Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
С.В. НЕДЕЛЬКО, Г.Н. МИРЕНКОВА 
 
 
 
 
РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 
 
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом 
университета в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

УДК 517.518.45(075.8) 
Н 421 
 
 
Рецензенты: 
канд. пед. наук, доцент  А.Н. Буров 
д-р физ.-мат. наук, профессор  В.А. Селезнев 
 
 
 
Работа подготовлена кафедрой высшей математики 
 
 
 
Неделько С.В. 
Н 421      Ряды и преобразование Фурье. Специальные главы математического анализа: учебное пособие / С.В. Неделько, Г.Н. Миренкова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 62 с.  

ISBN 978-5-7782-3626-4 

Учебное пособие предназначено студентам технических факультетов, в программе обучения которых содержится тема «Ряды Фурье. 
Преобразование Фурье». Авторами предложено доступное изложение 
этой темы, достаточное для усвоения ее студентами нематематических специальностей. 
В пособии сначала дается теоретический материал с пояснениями 
и примерами, а затем приводятся условия задач типового расчета. 
 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 517.518.45(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3626-4 
© Неделько С.В., Миренкова Г.Н., 2018 
 
© Новосибирский государственный  
 
 технический университет, 2018 

 
 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение .................................................................................................................. 4 
§ 1. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ И ЕГО СВОЙСТВА ..................................... 5 
1. Бесконечномерные евклидовы пространства ............................................ 5 
2. Пространство L2 ........................................................................................... 7 
3. Определение обобщенного ряда Фурье. Сходимость в среднем ............. 8 
4. Свойства обобщенного ряда Фурье .......................................................... 10 
§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ ................................................... 12 
1. Примеры ортогональных в L2 систем тригонометрических  
функций ....................................................................................................... 12 
2. Разложение периодических функций в ряд Фурье на промежутке 
(–π, π) (период T = 2π) ................................................................................ 15 
3. Разложение периодических функций  в ряд Фурье на промежутке 
(–L, L) (период T = 2L) ............................................................................... 19 
4. Свойства тригонометрического ряда Фурье ............................................ 20 
5. Спектр функции. Энергия спектра. Оценка вклада k-й гармоники 
в общую энергию спектра ......................................................................... 25 
6. Метод Малиева построения быстросходящегося ряда ........................... 28 
7. Примеры ...................................................................................................... 29 
§ 3. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ ................................................. 42 
§ 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ................................... 46 
1. Интеграл Фурье в комплексной форме .................................................... 46 
2. Интеграл Фурье в действительной форме ............................................... 47 
3. Преобразование Фурье (в комплексной форме) ...................................... 47 
4. Некоторые свойства преобразования Фурье ........................................... 48 
5. Приложения преобразования Фурье ........................................................ 52 
§ 5. УСЛОВИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ............................................................ 56 
Библиографический список ................................................................................. 61 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Французский математик Фурье (1768–1830) – один из известных 
представителей математической французской школы наряду с Лагранжем и Коши. Ряды Фурье, открытые им в начале XIX века, были восприняты современниками как революция в математике. Почти весь 
ХХ век ряды и преобразование Фурье были основным математическим 
аппаратом радиотехники. И в настоящее время техника описывается 
математическим языком с помощью преобразования и рядов Фурье. 
В пособии рассмотрены обобщенный и тригонометрический ряды 
Фурье и их свойства, ряды Фурье в комплексной форме, интеграл и 
преобразование Фурье. Для усвоения темы требуется владеть материалом курсов математического анализа и линейной алгебры. 
Напомним отдельно некоторые способы приближения функций, 
которые потребуются далее при определении функционального пространства L2 и рядов Фурье, а также при рассмотрении свойств рядов. 
1. Локальное приближение – приближение функции в окрестности некоторой точки. Обычно требуется совпадение значений функции 
и ее производных с соответствующими значениями приближения 
функции в точке. Реализуется локальное приближение с помощью рядов Тейлора. 
2. Равномерное приближение. При этом способе требуется, чтобы 
погрешность во всех точках имела примерно один и тот же порядок малости. За критерий близости принимается наибольшее уклонение, максимум модуля разности между данной функцией и ее приближением. 
При интерполяции приближение в виде многочлена совпадает с 
функцией в нескольких данных точках (узлах интерполяции). Математическим аппаратом являются интерполяционные многочлены, например, Ньютона и Лагранжа. 
3. Приближение в среднем (по среднеквадратичному отклонению). В роли математического аппарата выступают ряды Фурье. Требуется минимизировать квадрат модуля разности между функцией и ее 
приближением. 

