Решение задач по аналитической геометрии

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
А.М. ИВЛЕВА, О.Ю. БРЕДНИХИНА, Д.Р. КОВАЛЬЧУК  
 
 
 
 
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ  
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ  
ГЕОМЕТРИИ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 514.12(075.8) 
         И 255 
 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, профессор А.Г. Пинус 
доцент Э.Б. Шварц 
 

Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики  
для студентов I курса всех факультетов 

 
 
 
Ивлева А.М. 
И 255   
Решение задач по аналитической геометрии: учебное пособие / А.М. Ивлева, О.Ю. Бреднихина, Д.Р. Ковальчук. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 58 с. 
 
      ISBN 978-5-7782-4218-0 
 
Пособие представляет собой сборник очень подробных решений задач по аналитической геометрии с использованием таблиц различных 
видов уравнений прямой на плоскости, плоскости и прямой в пространстве. 
 
 
УДК 514.12(075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-4218-0  
 
 
 
 
 
© Ивлева А.М., Бреднихина О.Ю., 
    Ковальчук Д.Р., 2020 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
 

Предисловие ............................................................................................................. 4 

1. Задачи на прямую на плоскости ......................................................................... 5 

2. Задачи на плоскость ........................................................................................... 20 

3. Задачи на прямую в пространстве .................................................................... 34 

4. Плоскость и прямая в пространстве ................................................................. 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Цель настоящего пособия – научить студентов I курса решать задачи 
по аналитической геометрии, относящиеся к темам: «Прямая на плоскости», «Плоскость», «Прямая в пространстве». В пособии представлены 
таблицы различных видов уравнений перечисленных геометрических 
объектов. Таблицы содержат не только виды уравнений, но и, что самое главное, геометрический смысл параметров этих уравнений. Все 
подробные решения задач основаны именно на использовании таблиц. 
Глядя в таблицы, нужно научиться выбирать тот вид уравнения, который использует данные о геометрическом объекте, содержащиеся в 
условии задачи. Кроме того, во всех решениях объясняется, как проверить полученный ответ. Последнее очень важно, так как заставляет понимать смысл того, что мы сделали в решении. Предполагается, что 
теоретические сведения по перечисленным разделам, а также по векторной алгебре читателю известны, например, из пособия А.М. Ивлевой, П.И. Прилуцкой, И.Д. Черных «Линейная алгебра. Аналитическая 
геометрия». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ 
НА ПЛОСКОСТИ 

Существует так называемое общее уравнение прямой на плоскости 
0
Ax
By
C



. В принципе, любую задачу можно решить, пользуясь 
только этим уравнением. Однако решение может оказаться очень длинным. Если же пользоваться специальными видами уравнений, приведенными в таблице, решение станет коротким и понятным. Таблица содержит название уравнения, вид уравнения, и, что самое главное, геометрический смысл параметров уравнения. Параметрами называются 
все буквы, входящие в уравнение, кроме x и y. Так, общее уравнение 
прямой имеет три параметра: А, В, С. Каков их геометрический смысл? 
Вектор 
( ,
)
n
А В

 – это вектор нормали к прямой, т. е. вектор, перпендикулярный прямой; вектор 
(
,
)
s
В А
 
 – направляющий вектор пря
мой, т. е. вектор, параллельный прямой; 

2
2
С

А
В
 

 – расстояние от 

начала координат до прямой. 
Общий алгоритм решения задач на прямую на плоскости следующий. 
1. Из условия задачи понять и четко сформулировать, что известно 
про прямую. 
2. Найти в таблице вид уравнения, в котором используются именно 
эти данные. 
3. Подставить значения параметров в подходящий вид уравнения и 
привести уравнение к общему виду (табл. 1). 

