Финансовые вычисления. Теория и практика


ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ серия основана в 1 996 г.




Я.С. МЕЛКУМОВ


ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
УЧЕБНО-СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ

2-е издание



                       Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент» (квалификация (степень) «бакалавр»)


Электронно-

znanium.com


Москва ИНФРА-М 2021

УДК ББК

336(075.8)
65.261я73 М47

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

М47

     Мелкумов Я.С.
     Финансовые вычисления. Теория и практика: учебносправочное пособие / Я.С. Меркулов. — 2-е изд. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 408 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

     ISBN 978-5-16-005751-4 (print)
     ISBN 978-5-16-102298-6 (online)

     В работе даются теоретические обоснования и рекомендации по практическому применению финансово-экономического анализа при осуществлении кредитных, инвестиционных и ряда других коммерческих операций. Кроме того, в ней содержатся начальные сведения по валютным и актуарным (страховым) вычислениям. Излагаемые методы финансовых вычислений иллюстрируются примерами с подробными решениями.
     Пособие предназначено для предпринимателей, менеджеров, работников финансово-кредитных учреждений, преподавателей экономических дисциплин и студентов, обучающихся по экономическим специальностям.

УДК 336(075.8)
ББК 65.261я73

ISBN 978-5-16-005751-4 (print)
ISBN 978-5-16-102298-6 (online)

© Мелкумов Я.С., 2002, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................. 7

Глава I ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ....................................8
   1.1. Сущность процентных платежей...................8
   1.2. Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных ставок ..................................10
   1.3. Вычисление наращенных сумм на основе простых учетных ставок......................................15
   1.4. Процентные вычисления с использованием постоянного делителя (дивизора)....................17
   1.5. Вычисления с использованием основной пропорциональной зависимости.......................19
   1.6. Расчеты в залоговых операциях ................22
   1.7. Потребительский кредит........................24
   1.8. Дисконтирование и его сущность................31
   1.9. Математическое дисконтирование. Определение уровня процентной ставки и продолжительности ссуды .32
  1.10. Банковское дисконтирование (банковский учет) .34
  1.11. Определение сроков ссуды, величин простых процентных и учетных ставок........................39

Глава II СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ...................................42
   2.1. Вычисление наращенных сумм на основе сложных декурсивных процентов...............................42
   2.2. Вычисление наращенных сумм на основе сложных антисипативных процентов...........................50
   2.3. Дисконтирование по сложной процентной ставке .51
   2.4. Дисконтирование по сложной учетной ставке ....55
   2.5. Сравнение множителей наращения и дисконтирования ....58
   2.6. Действия с непрерывными процентами............58
   2.7. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции....64

3

Глава III
   ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК. ИЗМЕНЕНИЕ УСЛОВИЙ КОММЕРЧЕСКИХ СДЕЛОК ...........70
   3.1. Эквивалентность процентных ставок...........70
   3.2. Средние величины в финансовых расчетах......78
   3.3. Консолидация платежей.......................85
   3.4. Общий случай изменения условий коммерческих сделок...........................................91

Глава IV РЕНТНЫЕ ПЛАТЕЖИ И ИХ АНАЛИЗ .....................94
   4.1. Финансовые ренты. Основные понятия .........94
   4.2. Наращенная сумма обычной ренты .............96
   4.3. Современная величина обычной ренты ........102
   4.4. Определение параметров финансовых рент.....108
   4.5. Определение параметров других видов рентных платежей ...................................... 117

Глава V КОНВЕРСИЯ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ.......................126
   5.1. Простые конверсии .........................126
   5.2. Изменениеусловий ренты.....................127
   5.3. Консолидация рент..........................132

Глава VI ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ......................136
   6.1. Потоки с разовыми изменениями платежей.....136
   6.2. Переменная рента с постоянным абсолютным и относительным изменением ее членов............137

Глава VII
   ПОГАШЕНИЕ СРЕДНЕСРОЧНЫХ И ДОЛГОСРОЧНЫХ КРЕДИТОВ....................................... 143
   7.1. Среднесрочные и долгосрочные кредиты. Основные понятия ...............................143
   7.2. Погашение долга равными срочными уплатами..144
   7.3. Погашение займа равными выплатами основного долга .... 151
   7.4. Погашение займа переменными выплатами основного долга ................................152
   7.5. Конверсия займов ..........................155
   7.6. Консолидация займов........................158
   7.7. Формирование фонда погашения...............159
   7.8. Льготные кредиты...........................167
   7.9. Погашение ипотечной ссуды .................171

