Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Оценивание параметров в обратных задачах

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 779272.01.99
В данном учебном пособии рассмотрены элементы теории из раздела численных методов решения обратных задач. Пособие может быть рекомендовано как для самостоятельного изучения курса «Оценивание параметров в обратных задачах», так и для подготовки к выполнению практических заданий.
Вагин, Д. В. Оценивание параметров в обратных задачах : учебное пособие / Д. В. Вагин. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2019. - 48 с. - ISBN 978-5-7782-3940-1. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1870042 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
Д.В. ВАГИН 
 
 
 
 
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ  
В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 53:51(075.8) 
В 124 
 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, ведущий инженер-программист  
АО «Завод Экран» А.В. Волкова 
д-р техн. наук, профессор М.Э. Рояк 
 
 
Работа подготовлена на кафедре прикладной математики НГТУ 
 
 
 
Вагин Д.В. 
В 124  
Оценивание параметров в обратных задачах: учебное пособие / Д.В. Вагин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 48 с. 

ISBN 978-5-7782-3940-1 

В данном учебном пособии рассмотрены элементы теории из раздела численных методов решения обратных задач. Пособие может 
быть рекомендовано как для самостоятельного изучения курса «Оценивание параметров в обратных задачах», так и для подготовки к выполнению практических заданий. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 53:51(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3940-1 
© Вагин Д.В., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

 
 
 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Изучение физических свойств объектов при невозможности их 
прямого измерения приводит, как правило, к необходимости решения 
обратных задач. Такие задачи возникают, например, при поиске залежей полезных ископаемых, изучении геологической структуры литосферы Земли, оптимальном планировании работ, проектировании и во 
множестве других научных и технических областей. 
В данном учебном пособии рассматриваются основные элементы 
теории численного решения обратных задач. Среди них: 
 Основные определения, связанные с обратными задачами; 
 Регуляризация обратных задач; 
 МНК функционал обратной задачи; 
 Решение обратной задачи методом Гаусса–Ньютона; 
 Вопросы параметризации обратных задач; 
 Генетический алгоритм для решения специального класса обратных задач. 
Дополнительно к теоретическому материалу приводятся примеры 
решения задач рассмотренными методами. 
 

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 
 
Математические модели любых физических задач включают в себя 
множество скалярных или векторных величин, которые могут быть 
постоянными или являться функциями других величин, входящих в 
математическую модель. При решении задачи обычно выделяют три 
основные группы входящих в модель величин: 1) исходные (входные) 
данные x ; 2) параметры модели a ; 3) результаты (выходные данные) y  [1]. Тогда постановка задачи может выглядеть следующим образом: по данным значениям входных данных x  при фиксированных 
значениях параметров a  требуется найти решение y . Такие задачи 
называются прямыми. Их решение можно рассматривать как математическое моделирование причинно-следственной связи, присущей явлению. Тогда входные данные x  соответствуют «причинам», а выходные данные y  – «следствиям». Поясним это на примере. Пусть исследуется движение тела, брошенного со скоростью 
0
v  под углом   к 
поверхности Земли (рис. 1). 
 

 
Рис. 1. Пример математической модели 

Математическая модель этой задачи включает в себя: систему координат Oxy ; время t ; скорость 
( )
v
v t

, которая разлагается соответственно на горизонтальную составляющую u  и вертикальную составляющую w; начальную скорость 
0
v  и угол  . Прямую задачу естественно сформулировать как задачу нахождения функций 
( )
x t , 
( )
y t , 
( )
u t , 
( )
w t  по задаваемым входным данным 
0
v ,  . Параметром модели является величина ускорения свободного падения g . 
На практике также возникает необходимость решения обратных 
задач. В этом случае искомыми являются входные данные x , а известными – результаты y . Для рассматриваемой математической модели (рис. 1) обратную задачу можно сформулировать так: по заданным ( )
x t , 
( )
y t , ( )
u t , 
( )
w t  требуется найти значения 
0
v ,  . Решение 
обратной задачи – это в некотором смысле попытка установить, какие 
«причины» x  привели к известным «следствиям» y . 
Далее для любой (не важно прямой или обратной) задачи, которую 
мы будем рассматривать, условимся называть входными данными известные величины s
S