Т а б л и ц а  1 

Различные уравнения прямой на плоскости 

Название уравнения 
Вид уравнения 
Геометрический смысл  
параметров 

1. Общее уравнение 
прямой 

Ax + Bу + C = 0 

 

( , )
n
A B
l

 ; 
(
, ) ||  
s
B A
l
 
 

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
перпендикулярно 
данному вектору 
0
0
(
)
(
)
0
A x
x
B y
y




 

 

( , )
n
A B
l

 ; 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
l
  

3. Каноническое 
уравнение прямой 

0
0
x
x
y
y
p
q



 

 

( , )  
s
p q
l

‖ ; 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
l
  

4. Параметрические 
уравнения прямой 

0

0

;
x
x
pt
y
y
qt







 

 

( , )  
s
p q
l

‖ ; 
0
0
0
(
,
)
M
x
y
l
  

П р о д о л ж е н и е  т а б л .  1 

Название уравнения 
Вид уравнения 
Геометрический смысл  
параметров 

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки 

1
1

2
1
2
1

2
1
1

1
2
1

(
)(
)

(
)(
)
0

x
x
y
y
x
x
y
y

y
y
x
x

х
х
y
y
















 
 

1
1
1
(
,
)
M
x y
l
 ; 
2
2
2
(
,
)
M
x
y
l
  

6. Нормальное уравнение прямой 

cos
sin
0
x
y
p
 
 

 

 
p ≥ 0 – расстояние от начала 
координат до прямой 

7. Уравнение прямой в отрезках на 
осях ( l
Ох

, l
Оy

, 
O(0, 0) ∉ l ) 
1
x
y
a
b

  

 
a – отрезок на Ox, 
b – отрезок на Oy 

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (l
Оy

) 

y
kx
b


 
 
tg
k 
  – угловой  
коэффициент, 
b – отрезок на Oy 

О к о н ч а н и е  т а б л .  1 

Название уравнения 
Вид уравнения 
Геометрический смысл  
параметров 

9. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку 
0
0
(
)
y
y
k x
x



 

 
k – угловой коэффициент,  

0
0
0
(
,
)
M
x
y
l
  

ЗАДАЧА 1.1. В треугольнике АВС найти: 
1) уравнение стороны АВ; 
2) уравнение медианы АМ; 
3) уравнение высоты АD и ее длину; 
4) уравнение биссектрисы AN внутреннего угла А. 

А(–2; –6), В(–1; 1), С(8; 4). 

Р е ш е н и е  
1. Что известно про прямую АВ из условия задачи? Известны координаты двух точек: А (–2; –6), В (–1; 1). Значит, в табл. 1 мы ищем такой 
вид уравнения, который использует координаты двух точек, лежащих 
на прямой. Это вид 5:  

1
1

2
1
2
1

х
х
y
y
х
х
y
y





. 

Здесь параметрами являются 
1
2
1
2
, 
,  , 
x
x
y
y . При этом 
1
1
,  
x
y  – координаты одной точки, 
2
2
,  
x
y  – другой. 
В нашей задаче 
1
1
,  
x
y  – координаты A, 
2
2
,  
x
y  – координаты В. Так 
как А (–2; –6), то 1
1
 2,  
 6
x
y

 . Аналогично, если В (–1; 1), то 
2
 1,
x 

2
1 .
y 
 Осталось в вид 5 подставить эти числа: 

( 2)
( 6)
1
( 2)
1
( 6)
x
y
 
 

  
 
. 

Обратите внимание, что числа подставляются вместо параметров, а 
вместо x и y не подставляем ничего. Приведем полученное уравнение к 
общему виду: 

2
 
6
1 2
1 6
x
y



 

;      
2
6
1
7
x
y



; 

7(
2)
1(
6)
x
y



;     7
14
6
x
y



; 

7
14
6
0
x
y




;     7
8
0
x
y



 

Это и есть уравнение АВ. Всякий раз, когда мы находим ответ задачи, необходимо его проверить. Это очень важно, так как необходимость проверки заставляет понять, что же мы сделали. Если найденное 
уравнение действительно уравнение прямой АВ, то координаты точек А 
и В должны ему удовлетворять. Подставим координаты А и В в найденное уравнение: 

А: 7(–2) – (–6) + 8 = –14 + 6 + 8 = 0, 

В: 7(–1) – 1 + 8 = –7 – 1 + 8 = 0. 

