Нечеткие модели анализа данных и принятия решений
Покупка
Издательство:
Издательский дом Высшей школы экономики
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 266
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7598-2407-7
Артикул: 781745.01.99
Доступ онлайн
297 ₽
В корзину
В учебном пособии рассмотрены такие основные разделы теории нечетких множеств, как нечеткие отношения, нечеткие числа, нечеткий логический вывод, а также прикладные разделы, связанные с применением нечеткой математики в анализе данных (нечеткая регрессия, нечеткая кластеризация, нечеткая классификация) и принятии решений (нечеткая оптимизация, многокритериальные методы принятия решений с нечеткими данными, ранжирование нечетких данных, нечеткое моделирование). Каждая глава заканчивается разделом задач для самостоятельного решения. Поэтому данное пособие можно использовать не только как учебник, но и как задачник на семинарских занятиях или для самостоятельной подготовки. Учебное пособие адресовано студентам, обучающимся по образовательным программам, связанным с анализом данных и принятием решений («Прикладная математика и информатика», «Экономика», «Экономика и статистика», «Бизнес-информатика» и др.).
Книга также будет полезна аспирантам и преподавателям образовательных программ, как непосредственно связанных с анализом данных, так и использующих анализ данных и принятие решений в своих исследованиях, — бизнес-информатикам, экономистам, финансовым аналитикам, политологам и т.д.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.04: Прикладная математика
- 09.03.03: Прикладная информатика
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.05: Бизнес-информатика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Издательский дом Высшей школы экономики МОСКВА, 2022 Нечеткие модели анализа данных и принятия решений А.Г. Броневич А.Е. Лепский Учебное пособие Электронное издание
УДК 519.8 ББК 22.18 Б88 Р е ц е н з е н т ы : доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник НИИ робототехники и процессов управления Южного федерального университета А. Н. Каркищенко; доктор технических наук, профессор Отделения интеллектуальных кибернетических систем Обнинского института атомной энергетики НИЯУ МИФИ Б. И. Яцало Б88 Броневич, Андрей Георгиевич. Нечеткие модели анализа данных и принятия решений : учебное пособие / А. Г. Броневич, А. Е. Лепский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Эл. изд. — 1 файл pdf : 266 с. — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2022. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный. ISBN 978-5-7598-2407-7 В учебном пособии рассмотрены такие основные разделы теории нечетких множеств, как нечеткие отношения, нечеткие числа, нечеткий логический вывод, а также прикладные разделы, связанные с применением нечеткой математики в анализе данных (нечеткая регрессия, нечеткая кластеризация, нечеткая классификация) и принятии решений (нечеткая оптимизация, многокритериальные методы принятия решений с нечеткими данными, ранжирование нечетких данных, нечеткое моделирование). Каждая глава заканчивается разделом задач для самостоятельного решения. Поэтому данное пособие можно использовать не только как учебник, но и как задачник на семинарских занятиях или для самостоятельной подготовки. Учебное пособие адресовано студентам, обучающимся по образовательным программам, связанным с анализом данных и принятием решений («Прикладная математика и информатика», «Экономика», «Экономика и статистика», «Бизнес-информатика» и др.). Книга также будет полезна аспирантам и преподавателям образовательных программ, как непосредственно связанных с анализом данных, так и использующих анализ данных и принятие решений в своих исследованиях, — бизнес-информатикам, экономистам, финансовым аналитикам, политологам и т.