Передающие электрические сети

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
Т.Г. КРАСИЛЬНИКОВА 
 
 
 
 
 
ПЕРЕДАЮЩИЕ  
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СЕТИ 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 621.315.1.016.31(075.8) 
           К 78 
 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, доцент В.М. Левин 
д-р техн. наук, доцент А.Г. Русина 
 
 
 
Красильникова Т.Г. 
К 78 
  
Передающие электрические сети: учебно-методическое пособие / Т.Г. Красильникова. ‒ Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 
80 с. 
 
ISBN 978-5-7782-4194-7 
 
Настоящее пособие содержит теоретический материал и учебно-методические указания к лабораторным работам по курсу «Передающие 
электрические сети». Пособие адресовано магистрантам, обучающимся по направлению 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника», а также студентам старших курсов бакалавриата. 
 
 
Работа подготовлена на кафедре автоматизированных 
электроэнергетических систем и утверждена  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебно-методического пособия 
 
 
УДК 621.315.1.016.31(075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-4194-7  
 
 
 
 
 
© Красильникова Т.Г., 2020 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
 

Введение ................................................................................................................... 4 

Лабораторная работа № 1. Несимметрия в длинных линиях ............................... 5 

Лабораторная работа № 2. Способы снижения несимметрии  
в длинных линиях .................................................................................................. 28 

Лабораторная работа № 3. Использование математических моделей 
элементов для расчета режимов ДЭП .................................................................. 45 

Лабораторная работа № 4. Особенности осуществления ОАПВ  
в линиях СВН с использованием  четырехлучевых реакторов .......................... 54 

Лабораторная работа № 5. Адаптивное ОАПВ ................................................... 68 

Библиографический список .................................................................................. 79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Настоящее пособие содержит теоретические сведения и учебно-методические указания к лабораторным работам по курсу «Передающие 
электрические сети». Магистрантам предложено рассмотреть особенности моделирования воздушных линий с учетом транспозиции, влияние 
различных факторов на несимметрию режима, осуществление однофазного автоматического повторного включения на дальних линиях. Целью 
выполнения этого цикла лабораторных работ является приобретение 
практических навыков использования математических моделей элементов дальних электропередач для расчета нормальных и аварийных режимов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я  Р А Б О Т А  № 1 

НЕСИММЕТРИЯ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ 

Цель работы: изучить методику расчета уровня несимметрии в нормальных режимах; определить несимметрию, которую вносит воздушная линия. 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

Математическая модель идеальной однопроводной линии 

Напряжение и ток в линии являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты х, определяющей 
место наблюдения, и времени t, определяющего момент наблюдения 
(рис. 1.1) [1]. 

u(x, t)  i (x, t) 
 
    1 
       

 
    2 
       

 

Рис. 1.1. Однопроводная воздушная линия 

Для нахождения пространственно-временного распределения величин тока в линии i (x, t) и напряжения на проводе u (x, t) необходимо 
решить задачу распространения электромагнитных волн вдоль линии, 
находящейся над поверхностью земли. Впервые эту задачу решил Карсон еще в начале прошлого века. 

На основе этого решения был найден упрощенный подход к учету 
земли под линией, который используется и поныне. С точки зрения магнитного поля, создаваемого током линии, земля может быть представлена эквивалентным обратным проводом на глубине 
з
D . А с позиций 
электрического поля, создаваемого напряжением линии, земля заменяется зеркальным отображением реального провода с противоположным 
зарядом. 
В этом случае процессы в линии описываются телеграфными уравнениями, представляющими уравнения в частных производных относительно токов и напряжений: 

 
,
,
u
i
i
u
L
C
x
t
x
t












  
(1.1) 

где ,
L C  – индуктивность и емкость воздушной линии (ВЛ) на единицу 
длины. 
В случае анализа гармонических установившихся режимов, в том 
числе и на промышленной частоте, телеграфные уравнения преобразуются к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно 
комплексных величин токов и напряжений в зависимости от координаты х. Для однопроводной линии эти уравнения соответственно имеют 
вид: 

 
,
,
dU
dI
j LI
j CU
dx
dx

 

 



   
(1.2) 

где 
2 f
    – угловая частота переменного тока, 
0
з

э
ln
2
D
L
r



– удель
ная индуктивность линии, 
0

ср

э

2
2
ln
C
H

r



 – удельная емкость линии, 

з
660
900м
D
f



  эквивалентная глубина залегания обратного про
вода в земле при частоте переменного тока f = 50 Гц; ρ – удельная проводимость грунта, которая для влажных грунтов составляет порядка 

(10…100) Ом ꞏ м, а для сухих грунтов – 1000 Омꞏм; 
ср
H
 – средняя вы
сота подвеса провода над землей; 
эr  – эквивалентный радиус провода; 

4
0
Гн
4
10
км


  
 – магнитная проницаемость воздуха, 

6

0
10
Ф
36
км


 

 – 

диэлектрическая проницаемость воздуха. 
При заданных граничных условиях решение этих дифференциальных уравнений дает так называемые уравнения длинной линии 

 

2
2

2
2

( )
cos
sin
;

sin
( )
cos
,

w

w

U x
U
x
I Z j
x

j
x
I x
U
I
x
Z


 














  
(1.3) 

где 
2
2
,
U
I

  – заданные напряжение и ток на приемном конце линии; 

( )
U x

, ( )
I x

 – искомые напряжение и ток в промежуточной точке х ли
нии; 
2

c

f
LC
k



  



  – коэффициент фазы линии; 

0 0

1
cv 

 
 

км
5
3 10 , сек
 
скорость света; 

ср

э

з

э

2
ln

ln
c

H

r
k
D
r






 – коэффициент, ха
рактеризующий отношение скорости электромагнитных волн вдоль ли
нии к скорости света; 
з

э
60
ln
w

D
L
Z
k
C
r



 – волновое сопротивление 

однопроводной линии. 
Из общих уравнений следует связь режимов по концам линии: 

 

1
2
2

1
2
2

cos
sin ;

sin
cos
,

w

w

U
U
I Z j

j
I
U
I
Z


 














 
 (1.4) 

где     – электрическая длина однопроводной ВЛ. 

