Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебный комплекс)

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ — БАКАЛАВРИАТ 
 
В.С. ЗАБОЛОТСКИЙ 
 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ 
 
УЧЕБНЫЙ КОМПЛЕКС 
 
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 
 
2-е издание, стереотипное 

 

Рекомендовано Московским физико-техническим институтом (ГУ) 

к использованию в качестве учебного пособия  

в образовательных учреждениях, 

 реализующих образовательные программы высшего образования 

по учебной дисциплине «Математика» 

 
Рекомендовано Дальневосточным региональным  
учебно-методическим центром (ДВ РУМЦ) 
 в качестве учебного пособия для студентов  
нематематических специальностей и направлений подготовки 
вузов региона 
 
 
Москва 
ИНФРА-М 
2022 

УДК 512.64:514.123(075.8) 
ББК 22.143+22.151.5я73 
З12 

А в т о р: 
Заболотский 
В.С., 
директор 
Департамента 
математики 

Дальневосточного федерального университета 

 
Р  е  ц  е  н  з  е  н  т  ы: 
Московский физико-технический институт, регистрационный номер 

рецензии 141 от 01.04.2013 Федерального института развития образования; 

Дубинин В.Н., доктор физико-математических наук, профессор, 

заведующий лабораторией математического анализа Института прикладной 
математики Дальневосточного отделения, член-корреспондент Российской 
академии наук; 

Белецкая Н.В., кандидат физико-математических наук, доцент, доцент 

кафедры высшей математики Московского государственного технического 
университета радиотехники, электроники и автоматики 

 
Заболотский В.С. 
     З12             Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебный 
комплекс) : учебное пособие / В.С. Заболотский. — 2-е изд., стер. — 
Москва : ИНФРА-М, 2022. — 309 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). 
 
ISBN 978-5-16-110519-1 (online) 
 

В учебном пособии излагаются теоретические основы курса 

«Линейная алгебра и аналитическая геометрия» как составной части 
базовой математической подготовки студентов. Теоретическая часть 
дополнена 
практикумом, 
расчетно-графическими 
заданиями 

и материалами для контроля усвоения материала. 

Разработано в соответствии с требованиями федеральных 

государственных образовательных стандартов высшего образования 
последнего поколения. 

Предназначено для студентов бакалавриата нематематических 
направлений подготовки и специальностей. 

УДК 512.64:514.123(075.8) 

ББК 22.143+22.151.5я73 
ISBN 978-5-16-110519-1 (online) 
© Заболотский В.С., 2022 

ФЗ  

№ 436-ФЗ 

Издание  

не подлежит маркировке  
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11 

Оглавление 

 

 

3 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................................. 5 
 
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ .................................................. 6 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ .............................................................................................. 8 
 
 Глава 1. Теория матриц и определителей ...................................................... 8 
  §1.1. Матрицы. Основные понятия и определения ............................................ 8 
  §1.2. Преобразования и действия над матрицами ........................................... 12 
  §1.3. Определители ............................................................................................................ 16 
  §1.4. Обратная матрица. Ранг матрицы .................................................................. 24 
 
 Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений ...................... 27 

§2.1. Классификация систем линейных алгебраических 
уравнений. Основные понятия и определения ................................................. 27 
§2.2. Исследование системы линейных алгебраических 
уравнений на совместность .......................................................................................... 29 
§2.3. Методы решения систем линейных алгебраических 
уравнений ............................................................................................................................... 29 
 
 

 Глава 3. Векторная алгебра ................................................................................. 33 

§3.1. Основные понятия и определения ................................................................ 33 
§3.2. Линейные операции над векторами ............................................................. 34 
§3.3. Линейная зависимость и независимость векторов ............................. 36 
§3.4. Базис на прямой, плоскости и в пространстве ........................................ 37 
§3.5. Действия с векторами в координатном представлении ................... 40 
§3.6. Декартова система координат ......................................................................... 41 
§3.7. Ортогональная проекция вектора на ось................................................... 44 
§3.8. Скалярное произведение векторов ............................................................... 45 
§3.9. Векторное произведение векторов ............................................................... 47 
§3.10. Смешанное произведение векторов .......................................................... 50 
§3.11. Двойное векторное произведение векторов ........................................ 51 