д. УДК 519.8 ББК 22.18 Электронное издание на основе печатного издания: Нечеткие модели анализа данных и принятия решений : учебное пособие / А. Г. Броневич, А. Е. Лепский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2022. — 264 с. — ISBN 978-5-7598-2317-9. — Текст : непосредственный. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации. ISBN 978-5-7598-2407-7 © Броневич А. Г., Лепский А. Е., 2022
Оглавление Предисловие8 Глава 1. Нечеткие множества и операции над ними15 11 Понятиенечеткогомножества15 12 Алгебраическиеоперациинаднечеткимимножествами иихсвойства20 13 Методыпостроенияфункцийпринадлежностинечетких множеств22 14 Задачи33 Глава 2. Метрики на нечетких множествах и степень нечеткости37 21 Метрикинанечеткихмножествах37 22 Степеньразмытиянечеткогомножества39 23 Применениястепениразмытия45 2.3.1. Применение степени размытия в задачах обработки изображений45 2.3.2. Применение степени размытия для анализа согласованности позиций экспертов в задачах принятия решений50 24 Задачи53 Глава 3. Обобщение операций над нечеткими множествами56 31 Понятиятреугольнойнормыиконормы56 32 Треугольныенормыикопулы60 33 Нечеткоеотрицание61 34 Функциональноеописаниетреугольныхнормиинвертора61 35 Задачи63
Оглавление Глава 4. Нечеткие отношения65 41 Понятиенечеткихотношенийиоперациинадними65 42 Бинарноенечеткоеотношениенадекартовомквадрате69 43 Специальныевидыбинарныхнечеткихотношений73 4.3.1. Нечеткие отношения порядка73 4.3.2. Нечеткие отношения подобия и различия75 4.3.3. Нечеткое отношение сходства76 44 Кейс:анализнечеткогоотношениясогласованности рекомендацийфинансовыханалитиков78 45 Задачи80 Глава 5. Принцип обобщения и нечеткие числа83 51 Функцияпринадлежностисложныхнечеткихмножеств83 52 Понятиенечеткихчиселиоперациинадними87 53 Нечеткиефункции,уравнения,системы97 54 Задачи104 Глава 6. Числовые характеристики и расстояние между нечеткими числами107 61 Числовыехарактеристикинечеткихчисел107 62 Метрикинамножественечеткихчисел110 6.2.1. Метрики на основе расстояний между a-срезами нечетких чисел110 6.2.2. Метрики на основе расстояний между функциями, описывающими нечеткие числа112 6.2.3. Расстояния на основе числовых характеристик нечетких чисел113 6.2.4. Нечеткое расстояние между нечеткими числами114 6.2.5. Расстояние между дискретными нечеткими числами на основе решения транспортной задачи116 63 Задачи119
Оглавление Глава 7. Сравнение нечетких чисел121 71 Сравнениеслучайныхвеличин121 72 Сравнениенечеткихчиселспомощьюиндексаранжирования124 73 Ранжированиенечеткихчисел,основанноенасравнении сэталоном127 74 Ранжированиенечеткихчисел,основанноенавычислении индексапарногосравнения129 75 Некоторыекейсыприменениянечеткихчисел133 7.5.1. Применения нечетких чисел в сетевом анализе133 7.5.2. Применения нечетких моделей к прогнозированию волатильности140 76 Задачи143 Глава 8. Некоторые обобщения понятия нечеткого множества145 81 Интервальнозначныенечеткиемножестваинечеткие множества2-готипа145 82 Интуиционистскиенечеткиемножества147 83 Нечеткиеслучайныевеличины151 84 Эпистемологическаяионтологическаяточкизрения напонятиенечеткогомножества153 85 Задачи154 Глава 9. Нечеткая оптимизация157 91 Неразмытыеинечеткиезадачиоптимизации157 92 Нечеткоелинейноепрограммирование162 93 Задачи165 Глава 10. Нечеткая регрессия167 101 ЗадачарегрессииМетоднаименьшихквадратов167
