Анализ устойчивости динамических систем на основе методов интеллектного управления и свойств линейных матричных неравенств
Покупка
Издательство:
ФЛИНТА
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 175
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
ВО - Магистратура
ISBN: 978-5-9765-4864-0
Артикул: 781427.01.99
Доступ онлайн
200 ₽
В корзину
Рассмотрены вопросы моделирования и анализа устойчивости динамических систем на основе методов интеллектного управления и свойств линейных матричных неравенств. Дано развитие метода функций Ляпунова исследования устойчивоподобных свойств систем с логическими регуляторами. Изучены условия стабилизации управляемых систем, представленных моделями Такаги-Суджено (ТС-моделями). Рассмотрены актуальные аспекты когнитивного подхода к моделированию управляемых систем. Изложены результаты исследований динамики управляемых маятниковых систем с учетом условий неполной информации. Решен ряд задач устойчивости обобщенных моделей перевернутого маятника с помощью результатов синтеза и анализа ТС-моделей, а также с помощью свойств разработанных алгоритмов стабилизации и численных методов.
Представленные в монографии результаты и методы могут найти применение в задачах устойчивости и стабилизации управляемых динамических систем.
Для научных сотрудников, преподавателей, аспирантов, студентов, интересующихся вопросами моделирования, устойчивости и стабилизации управляемых систем. Она может быть использована в качестве учебного пособия при изучении специализированных курсов по математическому моделированию, теории устойчивости и по динамике систем.
Тематика:
ББК:
УДК:
- 517: Анализ
- 519: Комбинатор. анализ. Теория графов. Теория вер. и мат. стат. Вычисл. мат., числ. анализ. Мат. кибер..
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Е.В. Игонина, О.Н. Масина, О.В. Дружинина АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ИНТЕЛЛЕКТНОГО УПРАВЛЕНИЯ И СВОЙСТВ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ Монография 2-е издание, стереотипное Москва Издательство «ФЛИНТА» 2022
УДК 517.9, 519.6, 519.7 ББК 22.161 И26 Рецензенты: Ю.А. Флёров – член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН; З.Л. Шулиманова – доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика и естественные науки» ФГАОУ ВО «Российский университет транспорта» (РУТ (МИИТ)) Игонина Е.В. И26 Анализ устойчивости динамических систем на основе методов интеллектного управления и свойств линейных матричных неравенств : монография / Е.В. Игонина, О.Н. Масина, О.В. Дружинина. – 2-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2022. – 175 с. – ISBN 978-5-9765-4864-0. – Текст : электронный. Рассмотрены вопросы моделирования и анализа устойчивости динамических систем на основе методов интеллектного управления и свойств линейных матричных неравенств. Дано развитие метода функций Ляпунова исследования устойчивоподобных свойств систем с логическими регуляторами. Изучены условия стабилизации управляемых систем, представленных моделями Такаги–Суджено (ТС-моделями). Рассмотрены актуальные аспекты когнитивного подхода к моделированию управляемых систем. Изложены результаты исследований динамики управляемых маятниковых систем с учетом условий неполной информации. Решен ряд задач устойчивости обобщенных моделей перевернутого маятника с помощью результатов синтеза и анализа ТС-моделей, а также с помощью свойств разработанных алгоритмов стабилизации и численных методов. Представленные в монографии результаты и методы могут найти применение в задачах устойчивости и стабилизации управляемых динамических систем. Для научных сотрудников, преподавателей, аспирантов, студентов, интересующихся вопросами моделирования, устойчивости и стабилизации управляемых систем. Она может быть использована в качестве учебного пособия при изучении специализированных курсов по математическому моделированию, теории устойчивости и по динамике систем. УДК 517.9, 519.6, 519.7 ББК 22.161 ISBN 978-5-9765-4864-0 © Игонина Е.В., Масина О.Н., Дружинина О.В., 2022 © Издательство «ФЛИНТА», 2022
