Аналитическая геометрия в примерах и задачах

АНАЛИТИЧЕСКАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ 
В ПРИМЕРАХ 
И ЗАДАЧАХ

А.С. БОРТАКОВСКИЙ
А.В. ПАНТЕЛЕЕВ

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Издание второе, стереотипное

Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
 высших учебных заведений Российской Федерации
 по образованию в области авиации, ракетостроения
 и космоса в качестве учебного пособия для студентов
 высших технических учебных заведений

Бортаковский А.С.
Аналитическая геометрия в примерах и задачах : учебное пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. — 2-е изд., стер. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 496 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). — DOI 10.12737/11623.

ISBN 978-5-16-011202-2 (print)
ISBN 978-5-16-103327-2 (online)
Приведены основные понятия, теоремы и методы решения задач по всем 
разделам курса: векторной алгебре, системам координат, преобразованиям 
плоскости и пространства, уравнениям линий и поверхностей первого и второго порядков. Описаны некоторые приложения аналитической геометрии 
в механике, теории оптимизации и математическом анализе.
В каждом разделе кратко изложены основные теоретические сведения, 
приведены решения типовых примеров и задачи для самостоятельного 
решения с ответами.
Для студентов высших учебных заведений, получающих образование 
по направлению (специальности) «Прикладная математика», а также по 
направлениям (специальностям) естественных наук, техники и технологий, информатики и экономики (квалификации (степени) «бакалавр», 
«специалист», «магистр»).
УДК 514.12 (075.8)
ББК 22.151.5я73 

Б82

УДК 514.12 (075.8)
ББК 22.151.5я73
 
Б82

© Бортаковский А.С., 
 
Пантелеев А.В., 2016
ISBN 978-5-16-011202-2 (print)
ISBN 978-5-16-103327-2 (online)

Р е ц е н з е н т ы: 
В.Л. Кузнецов — д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой «Прикладная 
математика» Московского государственного технического университета гражданской авиации;
А.Н. Сиротин — д-р физ.-мат. наук, проф., профессор кафедры «Теория 
вероятностей» Московского авиационного института (национального 
исследовательского университета)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Подписано в печать 25.06.2015.
Формат 6090/16. Печать цифровая. Бумага офсетная.
Гарнитура Times. Усл. печ. л. 31,00. 
ПТ10.

ТК 391500-515990-250615

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1.
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86.     Факс: (495) 280-36-29.
E-mail: books@infra-m.ru                 http://www.infra-m.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие .......................................................................................................... 6 
Введение ................................................................................................................ 7 
 
В.1. Основные метрические понятия .............................................................. 7 
 
В.2. Равенство и подобие геометрических фигур .......................................... 9 
 
В.3. Бинарные отношения .............................................................................. 11 
 
Глава 1. Векторная алгебра ............................................................................. 15 
 
1.1. Векторы и линейные операции над векторами .................................... 15 
 
 
1.1.1. Вектор, его направление и длина ................................................ 15 
 
 
1.1.2. Линейные операции над векторами ............................................ 19 
 
 
1.1.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов ... 24 
 
1.2. Проекции векторов и их свойства ......................................................... 26 
 
 
1.2.1. Отношение коллинеарных векторов ........................................... 26 
 
 
1.2.2. Проекции векторов на прямую и на плоскость ......................... 28 
 
 
1.2.3. Ортогональные проекции. Угол между векторами ................... 34 
 
1.3. Базис и координаты векторов ................................................................ 40 
 
 
1.3.1. Базис на прямой. Координата вектора на прямой ..................... 40 
 
 
1.3.2. Базис на плоскости. Координаты вектора на плоскости ........... 42 
 
 
1.3.3. Базис в пространстве. Координаты вектора в пространстве .... 45 
 
 
1.3.4. Линейные операции над векторами в координатной форме .... 47 
 
 
1.3.5. Ортогональный и ортонормированный базисы ......................... 50 
 
1.4. Скалярное произведение векторов ........................................................ 54 
 
