Поступаем в лицей : сборник задач и упражнений по математике

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
А.Г. КАЛАШНИКОВА, Е.В. ПОДОЛЯН 
 
 
 
 
ПОСТУПАЕМ В ЛИЦЕЙ 
 
Сборник задач и упражнений 
по математике 
 
2-е издание 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

 

УДК 51 (076.1) 
         К 17 
 

Рецензенты: 

О.Е. Рощенко, канд. пед. наук, ст. преп. 
Л.А. Пирожкова, учитель высшей категории 
 
Работа подготовлена в лицее НГТУ для учащихся 9-х классов,  
поступающих в Инженерный лицей 
 
 
 
 
Калашникова А.Г.  
К 17 
  
Поступаем в лицей : сборник задач и упражнений по математике: учебное пособие / А.Г. Калашникова, Е.В. Подолян. – 
2-е изд. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2018. – 72 с. 
 

ISBN 978-5-7782-3466-6 

 
Настоящее издание рассчитано на учащихся 9-х классов, желающих поступить в Инженерный лицей НГТУ. В него включены программа, краткое изложение теоретического материала, упражнения по 
темам, изученным в средних классах общеобразовательной школы, 
варианты заданий, которые предлагались в предыдущие годы. 
 
 
 
 
 
 
УДК 51 (076.1) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-3466-6  
 
 
 
© Калашникова А.Г., Подолян Е.В., 2011, 2018 
© Новосибирский государственный           
    технический университет, 2011, 2018   

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
Для успешного тестирования при поступлении в Инженерный лицей необходимо обобщить и систематизировать знания по математике. 
Предлагаемый сборник упражнений по математике должен помочь 
Вам в этом. В нем дается программа для подготовки, справочный материал по некоторым темам, а также варианты заданий, предлагавшихся поступавшим в предыдущие годы.  
Пособие можно использовать по-разному. Если вы считаете, что 
имеете достаточную подготовку по математике, то советуем сразу 
начать с решения вариантов заданий. Если же задания окажутся трудными или Ваша подготовка недостаточная, то прорабатывайте темы в 
соответствии с программой, а затем приступайте к решению заданий в 
вариантах. 
Желаем успехов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ 

1. Действительные числа. 
2. Алгебраические выражения. Многочлены. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочленов на множители. Преобразования выражений с целыми показателями. 
3. Алгебраические дроби. Преобразование выражений, содержащих 
алгебраические дроби. 
4. Линейная функция. Свойства, график. Линейные уравнения и 
неравенства, их системы. 
5. Квадратичная функция. Свойства, график. Квадратные уравнения и неравенства, их системы. 

6. Функции 
3
y
kx

, 
k
y
x

, y
k
x

. Свойства, графики. 

7. Дробно-линейные и дробно-рациональные уравнения и неравенства. Метод интервалов. 
8. Преобразование выражений, содержащих корни. 
9. Построение области, заданной системой неравенств и уравнений. 
10. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего 
члена и суммы членов прогрессий, применение их при решении задач. 
11. Решение задач на составление уравнений. 
12. Треугольники и четырехугольники. Виды, их свойства. Вычисление площади. 
13. Окружность. Свойства касательных и хорд. Вычисление  вписанных углов с вершиной внутри и вне круга. 
14. Правильные многоугольники. Выражение их сторон через радиусы вписанной и описанной окружностей. Вычисление площади. 

2. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ И УПРАЖНЕНИЯ 

В этом разделе даны основные формулы, примеры решения задач и 
набор упражнений по некоторым темам. 
 

2.1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 

Числа 1, 2, 3, …, использующиеся при счете или для обозначения 
порядкового номера предмета, называются натуральными. Натуральные числа обозначают буквой n, множество натуральных чисел буквой 
N. Тот факт, что число n является натуральным, записывают n
N

. 
Натуральные числа, числа, противоположные им, и число 0 называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают буквой Z. 
Примеры целых чисел: –10; –4; –1; 0; 1; 2;7. 

Числа, представимые в виде m
n , где m  – целое число, а n – нату
ральное, называют рациональными. О них также говорят, что это – целые 
и дробные числа (положительные и отрицательные). Множество рациональных чисел обозначают буквой Q. Например: –4; 0,1; ⅓; 3,2; 13/11. 
Если рациональное число представить десятичной дробью, то это 
будет конечная дробь или бесконечная периодическая. 
Числа, не представимые целыми и обыкновенными дробями, называют иррациональными. При представлении иррационального числа 
десятичной дробью получают бесконечную непериодическую дробь. 
Например: 
2
1,4142...