ВВЕДЕНИЕ Требования к проектированию и эксплуатации сложных управляемых объектов и процессов с течением времени повышаются. В связи с этим возникает необходимость в разработке новых и в модификации известных математических моделей динамических процессов, описываемых системами многомерных нелинейных дифференциальных уравнений. При этом появляется потребность в расширении понимания целей управления, в развитии теории нелинейных управляемых динамических систем, в учете факторов, связанных с параметрическими и постоянно действующими возмущениями, а также со структурными неопределенностями. Развитие цифровых технологий, искусственного интеллекта, компьютерной техники, программного обеспечения сочетается с развитием математического аппарата, с разработкой новых, направленных на практическое использование качественных и приближенно-аналитических методов исследования нелинейных управляемых динамических систем. В конечном счете указанные методы могут служить целям обеспечения оптимальных условий работы и повышения безопасности функционирования сложных систем, а построение алгоритмов исследования их устойчивости позволяет проводить анализ влияния различных проектных параметров на качество функционирования того или иного сложного динамического объекта или процесса. Как известно, важным математическим аппаратом описания процессов динамики и управления динамическими системами являются различные типы нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, включая многосвязные системы и системы с переключениями. Проблемы создания новых эффективных методов анализа таких систем во многом предопределяют развитие методов исследования динамических систем управления [9, 125, 132]. В большинстве задач технического характера структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к нелинейным управляемым динамическим системам является их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям. Математическая теория устойчивости динамических систем, созданная в 90-х годах прошлого века великим русским ученым А.М. Ляпуновым [109], занимает особое место среди методов качественного исследования динамических систем. Развитие классической теории устойчивости динамических систем представлено в трудах Е.А. Барбашина [23], Н.Н. Красовского [95], В.И. Воротникова и В.В. Румянцева [39], В.Д. Горяченко [46],
Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова [48], Б.П. Демидовича [51], Н.П. Еругина [72], В.И. Зубова [76а,б], И.Г. Малкина [112а,б], Ю.Н. Меренкова [127а-в], Леонова Г.А. [104], В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [134], Н.Г. Четаева [177], А.А. Шестакова [178], Дж. Биркгофа [28], Л. Чезари [173], Н. Руша, П. Абетса и М. Лалуа [153] и других ученых. Одним из эффективных методов исследования устойчивости и других качественных свойств динамических систем является классический и обобщенный методы функций Ляпунова [51, 64д, 76, 114в, 116а, 134, 127а,б, 178, 179, 220]. Метод функций Ляпунова получил значительное развитие в многочисленных работах [39, 51, 64д, 92, 134, 178]. В настоящее время обобщенный второй метод Ляпунова стал одним из важнейших методов качественного исследования устойчивости движения динамических управляемых систем [5, 41а, б, 64и, 70, 101, 116а, 178, 185]. При изучении управляемых динамических систем актуальной является проблема моделирования систем с неполной информацией. Указанные системы встречаются в случаях, когда управляемый объект (или процесс) достаточно сложен для получения его точного математического описания (математической модели), что обусловлено многообразием физических эффектов, нестационарностью объекта, наличием неконтролируемых постоянно изменяющихся внешних воздействий или дефицитом априорной информации о поведении системы. В связи с перечисленными обстоятельствами применение аналитических методов для моделирования систем с неполной информацией либо сопряжено с большими вычислительными трудностями, либо не представляется возможным. Вопросы, связанные с алгоритмическим конструированием и изучением устойчивости систем с неполной информацией, рассмотрены в [13а–в, 14, 15, 34, 57, 108, 116а, 127в, 139, 147, 177, 191, 198, 201, 212] и в работах других исследователей. Одним из актуальных подходов к построению управляемых динамических систем с неполной информацией является синтез моделей динамических систем с логическим регулятором [65а, 100, 195–198, 217, 226]. Знания о взаимодействии логического регулятора с объектом (процессом) управления представляются в форме правил вида: если (исходная ситуация), то (ответная реакция). Часть если (предпосылки или условия) означает сопряжение логических операций, а часть то (решение, вывод, заключение) представляет собой указание лингвистической величины для выходного воздействия (управляющего воздействия на объект управления) логического регулятора.
