Математическое моделирование технологических систем

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ю. В. ЗАХАРОВ 

 
 
 
 
 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

 
 
 

Рекомендовано УМО по образованию в области радиотехники, 
электроники, биомедицинской техники и автоматизации 

в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся  
по направлениям  подготовки бакалавров и магистров  
11.03.03, 11.04.03, 11.03.04, 11.04.04, 27.03.04, 27.04.04 

 

 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

ПГТУ 
2015 

УДК 621.38.001.57 
ББК  32.85 в 6 

З 38 

 
 
 

Рецензенты: 
профессор кафедры «Безопасность жизнедеятельности» ПГТУ, доктор 
технических наук Н. М. Скулкин; 
руководитель Управления федеральной службы по надзору в сфере связи, информационной технологии и массовых коммуникаций, кандидат 
технических наук Г. А. Шишкин 

 
 
 
 
 
 
 
 

Захаров, Ю. В. 

З 38       Математическое моделирование технологических систем: учеб
ное пособие / Ю. В. Захаров. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2015. – 84 с. 
ISBN 978-5-8158-1501-8 

 

Приведены основные сведения из теории математической статистики, 

теории ошибок. Даны методы выбора наиболее существенных факторов 
объекта эксперимента. Рассмотрены вопросы планирования,  проведения 
и обработки результатов пассивного и активного экспериментов для построения математических моделей технологических систем. 

Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалав
ров и магистров 11.03.03, 11.04.03, 11.03.04, 11.04.04, 27.03.04, 27.04.04. 

 

УДК 621.38.001.57 
ББК 32.85 в 6 

 
ISBN 978-5-8158-1501-8 
© Ю. В. Захаров, 2015 
© Поволжский государственный  
технологический университет, 2015 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Настоящее учебное пособие предназначено для подготовки бакалав
ров и магистров направлений «Конструирование и технология электронных средств»; «Управление в технических системах»; «Электроника и наноэлектроника». Необходимость его издания продиктована тем, 
что в учебных планах этих направлений имеется дисциплина «Математическое моделирование процессов и систем». 

Основной задачей учебного пособия является систематизация и   

структурирование знаний и умений студентов в области математического моделирования технологических процессов производства электронных средств и трансляция их в русло прикладного использования. 

Первый раздел пособия посвящен кибернетическому представлению 

процесса производства электронного средства в виде технологической 
системы, что позволяет формализовать описание его технического состояния математическими моделями. 

Во втором  разделе приведены основные сведения из теории матема
тической статистики, так как в пособии математическое моделирование 
технологических систем осуществляется на базе экспериментальностатистических методов исследования. 

В третьем разделе рассмотрены вопросы выбора факторов, опреде
ляющих численную величину показателя качества электронного средства, так как не все факторы являются одинаково важными, и задача 
заключается в упорядочении их по степени значимости (информативности). 

Основной материал учебного пособия изложен в четвертом разделе. 

Здесь рассмотрены методы математического моделирования технологических систем на основе пассивного и активного экспериментов.   

Каждый раздел учебного пособия сопровождается контрольными  

вопросами, наличие которых способствует систематизации, самоконтролю и углублению знаний, полученных при изучении дисциплины 
«Математическое моделирование процессов и систем», а также примерами. 

 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Повышение качества продукции – одна из важнейших проблем на 

современном этапе развития общества. Именно качество определяет 
конкурентоспособность производителей продукции. 

В условиях рыночных отношений успех предприятия зависит от 

степени соответствия выпускаемой продукции требованиям потребителя. Только в этом случае предприятие будет иметь устойчивый спрос на 
свою продукцию и получать прибыль, необходимую для его развития. 
В этих целях изготовитель продукции должен, во-первых, изучить рынок и потребности потребителей и, во-вторых, разработать и освоить 
производство высококачественных изделий. На предприятии такую 
комплексную проработку должны вести специалисты различных структурных подразделений с учетом технических, юридических, экологических, социально-экономических норм и правил. 

Чем сложнее продукция, т.е. из чем большего количества комплек
тующих элементов она состоит, тем труднее обеспечить её высокое качество. Это, в первую очередь, относится к радиоэлектронным и электронно-вычислительным средствам – ведь качество всего электронного 
средства (ЭС) зависит от качества всех составляющих его элементов. 

В настоящее время процесс производства ЭС при требованиях мак
симального выигрыша по габаритам, массе, надежности и минимальной 
себестоимости ведется на основе самых последних достижений микроэлектроники и наноэлектроники и относится к категории сложных многооперационных процессов, использующих разнообразные электрофизические и физико-химические методы обработки. Основой ЭС являются микропроцессоры и интегральные микросхемы. 