 
1.4.1. Определение скалярного произведения ..................................... 54 
 
 
1.4.2. Свойства скалярного произведения ............................................ 56 
 
 
1.4.3. Выражение скалярного произведения через координаты 
 
 
 
векторов ......................................................................................... 59 
 
1.5. Векторное и смешанное произведения векторов ................................. 69 
 
 
1.5.1. Векторное произведение и его свойства .................................... 69 
 
 
1.5.2. Смешанное произведение и его свойства................................... 74 
 
 
1.5.3. Ориентированные площади и объемы ........................................ 79 
 
 
1.5.4. Двойное векторное произведение и его свойства ...................... 83 
 
1.6. Типовые задачи векторной алгебры ...................................................... 86 
 
 
1.6.1. Применение векторов в задачах на аффинные свойства 
 
 
 
фигур ............................................................................................. 86 
 
 
1.6.2. Метрические приложения произведений векторов ................... 96 
 
 
1.6.3. Приложения векторной алгебры в механике ........................... 105 
 
Глава 2. Системы координат ........................................................................ 121 
 
2.1. Аффинные системы координат ........................................................... 121 
 
 
2.1.1. Аффинные системы координат на прямой, на плоскости,  
 
 
 
в пространстве ............................................................................ 121 
 
 
2.1.2. Прямоугольные системы координат ......................................... 124 

2.2. Аффинные преобразования координат ............................................... 128 

 
 
2.2.1. Преобразование координат вектора при замене базиса .......... 128 

 
 
2.2.2. Преобразование координат точки при замене  

 
 
 
системы координат ..................................................................... 132 

 
 
2.2.3. Преобразования прямоугольных координат на плоскости 

 
 
 
и в пространстве ......................................................................... 135 

 
 
2.2.4. Аффинные преобразования плоскости и пространства .......... 144 

 
2.3. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат ....... 163 

 
 
2.3.1. Полярная система координат .................................................... 163 

 
 
2.3.2. Цилиндрическая система координат ........................................ 169 

 
 
2.3.3. Сферическая система координат ............................................... 171 

 
2.4. Координатное пространство 
n
  ......................................................... 174 

 
 
2.4.1. Точки, векторы и операции над ними....................................... 174 

 
 
2.4.2. Линейные и аффинные подпространства  ................................ 179 

 
 
2.4.3. Скалярное произведение ............................................................ 183 

 
 
2.4.4. Преобразования 
 
координат
  
.......................................... 
187 

 
Глава 3. Алгебраические линии на плоскости .......................................... 198 
 
3.1. Способы задания геометрических мест точек на плоскости ............ 199 

 
 
3.1.1. Общие уравнения геометрических мест точек ........................ 199 

 
 
3.1.2. Параметрические уравнения геометрических мест точек ...... 204 

 
 
3.1.3. Алгебраические уравнения линий на плоскости ..................... 205 

 
3.2. Алгебраические линии первого порядка (прямые на плоскости) .... 209 

 
 
3.2.1. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку  

 
 
 
перпендикулярно заданному вектору ....................................... 209 

 
 
3.2.2. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку  

 
 
 
коллинеарно заданному вектору ............................................... 218 

 
 
3.2.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные 

 
 
 
точки ............................................................................................ 223 

 
 
3.2.4. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку, 

 
 
 
с данным угловым коэффициентом .......................................... 226 

 
 
3.2.5. Взаимное расположение прямых .............................................. 227 

 
 
3.2.6. Типовые задачи с прямыми на плоскости ................................ 234 

 
3.3. Алгебраические линии второго порядка ............................................ 254 

 
 
3.3.1. Канонические уравнения линий второго порядка ................... 254 

 
 
3.3.2. Эллипс  ........................................................................................ 268 

 
 
3.3.3. Гипербола .................................................................................... 274 

 
 
3.3.4. Парабола ...................................................................................... 282 

 
 
3.3.5. Классификация линий второго порядка по инвариантам  ...... 289 

 
 
3.3.6. Приведение уравнения линии второго порядка  

 
 
 
к каноническому виду ................................................................ 315 

.............. 