§ 1. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ  
И ЕГО СВОЙСТВА 

1. БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ  
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 

Вспомним определение n-мерного евклидова пространства.  
Определение. Евклидово пространство 
n
E  – это линейное пространство, в котором введено скалярное произведение элементов (векторов) пространства. 
Основными операциями в линейном пространстве являются сложение элементов и умножение элементов на числа. 
Определение. Скалярным произведением элементов 
n
x
E

, 
n
y
E

 
называется вещественное число, которое ставится в соответствие x   
и y , обозначается ( , )
x
y  и удовлетворяет следующим четырем аксиомам: 
1) ( , )
( , )
x y
y x

; 
2) (
, )
( , )
( , )
x
y z
x z
y z



; 
3) (
, )
( , ), 
x y
x y
K

 

 (K – числовое поле);  
 
  (1) 

4) ( , )
0,  если  
0;

( , )
0,  если  
0.

x x
x

x x
x







 

Элементы x  и y  называются ортогональными, если ( , )
0
x y 
.  
В геометрических векторных пространствах 
1
E , 
2
E , 
3
E  ортогональность означает перпендикулярность векторов. 
Норма вектора в пространстве 
n
E  (в пространствах 
1
E , 
2
E , 
3
E  
это длина вектора) вводится следующим образом:  

 
( , )
x
x x

. 
(2) 

Метрика (в геометрии расстояние между элементами x  и y ) определяется как x
y

. 
Основным понятием любого линейного пространства является базис, т. е. система максимального числа линейно независимых векторов. 
Любой вектор (элемент) пространства можно однозначно разложить  
по базису, т. е. представить в виде линейной комбинации базисных 
векторов: 

 
1

n
i i
i

x
x e

 
 
(3) 

в 
n
E , где  
ie
 – базис, 
ix  – координаты, n – размерность пространства. 
В ортогональном базисе (векторы ie  попарно ортогональны) 

 
2
( , 
)
i
i
i

x e
x
e

. 
(4) 

В ортонормированном базисе (
1
ie 
) получаем  

 
( , )
i
i
x
x e

. 
(5) 

Объектом изучения алгебры являются конечномерные (n-мерные) 
линейные пространства с конечными базисами. Например, у полинома 

0
1
( )
n
n
n
P x
a
a x
a x





 базисными будут степени 
:1, ,
,
n
x
x
x

, а 
координатами – 0
1
,
,
,
n
a
a
a

. 
Для бесконечномерных пространств ( n   ) вопросы выбора базиса и разложения вектора по базису – более сложная задача. Функции, 
в отличие от полиномов, представляются в виде бесконечных рядов.  
Можно показать, что функциональные пространства являются бесконечномерными. Элементы таких пространств – функции, а базис в 
них – это полная бесконечномерная система линейно независимых 
функций 

( )
k x

. Понятие полноты будет уточнено далее.  
Представим (формально) функцию рядом 

 
1
( )
( )
k
k
k

f x
c
x






. 