Вот теперь ясно, что уравнение АВ найдено верно. 
2. Что известно из условия задачи про медиану АМ? Известна 
точка А. А можно ли найти координаты М? М является серединой отрезка ВС (рис. 1.1), а координаты середины отрезка равны полусумме 
координат его концов. 
Значит, 

1 8
7 ,
2
2
2

B
C
M
x
x
x

 



 

1 4
5
2
2
2

B
C
M
y
y
y





. 

Итак, 
7 5
,
2 2
М 





. 
 

Рис. 1.1 

Теперь про прямую АМ знаем координаты двух точек: А(–2; –6), 
7 5
,
2 2
М 





. Опять используем уравнение вида 5: 

( 2)
( 6)
7
5
( 2)
( 6)
2
2

x
y
 
 

 
 
;      
2
6
7
5
2
6
2
2

x
y





; 

2
6
11
17
2
2

x
y



;      17
11
(
2)
(
6)
2
2
x
y



; 

17(
2)
11(
6)
x
y



;      17
34
11
66
x
y



; 

17
11
34
66
0
x
y




; 

АМ: 17
11
32
0.
x
y



 

Проверку делаем аналогично пункту 1 решения задачи. 

А: 17(–2) – 11(–6) – 32 = –34 + 66 – 32 = 0, 

М: 
7
5
119
55
64
17
11
32
32
32
0
2
2
2
2
2










. 

 

Рис. 1.2 

3. Что известно про высоту АD из условия 
задачи? Известна точка А. Но высота АD перпендикулярна стороне ВС. Значит, прямая АD
перпендикулярна вектору ВС . Итак, про высоту АD знаем точку и перпендикулярный вектор (рис. 1.2). Ищем в таблице такой вид уравнения, который использует координаты точки и
координаты вектора, перпендикулярного данной прямой. 

Это вид 2: 
0
0
(
)
(
)
0.
A x
x
B y
y




 
Здесь 
0
0
,  
x
y  – координаты точки, А, В – координаты перпендикулярного 
вектора. В нашем условии 
0
0
,  
x
y  – координаты точки А(–2, –6),  

А, В – координаты вектора 


8 ( 1), 4 1
(9,3)
ВС 
 


. Теперь подставим 

в вид 2 вместо А и В числа 9 и 3, а вместо 
0
0
,  
x
y  числа –2, –6. Получаем: 





9
( 2)
3
( 6)
0
x
y
 

 

,    9(
2)
3(
6)
0.
x
y




 

Сокращаем на 3: 

3(
2)
(
6)
0;
x
y




    3
6
6
0;
x
y
 


 

AD: 3
12
0.
x
y



 
Как проверить полученный ответ? Во-первых, прямая AD должна 
проходить через точку А, значит, координаты этой точки должны удовлетворять полученному уравнению. 
Подставляем: 3(
2)
( 6) 12
6
6 12
0.

 

   

 

Во-вторых, прямая AD должна быть перпендикулярна вектору ВС . 
Значит, направляющий вектор AD должен быть перпендикулярен вектору ВС . Проверим это. 
( 1, 3)
AD
s
 
 (см. в табл. 1, уравнение вида 1 и 
геометрический смысл параметров этого вида). Как проверить перпендикулярность векторов 
AD
s
 и ВС  ? Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Проверяем: AD
s
 ꞏ ВС  = (–1, 3)(9, 3) = –9 + 9 = 0. Значит, прямая AD перпен
дикулярна вектору ВС . Теперь понятно, что уравнение AD найдено 
верно. 
Что касается длины высоты AD, то это не что иное, как расстояние 
от точки А до прямой ВС. Следовательно, нужно составить уравнение 
ВС. Делаем это в точности так, как находим уравнение АВ в пункте 1 
решения задачи. 

1
1
, 
x y  – координаты В (–1, 1), 

2
2
, 
x
y  – координаты С (8, 4). 

1
1

2
1
2
1

x
x
y
y

x
x
y
y





,      
( 1)
1
8
( 1)
4 1

x
y
 


 

, 

1
1
9
3

x
y



,    3(
1)
9(
1)
x
y



.