3.3.7. Применение линий первого и второго порядков в задачах  
 
 
 
на экстремум функций ............................................................... 326 
 
Глава 4. Алгебраические поверхности в пространстве............................ 335 
 
4.1. Способы задания геометрических мест точек в пространстве ......... 335 
 
 
4.1.1. Общие уравнения геометрических мест точек ........................ 336 
 
 
4.1.2. Параметрические уравнения геометрических мест точек ...... 343 
 
 
4.1.3. Алгебраические уравнения поверхностей ................................ 345 
 
4.2. Алгебраические поверхности первого порядка (плоскости) ............ 348 
 
 
4.2.1. Уравнения плоскости, проходящей через заданную точку  
 
 
 
перпендикулярно заданному вектору ....................................... 348 
 
 
4.2.2. Уравнения плоскости, проходящей через заданную точку  
 
 
 
и компланарной двум неколлинеарным векторам  .................. 356 
 
 
4.2.3. Уравнения плоскости, проходящей через три  
 
 
 
заданные точки ........................................................................... 360 
 
 
4.2.4. Взаимное расположение плоскостей ........................................ 363 
 
 
4.2.5. Типовые задачи с плоскостями ................................................. 369 
 
4.3. Уравнения прямых в пространстве ..................................................... 375 
 
 
4.3.1. Уравнение прямой как линии пересечения двух 
 
 
 
плоскостей ................................................................................... 375 
 
 
4.3.2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку 
 
 
 
коллинеарно заданному вектору ............................................... 376 
 
 
4.3.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные 
 
 
 
точки ............................................................................................ 381 
 
 
4.3.4. Взаимное расположение прямых в пространстве .................... 383 
 
 
4.3.5. Взаимное расположение прямой и плоскости ......................... 387 
 
 
4.3.6. Типовые задачи с прямыми в пространстве ............................. 389 
 
4.4. Алгебраические поверхности второго порядка ................................. 394 
 
 
4.4.1. Канонические уравнения поверхностей второго порядка  ..... 394 
 
 
4.4.2. Эллипсоиды  ............................................................................... 410 
 
 
4.4.3. Гиперболоиды ............................................................................. 413 
 
 
4.4.4. Конусы ......................................................................................... 416 
 
 
4.4.5. Параболоиды ............................................................................... 420 
 
 
4.4.6. Классификация поверхностей второго порядка  
 
 
 
по инвариантам  .......................................................................... 423 
 
 
4.4.7. Приведение уравнения поверхности второго порядка  
 
 
 
к каноническому виду ................................................................ 451 
 
 
4.4.8. Применение поверхностей первого и второго порядков 
 
 
 
в задачах на экстремум функций .............................................. 472 
 
Приложение ................................................................................................... 483 
 
Литература ..................................................................................................... 495 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
Книга включает теоретические основы и методы решения задач аналитической геометрии и охватывает основные разделы курса, читаемого на 
факультете "Прикладная математика и физика" Московского авиационного 
института.  
 
Аналитическая геометрия, как правило, изучается во втузе совместно с 
линейной алгеброй [10] и традиционно содержит следующие разделы: векторную алгебру, системы координат, преобразования плоскости и пространства, уравнения линий и поверхностей первого и второго порядков. Объем и 
глубина излагаемого материала варьируется в зависимости от специальности: более полно для конструкторских специальностей и для специальности 
"Прикладная математика", в сокращенном варианте – для инженерных (но 
не конструкторских) специальностей, а также экономистов. 
 