Оглавление 102Линейнаярегрессияснечеткимипараметрами Возможностнаямодель170 103 Линейнаярегрессияснечеткимиданными Метрическаямодель175 104Задачи179 Глава 11. Многокритериальное принятие решений при нечетких данных181 111 Общаяпостановказадачимногокритериальногопринятия решенийпринечеткихданных181 112 Модельвзвешеннойсуммы183 113 Модельвзвешенногопроизведения188 114 МетодTOPSIS189 115 Задачи194 Глава 12. Нечеткая классификация и кластеризация196 121 Нечеткаяклассификация196 12.1.1. Постановка задачи классификации196 12.1.2. Нечеткая классификация: нечеткие классы и четкие образы197 12.1.3. Нечеткая классификация: нечеткие классы и нечеткие образы203 122Нечеткаякластеризация207 12.2.1. Неразмытая кластеризация. Алгоритм k-средних207 12.2.2. Нечеткая кластеризация. Нечеткий алгоритм c-средних208 12.2.3. Нечеткий алгоритм Густафсона — Кесселя211 12.2.4. Возможностный нечеткий алгоритм c-средних213 123Задачи215 Глава 13. Элементы нечеткого логического вывода217 131 Логическиенеразмытыеинечеткиевысказывания217 132Нечеткаяимпликация218
Оглавление 13.2.1. Определение нечеткой импликации через нечеткие замещения логических связок218 13.2.2. Аксиоматическое определение нечеткой импликации221 133Нечеткиеилингвистическиепеременные221 134Нечеткиевысказывания224 135Нечеткиеправиладедуктивноговывода225 136 Нечеткоемоделирование234 137 Применениянечеткихправилвыводакпрогнозированию волатильности242 138Задачи245 Список обозначений248 Литература251 Предметный указатель259
Предисловие Теориянечеткихмножествзасвоюболеечем50-летнююисториюсталаважнойинструментальнойчастьюприкладныхисследованийвсамыхразныхнаучных направленияхиприложенияхТакаявсевостребованностьобусловлена,содной стороны,тем,чтосамиданные,которымимыоперируем,побольшейчаститочно намнеизвестны,анечеткостьпредставляетоднуизмоделейописаниятаких данныхЭтасутьтакназываемогоэпистемологическогоподхода,вкоторомнечеткостьсвязанасостепеньюнашегонезнанияопринадлежностиэлемента множествуДругой,такназываемыйонтологическийподходрассматриваетнечеткостькакодинизатрибутовнашегомираНапример,такиекачественные понятия,как«высокий»,«богатый»итд,несвязаныснашимнеполнымзнанием обобъектеилиявлении,ноихудобномоделироватьспомощьюпонятиянечеткого множестваВучебныхкурсахпотеориинечеткихмножествусловноможновыделить базовуючасть,которуюможноизлагатьстойилиинойстепеньюподробности идоказательности,прикладнуючастьи(возможно)некоторыеобобщенияклассическихнечеткихмоделей(нечеткиеслучайныевеличины,интуиционистские нечеткиемножестваитд)Внастоящеевремякурсы,вкоторыхизучаютсяосновы теориинечеткихмножествиихприменениекрешениюприкладныхзадач,включаютсявпрограммыучебныхдисциплин,какбакалаврского,такипобольшей частимагистерскогоуровня,совершенноразныхнаправленийподготовкиВроссийскихвузахтакиекурсыширокопредставленывобразовательныхпрограммах, связанныхсуправлениемвтехническихсистемах,савтоматизациейпромышленныхитранспортныхсистем,синформационнымисистемамиитд,чтоотражаеттрадициисоветскойироссийскойнаучныхшколпотеориинечеткихмножествСоответственно,довольномногоиучебныхпособий,вкоторыхрассматриваютсякакэлементынечеткихмножеств,такиприкладныезадачи,связанные суказанныминаправлениямиподготовкиДляэтихнаправленийвостребованы преждевсеготакиеразделы,какнечеткаялогика,нечеткиеправилавывода,нечеткиесистемы,атакжеконкретныеинженерныеприложенияЗначительнорежетеориянечеткихмножестввстречаетсявобразовательных программахподготовкиспециалистовпоэкономике,социологии,политологии итд,тевтрадиционно«вышкинских»направленияхподготовкиПричины этогосвязаны,скореевсего,сзасильемидеологиивэкономическойигуманитарныхнаукахвсоветскоевремяивпоследующемресурсномикадровомпровале