 
 Глава 4. Аналитическая геометрия .................................................................. 53 

§4.1. Линии на плоскости, поверхности и линии в пространстве ........... 53 
§4.2. Прямая на плоскости ............................................................................................. 55 
§4.3. Плоскость в пространстве .................................................................................. 63 
§4.4. Прямая в пространстве......................................................................................... 69 
§4.5. Преобразования систем координат .............................................................. 75 
§4.6. Недекартовы системы координат.................................................................. 78 
§4.7. Линии второго порядка ....................................................................................... 81 
§4.8. Поверхности второго порядка ......................................................................... 88 

 
 

Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебный комплекс) 
 

 

4 

ПРАКТИКУМ ................................................................................................................. 100 
 
 Раздел 1. Теория матриц и определителей ............................................... 100 
  1.1. Матрицы и основные операции над ними ................................................ 100 
  1.2. Вычисление определителей ............................................................................. 109 
  1.3. Нахождение обратной матрицы и ранга матрицы .............................. 122 
 

Раздел 2. Системы линейных алгебраических уравнений ................. 132 

  2.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений ................... 132 
 
 Раздел 3. Векторная алгебра ............................................................................ 145 
  3.1. Векторы. Действия с векторами ..................................................................... 145 
  3.2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов ....... 156 
 
 Раздел 4. Аналитическая геометрия ............................................................ 167 
  4.1. Прямая на плоскости............................................................................................. 167 
  4.2. Прямая и плоскость в пространстве ............................................................ 172 
  4.3. Системы координат ............................................................................................... 181 
  4.4. Кривые и поверхности второго порядка ................................................... 189 
 
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ................................................................ 200 
 
 РГЗ №1. Теория матриц и определителей .............................................................. 200 
 РГЗ №2. Системы линейных алгебраических уравнений .............................. 220 
 РГЗ №3. Векторная алгебра ............................................................................................ 235 
 РГЗ №4. Аналитическая геометрия ............................................................................ 265 
 
КОНТРОЛЬ УСВОЕНИЯ МАТЕРИАЛА .................................................................. 295 
 
 1. Теория матриц и определителей .............................................................. 295 
  1.1. Перечень вопросов для самостоятельного контроля ........................ 295 
  1.2. Контрольный тест .................................................................................................. 296 
 
 2. Системы линейных алгебраических уравнений ................................ 298 
  2.1. Перечень вопросов для самостоятельного контроля ........................ 298 
  2.2. Контрольный тест .................................................................................................. 298 
 
 3. Векторная алгебра ........................................................................................... 300 
  3.1. Перечень вопросов для самостоятельного контроля ........................ 300 
  3.2. Контрольный тест .................................................................................................. 301 
 
 4. Аналитическая геометрия ............................................................................ 303 

4.1. Перечень вопросов для самостоятельного контроля ........................ 303 

  4.2. Контрольный тест .................................................................................................. 304 
 
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ .................................................................................... 306 
 
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................ 309 
 

Предисловие  

 

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие «Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебный 

комплекс)» представляет собой набор материалов, который может быть полезен
студентам нематематических направлений подготовки вузов при изучении
курса линейной алгебры и аналитической геометрии как составной части 
базовой математической подготовки будущего бакалавра или специалиста.
Книга не претендует на безусловную полноту, в ней приводятся лишь основные 
положения курса в соответствии с требованиями федеральных государственных 
образовательных стандартов по нематематическим направлениям подготовки
бакалавров и специальностям.