При решении задач управления системами на основе логических регуляторов возникает проблема исследования устойчивости этих систем. В ряде промышленных нормативов в России и за рубежом заложено требование обеспечения устойчивости системы управления. Это требование рассматривается как необходимое условие для использования системы управления. Имеется много прикладных задач, для которых проверка устойчивости управляемой системы оценивается как задача первейшей важности [113, 120]. К этим задачам относятся управляемые системы, влияющие на безопасность людей (стабилизация полета самолета, положения ракеты при запуске и т.п.), управляемые дорогостоящие объекты и сложные технические процессы, подверженные потере устойчивости. Подобного рода нормативы обеспечения устойчивости должны соблюдаться независимо от типа регулятора. Вопросам устойчивости динамических систем с логическими регуляторами посвящены работы [3, 8а,б, 25, 52, 71, 139, 145, 193, 227, 229, 233]. Методы и результаты настоящей работы основаны на идеях и методах теории управления и теории динамических систем [34, 47, 57, 96, 108, 139, 152]. Несмотря на то, что литература по теории динамических систем с логическими регуляторами весьма обширна, вопросы устойчивости и стабилизации указанных систем требуют дальнейшей разработки. Современным подходом к изучению динамических систем с логическими регуляторами является «переход к интеллектному управлению» [34]. Использование интеллектных систем ведет к более высокой степени автоматизации для сложных, плохо структурированных процессов и в ряде случаев сокращает время разработки технических систем. Интеллектное управление оказывается полезным в случаях, когда технологические процессы являются слишком сложными для проведения моделирования и анализа с помощью общепринятых (классических) количественных методов [154] или когда доступные источники информации интерпретируются неточно или неопределенно [2, 8, 13а, 34, 47, 50, 57, 139, 199, 228]. Для исследования устойчивости и других качественных свойств динамических систем с логическими регуляторами имеет место использование таких альтернативных подходов, как: 1) подход, базирующийся на идентификации параметров (моделирование с помощью лингвистических правил) с использованием входных-выходных данных, 2) подход на основе дифференциальных моделей, описывающих нелинейные процессы.
Указанные подходы рассматривались в [1, 31, 57, 131, 139, 165] и в других работах. Первый подход, базирующийся на знаниях экспертов, используется для моделирования управляемых систем, которые невозможно или очень затруднительно представить аналитическими и/или физическими моделями. Знания об исследуемом объекте, полученные от экспертов, записываются в форме правил вида если … то. Указанный подход является частным случаем когнитивного подхода, направленного на разработку формальных моделей и методов исследования систем с неполной информацией, поддерживающих интеллектуальный процесс решения проблем с помощью учета в этих моделях и методах когнитивных возможностей (восприятия, представления, познания, понимания, объяснения) субъекта управления при решении управленческих задач. Второй подход заключается в построении модели управляемой системы при наличии хотя бы приближенной математической модели, заданной в виде дифференциальных или разностных уравнений. С помощью универсальной аппроксимации исходная модель приводится к виду модели Такаги–Суджено (TС-модели). Следует отметить, что широкий класс нелинейных систем представляется ТС-моделями [64м, 116б, 118, 121б, 131, 188, 213, 225, 231], которые строятся на основе представления правой части уравнения динамики системы в виде выпуклой комбинации уравнений. Коэффициенты, определяющие указанную выпуклую комбинацию, являются весовыми функциями фазовых переменных системы и принимают значения в интервале от 0 до 1, что позволяет установить соответствие исходной нелинейной системы набору правил, который и определяет ТС-модель. Важной особенностью ТС-моделей является наличие “четкого” вывода из нечетких предпосылок. Поэтому представление систем при таком подходе является нечетким только по форме и анализ этих систем допускает использование методов классической теории устойчивости. Результаты об устойчивости ТС-моделей формулируются обычно в терминах линейных матричных неравенств (ЛМН), получаемых с применением прямого метода Ляпунова. В последние два десятилетия получено много результатов в направлении исследования ТС-моделей, что связано с расширением возможностей использования эффективных численных методов решения ЛМН и с возможностями реализации соответствующих алгоритмов с помощью прикладных вычислительных пакетов [22, 129]. Отметим, что в [129] приведены основные положения теории ЛМН, показан переход от теоремы Ляпунова к условию устойчивости в форме ЛМН, а также приведены примеры прикладных