Несмотря на то что курс аналитической геометрии во всех технических 
университетах имеет примерно одинаковый объем и традиционное содержание, его изложение в разных вузах существенно отличается. Причина заключается в том, что курс имеет, условно говоря, три составляющие: метрическую, аффинную и проективную. Метрические свойства фигур изучаются 
при любом построении курса, аффинные и проективные – в зависимости от 
предпочтений преподавателя и от уровня подготовки студентов. Это обстоятельство учитывалось при написании пособия. Весь традиционный материал 
аналитической геометрии излагается с метрической и аффинной точек зрения, следуя замечательным учебникам [2,14]. Проективная геометрия в данном пособии не рассматривается, поскольку она практически исчезла из 
программ преподавания аналитической геометрии во втузах. 
 
Процесс обучения геометрии невозможно представить без решения задач. В отличие от алгебры здесь, как правило, нет готовых алгоритмов решения. Поэтому особое внимание уделялось описанию методик решения 
основных задач. Авторы ставили перед собой цель написать доступное для 
широкой студенческой аудитории пособие, где все теоретические положения подкрепляются подробным разбором типовых примеров.  
 
Изложение построено по единой схеме, включая описание элементов 
постановок задач, алгоритмы решения и подробный анализ типовых примеров. Предлагаются задачи для самостоятельного решения, в том числе зависящие от параметров m  – номера учебной группы и n  – номера студента по 
списку группы. 
 
Данное пособие входит в серию книг "Прикладная математика в примерах и задачах", составляя с ними единый учебно-методический комплекс.  
 
Авторы выражают сердечную признательность профессору, д.ф.-м.н. 
В.М. Закалюкину за ценные замечания и пожелания, способствовавшие 
улучшению рукописи. 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
В школьном курсе элементарной геометрии изучаются метрические и 
аффинные свойства простых геометрических фигур и тел: многоугольников, 
многогранников, окружностей, цилиндров, конусов, сфер. Основная цель 
аналитической геометрии – описание тех же геометрических объектов средствами алгебры и математического анализа. Другими словами, изменяется 
метод исследования, а предмет изучения остается тем же самым. Поэтому 
первичные понятия, аксиомы и теоремы, составляющие содержание курса 
элементарной геометрии, используются в аналитической геометрии без изменений. Не обсуждая вопросов аксиоматики, относящихся, скорее, к математической логике и "основаниям геометрии", первичные геометрические 
понятия и отношения будут употребляться в том наивном смысле, в каком 
они употребляются в школьном курсе геометрии, зная, что под них можно 
подвести безупречное аксиоматическое обоснование [1,2]. Приводимые во 
введении сведения, определения и свойства часто имеют предварительный 
(ознакомительный) характер. Некоторые "тонкие" моменты и вопросы здесь 
не рассматриваются. 
 
В.1. ОСНОВНЫЕ  МЕТРИЧЕСКИЕ  ПОНЯТИЯ 
 
 
Любая система аксиом геометрии подводит к основным метрическим 
понятиям – длине отрезка и величине угла. Как правило, в школьных учебниках эти измеряемые величины определяются либо их свойствами, либо 
аксиомами меры, например, в аксиоматике А.В. Погорелова. В любом случае считаются известными понятие множества действительных чисел и их 
основные свойства.  
 
Для любых двух точек A  и B  пространства однозначно определено 
неотрицательное действительное число 

B
A,

, называемое расстоянием 
между точками A  и B . Функция   расстояния удовлетворяет следующим условиям (аксиомам): 
 
1. 

0
,


B
A
 тогда и только тогда, когда 
B
A 
, т.е. точки A  и B  
совпадают; 
 
2. 



A
B
B
A
,
,



 для любых точек A  и B  (аксиома симметрии); 

 
3. 






C
B
B
A
C
A
,
,
,





 для любых точек A , B , С  (неравенство 

треугольника), причем равенство 






C
B
B
A
C
A
,
,
,





 означает, что 
точка B  принадлежит отрезку AC . 
 