Предисловие вроссийскойнаукеТольковпоследние15–20летсталипоявлятьсякаксерьезные прикладныеисследования,связанныесприменениемнечеткихмножестввэкономическойигуманитарныхнауках,такисоответствующиекурсыучебныхдисциплинНанашвзгляд,прианализеэкономических,социологических,политологическихданныхдолжныбытьвостребованымодели«не-факторов»(нечеткости, неопределенности,неточностиитд),посколькутакиеданныезачастуюнесут отпечатокнерациональногоповедения,манипулирования,наличия«черных лебедей»итдиврезультатеуженеобладают«хорошими»статистическими свойствамиАдляиханализауженедостаточноиспользоватьтолькотехники, основанныенаметодахматематическойстатистикиДругойважнойтенденциейпоследнихдесятилетий,котораянемогланеотразитьсянаразвитиитеориииприкладныхаспектахисследованийпонечетким множествам,сталатотальнаяцифровизациявсехсфержизниЭто,вчастности, привелоквозможностиинеобходимостиоперированияогромнымимассивами данныхВсвязисэтимбурноразвиваетсянаучноенаправление«Наукаоданных» (DataScience)Данные,которымиприходитсяоперировать,могутбытьплохо структурированными,неполными,неточными,искаженнымиитд,поэтому впоследнеевремяоказалисьостровостребованнымимоделиобработкиианализа такихданныхЭтатенденцияпривелакразвитиювтеориинечеткихмножеств направлений,которыеориентированынаданныеНопокавучебнойроссийской литературе(какивработахроссийскихисследователей)разделы,связанныекак сприменениемнечеткихметодовкобработкеианализуданных,такисобработкойнечеткихданных,отражены,нанашвзгляд,недостаточноВпособиипредпринятапопыткахотябычастичновосполнитьэтотнедостатокВчастности, внемрассмотренытакиеприкладныеразделы,связанныесобработкойианализомнечеткихданных,какнечеткаярегрессия,нечеткаяклассификацияикластеризация,нечеткийсетевойанализитдДругаяприкладнаянаправленностьданногопособиясвязанасприменением нечеткихматематическихмоделейвзадачахпринятиярешенийЭтомупосвящены разделысравненияиранжированиянечеткихданных,нечеткойоптимизации, многокритериальногопринятиярешенийснечеткимиданными,нечеткогологическоговыводаПомнениюавторов,анализданныхипринятиерешенийявляютсядвуединойсоставляющейиспользованияинформации:анализданных осуществляетсядляпринятиярешений,апринятиерешенийнемыслимобез анализаданныхПоэтомувыбраннаяприкладнаянаправленностьпособиявполне обоснованнаКрометого,инструментарийнечеткихмножествдаетвозможность
Предисловие использоватьэлементыпринятиярешенийприанализеданныхНапример,спомощьюнечеткогологическоговыводаэкспертнаяинформация(принятиерешений)можетбытьиспользованавзадачахпрогнозированияданныхСоответствующиекейсытакжерассмотренывданномпособииВсоветскойнаучнойлитературебылидве«настольные»книгидляспециалистовпонечеткойматематике:переводнаякнигаизвестногоспециалиста потеориинечеткихмножествАКофмана(AKaufmann)[Кофман,1982],которая вышланарусскомязыкев1982году(оригинальноеиздание1977года),икнига [Нечеткие множества…, 1986] под редакцией ДА Поспелова, вышедшая в1986годуКонечно,стехпорисследованияпотеориинечеткихмножествушли далековперед,сместилисьнекоторыеакценты,изменилсяязыкизложенияматериалаитдСредизарубежнойучебнойлитературыпонечеткойматематике можнопорекомендоватьпреждевсегодваиздания:книгу[Klir,Yuan,1995],котораяпостилюизложения,соотношениюмеждустрогостьюинаглядностью, широтеохватаприкладныхразделовявляется,нанашвзгляд,образцомучебного пособия,икнигу[Wangetal,2009],котораявбольшейстепенизаинтересует математиковипоклонниковстрогогоидоказательногостиляизложенияВкачестведополнительнойлитературыкотдельнымразделамданногопособияможно