 3.11 рассмотрен случай, 
когда часть игроков объединена в коалицию, а остальные действуют 
самостоятельно. Изучены некоторые свойства равновесий, для всех игр 
получены достаточные условия оптимальности управлений игроков. В п. 3.12 
предложено гибридное равновесие в системе с частично коалиционной 
структурой при субъективных оценках управлений, получены достаточные 
условия оптимальности управлений игроков. 
В 
четвёртой 
главе 
изучаются 
организационные 
системы 
с 
комбинированными структурами. А именно, строится модель обмена 
информацией в иерархической системе в условиях неопределённости с учётом 
взаимодействия элементов нижнего уровня. При наличии горизонтальных 
связей поведение элементов уже не описывается стремлением к максимизации 
своих критериев по отдельности. В данном случае одна из возможностей 
состоит во введении некоторого принципа коллективного поведения, после 
чего реакция может быть выражена через критерий эффективности. 
Рассматриваются 
два 
варианта 
взаимодействия: 
кооперативный 
и 
коалиционный. Предложены подходы: к построению равновесия в системе с 
коалициями на нижнем уровне с использованием принципов Нэша (п. 4.1) и 
Парето (п. 4.2) внутри коалиций; к построению равновесия в иерархической 
системе с кооперативной подсистемой с использованием принципов Нэша и 
Парето (п. 4.3); к построению равновесия в системе с коалициями на нижнем 
уровне с использованием принципа Парето внутри коалиций, причём 

окончательный выбор коалициями своих коллективных стратегий при заданном 
управлении Центра производится путём оптимизации весовых коэффициентов 
(п. 4.4). 
Для некоторых рассмотренных моделей приведены численные примеры. 
Нумерация пунктов в главах двойная (сквозная по номеру главы и 
автономная по номеру пункта), первая цифра – номер главы, вторая – номер 
пункта в главе; нумерация подпунктов тройная (к двум цифрам добавляется 
номер подпункта). Нумерация формул в пунктах тройная по правилу 
“номер_пункта.номер_подпункта.номер_формулы”. 
Использованная литература оформлена в виде подтекстовых ссылок, а 
также списком по алфавиту в конце книги. При этом добавлены некоторые 
источники. Отметим, что автор не стремился охватить все доступные 
источники, а лишь только те, которые непосредственно перекликаются с 
исследуемыми вопросами. С одной стороны, такой подход позволил кратко 
проследить исторические аспекты развития теории организационных систем, а 
с другой, – повысить удобство чтения. 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
1. Общая формальная постановка дифференциальной игры 
 
В игре принимают участие N  игроков. Каждый из них способен в той или 
иной степени оказывать воздействие на организационную систему, составной 
частью которой игроки являются. Воздействие i -го игрока на систему 
реализуется через процесс принятия ими решений и выбор стратегии 
)
(t
u
u
i
i 
в форме некоторой функции управления на весь промежуток времени 
]
,
[ 0 T
t
. 
Предполагается, что на отрезке времени 
]
,
[ 0 T
t
 функция управления i -го игрока 
)
(t
ui
 может принимать значения из заданного множества 
i
U . Способ выбора 

i
i
U
t
u
)
(
 является запрещённым. 
Без ограничения общности понятие стратегии можно отождествить с 
понятием управления. Поэтому термины «стратегия», «управление», «функция 
управления», «управляющая функция» будем использовать равноправно. 
Функцию 
управления 
i -го 
игрока 
определим 
как 
ограниченную 
(векторную) функцию 
]
,
[
)
(
0
2
T
t
L
ui
со значениями из множества 
i
U , то есть 

ir
i
i
U
t
u
)
(
 
)
,1
(
N
i , 
]
,
[ 0 T
t
t , 
)
,...,
(
1
ir
i
i
i
u
u
u . 
Тогда 
множество 
допустимых управлений i -го игрока есть 
||
)
(
||
],
,
[
,
)
(
|]
,
[
)
(
0
0
2
t
u
T
t
t
U
t
u
T
t
L
u
D
i
r
i
i
i
i
i
. 
Всюду далее множества 
i
U  предполагаются выпуклыми, замкнутыми и 
ограниченными (выпуклыми компактами). 
Функционирование организационной системы происходит в условиях 
неопределённости, которую можно интерпретировать как неполноту априорной 
и/или текущей информации о её состоянии. Эту неполноту в каждый момент 
времени 
]
,
[ 0 T
t
t будем учитывать с помощью ограниченной функции 
]
,
[
)
(
0
2
T
t
L
z
со значениями 
m
S
t
z
)
(
, где S  – выпуклый компакт. 
Определим множество неопределённостей 
||
)
(
||
],
,
[
,
)
(
|]
,
[
)
(
0
0
2
t
z
T
t
t
S
t
z
T
t
L
z
Z
m
. 
Состояние организационной системы в каждый момент времени t  
описывается 
вектором 
n
t
x
x
)
(
, 
который 
называется 
фазовым. 
Координаты вектора x могут иметь смысл пространственных координат, денег, 
разнообразных количеств. Пара 
)
,
( x
t
 называется позицией. Обычно задана 
начальная позиция 
)
,
(
0
0 x
t
 такая, что 
0
0)
(
x
t
x
, 
0
0 t
. Определён конечный 
момент времени 
0t
T , причём ограничимся случаем, когда момент T  
фиксирован. Таким образом, функционирование системы рассматривается в 
течение периода 
0t
T . Изменение фазового вектора x происходит под 