 
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел 
называют множеством действительных чисел и обозначают буквой R. 
Если 
0, 
0, , 
a
b
x y


 – действительные числа; n, k – натуральные 
числа, то 

,
x
y
x y
a
a
a 


  
 
 
 
1
1
a
a

 
, 

:
,
x
y
x y
a
a
a 

  
 
 
 
1
x

x
a
a

 
, 

(
)
,
x
y
xy
a
a

 
 
 
 
 
,
n
n
n
ab
a
b


 

(
)
x
x
x
a
b
ab


,  
 
 
 
,

n
n
n
a
a
b
b

 

:

x

x
x
a
a
b
b


 



,  
 
 
 


,
k
n
k
n a
a

 

0
1,
a 
  
 
 
 
 
 
, 
2

n
k
n
k
a
a
k


. 
 

Упражнения 

Выполните действия, не используя калькулятор. 
 

1. 

7
8

13
7
7
7

; 

2. 

4
9

12
6
6
6




; 

3. 

4

3
2,4 10
2 10






; 

4. 

6

4
2,8 10
2 10






; 

5. 
5
0,001
10
; 

6. 

6
5

10
4
16
8






; 

7. 4 4 64

; 

8. 4 9 81 ; 

9. 3
3
0,5
1,25

; 

 

10. 
3
5
4 0,0001
125
1024


; 

11. 7 125 625 3125


; 

12. 12
45
18


; 

13. 3
3
3
48
135
900


; 

14. 

2
3
3 8
3
625
125
36


; 

15.

7
5

3
128
32

81
64




; 

16. 

2
1
1
0
1
2

2
3
1
7
3
5
2 10
6
5
3
2
4







 















 




; 

17.
 


2
1
0
3
1,5
1
1
3
1,5
2,25
2
3
2
7














 



















. 

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби. 

18. 

4
3

49
;  
 
 
19. 

4
2

49
; 
 
 
 
20. 
1

2
3

; 

21. 
1
2 2
3 3

;  
22. 
5
2 2
3 5
4 2


; 
 
23. 
12
6
30
15


. 

Освободитесь от иррациональности в числителе дроби. 

24. 
7
3
2

;  
 
25. 3 5
4 2
5
2 2


; 
 
 
26. 2 2
3 3
3

. 

 

2.2. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ 

Основные способы разложения многочлена на множители: 
– вынесение общего множителя за скобки; 
– группировка с последующим вынесением общих множителей за 
скобки; 
– использование формул сокращенного умножения; 
– разложение квадратного трехчлена на множители. 

Формулы сокращенного умножения 




2
2
a
b
a
b
a
b




, 



2
2
2
2
a
b
a
ab
b




, 



2
2
2
2
a
b
a
ab
b




, 



3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b





, 



3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b





, 





2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b





, 





2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b





. 

Выражение 
2
ax
bx
c


 называется квадратным трехчленом. Если 

1
2
, 
x
x  – корни трехчлена, то формула разложения квадратного трехчлена на множители имеет следующий вид: 




2
1
2
ax
bx
c
a x
x
x
x





. 

Упражнения 

Разложите многочлены на множители: 
27. a2 + 2ab;  
 
 
 
 
31. 
2
2
ax
bx
bx
ax
a
b





; 
28. 2
6
a
b

; 
 
 
 
 
 
32. 
2
(
)
(
)(
)
a
b
a
b a
b




; 
29. 
2
2
ab
a b

;  
 
 
 
 
33. 
2
2
(
1)
(
1)
a
x
b
x



; 
30. 
2
2
3
3
a
b
a
b



;  
 
 
34. 
2
(
)
4
x
y
xy


; 

35. 
2
2
2
(
1)
4
a
a


;  
 
 
40. 
2
2
4
2
a
a


; 
36. 
2(
2)
(2
)
m
a
n
a



;  
 
41. 
2
2
x
x


; 
37. 
3
2
(
)
(
)
a
b
a a
b



;  
 
42. 
2
2
13
7
x
x


; 
38. 
3
2
3
9
27
x
x
x



;  
 
43. 
2
3
2
x
x


. 
39. 
2
2
10
25
4
y
y
m



; 
Упростите выражения: 
44. 
2
3
2
3 (
3)
x
x x



;  
 