порекомендоватьмонографии[Lee,2005](простой,ноширокийпоохватуприложенийкурс),[Liu,Pedrycz,2009](сильноматематизированный,строгийпоизложениюкурссминимумомприложений),[Ekeletal,2010](принятиерешений снечеткимиданными),[Siler,Buckley,2005](нечеткиеэкспертныесистемы инечеткийвывод),[Wolkenhauer,2001](нечеткиемоделианализаданных)Данноеучебноепособиенаписанонаосновематериаловкурса«Нечеткость инеопределенностьванализеданныхипринятиирешений»,которыйавторы читаютмагистрампрограммы«Наукиоданных»факультетакомпьютерныхнаук напротяжениинесколькихпоследнихлетПодытоживая,можноуказатьследующиеотличияэтойкнигиотдругихранеепубликовавшихсяизданийпотеме нечеткихмножеств: • ориентациярассматриваемоготеоретическогоматериалакакназадачианализа данных,такиназадачипринятиярешений; • адресацияпособияширокомукругу«вышкинских»читателей—студентам, аспирантамипреподавателямобразовательныхпрограмм,какнепосредственно связанныхсанализомданных(преждевсегонафакультетекомпьютерных наук),такииспользующиханализданныхипринятиерешенийвсвоихисследованиях,—бизнес-информатикам,экономистам,финансовыманалитикам,политологамитд;
Предисловие • освещениеразделовнечеткойматематики,редковстречающихсявроссийской литературе,ношироковостребованныхванализеданныхипринятиирешений: нечеткаярегрессия,нечеткаяоптимизация,нечеткиеклассификацияикластеризацияидр; • ориентациярассматриваемыхприкладныхметодовнатрадиционно«вышкинские»задачианализаданныхипринятиярешенийвсоциально-экономическойсфере,финансах,политологииитд; • большоеколичествозадач,примеровикейсов(более70разобранныхпримеровикейсов,более150задачдлясамостоятельногорешения),чтоделает возможнымиспользованиеданногоизданиянетолькокакучебника,ноикак задачника; • включениевкнигу«кейсов»конкретныхпроектов; • разумноесочетаниематематическойстрогостиипопулярностиизложенияСтруктураучебногопособияследующаяВглаве1введеныирассмотреныбазовыепонятиятеориинечеткихмножеств: функцияпринадлежности,срезовыемножестваВведеныалгебраическиеоперациинаднечеткимимножествамиирассмотреныихсвойстваОбсужденыосновныеметодыпостроенияфункцийпринадлежностинечеткихмножеств:помассивамданных,поэкспертнымоценкамГлава2посвященаметрикамнанечеткихмножествахитакойважнойхарактеристике,какстепеньнечеткости(размытия)Вчастности,рассмотреныдва приложенияпоказателяразмытияПервоеприложениесвязаносприменением этойхарактеристикинечеткихмножестввзадачахобработкиизображенийВтороеприложениепосвященоприменениюпоказателяразмытиядляанализасогласованностипозицийэкспертоввзадачахпринятиярешенийВглаве3обсуждаютсятакиеобобщенияоперацийнаднечеткимимножествами,какпонятиятреугольныхнормиконормРассмотренытакжефункциональныеописанияобобщенныхоперацийиихприложениякмоделированию нечеткихвысказыванийВглаве4вводитсяирассматриваетсяпонятиенечеткогоотношения,операций наднечеткимиотношениямиОсобоевниманиеуделенокомпозициинечетких отношений,нечеткимотношениямнадекартовомквадратемножеств,нечетким отношениям,обладающимопределеннымисвойствами(рефлексивные,транзитивныеитд),построениютранзитивногозамыканияОбсуждаютсяразличные типытранзитивностинечеткихотношенийОтдельнорассматриваютсятакие важныевидынечеткихотношений,какразличныеотношениянечеткогопорядка, нечеткиеотношенияподобия,различияисходства,связьотношенияразличия