Математическая модель трехфазной ВЛ 

По аналогии с математической моделью однопроводной линии над 
землей гармонический режим в трехпроводной (трехфазной) ВЛ над 
землей (рис. 1.2) описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которые следуют из рассмотрения магнитных и электрических полей, создаваемых соответственно фазными токами и 
напряжениями. 

 

Рис. 1.2. Трехфазная ВЛ над землей 

Из рассмотрения магнитных полей на элементарном участке (рис. 1.3) 
вытекает: 

 
ф
ф
[
]
[ ][
]
d U
j
L I
dx

 


,  
(1.5) 

где 
ф
[
]

a

b

c

U

U
U

U










, 
ф
[
]

a

b

c

I

I
I

I










 – вектор-столбцы фазных токов и напряжений 

в произвольной точке x ; [ ]

aa
ab
ac

ba
bb
bc

ca
cb
cc

L
L
L

L
L
L
L
L
L
L

 – матрица собственных и 

взаимных индуктивностей линии. 
Индуктивности ВЛ определяются известными соотношениями: 

0
з

э
ln
2
ii
D
L
r



 – собственная индуктивность петли провод линии –  

обратный провод; 
0
з
ln
2
ij
ij

D
L
D




 – взаимная индуктивность между 

двумя соответствующими петлями; Dij – расстояние между i-й и j-й 

фазами. 

 

Рис. 1.3. Элементарный участок, моделирующий магнитное  
поле ВЛ 

Из рассмотрения электрических полей на элементарном участке 
(рис. 1.4) вытекает: 

 
ф
ф
[
]
[ ][
]
d I
j
C U
dх

 


,  
(1.6) 

где [ ]

aa
ab
ac

ba
bb
bc

ca
cb
cc

C
C
C

C
C
C
C
C
C
C




 




 – матрица собственных и взаимных емко
стей линии. 
Каждая собственная емкость включает емкость фазы на землю и соответствующие взаимные емкости между другими фазами: 

 
з
ii
i
ij
i
j
C
C
C


 
. 
 (1.7) 

Знак «минус» перед взаимными емкостями есть следствие преобразования треугольной связи. 

Рис. 1.4. Элементарный участок, 
моделирующий электрическое  
поле ВЛ 

Для определения емкостей отсутствуют прямые формулы, и емкости 
могут быть найдены лишь через потенциальные коэффициенты, которые связывают напряжения на проводах с их зарядами (уравнения 
Максвелла): 
 
ф
ф
[
]
[ ][
]
U
q
 


,  
(1.8) 

где 
ф
[
]

a

b

c

q

q
q

q










 – вектор-столбец зарядов на проводах; [ ]

aa
ab
ac

ba
bb
bc

ca
cb
cc





  







 – 

матрица собственных и взаимных потенциальных коэффициентов. 
Потенциальные коэффициенты вычисляются по известным соотношениям: 

 

0
э
0

1
1
ln
,
ln
,
2
2

ij
ii
ii
ij
ij

H
H
r
D



 
 


 
 

где 
ii
H   – расстояние между i-й фазой и ее зеркальным отображением; 

ij
H  – расстояние между i-й фазой и зеркальным отображением j-й фазы. 

Для нахождения собственных и взаимных емкостей необходимо обратить матрицу потенциальных коэффициентов 

 
1
[ ]
[ ]
С

 
. 
 

Итак, имеем следующую систему телеграфных уравнений в комплексной форме для трехпроводной линии: 

 
ф
ф
ф
ф
[
]
[
]
[ ][
],
[ ][
].
d U
d I
j
L I
j
C U
dx
dx

 

 




  
(1.9) 

Эта система уравнений приводится к дифференциальным уравнениям второго порядка относительно напряжений и токов: 

 

2
2
ф
ф
2
2
ф
ф
2
2
[
]
[
]
[ ][ ][
]
0 ,
[ ][ ][
]
0 .
d
U
d
I
L C U
C L I
dx
dx
 

 





  (1.10) 

Квадратная матрица называется симметрической, если ее элементы, 
симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны. 
Матрицы [ ]
L  и [ ]
C  являются симметрическими, поскольку в силу принципа взаимности электрических цепей 

 
ij
ji
L
L

 и 
ij
ji
C
C

. 
 

Произведение матриц не подчиняется переместительному закону, 
но для симметрических матриц имеет место 


[ ][ ]
[ ][ ]
L C
C
L t

, т. е. из
менение порядка перемножения двух симметрических матриц дает 
транспонированную матрицу по отношению к исходной. 
Матрица 
2[ ][ ]
L C

 является полностью заполненной (недиагональной), и поэтому вторая производная напряжения в любой фазе зависит 
от напряжения всех других фаз, например: 

 

2
2
2
2
2
0
a
aa
a
ab
b
ac
c
d U
U
U
U
dx




, 
 

где 
,
,
aa
ab
ac



 – собственные и взаимные фазовые коэффициенты для 
фазы «a». 
То же можно сказать и о дифференциальных уравнениях относительно тока. Это означает, что нельзя воспользоваться решением в 
форме однопроводной длинной линии в силу взаимосвязанности всех 
фаз. Задача состоит в том, чтобы найти такое преобразование дифференциальных уравнений, чтобы фазные напряжения и токи заменить