Учебный комплекс состоит из четырех основных частей: теоретическая 

часть, практикум, расчетно-графические задания, контроль усвоения материала. 
При изучении курса линейной алгебры и аналитической геометрии студент 
может обратиться к каждой части книги отдельно либо избрать системный 
подход изучения материала, используя данное учебное пособие.

Первая часть – это теоретическая основа курса, в которой приводятся 

основные определения, теоремы и свойства рассматриваемых объектов. 
Изложение материала ведется последовательно. Осознанно не приводятся 
громоздкие доказательства ряда теорем и свойств, ознакомиться с ними можно 
в классических
учебниках, приведены лишь некоторые доказательства 

теоретических положений, служащие развитию системного математического 
мышления. 

Практикум – это набор типовых задач курса с подробными их решениями. 

По большому счету, основная задача студента –
научиться решать 

поставленные математические задачи, в этом поможет  вторая часть книги.

Третий раздел книги содержит индивидуальные расчетно-графические 

задания по каждому разделу курса. Каждое задание составлено в тридцати 
типовых вариантах. 

После изучения теории и выполнения практических заданий студенту 

предлагается ответить на ряд вопросов и выполнить тестовое задание для 
самоконтроля. Все тесты снабжены ответами.

Книга практически полностью повторяет курс лекций, читаемый автором в 

Дальневосточном 
федеральном 
университете,
а 
также 
содержание 

практических занятий, индивидуальных домашних заданий и контрольных 
вопросов. Пособие наиболее адаптировано для восприятия современным 
студенчеством и может стать помощником при изучении линейной алгебры и 
аналитической геометрии и подготовке к экзамену.

Автор выражает благодарность рецензентам – профессору В.Н. Дубинину 

и доценту Н.В. Белецкой, за проделанный труд при рассмотрении рукописи и 
ценные предложения по ее улучшению, а также коллективу кафедры высшей 
математики ДВПИ, впоследствии ДВГТУ, ныне алгебры, геометрии и анализа 
ДВФУ за проведенную работу по формированию банка заданий, явившегося 
основой УМК кафедры и ряда учебных пособий, продолжением которых 
является эта книга.

Автор

Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебный комплекс) 

6

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

При изложении материала теоретической части и практикума учебного 

пособия 
используются 
общепринятые 
математические 
обозначения 
и 

соглашения, основные из которых приведены в данном разделе.

Оформление и структура

Для большей наглядности материала теоретическая часть разбита на главы 

и параграфы, которые также структурированы. Все определения, теоремы, 
методы, следствия и замечания выделены графически, первые два из которых 
имеют сплошную иерархическую нумерацию, как и наиболее важные формулы.

Доказательства теорем начинаются со слова «Доказательство:» и 

заканчиваются аббревиатурой «q.e.d.» (quad erat demonstrandum – лат. «что и 
требовалось доказать»).

Практикум 
разделен 
на 
разделы, 
которые 
соответствуют 
главам 

теоретической части, и логические подразделы. Перед началом подраздела 
указаны требования к изучению теоретической части. Все примеры имеют 
сквозную иерархическую нумерацию.

Рассмотрим 
некоторые 
символы 
математической 
логики, 
которые 

наиболее часто будут применяться при изложении материала. Введем только 
аксиоматически смысл обозначений:

A
A

=
– логическое отрицание (не A).

A
B

– логическое «и» ( A и B; как A, так и B; A вместе с B).

A
B

– логическое «или» ( A или B).

A
B

– следствие (из A следует B; для A необходимо B; для B

достаточно A).

A
B

– эквивалентность ( A эквивалентно B; если A, то B и обратно; для 

A необходимо и достаточно B; A тогда и только тогда, когда B).

 – квантор всеобщности (читается как любой, всякий, каждый).
 – квантор существования (читается как существует).
! – квантор единственности (читается как единственный).