Предисловие сультраметрикойВкачествеприкладнойзадачирассмотреноприложениенечеткихотношенийканализусогласованностирекомендацийфинансовыханалитиковВглаве5рассматриваютсядваважнейшихпонятиятеориинечеткихмножеств: принципобобщенияипонятиенечеткогочислаПринципобобщенияЗаде(Zadeh’sextensionprinciple)вводитсякакэвристическоеправило,ноподробнообсуждаетсямотивациятакоговведенияОсновноевниманиевэтойглавеуделено понятиюнечеткогочислаРассмотреныобщийвиднечеткихчисел(LR-представление),основноеаналитическоесвойствонечеткихчиселокоммутативности непрерывногоотображениясоперациейсрезанечеткихчисел,сведенииопераций наднечеткимичисламиксоответствующимоперациямнадинтерваламиВтоже времядостаточноподробнообсуждаютсяограниченностьалгебраическихсвойств наднечеткимичисламииследствияэтихограниченийдлявозможностирешения уравненийснечеткимичисламиВэтойжеглаверассмотреныфункции,уравненияисистемыуравненийснечеткимичисламиМатериалпроиллюстрирован примерамиэкономическогоанализа(нечеткиефункцииспросаипредложения, нечеткаямодельЛеонтьева)Глава6посвященачисловымхарактеристикамнечеткихчиселРечьпрежде всегоидетобожидаемомзначении,остепенинечеткостиимеренеопределенности нечеткихчиселКрометого,вэтойглаверассматриваютсявсевозможныеконцепцииметрикнамножественечеткихчисел:наосноверасстояниямеждусрезами нечеткихчисел,наосноверасстояниямеждуLR-функциями,наосноверасстояния междучисловымихарактеристиками,понятиенечеткогорасстояниянаоснове транспортнойметрикиВглаве7рассматриваютсянекоторыеконцепциивведенияпорядканамножественечеткихчиселЭтоважнаядляприложенийзадача,котораяявляется частьюзадачипринятиярешенияснечеткимиданными,сравненияиранжированиявариантовнечеткихрешенийитдВэтойжеглаверассмотреныдваприложения,вкоторыхиспользуетсяинструментарийработыснечеткимичислами, сравнениянечеткихчисел,решениясистемуравненийснечеткимичислами Первоеприложениесвязаноссетевыманализомнечеткихграфов,тевзвешенных графов,вкоторыхвеса—нечеткиечислаВтороеприложениесвязаносприменениемнечеткихчиселкпрогнозированиюволатильностифондовогоиливалютногорынкаАименноречьидетонечеткихмодификацияхасимметричных GARCH-моделейГлава8посвященанекоторымобобщениямпонятиянечеткогомножества Вчастности,рассмотреныинтервальнозначныенечеткиемножества,интуиционистскиенечеткиемножестваинечеткиеслучайныевеличины
Предисловие Последниепятьглавпосвященыприкладнымаспектамтеориинечетких множествприменительнокрешениюзадачанализаданныхипринятиярешенийТак,вглаве9приведенаобщаяпостановкаиоднаизконцепцийрешений задачинечеткойоптимизацииврамкахтакназываемойсимметричноймодели Болееподробнорассмотреныпостановкаирешениезадачинечеткоголинейного программированияГлава10посвященазадаченечеткойрегрессииВчастности,обсуждается возможностнаямодельрешениязадачилинейнойрегрессииснечеткимипараметрамииметрическаямодельрешениязадачилинейнойрегрессииснечеткими даннымиВглаве11рассматриваетсямногокритериальнаязадачапринятиярешений принечеткихданныхВчастности,подробноописанынечеткаямодельвзвешеннойсуммыинечеткийметодTOPSISГлава12посвященазадачамнечеткойклассификацииикластеризацииВслучаеклассификациинеразмытыхобразовпонечеткимклассамрассмотренаодна изметодик(причемсугубо«нечеткаяметодика»,отличнаяотметодовстатистическогооцениванияплотностейвероятностей)построенияфункцийпринадлежностиописаниянечеткихклассовпообучающейвыборкеВзадачеклассификациинечеткихобразовпонечеткимклассамописанметрическийспособклассификациииподходнаосновевведениямерыблизостиДостаточноподробновэтой главерассмотреныметодынечеткойкластеризацииЭтоинаиболеепопулярный нечеткийалгоритмc-средних,иалгоритмГустафсона—Кесселя,ивозможностныйалгоритмкластеризацииНаконец,последняяглава13пособияпосвященавопросамнечеткогологическоговыводаВпервыхразделахэтойглавырассмотреныразличныенечеткие обобщенияоперациилогическойимпликацииДалеерассмотреныпонятия