Длиной отрезка AB  называется расстояние между его концами A  и 
B . Обычно отрезок AB  и его длину 


B
A,

 обозначают одинаково: 



B
A
AB
,


. Расстояния между точками (или длины отрезков) измеряются 
по отношению к выбранной единице измерения, а именно предполагается, 

что выбран некоторый масштабный отрезок 
1
1B
A
, длина которого приня
та за единицу: 
1
1
1

B
A
. Этот отрезок называют единичным.  

 
Аналогично определяется мера углов. Для любого угла AOB  однозначно определено положительное действительное число 

AOB


, называемое мерой (или величиной) угла. Функция   меры угла удовлетворяет 
следующим условиям (аксиомам): 
 
1. 



BOA
AOB





 для любого угла AOB ; 

 
2. 






BOC
AOB
AOС








 для любого угла AOC  и любой 
точки B  внутри него (рис.В.1,а). 
 
В качестве "единичного" угла, выбирается развернутый угол, величина 
которого принимается за   (радиан) или за 
o
180  (градусов).  
 
В дальнейшем мы будем использовать следующие две теоремы, которые, так или иначе, доказываются при любой принятой системе аксиом [1].  
 
Теорема В.1 (об откладывании отрезка). На каждом луче от его 
начала можно отложить отрезок любой данной длины и притом только 
один.  
 
Теорема В.2 (об откладывании угла). От каждого луча по данную 
сторону от него можно отложить угол заданной величины и притом 
только один. 
 
Вместе с определением расстояния теорема В.1 устанавливает взаимно 
однозначное соответствие между множеством неотрицательных действительных чисел и множеством точек луча. Если отрицательным действительным числам поставить в соответствие точки дополнительного луча (дополняющего данный луч до прямой), то получим числовую прямую (рис.В.1,б). 

 
З а м е ч а н и я  В.1.  
 
1. Понятие непрерывности множества действительных чисел, т.е. взаимно однозначного соответствия действительных чисел и точек числовой 
прямой, вводится и обосновывается в курсе математического анализа [19]. В 
геометрии непрерывность прямой вводится, как правило, аксиоматически. 
Например, в аксиоматике Д. Гильберта непрерывность прямой следует из 
аксиомы о вложенных отрезках (аксиомы Архимеда) и аксиомы полноты.  
 
2. Вопросы о соизмеримости отрезков, т.е. о возможности измерить отрезок при помощи заданного единичного отрезка, рассматривались еще 

Рис.В.1 

O 
A 

B 

C 

а 

0 
1 
2 
3 
4 
1
  
2
  
x 

б 
B 
A 

1
A  
2
A  

1

n
A
 n
A  
C 

в

древнегреческими геометрами. Например, задача о несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Напомним, что два отрезка считаются соизмеримыми, если отношение их длин является рациональным числом. 
Процедура измерения, определяющая понятие соизмеримых отрезков, следующая. При помощи циркуля и линейки несложно, используя теорему Фалеса, разделить отрезок на любое натуральное число равных частей. Для 
этого достаточно на вспомогательном луче AC  отложить n  равных отрезков 
1
AA ,
2
1A
A
,…,
n
n A
A
1

, затем соединить конец 
n
A  последнего отрезка с 

точкой B , и, наконец, через каждую из точек 
1
A ,
2
A ,…,
1

n
A
 провести пря
мую, параллельную прямой 
n
BA  (рис.В.1,в). Поэтому, выбрав масштабный 

отрезок единичной длины, можно построить отрезок длиной n
1  для любого 

натурального числа n . Откладывая на прямой или от начала луча m  раз такие отрезки последовательно (без наложения и без промежутков), можно 
получить отрезок длины n
m  (для любых натуральных m  и n ). Таким обра
зом, при помощи циркуля и линейки в результате конечного числа операций 
можно построить такой отрезок, длина которого будет выражаться любым 
заданным положительным рациональным числом. Поскольку диагональ 
квадрата со стороной, равной единице, выражается иррациональным числом 

(
2 ), то она не является соизмеримой со стороной квадрата.  
 