задач, решения которых представлены в форме ЛМН. Для нахождения численного решения системы ЛМН использована вычислительная среда Matlab. Обзор некоторых результатов по исследованию устойчивости ТС-моделей с запаздыванием приведен в [67]. В этой работе с учетом представления в виде ТС-модели исследована устойчивость нелинейных систем каскадной структуры с запаздыванием, а именно, получены условия глобальной асимптотической устойчивости в терминах ЛМН относительно конечного числа матриц, а также рассмотрена задача стабилизации управляемой нелинейной системы с запаздыванием, решение которой предложено на основе полученных условий устойчивости. В [64о] рассмотрены современные методы анализа устойчивости динамических систем интеллектного управления, выполнен качественный анализ специальных классов систем интеллектуального управления, а именно даны достаточные условия устойчивости в виде ЛМН для дескрипторных систем, относящихся к классу обобщенных ТС-систем. Предложен обзор основных направлений разработки интеллектуальных транспортных систем. Отметим, что базирующиеся на правилах логического вывода и логических регуляторах TС-модели находят приложения в промышленности, в естествознании, в инженерной практике. Указанные модели применяются в задачах управления механическими транспортными средствами, управления подъемными и мостовыми кранами, управления роботами-манипуляторами. К примеру, многие управляемые объекты управления в силу своей динамики представляют собой различные виды маятниковых установок (а в некоторых случаях и их комбинацию), соблюдение устойчивости для которых является обязательным требованием их эксплуатации. Динамические модели перевернутого маятника используется в задачах управления техническими средствами с гироскопическим устройством, в робототехнике, в ракетостроении. Многозвенные перевернутые маятники служат упрощенными примерами шагающих роботов, буксира, толкающего баржи. В настоящее время расширился класс реальных объектов управления, имеющих аналогичную математическую модель. К тому же, перевернутый маятник используется в теории управления в качестве экспериментальной площадки для тестирования разрабатываемых алгоритмов стабилизации и методов исследования устойчивости динамических управляемых систем. В связи с многообразием задействованных физических эффектов, нестационарностью объекта и наличием неконтролируемых
возмущающих воздействий процессы, протекающие в маятниковых системах, в ряде случаев являются сложными для получения их адекватного математического описания с помощью классических методов моделирования [13а, 57]. В таких случаях, эффективным для моделирования указанных систем является применение современных подходов, базирующихся на правилах логического вывода и логическом регуляторе, синтезируемом для стабилизации системы. Несмотря на интенсивные исследования применения перечисленных выше альтернативных подходов для моделирования управляемых маятниковых систем все еще остаются нерешенными многие проблемы, связанные с разработкой методологии синтеза моделей и анализа их устойчивости. Как показано в монографии, для изучения моделей управляемых маятниковых систем с логическими регуляторами целесообразным является применение алгоритма Лоусона решения линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений [12, 135, 216]. Монография представлена пятью главами и списком литературы. В главе 1 «Обзор методов моделирования и анализа устойчивости управляемых динамических систем» приведена классификация систем управления и представлен обзор задач моделирования и методов теории систем интеллектного управления. Дан краткий анализ методов изучения устойчивости указанных систем. Охарактеризованы комбинированные методы анализа устойчивости на основе развития методов Ляпунова: спектрально-бифуркационный метод, метод дивергентных функций Ляпунова, комбинированный метод функций Ляпунова с использованием свойств ЛНМ. Рассмотрен принцип сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений. Представлена общая характеристика и структура моделей динамических систем с логическими регуляторами, определены методы анализа устойчивости указанных систем. Показано, что для изучения устойчивости моделей управляемых систем перспективным направлением является применение метода функций Ляпунова в сочетании с другими методами. Эффективность предложенных методов определяется ослаблением требований к функциям Ляпунова и расширением класса используемых вспомогательных функций. Для построения функций использован подход, основанный на свойствах ЛНМ. В главе 2 «Когнитивное моделирование и искусственный интеллект в исследовании динамических систем» представлены уровни моделирования систем и показана их взаимосвязь. Рассмотрены понятия когнитивного подхода к моделированию систем, когнитивной модели (карты), дана краткая характеристика типов когнитивных карт. Приведен