Производство микропроцессоров и интегральных микросхем ко
ренным образом отличается от производства ЭС на дискретных элементах, где почти все сборочные операции по изготовлению отдельных узлов и блоков  изделия в целом обратимы, т.е. возможна разборка конструкции и замена недоброкачественных комплектующих изделия. Технологические операции по изготовлению микропроцессора и 
интегральной микросхемы необратимы. При их изготовлении приме

няется более двухсот технологических операций, большинство которых носит групповой характер. Все это предъявляет высокие требования не только к качеству материалов и оборудования, но и к самим 
технологическим процессам, которые должны обеспечивать точную 
воспроизводимость всех операций. 

Разработка и модернизация таких сложных технологических про
цессов требует их анализа, контроля и оптимизации. В большинстве 
случаев решение этих задач, а затем и управление технологическими 
процессами, носит математический характер на базе экспериментальностатистических методов исследования. 

Управление технологическими процессами производства ЭС воз
можно только в том случае, если известна зависимость между показателями качества изделия и факторами, определяющими их численную 
величину. Обычно эта зависимость ищется в виде математических моделей, полученных на основе теории планирования пассивного и активного экспериментов. 

Знание методов выявления наиболее существенных факторов объек
та эксперимента, методологии планирования, проведения и статистической обработки результатов сложного эксперимента, концепции выбора 
вида и построения математических моделей является определяющим 
условием высокого качества ЭС на стадии производства. 

 
 

1. СИСТЕМОТЕХНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 

ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА  

ПРОИЗВОДСТВА ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ 

Электронную промышленность выделяет среди других отраслей 

обширность номенклатуры выпускаемых изделий и, соответственно, 
технологических процессов (ТП) их изготовления, различающихся по 
физической сущности, организации, характеру протекания и другим 
признакам, причем наиболее сложными из них являются ТП производства ЭС. 

Наиболее эффективных результатов при анализе и синтезе сложных 

объектов, какими являются ТП производства ЭС, можно добиться, используя системный подход – формализацию, приводящую к некоторой 
абстрактной модели функционирования объекта. На основе системного 
подхода вопрос решения сложной комплексной проблемы сводится к 
процессу взаимосвязанных решений менее сложных проблем с большей 
степенью детализации при едином рассмотрении. 

Обобщенным абстрактным образом функциональной модели ТП 

производства ЭС может быть его схематическое представление в виде 
структурной схемы (рис. 1). 

 

                                       Рис. 1. Технологическая система производства ЭС 

На рис. 1 использованы следующие обозначения: 

𝑋⃗ – входные переменные, воздействующие на изготавливаемое из
делие и вызывающие в нем необратимые изменения. В эту группу объединены управляемые параметры ТП, такие как режимы технологических операций, характеристики исходного материала и технологического оборудования и др. Изменение значений входных переменных ограничено в определенном интервале, задаваемом нормативно-технической 
документацией; 

𝑌⃗⃗  – выходные переменные, представляющие собой количественные 

и качественные показатели изготовленного изделия (основные регламентирующие данные ЭС); 

𝑍⃗ – контролируемые, но неуправляемые переменные. Данную со
вокупность составляют параметры, целенаправленное изменение которых невозможно, например, качество сырья, меняющегося от партии 
к партии; 

𝐸⃗⃗  – неконтролируемые переменные (вектор помехи), отличающиеся 

от элементов множеств 𝑋⃗ и 𝑍⃗ своим случайным характером в смысле 
величины, точки приложения и распределения во времени. К параметрам вектора помехи, кроме действующих извне, относятся неоднородность сырья и материалов, погрешности операторов и другие возмущающие воздействия; 

𝑋⃗𝑖 (i = 1, 2, …, n–1; n – число операций ТП) – промежуточные пере
менные, являющиеся в общем случае элементами вектора 𝑋⃗, причем 

если значения переменных 𝑌⃗⃗ определяют техническое состояние ТП в 

целом, то значения 𝑋⃗𝑖 – техническое состояние отдельных технологических операций; 

𝑆⃗𝑖, i =1, 2, …, n, – множество возможных технических состояний  

i-й операции. 

Соответствуя общему понятию «система» [1], ТП производства ЭС 

обладают рядом специфических особенностей, наличие которых заставляет выделить их в особый класс систем – технологических. 