Числовые множества

Приведем обозначения некоторых числовых множеств:



1;2;3;...
=
– множество натуральных чисел;



...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...
=
− −
−
– множество целых чисел;

:
,
;  
0
m m n
n
n



=







– множество рациональных чисел (конечная или 

бесконечная периодическая дробь);

– множество действительных чисел;
– множество комплексных чисел.

Используемые символы и обозначения 

 

7

Греческий алфавит

Начертание
Произношение
Начертание
Произношение

  

альфа
  

ню (ни)

  

бета
  

кси

  

гамма
  

омикрон

  

дельта
  

пи

  

эпсилон
  

ро

  

дзета
  

сигма

  

эта
  

тау

  

тета
  

хи 

  

йота
  

фи

  

каппа
  

ипсилон (юпсилон)

  

лямбда (ламбда)
  

пси

  

мю (ми)
  

омега

Соглашение о суммировании и произведении

Часто в математике рассматриваются суммы (произведения) большого 

числа слагаемых (множителей), которые можно записать в виде общего 
выражения с использованием изменяющегося индекса. Для упрощения записи 
таких выражений вводится в рассмотрение знак суммы и знак произведения.

Знак суммы

Символ

1

n

i= , после которого записывается
некоторое выражение, 

содержащее индекс i , означает, что необходимо просуммировать n слагаемых, 
в каждом из которых индекс i принимает значения от 1 до n :

1
2

1

...

n

i
n

i






=

=
+
+
+

.

Знак произведения

Символ

1

n

i= , после которого записывается некоторое выражение, 

содержащее индекс i , означает, что необходимо перемножить n множителей, в 
каждом из которых индекс i принимает значения от 1 до n :

1
2

1

...

n

i
n

i


 


=

=




.

Выражение вида 
1,
i
n
=
означает, что индекс i принимает все целые 

значения, лежащие внутри отрезка 

1;n .

Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебный комплекс) 

 

 

8 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 

 

Глава 1. Теория матриц и определителей 

 
Описание ряда сложных модельных объектов математическим языком в 

механике, физике, экономике и многих других прикладных науках, а также 
решение определенных классических математических задач, может быть 
упрощено с помощью математического аппарата, называемого матричным 
исчислением, рассмотрение которого приводится в данной главе. 

 

§1.1. Матрицы. Основные понятия и определения 
 

Определение 1.1.1. Матрицей  размерности n
m

 называется упорядоченная 

прямоугольная 
таблица 
чисел 
(объектов, 
подчиняющихся 
законам 

матричного исчисления), где n  – число строк, m  – число столбцов матрицы.  

 

При указании размерности матрицы первое число всегда означает 

количество строк, а второе – количество столбцов. 

 

Определение 1.1.2. Числа (объекты), входящие в описание матрицы, будем 
называть ее элементами (компонентами). 

 
Элементы матрицы принято обозначать прописными латинскими буквами 

с верхним и нижним или обоими нижними индексами: 
i
ja  или 
ij
a . Запись 
i
ja  

или 
ij
a  означает, что этот элемент матрицы расположен в i-ой строке и  j-ом 

столбце. 

Сами матрицы обычно записывают в виде перечисления их элементов:  

i

ij
j
a
a

, 
1,
i
n

, 
1,
j
m

, 
 
 
     (1.1.1) 

или в развернутом виде: 

11
12
13
1
11
12
13
1
11
12
13
1

21
22
23
2
21
22
23
2

31
32
33
3
31
32
33
3

1
2
3
1
2
3

...
...
...

...
...

...
...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...

m
m
m

m
m

m
m

n
n
n
nm
n
n
n
nm

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a
a
a
a
a









































21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

...

...

...
...
...
...
...

...

m

m

n
n
n
nm

a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

.(1.1.2) 

 

Мы будем применять первые записи при использовании матричных 

объектов, как в виде перечисления элементов: 
ij
a
, так и в развернутом виде: 

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

...
...
...