3. Из п.2 следует, что процедура измерения отрезков должна быть дополнена предельным переходом, позволяющим получать последовательности отрезков, рациональные длины которых образуют сходящиеся числовые 
последовательности. Пополняя множество рациональных чисел пределами 
таких последовательностей, приходим к понятиям действительного числа 
[19] и отрезка, имеющего длину, задаваемую положительным действительным числом.  
 
В.2. РАВЕНСТВО  И  ПОДОБИЕ  ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ  ФИГУР 
 
РАВЕНСТВО  ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ  ФИГУР 
 
 
Понятие равенства геометрических фигур в зависимости от принятой 
системы аксиом вводится по-разному. Обычно, равенства отрезков или углов определяются по их мере: два отрезка (угла) называются равными, если 
они имеют равные длины (величины). Затем определяются равенства треугольников, многоугольников, многогранников. Наконец, вводится понятие 
движения, при помощи которого понятие равенства определяется единообразно для любых геометрических фигур. В некоторых системах понятие 
движения (наложения, перемещения) вводится аксиоматически.  
 
Говорят, что на плоскости (или в пространстве) определено преобразование f , если для каждой точки A  плоскости (пространства) поставлена в 

соответствие единственная точка 
 
A
f
 той же плоскости (пространства). 

Если преобразование f  точке A  ставит в соответствие точку A , т.е. 
 
A
f
A 

, то точка A  называется образом точки A , а точка A  – прообра
зом A . 
 
Движением (ортогональным преобразованием) называется преобразование плоскости (пространства), сохраняющее расстояние между точками, 
т.е. для любых двух точек A , B  и их образов A , B  имеет место равенство 
B
A
AB



 – расстояние между образами равно расстоянию между прообразами. Другими словами, длина отрезка является инвариантом для ортогонального преобразования. Слово "инвариант" имеет смысл "остающийся 
неизменным".  
 
Две фигуры F  и F  называются равными, если существует движение, 
при котором фигура F  преобразуется в фигуру F , т.е. каждой точке фигуры F  соответствует некоторая точка фигуры F .  
 
ПОДОБИЕ  ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ  ФИГУР 
 
 
Подобием называется преобразование f  плоскости (пространства), 
при котором все расстояния между точками изменяются в одном и том же 
отношении 
0

k
, т.е. для любых двух точек A , B  и их образов A , B  имеет место равенство 
AB
k
B
A




. Число 
0

k
 называется коэффициентом 
подобия.  
 
Отношение длин отрезков является инвариантом для преобразования 
подобия. В самом деле, из определения следует, что  

 

CD
AB
CD
k
AB
k
D
C
B
A








. 

 
Две фигуры F  и F  называются подобными, если существует преобразование подобия, при котором фигура F  преобразуется в фигуру F , т.е. 
каждой точке фигуры F  соответствует некоторая точка фигуры F .  
 
З а м е ч а н и я  В.2. 
 
1. Пусть на плоскости задана прямая l  и пересекающая ее прямая m . 
Проекцией точки A  на прямую l  параллельно прямой m  (вдоль прямой 
m ) называется такая точка A  прямой l , что прямая 
A
A   параллельна прямой m  (рис.В.2,а).  
 
Проекцией отрезка AB  на прямую l  параллельно прямой m  является 
отрезок 
B
A


 (случай, когда отрезок AB  и прямая m  параллельны, не рассматривается). Отношение длин произвольных отрезков при этом преобразовании, разумеется, не сохраняется. Например, на рис.В.2,а равные отрезки 

(
BC
AB 
) имеют разные по длине проекции (
C
B
B
A





), т.е. 
C
B
B
A
BC
AB





.  