Технологические системы (Т-системы) состоят из подсистем (техно
логических операций), включающих в себя: 

а) технологическое оборудование, технические средства и инстру
менты, используемые при выполнении операций производственного 
процесса; 

б) исходные и вспомогательные материалы, сырьё, полуфабрикаты, 

подвергающиеся энергетическим воздействиям (механическим, химическим, электрическим и др.) для изготовления элементов ЭС, его узлов и 
блоков; 

в) технологическую среду (температура, влажность, давление, чи
стота среды и т.д.), в которой осуществляется процесс производства ЭС; 

г) технологическую документацию, определяющую уровень произ
водства; 

д) операторов, участвующих в изготовлении ЭС. 
Кибернетическое представление ТП производства ЭС в виде  

Т-системы позволяет формализовать описание его технического состояния математическими моделями, что в итоге ускоряет и повышает эффективность решения теоретических и практических задач: 

- диагностики качества ЭС на стадии производства; 
- оптимизации технологических операций и ТП в целом; 
- создания АСУ ТП; 
- организации системы управления качеством ЭС; 
- прогнозирования показателей качества ЭС. 
 
 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 

 

1. Раскройте сущность системного подхода при анализе сложных объектов. 
2. Дайте схематическое представление технологического процесса производ
ства ЭС. 

3. Что такое входные переменные технологической системы ЭС? 
4. Что такое выходные переменные технологической системы ЭС? 
5. Подсистемы технологической системы ЭС. 
6. Какие виды задач решаются при представлении процесса производства 

ЭС в виде технологической системы? 

2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ  

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 

2.1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ВЫБОРКА 

Основу математического моделирования технологических процессов 

производства ЭС составляют экспериментально-статистические методы. 
Для их применения необходимо набрать достаточное количество статистических данных по показателям качества изделия. Эти данные являются случайными величинами. 

Случайная величина (СВ) – переменная, которая в результате опыта 

(измерения, эксперимента, испытания) может принимать то или иное 
значение, причем неизвестно заранее, какое именно. СВ могут быть 
дискретными (с дискретным рядом возможных значений) и непрерывными (принимающими любые значения из конкретного или бесконечного интервала). 

Случайное событие – событие, которое в результате опыта может 

произойти или не произойти. 

Сбор и обработка статистических данных осуществляется на основе 

контроля определенного числа изделий. Вся совокупность однородных 
изделий, подлежащих исследованию, называется генеральной совокупностью. 

При массовом производстве генеральная совокупность может со-

держать число изделий, насчитывающее десятки и сотни тысяч. Измерять показатели качества изделий в таких случаях бывает экономически 
нецелесообразно. Поэтому контролируют параметры из некоторой части изделий, а результаты распространяют на всю генеральную совокупность. 

Выборка – часть изделий, случайным образом взятая из генеральной 

совокупности. Оценка, полученная по результатам измерений параметров в выборке, называется выборочной оценкой. Число изделий в выборке определяет объем выборки. Очевидно, чем больше объем выбор

ки, тем выше точность выборочных оценок. Однако с ростом объема 
выборки увеличивается трудоемкость измерения параметров в выборке, 
т.е. растут затраты времени и средств на выполнение контрольноизмерительных операций. Поэтому, в зависимости от требуемой точности, объем выборки ограничивают десятками – тысячами изделий. 
Оценку, обеспечивающую  требуемую точность, принято называть состоятельной, а соответствующую выборку – репрезентативной 
(представительной). 

Выборочная оценка производится по выборке ограниченного объ
ема. Если из генеральной совокупности осуществить повторную выборку того же объема, то, в силу ограниченности объема выборки, та 
же оценка примет несколько отличающееся значение. Таким образом, 
выборочная оценка представляет собой случайную величину, меняющуюся от выборки к выборке. Выборочные оценки, обладающие тем 
свойством, что при любом объеме выборки их математическое ожидание равно оцениваемой числовой характеристике, называются несмещенными оценками. Требование несмещенности оценки особо важно 
при малом объеме выборки, когда величина смещения может исказить 
результаты. 

Большое значение для установления меры качества того или иного 

способа оценки числовой характеристики принадлежит понятию эффективности выборочной оценки. Оценку, имеющую меньшее рассеяние 
(дисперсию) относительно истинного значения, называют эффективной оценкой. 

2.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 

Обозначим: 
Х – случайная величина (СВ); 
x1, x2,…, xi,…, xn – значения СВ; 
Р – вероятность появления СВ Х; 
p1, p2,…, pi,…, pn – вероятности появления значений x1, x2,…, xi,…, xn 

соответственно; 

n – объем выборки.