...
...
...
...
...

...

m

m

m

n
n
n
nm

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a























. 

Теоретическая часть 

 

 

9 

Для обозначения матрицы размерности n
m

 используют прописные 

латинские буквы, в качестве нижнего индекса которых указывается 
размерность матрицы:  

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

...
...
...

...
...
...
...
...

...

m

m

n m
nm
m

n
n
n
nm

a
a
a
a

a
a
a
a

A
a
a
a
a
a

a
a
a
a



























. 
 
 
(1.1.3) 

Часто при обозначении матрицы ее размерность не указывается, а пишется 

просто , ,
,...
A B C
. 

 

Классификация матриц 

 

Классифицируем матрицы исходя из их размерности (количеству строк и 

столбцов) и числовых значений элементов. 

 

Определение 1.1.3. Матрица, у которой число строк совпадает с числом 
столбцов, n
m

, называется квадратной: 

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

...
...
...

...
...
...
...
...

...

n

n

n n
n

n
n
n
nn

a
a
a
a

a
a
a
a

A
a
a
a
a

a
a
a
a


























.  
 
  (1.1.4) 

 

Определение 1.1.4. Число строк и столбцов квадратной матрицы называется 
ее порядком. 

 

Определение 1.1.5. Матрица, состоящая лишь из одной строки (столбца), т.е. 
имеющая 
размерность 
1 n

 
(
1
n ), 
называется 
матрицей-строкой 

(матрицей-столбцом): 



1
11
12
13
1
...
n
n
A
a
a
a
a
 
, 
 
 
(1.1.5) 

 

11

21

1
31

1

...

n

n

a
a

A
a

a


























. 
 
 
 
 
(1.1.6) 

(1.1.5)  – матрица-строка, (1.1.6)  – матрица-столбец. 

 
Замечание. Для обозначения матриц-строк или матриц-столбцов часто в 
литературе неменяющиеся 
индексы опускают, в результате чего их 

обозначения принимают вид:  

i

ia
a

 или, 
ja
.  
 
 
      (1.1.7) 

Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебный комплекс) 

 

 

10 

Очевидно, что для таких записей удобнее использовать обозначения с 

верхним и нижним индексами либо явно указывать в тексте рассматривается 
матрица-строка или матрица-столбец. 

 

 Определение 1.1.6. Элементы квадратной матрицы с совпадающими 
индексами 
образуют 
главную 
диагональ 
матрицы 
(
ii
a , 
1,
i
n

), 
из 

противоположных углов выходит побочная диагональ (
(
1)
i n i
a
  , 
1,
i
n

). 

 

 

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

...
...
...

...
...
...
...
...

...

n

n

n n
n

n
n
n
nn

a
a
a
a

a
a
a
a

A
a
a
a
a

a
a
a
a


























. 

 

 
 

Замечание 1. Главная и побочная диагонали квадратной матрицы нечетного 
порядка имеют общий элемент, матрицы четного порядка такого элемента не 
имеют. 
 
Замечание 2. Главной диагональю неквадратной матрицы размерности n
m

 

также обычно называют элементы 
ii
a , 


1,min
,
i
n m

. 

 

Определение 1.1.7. Сумма элементов матрицы, расположенных на ее 
главной диагонали называется следом матрицы:  

ii

i

TrA
SpA
a


. 
 
 
 
(1.1.8) 

Обозначения: TrA от англ. Trace – след; SpA от нем. Spur – след.  

 

Определение 1.1.8. Матрица, все элементы которой равны элементам 
исходной матрицы, взятым с противоположным знаком, называется 
противоположной.  
Матрица противоположная к матрице A обозначается A

. 

Для матрицы A вида (1.1.3) противоположная матрица имеет вид:  

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

...
...
...

...
...
...
...
...

...

m

m

m

n
n
n
nm

a
a
a
a

a
a
a
a

A
a
a
a
a

a
a
a
a




















 


















. 
 