Однако, по теореме Фалеса отношение длин отрезков, принадлежащих од
ной прямой, не изменяется при этом преобразовании. Например, 
C
B
B
A
BC
AB





 

(рис.В.2,б). Отношение BC
AB  для точек A , B ,C , принадлежащих одной пря
мой (причем точка B  лежит между точками A  и C ), называется простым 
отношением [14]. Как видим, простое отношение является инвариантом 
для преобразования проекции.  

 
2. Преобразования подобия и проекции относятся к так называемым 
аффинным преобразованиям, которые рассматриваются в разд.2. 
 
3. В школьном курсе геометрии изучаются метрические и аффинные 
свойства фигур. К метрическим относятся такие свойства, которые не изменяются при ортогональных преобразованиях – преобразованиях, сохраняющих расстояния между точками, например, признаки равенства треугольников, теорема Пифагора, метрическое свойство параллелограмма, теоремы 
синусов и косинусов и др. К аффинным относятся свойства, которые сохраняются при преобразовании подобия (которое является частным случаем 
аффинного преобразования (см. разд.2.2.4)), например, признаки подобия 
треугольников, свойство биссектрисы треугольника, теорема Фалеса и др. 
 
В.3.  БИНАРНЫЕ  ОТНОШЕНИЯ 
 
 
Рассмотрим важные логические понятия, связанные с отношениями, 
которые, в частности, используются в любой аксиоматике геометрии. Предполагается, что множества и операции над ними знакомы читателю из 
школьного курса математики. 
 
ПРЯМОЕ  ПРОИЗВЕДЕНИЕ  МНОЖЕСТВ 
 
 
Упорядоченной парой 
y
x,
 называется совокупность, состоящая из 

двух элементов x  и y , взятых в определенном порядке: элемент x  считает
ся в паре первым, а элемент y  – вторым. Две упорядоченные пары 
1
1, y
x
 

и 
2
2, y
x
 называются равными тогда и только тогда, когда 
2
1
x
x 
 и 

2
1
y
y 
.  

 
Прямым (декартовым) произведением множеств X  и Y  называется 
множество всех упорядоченных пар 
y
x,
 таких, что 
X
x
 и 
Y
y 
. Пря
Рис.В.2
а 

l

m

A  

A 

б 

B  

B 

l 

m
B 

A 
С 

С 

С  
С  
B  
A  

мое произведение обозначается 
Y
X 
, а в случае 
X
Y 
 – просто 
2
X , т.е. 
2
X
X
X


. 
 
Аналогично определяются упорядоченные тройки, четверки и т.д., а 
также прямые произведения трех, четырех и т.д. множеств. Например, прямым произведением 
n

n









 

 

...
  n  множеств   действительных 

чисел называется множество всех упорядоченных наборов 
nx
x
x
...,
,
,
2
1
 из 

n  действительных чисел 
1x ,
2x ,…,
nx . 

 
Пример В.1. Для числовых множеств 


2
,1

X
 и 


4
,3

Y
 найти: 

Y
X 
;  
X
Y 
;   
2
X ,   
2
Y . 
 
 
По 
определению 
находим: 


4
,2
,
3
,2
,
4
,1
,
3
,1

Y
X
;   



2
,4
,
1,4
,
2
,3
,
1,3

 X
Y
; 


2
,2
,
1,2
,
2
,1
,
1,1
2



X
X
X
; 



4
,4
,
3
,4
,
4
,3
,
3
,3
2



Y
Y
Y
. Заметим, что 
X
Y
Y
X



.   

 
БИНАРНЫЕ  ОТНОШЕНИЯ.  ОТНОШЕНИЕ  ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 
 
 
Бинарным отношением   на множестве 
Y
X 
 называется под
множество   этого множества упорядоченных пар 
y
x,
, 
X
x
, 
Y
y 
. 