4

Глава VIII АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ ....................................... 177
   8.1. Доходность как показатель эффективности финансовой операции ............................177
   8.2. Расчет ставки полной доходности при ссудных и учетных операциях с удержанием комиссионных....179
   8.3. Выбор оптимальных условий в коммерческих контрактах......................................182
   8.4. Предельные значения параметров коммерческих контрактов......................................190
   8.5. Доходность торговых операций с векселями......193
   8.6. Операции с депозитными сертификатами..........196

Глава IX АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ В ОБЛИГАЦИИ И АКЦИИ .............................201
   9.1. Основные характеристики облигаций и методы их расчета .....................................201
   9.2. Дополнительные характеристики облигаций ......211
   9.3. Анализ портфеля облигаций.....................217
   9.4. Принципы оценки инвестиций в    ценные бумаги.221
   9.5. Анализ влияния факторов на оценочные показатели облигации.......................................226
   9.6. Погашение и измерение стоимости облигационного займа.......................................... 228
   9.7. Акции и их оценка.............................231

Глава X ФОРФЕЙТИНГ - ИНСТРУМЕНТ ОПТИМИЗАЦИИ ФИНАНСОВЫХ РЕСУРСОВ .............................245
  10.1. Сущность форфейтинговой   операции ...........245
  10.2. Анализ позиции продавца.......................246
  10.3. Анализ позиций покупателя и банка ............256

Глава XI АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ ..................................... 259
  11.1. Принципы принятия инвестиционных решений и оценка денежных потоков........................259
  11.2. Метод расчета чистого приведенного эффекта (дохода) ....................................... 264
  11.3. Определение срока окупаемости инвестиций .....271

5

     11.4. Определение внутренней нормы доходности инвестиционных проектов............................275
     11.5. Расчет индекса рентабельности и коэффициента эффективности инвестиций...........................278
     11.6. Анализ альтернативных проектов .............280
     11.7. Анализ эффективности инвестиционных проектов в условиях инфляции ...............................285
     11.8. Риск и планирование инвестиционных проектов.289
     11.9. Оптимальное размещение инвестиций...........301
   11.10. Лизинг как форма финансирования инвестиционных проектов............................................304
   11.11. Определение стоимости инвестиционных ресурсов.308

   Глава XII ОСНОВЫ ВАЛЮТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ......................312
     12.1. Девизы и валютный курс .....................312
     12.2. Перекрестные курсы .........................315
     12.3. Виды сделок с иностранной валютой ..........318
     12.4. Расчет форвардного курса-аутрайта...........326
     12.5. Форвардные перекрестные курсы ..............327
     12.6. Разновидности кассовых и форвардных сделок..329

   Глава XIII ВВЕДЕНИЕ В АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ.....................331
     13.1. Основные понятия ...........................331
     13.2. Построение единовременных нетто-ставок по страхованию жизни и на случай смерти............332
     13.3. Расчет нетто-ставок по коммутационным числам.339
     13.4. Расчет годовых нетто-ставки и брутто-ставки.343

   ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Порядковые номера дней в году..........347
   ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Множители наращения (сложные проценты).... 348
   ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Дисконтные множители (сложные проценты) .... 360
   ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Коэффициенты наращения годовой ренты .... 372
   ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Коэффициенты приведения годовой ренты ...384