Если этот ряд сходится к 
( )
f x , то говорят, что 
( )
f x  разлагается по 
базису 

( )
k x

. Ниже будут рассмотрены различные виды сходимости.  
Фактически с разложением функции по базису мы уже встречались 

при изучении ряда Тейлора 

( )
0
0
0

(
)
( )
(
)
!

k
k

k

f
x
f x
x
x
k







. Здесь 

( )
0
(
)
!

k

k

f
x
c
k

 есть коэффициенты ряда, а 

0
(
)k
x
x

 – базис. 

2. ПРОСТРАНСТВО L2 

Определение. 1. Обозначим через 
2
L  множество всех кусочно
непрерывных на 

, 
a b  функций таких, что 
2( )
b

a
f
x dx  

. 

2. Определим скалярное произведение на 
2
L  следующим образом: 

2
2
( )
,
( )
f x
L
g x
L




   ( , )
( ) ( )
b

a

f
g
f x g x dx
 
. 

3. Норма в 
2
L  есть 

1
2
2
( , )
( )
b

a

f
f
f
f
x dx



 







, 
0
f 
 при 

0
f 
. 
Легко проверить, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем четырем аксиомам скалярного произведения, привычного для геометрических векторов. Норма в 
2
L  есть 
аналог длины геометрических векторов, которая в 
n
R  равна 

1
2
2

1

n
i
i
x
x




 




. Нетрудно убедиться из свойств интегралов, что норма 

удовлетворяет аксиомам: 
1) 
2
0
f
f
L
 

, при этом 
0
0
f
f



; 
2) 
2
,  
f
f
R
f
L

 


; 

3) 
2
,  
f
g
f
g
f
g
L





 (неравенство Минковского). 
В пространствах 
2
E , 
3
E  для геометрических векторов третья аксиома есть классическое неравенство треугольника. 

Ортогональность в пространстве 
2
L  означает: 
( ) ( )
0
b

a
f x g x dx 


 


( )
f x  и 
( )
g x  – ортогональные функции. Ортогональность функций 
в 
2
L , как и в других функциональных пространствах, не означает перпендикулярности графиков этих функций, это верно для геометрических векторов в пространствах 
2
E  и 
3
E . 
Множество кусочно-непрерывных функций образует линейное 
функциональное пространство. Поскольку в этом линейном пространстве введено скалярное произведение, 
2
L  – евклидово. Таким 
образом, пространство 
2
L  – бесконечномерное евклидово пространство (оно является частным случаем так называемых гильбертовых 
пространств). 

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЯДА ФУРЬЕ.  
СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ 

Пусть 
2
( )
f x
L

 и пусть 

( )
k x

, 
1, 2,...
k 
 – ортогональная си
стема функций, т. е. 
2
(
, 
)
0,
,

(
, 
)
0.

k
m

k
k
k

k
m




 

 


 Пусть эта система функций 

линейно независима и образует базис, по которому можно разложить 
( )
f x , т. е.  

 
1
( )
( )
k
k
k

f x
c
x






. 
(1) 

Частичная сумма ряда есть 
1
( )
( )
n
n
k
k
k
P x
c
x




. 

Разложение функции в какой-либо ряд применимо при решении 
реальных инженерных задач тогда только, когда ряд сходится. Суще

ствует несколько видов сходимости рядов, таких как поточечная, равномерная, сходимость в среднем. Сходимость ряда (1) будем понимать 
как сходимость в среднем. 
Определение. Говорят, что ряд (1) сходится к функции 
( )
f x  в 
среднем, если среднеквадратичное отклонение  

 

2
2

1
( )
( )
0
b
n
n
k
k
k
a
f
P
f x
c
x
dx















  при  n   . 
(2) 

Если (2) выполнено для любой функции 
2
( )
f x
L

, то система 
функций 

( )
k x

 называется полной. Полнота системы функций 


( )
k x

 означает, что при присоединении какой-либо функции 
( )
x

 к 
системе 

( )
k x

 система функций 

( ), 
( )
k x
x


 станет линейно зависимой.  
Система функций 

( )
k x

 является полной, если не существует 
ненулевого элемента пространства, ортогонального всем базисным 
элементам 