воздействием совокупности управлений 
)
(iu
 
)
,1
(
N
i и неопределённости  
Z
z
)
(
 согласно векторному дифференциальному уравнению 
))
(
,
),
(
),
(
),...,
(
(
)
(
:
1
t
z
t
t
x
t
u
t
u
f
t
x
N
, 
0
0)
(
x
t
x
, 
]
,
[ 0 T
t
t , 
в результате решения которого на весь промежуток времени 
]
,
[ 0 T
t
 
определяется фазовая траектория 
))
(
),...,
(
,(
)
(
1
N
u
u
x
x
. Далее для будем 
использовать термин «динамическая система». 
Для вектор-функции 
)
,...,
( 1
nf
f
f всюду далее предполагается, что 

функции 
)
,
,
,
,...,
( 1
z
t
x
u
u
f
f
N
i
i 
определены 
и 
непрерывны 
на  
S
T
t
E
U
U
n
N
]
,
[ 0
1 и непрерывно дифференцируемы по 
/
1
)
,...,
(
nx
x
x 
(здесь и далее «штрих» означает транспонирование), причём для любой 
функции 
Z
z
)
(
 
существует 
число 
0
c
 
такое, 
что 

)
||
)
(
||
1(
))
(
,
,
),
(
),...,
(
(
,
2
1
t
x
c
t
z
t
x
t
u
t
u
f
x
N
. Данные требования для любых 

N
N
D
D
D
u
u
1
1
))
(
),...,
(
(
 и 
Z
z
)
(
 обеспечивают существование на 
]
,
[ 0 T
t
 и единственность абсолютно непрерывного решения 
)
(t
x
x уравнения 
))
(
,
,
),
(
),...,
(
(
1
t
z
t
x
t
u
t
u
f
x
N
, удовлетворяющего равенству 

t

t
d
z
x
u
u
f
x
t
x
N

0
))
(
,
),
(
),
(
),...,
(
(
)
(
1
0
. 

Определим множество допустимых траекторий 

,]
,
[
,
)
(
|]
,
[
)
(
0
0
)
1
(
2
T
t
t
t
x
T
t
W
x
n


N
N
D
D
D
u
u
...
))
(
),...,
(
(
1
1
, 
Z
z
)
(
, 
0
0
1
)
(
)),
(
,
),
(
),
(
),...,
(
(
)
(
x
t
x
t
z
t
t
x
t
u
t
u
f
t
x
N
. 
Чтобы количественно оценить качество своей стратегии 
)
(i
i
u
u
, i -й 
игрок формирует величину 
iJ , характеризующую исход игры с его точки 
зрения. Величина 
iJ  называется функцией выигрыша i -го игрока. Пусть 
каждый игрок стремится достичь при любой неопределённости 
Z
z
)
(
 
возможно большего значения своей функции выигрыша, которая задана 
функционалом 

T

N
i
i
N
i
t
dt
t
z
t
t
x
t
u
t
u
F
T
x
z
u
u
J

0
))
(
,
),
(
),
(
),...,
(
(
))
(
(
))
(
),
(
),...,
(
(
1
1
, 
N
i
,1


(далее всюду предполагается, что в 
iJ  вместе с фиксированным набором 
))
(
),
(
),...,
(
( 1
z
u
u
N
 в силу системы всегда определена траектория 
)
(x
, 
поэтому в 
iJ  зависимость от 
)
(x
 отсутствует). 
Считая 
i
D
 и зафиксировав совокупность управлений 
i
i
D
u
)
(
0
 

)
,1
(
N
i 
и 
неопределённость 
Z
z
)
(
, 
в 
силу 
уравнения 
))
(
,
,
),
(
),...,
(
(
1
t
z
t
x
t
u
t
u
f
x
N
, 
0
0)
(
x
t
x
, 
]
,
[ 0 T
t
t , для каждого набора