нечеткойилингвистическойпеременных,приведенынекоторыевидыпростейшихнечеткихвысказыванийинечеткиеправиладедуктивноговыводаВчастности,рассмотренообщеекомпозиционноеправиловыводаитакиеегопопулярныереализации,какправилоМамданииправилоЛарсена,атакжесоответствующиесхемывывода,состоящиеизмногихправилиантецедентовЗатем рассмотренынекоторыесхемынечеткогомоделированиянаосновеправиллогическоговывода,вчастностипопулярнаяадаптивнаясхемавыводаТакаги— СугеноКрометого,обсуждаютсяаппроксимативныевозможностисистемнечеткогомоделированияЗавершаетсяглаварассмотрениемвозможностиприменениясистемлогическоговыводавзадачепрогнозированияволатильности фондовогоиливалютногорынка
Предисловие Большинстворассмотренныхвэтомпособииприложений(кейсов)техили иныхразделовтеориинечеткихмножеств—эторезультатадаптацииподучебное пособиематериаловкурсовыхиливыпускныхквалификационныхработ,выполненныхстудентамиподруководствомавторовпособия(соответствующиессылки естьвтекстепособия)Поэтомуавторывыражаютвсемимсвоюблагодарность Крометого,авторыблагодарятстудентовмагистерскойпрограммы«Наукиоданных»НИУВШЭ,которыебылипервымислушателямикурсалекций,положенного восновуданногопособияОсобуюпризнательностьавторывыражаютрецензентамданногопособия профессорамАНКаркищенкоиБИЯцалозарядценныхзамечанийИконечно,авторыпризнательнысвоимколлегам—преподавателямдепартаментаматематикинафакультетеэкономическихнаук,которыеподдержали изданиеэтойкниги,академическомуруководителюпрограммы«Наукиоданных» СОКузнецову,которыйбылинициаторомпоявлениясоответствующегокурса лекций,руководителюдепартаментаматематикинафакультетеэкономических наукФТАлескерову,руководствуфакультетаэкономическихнаукзаинициативнуюподдержкурешенияовключениисоответствующихразделоввпрограмму циклакурсовпоцифровойэкономикеАвторыблагодарятРФФИзачастичнуюподдержкуработыгрантом№18-0100877-аАЕЛепскийблагодаритзачастичнуюподдержкуработыМеждународныйцентранализаивыборарешенийНИУВШЭ,посколькукнигаподготовлена врамкахПрограммыфундаментальныхисследованийНИУВШЭ
Глава 1
Нечеткие мНожества
и оПерации Над Ними
1.1. Понятие нечеткого множества
Нечеткиемножестваможнорассматриватькакобобщениеобычных(четких
илинеразмытых)множествВнечеткоммножествеAнеуказываетсяточно,принадлежитилинепринадлежитпроизвольныйэлементxмножествуA,аустанавливаетсялишьстепеньпринадлежности,котораяможетприниматьзначения
изнекоторогомножестваU ⊆ R,называемогомножествомпринадлежностиВсюду
далеебудемсчитать,еслинеоговоренопротивное,чтоU=[0;1]ПонятиенечеткогомножестваирассмотренныенижеоперациинадтакимимножествамивпервыебыливведеныЛотфиЗадев1965годувработе[Zadeh,1965]ПустьзаданоуниверсальноемножествоXТогда,поопределению,произвольноенечеткое множествоA ⊆ Xможнозадатьспомощьюфункции принадлежности
mA(x),x ∈ X,котораяотображаетуниверсальноемножествоXвомножествоU,
теmA:X → UОтметим,чтообычное(четкоеилинеразмытое)множествоAтакже
принадлежитклассунечеткихмножеств,приэтомфункцияпринадлежности
m
c
A
A
x
x
x
A
x
A
( )
( )
,
,
,
=
=
∈
∉
{
1
0
являетсяхарактеристическойфункциеймножестваAОбозначениянечеткихмножеств:
1) mA(x)длянесчетногомножестваX;
2) A
x
x
x
x
A
A
= {(
|
(
)); (
|
(
)); ...}
1
1
2
2
m
m
,A
x
x
x
x
A
A
=
1
1
2
2
m
m
(
);
(
); ... ,
A
x
x
x
x
A
A
=
1
2
1
2
...
(
)
(
)
...
m
m
дляконечногоилисчетногомножестваXНечеткоемножествоAимеетследующуюлогическуюинтерпретациюФункция
принадлежностиmA(x)отражаетстепеньистинностивысказыванияV={x∈A},
оцениваемогоизинтервалаU=[0;1]:еслиmA(x)=0,товысказываниеVсчитается
точноложным,акогдаmA(x)=1—точноистиннымПример 1.1.Рассмотримвысказывание«x≈2»(«числоxприближенноравно2»)
Тогдаэтомувысказываниюможнопоставитьвсоответствиенечеткоемножество
чиселA,близкихпозначениюкчислу2:
Доступ онлайн
297 ₽
В корзину