   ГЛОССАРИЙ ........................................... 396
   ЛИТЕРАТУРА .......................................... 406

ВВЕДЕНИЕ

   В настоящей работе изложены основные понятия, методы расчета и анализа, используемые в финансовых операциях, при оценке эффективности инвестиций в ценные бумаги и реальные инвестиции, а также начальные сведения по валютным и актуарным (страховым) вычислениям.
   В 1996 и 2002 гг. в Издательском Доме «ИНФРА-М» автором были опубликованы работы аналогичного содержания. Настоящее издание не претерпело структурных изменений по сравнению с изданием, выпущенным в 2002 г., однако в значительной степени подверглись переработке примеры и задачи. Это обусловлено теми изменениями, которые произошли в отечественной экономике (изменение налоговых ставок, кредитных ставок на рынках капитала и др.).
   Профессиональное занятие бизнесом требует умения оценивать все возможные варианты финансовых последствий при совершении любой сделки. Многие решения финансового характера, принимаемые на интуитивной основе, могут оказаться ошибочными. Владея знаниями и приемами формализованных оценок финансовых последствий, в большинстве случаев можно избежать дорогостоящих ошибок.
   В последнее время финансовые вычисления приобрели новое качественное содержание. В отечественной финансовой практике появились такие виды сделок, как учет долговых обязательств, фьючерсные, опционные, форфейтинговые и другие операции. Поэтому владение методами современных финансовых вычислений является необходимым условием успешной профессиональной деятельности предпринимателя, менеджера, банковского работника, бухгалтера, экономиста. Эти методы приобретают все большее значение при принятии управленческих решений, когда для их обоснования необходим расчет нескольких вариантов и нахождение оптимального.
   Цель данной работы — познакомить читателя с различными методами финансовых расчетов, применяемыми в бизнесе и управленческой деятельности.

7

Глава I





                ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ





   1.1. СУЩНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ

   Одним из факторов, влияющих на принятие финансовых решений, является временной фактор. Сущность этого фактора заключается в неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Денежная сумма, предоставленная в кредит, утрачивает через определенное время свою покупательную способность из-за инфляции, а также в результате того, что эта сумма, будучи инвестирована, могла бы принести доход в будущем. Поэтому владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: величины капитала, предоставляемого в кредит; срока, на который предоставлен кредит; величины ссудного процента или, иначе, процентной ставки.
   Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки для кредитора и стоимость кредита для заемщика. Она показывает, какая доля от суммы выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка рассчитывается как отношение дохода, полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине капитала, предоставляемого в кредит. Величина процентной ставки определяется отношением


. I
i =       ,
P • n

(1.1)


где i — процентная ставка, выраженная в долях единицы (десятичной дробью);
     I — величина дохода владельца капитала;
     Р — сумма капитала, предоставляемого в кредит;
     n — срок ссуды в годах.

   Пример 1.1. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через год должна получить 66,0 тыс. руб. (номинальная стоимость векселя). В момент приобретения цена векселя составила 60 тыс. руб. Определим доходность этой сделки, т.е. размер процентной ставки.


8

   По условию задачи первоначальная сумма капитала, предоставляемого в кредит, P = 60,0 тыс. руб., номинальная сумма векселя S = 66 тыс. руб., доход владельца векселя I = 66 - 60 = 6 тыс. руб.
   Отсюда i = -* ⁱ * * * * ⁶ * В-⁰- = 0,1 (10,0%).
              60,0 -1
   Таким образом, на каждые вложенные в вексель 1000 руб. фирма получит доход в размере 100,0 руб.

   Пример 1.2. Коммерческий банк приобрел на 2,0 млн руб. государственных облигаций со сроком погашения через 6 месяцев. По истечении указанного срока банк рассчитывает получить по облигациям 2140 тыс. руб. Определим доходность ГКО.
I = 2140 - 2000 = 140 тыс. руб.;


                           140


                     i =---------

                        2000 - 0,5

= 0,14 (14,0%).

   Используя выражение для расчета процентной ставки, мы

можем записать, что величина дохода определяется по формулам:

I = P - n - i;

(1.2)

I = P - n-—.

100

(1.3)

   В формуле (1.3) процентная ставка i выражена не десятичной дробью, а в процентах.

   В финансовых расчетах процентная ставка может измеряться не только в процентах или десятичных дробях, но и в натуральных дробях. Как правило, они используются с точностью до 1/₃₂.
   Величину I часто называют процентными деньгами или процентным доходом, а иногда просто процентами. В дальнейшем и мы будем пользоваться этим термином.
   В большинстве случаев начисление процентов производится с помощью дискретных процентов, т.е. когда в качестве периодов начисления берутся год, полугодие, квартал, месяц или определенное число дней. В некоторых случаях используется ежедневное или непрерывное начисление процентов.
   В практике используются различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма

9

может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться; в зависимости от этого различают следующие методы начисления процентов:
   • по простым процентным ставкам;
   • по сложным процентным ставкам.
   Сущность метода начисления по простым процентным ставкам сводится к тому, что проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит.
   Метод начисления по сложным процентным ставкам заключается в том, что в первом периоде начисление производится на первоначальную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процентами и в каждом последующем периоде проценты начисляются на уже наращенную сумму. Таким образом, база для начисления процентов постоянно меняется. Иногда этот метод называют «процент на процент».
   Другое различие методов начисления процентов заключается в установлении процентной ставки в качестве фиксированной или переменной величины. Так, например, в контракте может быть определена процентная ставка на первый год в одном размере, а на последующие годы предусматривается ее рост (снижение) на определенную величину. Кроме того, могут применяться «плавающие» ставки, величина которых «привязывается» к темпам инфляции или ставкам рефинансирования, объявляемым Центральным банком, или же ее изменение оговаривается какими-либо другими условиями. Например, в контракте оговаривается первоначальная процентная ставка (базовая ставка), которой пользуются только один период для начисления процентов (допустим, первый квартал), в дальнейшем она будет расти в соответствии с ростом темпов инфляции.


   1.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАРАЩЕННЫХ СУММ НА ОСНОВЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

   По условиям кредитного контракта начисленные проценты могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно с основной суммой долга по истечении срока контракта. В последнем случае сумма, получаемая кредитором, называется наращенной суммой. Таким образом, наращенная сумма есть результат сложения суммы, предоставляемой в кредит, и начисленных процентов.

10

   Формула определения наращенной суммы с использованием простых процентов (формула простых процентов) может быть записана в следующем виде:
              5 = P + I = P + P ■ n ■ i = P (1 + n ■ i), (1.4)
где S — наращенная сумма; значения символов Р, n, i даны при записи формул (1.1)-(1.3).
   Выражение (1 + n ■ i) называется множителем наращения простых процентов.

   Пример 1.3. Банк выдал районной администрации ссуду в размере 4,0 млн руб. сроком на 2 года по ставке простых процентов, равной 11% годовых. Определим проценты и сумму накопленного долга (наращенную сумму).
   По условию: Р = 4,0 млн; i = 0,11; n = 2 года;
   I = 4,0 ■ 2 ■ 0,11 = 0,88 млн руб.;
   S = 4,0 + 0,88 = 4,88 млн руб.
или по формуле (1.4)
   S = 4 (1 + 2 ■ 0,11) = 4,88 млн руб.
   При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражают дробным числом как отношение числа дней функционирования сделки к числу дней в году:


t n = , K
где t — число дней функционирования сделки (число дней, на которое предоставили кредит);
    К — временная база (число дней в году).
   В этом случае формула (1.4) примет вид:


S = P +1 = P11+-i |. I k I


(1.5)

   В ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом, т.е. продолжительность года (К) принимается равной 360 дням. Это так называемая германская практика. Проценты, рассчитанные с временной базой К = 360 дней и приближенным числом дней в месяце (30 дней), называются обыкновенными, или коммерческими. Существует «французская практика», когда продолжительность года принимается равной К = 360 дней, а продолжительность месяцев в днях соответству

11

ет календарному исчислению. Такой метод начисления процентов называют также обыкновенными процентами с точным числом дней ссуды. И наконец, в ряде стран используется «английская практика», учитывающая продолжительность года в 365 дней, а продолжительность месяцев — в днях, также соответствующих календарному исчислению, как и при использовании «французской практики», т.е. 28, 29, 30 и 31 день. В этой связи различают три метода процентных расчетов, которые зависят от выбранного периода начисления.
   1.   Точные проценты с точным числом дней ссуды («английская практика»). При этом методе определяется фактическое число дней (t) между двумя датами (датой получения и погашения кредита), продолжительность года принимается равной К = 365 (366) дней. В этом случае применяется обозначение 365/365.
   2.   Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды («французская практика»); величина t рассчитывается, как и в предыдущем случае. В этом случае применяется обозначение 365/360.
   3.   Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды («германская практика»); величина t определяется количеством месяцев по 30 дней в каждом начиная с момента выдачи ссуды и до момента ее погашения и точным числом дней ссуды в неполном месяце; продолжительность года К = 360 дней. В этом случае применяется обозначение 360/360.
   При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимаются за 1 день.