  48. 
2
2
(2
)(4
2
)
m
n
m
mn
n



; 
45. 
2
9
(5
1)(2
3)
x
x
x



;  
  49. 
2
(
)(
)
2 (
)
(
)
a
b a
b
a a
b
a
b






; 
46. 
2
(3
1)(
2)
(3
5 )
x
x
x
x




;   50. 
2
2
(
2 )(
2 )(
4
)
a
b a
b a
b



; 
47. 
2
2
5
4
( 3
)
a
b
a
b

 

;  
  51. 
2
2
3
(
2 )(
2
)
(
) .
x
a x
xa
a
x
a





 

2.3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ 

Преобразование выражений, содержащих степени  
с рациональным показателем и радикалы 

Алгебраической дробью называется дробное рациональное выражение, являющееся частным от деления многочленов. 
Многочлен степени n записывают в виде 
1
2
0
1
2
n
n
n
a x
a x
a x




  

1
...
n
n
a
x
a




 и называют расположенным многочленом степени n 
относительно x, где 
0
1
, , ...
a
a
– коэффициенты многочлена. Для сокращенного обозначения многочлена употребляют следующие записи: 

( ),
P x  
( ),
Q x
 
( )
R x  и т. д. Тогда алгебраическая дробь имеет вид 
( )
( )

R x
Q x . 

Для упрощения выражений, содержащих алгебраические дроби, 
применяют разложение многочленов на множители, сокращение дробей, приведение их к общему знаменателю. Основные свойства степеней и радикалов представлены в разделе 2.1. 

Упражнения 

Сократите дроби: 

52. 

3
2
3

4
2
3
4
a x
a x
a x
a x


;   
 
53. 

3
3

2
2
a
b
a
b


; 

54. 

4
4

2
2

x
y
y
x


; 
 
 
 
57. 2

1
2

x
x

x




; 

55. 3
2

2
3

x

x
x




;  
 
 
58. 
2
2
2
2
2
2
an
a
cn
c
an
a
nc
c






; 

56. 



2

2
6
3

3
3
18

x

x
x





; 
 
59. 

1
1
5
5
2 5

n
n

n





. 

Упростите выражения: 

60. 
2
2
1
1
ac
c
a
ac



; 

61. 

2
2

2
2
4
3
2;
2
an
n
a
an
n
a





 

62. 
4
3
3
4
4
2
2
1
1
1
2
2
2
2
a
a x
a x
a
a
a x





; 

63. 





2
2
1
1
1
1

m m
m
m
m
m














; 

64. 3
3
5
5
x
y
x
y
x
x
y
x











; 

65. 



2
2

1
2
5
2
2
2
4
n

x
nx
n
n
x
n
x
n
x
x 












; 

66. 

2

2
2
2
2
2
1
2
2
(2
)
:
4
(
2 )
4
2

x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
xy
y













; 

67. 

2

2
3
2
2
1
x
y
y

x
y
y
xy
x
xy
x
xy

















; 

68. 

2
2

2
3
27
6
9
3
9
6
a
a
a
a
a
a













; 

69. 

2

2
3
2
6
10
:
1
3
3
1
1
6
9
a
a
a
a
a
a
a
a












; 

 

70. 

1
2
2

1,5
0,5
0,5
0,5
:
a
b
a
b
a
a
ab
a
b
b










 







; 

71. 

2
2
1
0,5
1,5
0,5
0,5
x
y
x
y
xy
xy
x
y
x













; 

72. 




0,5
1

1
0,5
1
1
1
1

a
a
a
a











; 

73. 






1
2

0,5
ab
ab
ab
ab
a
a
b
a
ab























, 
0,
.
ab
a
b


 

2.4. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 
НЕРАВЕНСТВА, ИХ СИСТЕМЫ 

Линейной называется функция, которая задается формулой 
y
kx
b


, где 
 и 
k
b  – действительные числа; k – угловой коэффициент; b – начальная ордината. 
Если 
0
k 
, то y
b

 – постоянная величина.  
Если 
0
b 
, то y
kx

 – прямая пропорциональная зависимость. 

Основные свойства функции y = kx + b  

 
( )
,
D x
R

 область определения – множество действительных чисел; 
 
( )
,
E y
R

 множество значений – все действительные числа; 
 функция ни четная, ни нечетная; 
 если 
0
k 
, то функция возрастает, если 
0
k 
, то функция убывает. 
График линейной функции `
y
kx
b


 – прямая.  
Уравнение вида ax
b

, где  и 
a
b  – действительные числа, называется линейным уравнением с одной переменной. 

При 
0
a 
 уравнение имеет один корень b
a ; при 
0
a
b


 уравне
ние имеет бесконечное множество корней (решений), так как равен