( )
k x

 одновременно. 
Замечание. Существуют другие определения полноты системы 
функций. Здесь приведено наиболее простое для понимания. 
Доказательство полноты системы функций является более сложной 
задачей, чем доказательство их ортогональности, и в пособии не приводится, поскольку относится к курсу функционального анализа. 
Найдем коэффициенты 
kc  из (1). Умножим скалярно (1) на 
k
  и 
получим ( , 
)
(
, 
)
k
k
k
k
f
c




. Следовательно,  

 
2
2

( )
( )
( , 
)
( , 
)
:
(
, 
)
( )

b
k
k
k
a
k
b
k
k
k
k
a

f x
x dx
f
f
c

x dx
















. 
(3) 

Если 
1
k

 , т. е. система является ортонормированной, то  

 
( )
( )
b
k
k
a
c
f x
x dx



.  
(4) 

Определение. Обобщенным рядом Фурье называется разложение (1) произвольной функции 
2
( )
f x
L

 по полной ортогональной 
системе функций 

( )
k x

, если сходимость ряда понимается как сходимость в среднем, а коэффициенты kc  определяются из (3). Коэффициенты kc  называются коэффициентами обобщенного ряда Фурье. 

4. СВОЙСТВА ОБОБЩЕННОГО РЯДА ФУРЬЕ 

Пусть 

( )
k x

 – ортонормированная система, 
kc  определяются 

из (3), тогда 
1
( )
( )
n
n
k
k
k
P x
c
x




 – многочлен Фурье. Рассмотрим обоб
щенный многочлен 
1
( )
( )
n
n
k
k
k
Q
x
x


 

, где 
k
  не являются коэффици
ентами Фурье. 

Свойство 1. Минимальное свойство коэффициентов Фурье 

ТЕОРЕМА. Среди всех обобщенных многочленов n-го порядка 
наилучшее среднеквадратичное приближение функции 
2
( )
f x
L

 на 



, 
a b  дает многочлен Фурье, т. е. 
2
min
n
f
Q


 при 
k
kc


.  

Д о к а з а т е л ь с т в о 


2
2
2
2
( )
( )
( )
2 ( )
( )
( )
b
b
n
n
n
n
a
a

f
Q
f x
Q
x
dx
f
x
f x Q
x
Q
x
dx













 

2
2

1
1
( )
2
( ) ( )
b
b
n
n
k
k
k
k
k
a
a
f
x dx
x f x dx













 

2
2
2
2

1
1
1
1
( )
2
b
n
n
n
n
k k
k
k
k
k
k
k
k
a

f
x dx
c
c
c








 


 











 


2
2
2

1
1
( )
b
n
n
k
k
k
k
k
a

f
x dx
c
c




 




. 

Первое и последнее слагаемые не зависят от выбора многочлена 
( )
n
Q
x , а среднее слагаемое достигает минимума при 
k
kc


, что и 
требовалось доказать. 

Свойство 2. Неравенство Бесселя 

2
2

1
( )
b
n
k
k
a
c
f
x dx




,  или  
2
2

1

n
k
k
c
f



. 

Д о к а з а т е л ь с т в о 
Из доказательства теоремы (свойство 1) следует, что при 
k
kc
 
 

выполняется 
2
2
2

1
( )
( )
0
b
n
n
k
k
a
f
P x
f
x dx
c







, откуда следует нера
венство Бесселя. 

Свойство 3. Равенство Парсеваля 

2
2

1
( )
b
k
k
a
c
f
x dx






,  или  
2
2

1
k
k
c
f





. 

Д о к а з а т е л ь с т в о  
Из определения сходимости в среднем (2) и неравенства Бесселя 

2
( )
0
n
f
P x


 при n   , т. е. 
2
2

1
( )
0
b
n
k
k
a
f
x dx
c






, что и требова
лось доказать.