обзор результатов по применению когнитивного моделирования и искусственного интеллекта для исследования динамических систем в различных областях науки и техники. В частности, приведены примеры внедрения методов искусственного интеллекта и когнитивных технологий в процесс 3D-прототипирования, а также изучены возможности их применения для создания автоматизированных интеллектуальных систем обучения. В главе 3 «Подход к изучению нелинейных динамических систем на основе построения моделей Такаги-Суджено» рассмотрена формализация нелинейных динамических систем с логическими регуляторами с помощью TC-моделей. Приведено описание процедуры построения TC-моделей и аппроксимации с ее помощью нелинейной модели динамической системы (с управлением и без), пояснено, что TC-модель является универсальным аппроксиматором в том смысле, что с ее помощью могут быть аппроксимированы гладкие нелинейные системы. Для построения стабилизирующего логического регулятора использована процедура параллельно распределенной компенсации и определены условия устойчивости TC-модели, преобразованные к виду ЛНМ. В этой же главе рассмотрен метод анализа асимптотической устойчивости нелинейных процессов, управляемых логическими регуляторами. Устойчивость этого типа управляемых систем изучена в терминах метода функций Ляпунова. Даны достаточные условия устойчивости и на их основе разработан алгоритм анализа устойчивости систем с логическими регуляторами. Кроме того, в главе предложен подход к синтезу управления динамической системы с переключением, базирующийся на представлении исходной системы моделью TC-моделью. Получены условия устойчивости в виде модифицированных ЛМН. В главе 4 «Построение моделей и анализ устойчивости маятниковых систем интеллектного управления» охарактеризована изучаемая в работе модель управляемой маятниковой системы – модель перевернутого маятника, перечислены области практического ее применения, обозначены проблемы, возникающие при изучении систем маятникового типа, предложены альтернативные подходы к моделированию и изучению устойчивости модели перевернутого маятника. Синтезирована TC-модель перевернутого маятника и приведены ее модификации, основанные на редукции числа правил TC-модели, а также на проектировании управляемой системы с переключением. Редукция числа правила модели позволила представить условия устойчивости, представленные ЛМН, в более компактном виде для проведения вычислительных процедур с помощью прикладных пакетов. Выполнено построение алгоритма стабилизации перевернутого
маятника с помощью функции Ляпунова и логического регулятора. Проведен качественный анализ и получены условия асимптотической устойчивости и равномерной устойчивости на основе комбинированного метода, базирующегося на совместном использовании свойств дивергенции поля скоростей и функций Ляпунова. Разработаны алгоритмы исследования устойчивости модели перевернутого маятника с логическим регулятором. В главе 5 «Компьютерное моделирование управляемых маятниковых систем» дано описание численного алгоритма Лоусона решения систем линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений, используемого для проведения качественного исследования синтезированных TC-моделей перевернутого маятника (модифицированной TC-модели перевернутого маятника, представленной двумя правилами, а также TC-модели с переключением). На основе указанного алгоритма разработан комплекс компьютерных программ в пакете Matlab. С помощью данного пакета получены численные решения ЛМН, определяющих конкретное задание положительно определенной матрицы функции Ляпунова и матриц коэффициентов усиления, при которых для TC-моделей перевернутого маятника можно построить стабилизирующий логический регулятор. Изучена динамика синтезированных моделей. Показана согласованность аналитических и численных результатов моделирования рассматриваемых систем маятникового типа. Представлены результаты программной реализации алгоритма стабилизации управляемой маятниковой системы в среде Visual Studio на языке С#. Проведено тестирование когнитивной модели перевернутого маятника с интеллектным управлением с помощью пакета Fuzzy Logic Toolbox компьютерной среды Matlab. Таким образом, в монографии рассмотрены вопросы моделирования и анализа устойчивости динамических систем на основе методов интеллектного управления и свойств ЛМН. Дано развитие метода функций Ляпунова исследования устойчивоподобных свойств систем с логическими регуляторами. Предложены условия стабилизации систем интеллектного управления, представленных TC-моделями, и приведены их модификации. Рассмотрены приложения к исследованию динамики управляемых маятниковых систем в условиях неполной информации на примере модификации модели перевернутого маятника. Изучено применение когнитивного подхода к моделированию управляемых систем. Приведен обзор результатов по применению когнитивного моделирования и искусственного интеллекта для исследования динамических систем в различных областях науки и техники.
Доступ онлайн
200 ₽
В корзину