   Пример 1.4. Банк выдал кредит 18 января в размере 500,0 тыс. руб. Срок возврата кредита — 3 марта; процентная ставка — 12,0% годовых; год невисокосный. Определим сумму долга, подлежащую возврату. Рассчитаем ее тремя методами.
   Точное число дней ссуды определим по табл. 1 (Приложение 1): 62 - 18 = 44 дня.
   Такой же результат мы получим, рассчитывая число дней по календарю:
   С 18.01 по 31.01 включительно — 14 дней;
   февраль — 28 дней;
   март — 3 дня;
   итого — 45 дней;
   t = 45 - 1 = 44 дня.
   Приближенное число дней ссуды (продолжительность каждого месяца принимается за 30 дней):

12

   январь — 13 дней;
   февраль — 30 дней;
   март — 3 дня;
   всего — 46 дней;
   t = 46 - 1 = 45 дней.
   Возможные варианты расчета наращенной суммы:
   1) по точным процентам с точным числом дней ссуды:


                    (  44 А
5 = 50011 + -£—0,12 = 507,23 тыс. руб.;
                    I 365


  2)  по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды:


               (   44 А
5 = 11 +—0,12 = 507,33 тыс. руб.;
               I 365 ’


   3)   по обыкновенным процентам с приближенным числом дней ссуды:


                   (   45 А
5 = 11 + -£-0,12 = 507,50 тыс. руб.
                   I 365


   Приведенный пример свидетельствует, что для кредиторов наиболее предпочтительным является третий вариант начисления процентов.
   Между величинами процентного дохода, рассчитанными с использованием различной временной базы (13₆₀ и 13₆₅), при равном числе дней ссуды (t) существуют следующие соотношения:


I360. = 365 = 1,01388 и I³⁶⁵ = ³⁶⁰ = 0,9863.
                     360                    365
               365                    360


(1.6)

   Данные соотношения характеризуют зависимость величины процентного дохода от выбранной временной базы. По данным примера 1.4(2)
1360 = 5 0 7,33 - 5 0 0 = 7,33 тыс. руб.; 1₃6₅ = 7,23 тыс. руб.;


I360. = ⁷³³ = 1,0138 и ¹365 ⁷,²³


¹365 = 7²³
¹360   ⁷,³³

= 0,9863.

13

   Эти соотношения также могут быть использованы при определении эквивалентных процентных ставок, т.е. ставок, приносящих одинаковые процентные доходы при различных временных базах, но равных первоначальных капиталах:
             i360 = 0,9 8 6 3 • i₃₆₅; i₃₆₅ = 1,0 1 3 8 8 • i₃₆₀. (1.7)

   Пример 1.5. При выдаче ссуды 500,0 тыс. руб. на 15 дней по ставке 12% годовых, при К = 360 дней, наращенная сумма и процентный доход соответственно составят:

S = 5001 1 + -15-0,12 |=502,5 тыс. руб.; I = 2,5 тыс. руб.
            ^   360 ’ )     ’

      Определим величину процентной ставки, обеспечивающей такой же процентный доход при временной базе К = 365 дней:
i ₃₆₅ = 1,0 1 3 8 8 • 0,12 = 0,1216656.
   Проверим это вычисление:

S = 5001 1 + —0,1216656 |=502,5 тыс. руб.
^ 365 ’ J
   Как указывалось ранее, при заключении кредитного соглашения может быть установлена постоянная на весь период процентная ставка или изменяющаяся (переменная) процентная ставка.
   При установлении переменной процентной ставки, т.е. дискретно изменяющейся во времени ставки, наращенная сумма определяется по формуле


m

S = P (1 + И1 • z) + n 2

• i₂ +... + nₜ • iₜ) = P 1 + £nₜ • iₜ ,
1

(1.8)

где iₜ — ставка простых процентов в периоде t;
    nₜ — продолжительность начисления ставки it;
    m — число периодов начисления процентов.

   Пример 1.6. Банк предлагает вкладчикам следующие условия по срочному годовому депозиту: в первое полугодие процентная ставка 12,0% годовых, каждый следующий квартал ставка возрастает на 0,5%. Проценты начисляются только на первоначально внесенную сумму вклада. Определим наращенную за год сумму, если вкладчик поместил в банк на этих условиях 400,0 тыс. руб.:

S = 400(1 + 0,5 • 0,12 + 0,25 • 0,125 + 0,25 • 0,13) = 449,5 тыс. руб.
   Наряду с рассмотренным методом процентных начислений иногда прибегают к начислению процентов на уже наращенные

14