 
  (1.1.9) 

 

Определение 1.1.9. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется 
нулевой и обозначается O : 

Побочная диагональ 
 
 
 
 
 
 
 
Главная диагональ

Теоретическая часть 

 

 

11 

0
0
0
...
0

0
0
0
...
0

0
0
0
...
0

...
...
...
...
...

0
0
0
...
0

O
























. 
 
 
 
(1.1.10) 

 
Определение 1.1.10. Квадратная матрица, на главной диагонали которой 
расположены одинаковые числа, а все остальные элементы равны нулю, 
называется скалярной: 

0
0
...
0

0
0
...
0

0
0
...
0

...
...
...
...
...

0
0
0
...































.  
 
             (1.1.11) 

 

Определение 1.1.11. Скалярная матрица, все ненулевые элементы которой 
равны единицам, называется единичной и обозначается E: 

1
0
0
...
0

0
1
0
...
0

0
0
1
...
0

...
...
...
...
...

0
0
0
...
1

E
























. 
 
 
      (1.1.12) 

 

Определение 1.1.12. Квадратная матрица, ниже (выше) главной диагонали 
которой расположены нулевые элементы, называется верхней (нижней) 
треугольной: 

11
12
13
1

22
23
2

33
3

...

0
...

0
0
...
,

...
...
...
...
...

0
0
0
...

n

n

n

nn

a
a
a
a

a
a
a

a
a

a























 
 
 
(1.1.13) 

 

11

12
22

13
23
33

1
2
3

0
0
...
0

0
...
0

...
0

...
...
...
...
...

...
n
n
n
nn

a
a
a

a
a
a

a
a
a
a























. 
 
 
(1.1.14) 

(1.1.13) – верхняя треугольная, (1.1.14) – нижняя треугольная. 

 

Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебный комплекс) 

 

 

12 

Определение 1.1.13. Квадратная матрица, для которой: 
ij
ji
a
a

, 
,
1,
i j
n


, 

называется симметрической: 

11
12
13
1

12
22
23
2

13
23
33
3

1
2
3

...
...
...

...
...
...
...
...

...

n

n

n

n
n
n
nn

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a























.  
 
      (1.1.15) 

 

Определение 1.1.14. Квадратная матрица, для которой: 
ij
ji
a
a
 
,
,
1,
i j
n


, 

называется антисимметрической: 

12
13
1

12
23
2

13
23
3

1
2
3

0
...

0
...

0
...

...
...
...
...
...

...
0

n

n

n

n
n
n

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a




























. 
 
 
(1.1.16) 

 

Замечание. Очевидно, что на главной диагонали антисимметрической матрицы 
расположены нулевые элементы. 
 
§1.2. Преобразования и действия над матрицами 
 

Над матрицами можно производить различные операции, как обладающие 

свойствами линейности, так и подчиняющимися определенным нелинейным  
правилам. 
 

Линейные операции над матрицами 

 

Определение 1.2.1. Две матрицы называются равными, если совпадает их 
размерность и их соответствующие элементы равны: 

, 
;

,
1,
,
1,
.

n m
ij
n m
ij

i j
i j

A
a
B
b

A
B
a
b
i
n
j
m









 
 

  
 
(1.2.1) 

 

Определение 1.2.2. Суммой двух матриц называется такая матрица, 
размерность которой совпадает с размерностью двух матриц слагаемых, а 
элементы 
представляют 
собой 
сумму 
соответствующих 
элементов 

суммируемых матриц: 

, 
, 
;

,
1,
,
1,
.

n m
ij
n m
ij
n m
ij

i j
i j
i j

A
a
B
b
C
c

C
A
B
c
a
b
i
n
j
m













 
 

  
    (1.2.2) 

 

Определение 1.2.3. Произведением матрицы на число называется такая 
матрица, размерность которой совпадает с размерностью исходной матрицы,