Если пара 
y
x,
 принадлежит отношению  , то пишут 


y
x,
 или 
y
x 
. 

Если 
X
Y 
, то отношение  , т.е. подмножество множества 
2
X , называют 
бинарным отношением на множестве X .  
 
Бинарное отношение   на множестве X  называется: 
        – рефлексивным, если 
x
x
 для любого 
X
x
; 
        – симметричным, если для любых 
X
y
x

,
 из 
y
x
 следует, что 
x
y ; 
        – транзитивным, если для любых 
X
z
y
x

,
,
из 
y
x
 и 
z
y  следует, 
что 
z
x . 
 
Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве 

X  называется отношением эквивалентности на множестве X  и обозначается символом ~ . 

 
Пример В.2. Даны бинарные отношения: 
 
а) отношение   (
y
x 
 – " x  равен y ") на множестве действительных 
чисел; 
 
б) отношение   (
y
x 
 – " x  меньше y ") на множестве действительных чисел; 
 
в) отношение   (
y
x 
 – " x  не больше y ") на множестве действительных чисел; 

г) отношение Б  (
y
Б
x
 – " x  брат y ") на множестве людей; 
 
д) отношение ~  (
N
M ~
 – "многоугольник M  подобен многоугольнику N ") на множестве правильных многоугольников; 
 
е) отношение 


p
n
m
mod

 на множестве целых чисел: "число m  
сравнимо с числом n  по модулю p ", т.е. остатки от деления чисел m  и n  
на натуральное число p  равны. 
 
Установить, являются ли заданные отношения рефлексивными, симметричными, транзитивными, отношениями эквивалентности. 

 
 а) Так как 
x
x 
 для любого действительного числа x , то отношение   рефлексивное. Поскольку из 
y
x 
 следует, что 
x
y 
, то отношение 
симметричное. Так как из равенств 
y
x 
 и 
z
y 
 следует, что 
z
x 
, то отношение транзитивное. Таким образом, отношение равенства является отношением эквивалентности. 
 
б) Отношение "меньше" не является рефлексивным (неравенство 
x
x 
 
неверно) и симметричным (из 
y
x 
 не следует 
x
y 
), но является транзитивным (так как из неравенств 
y
x 
 и 
z
y 
 следует 
z
x 
). Это отношение 
не является отношением эквивалентности.  
 
 
в) Отношение "не больше" является рефлексивным (неравенство 
x
x 
 
справедливо для любых действительных чисел) и транзитивным (из неравенств 
y
x 
 и 
z
y 
 следует 
z
x 
), но не является симметричным (например, из 
2
1
 не следует, что 
1
2  ). Это отношение не является отношением 
эквивалентности.  
 
 
г) Отношение "братства" не является рефлексивным (любой человек не 
является братом для самого себя), симметричным (утверждение, если x  
брат y  (
y
Б
x
), то y  брат x  (
x
Б
y
) неверно, поскольку y  может оказаться сестрой для x ), но является транзитивным (например, если для трех людей x , y , z  имеем 
y
Б
x
 и 
z
Б
y
, то отсюда следует, что 
z
Б
x
 в любом 
случае будет ли z  братом или сестрой для x ). Это отношение не является 
отношением эквивалентности.  
 
д) Каждый многоугольник подобен самому себе (
M
M ~
). Поэтому 
отношение подобия рефлексивное. Из подобия многоугольников 
N
M ~
 
следует, что 
M
N ~
, значит отношение симметричное. Так как из подобия 
многоугольников 
N
M ~
 и 
K
N ~
 следует, что 
K
M ~
, то отношение транзитивное. Таким образом, отношение подобия многоугольников является 
отношением эквивалентности. 
 
е) Сравнение 


p
n
m
mod

 равносильно условию: разность 
n
m 
 делится на p  (без остатка). Так как число нуль (
0

 m
m
) делится без остат
ка на любое натуральное число p , то 


p
m
m
mod

, значит отношение ре