 и выходными данными – искомые величины r
R

.  
Ранее считалось, что для того чтобы решение математической  
задачи имело смысл, т. е. задача была корректной (по Адамару–
Петровскому), она должна удовлетворять трем условиям: 1) решение 
s
S

 существует для любых входных данных r
R

; 2) это решение 
единственно; 3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных. Если какое-либо из этих условий нарушается, 
задача называется некорректной. Если нарушается первое условие, 
т. е. для каких-то s  не существует r , то это может свидетельствовать 
о дефекте математической модели, описывающей явление. Требование 
единственности решения для ряда задач абсолютно естественно, тогда 
как для других (например, отыскание корней полинома) мы можем 
принять за решение набор удовлетворяющих нас значений или, сузив 
область входных данных R , добиться того, чтобы решение было единственным. Требование устойчивости решения по входным данным 
означает, что оно должно зависеть от входных данных непрерывным 
образом. То есть для любого 
0
 
 должна существовать 
( )
0
    
 

такая, что всякому исходному данному 
*
s , удовлетворяющему условию 
*
(
)
s

  , соответствует приближённое решение *
r , для которого 

*
(
)
r

  , где   означает абсолютную погрешность числа. Таким образом, для устойчивой задачи её решение теоретически можно найти 
со сколь угодно высокой точностью  , если обеспечена достаточно 
высокая точность входных данных  . Неустойчивость решения r  
означает, что существует такое 
0
 
, что какое бы малое 
0
 
 ни было задано, найдутся такие исходные данные 
*
s , что 
*
(
)
s

  , но 
*
(
)
r

  . Приведём примеры некоторых устойчивых и неустойчивых 
задач. Устойчивыми задачами являются, например: задача о вычислении корней полинома (так как корни полинома являются непрерывными функциями его коэффициентов) и задача вычисления определённого интеграла. Неустойчивыми задачами являются, например: задача о 
вычислении ранга матрицы и задача вычисления производной приближённо заданной функции. 
Неустойчивость задачи о вычислении ранга матрицы легко проде
монстрировать, взяв матрицу 
1
0
0
0
A


 



. Ее ранг равен 1. Но если мы 

немного изменим коэффициент: 
22
a
  , то ранг станет равен 2. 
Для демонстрации неустойчивости задачи дифференцирования 
возьмём приближённую функцию 
*( )
f
x  такую, что 
*( )
( )
f
x
f x

  
2
sin( /
)
x
 

, 
0
1
   . 
Положим 
( )
( )
u x
f
x


, 
*
(
)
f

  




*

,
max
( )
( )
a b

f x
f
x


, 



*
*

,
(
)
max
( )
( )
a b
u
u x
u
x



, где 
*
*
( )
(
) ( )
u
x
f
x


. 

Очевидно, что 
*
1
2
( )
( )
cos( /
)
u
x
u x
x


 

. И, следовательно, при 

том, что 
*
(
)
f

  , мы получаем 
*
1
(
)
u


 
. То есть сколь угодно 
малой погрешности f  может отвечать сколь угодно большая погрешность производной f  . 
Заметим также, что одна и та же задача может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой в зависимости от выбора способа вычисления абсолютных погрешностей 
*
(
)
s

 и 
*
(
)
r

. К тому же часто на 
практике требование малости абсолютной погрешности является избыточным и вместо абсолютной устойчивости достаточно наличия относительной устойчивости. Её определение отличается от определения 

абсолютной устойчивости только тем, что 
*
(
)
s

 и 
*
(
)
r

 заменяются 

на 
*
(
)
s

 и 
*
(
)
r

 соответственно. 
Длительное время считалось, что некорректные задачи, решения 
которых неустойчивы, не имеют физического смысла и не представляют ценности для приложений. Однако это не так. Многие важные 
прикладные задачи некорректны, например, обратные задачи геофизики, спектрографии, многие задачи распознавания образов, задачи синтеза и др. 
Для устойчивой вычислительной задачи важным свойством является ее обусловленность. Дело в том, что наличие устойчивости для конкретной задачи вовсе не означает, что её решение действительно 
удастся получить с любой желаемой точностью, хотя бы потому, что 
на практике погрешность входных данных ограничена снизу точностью измерительной аппаратуры, к тому же при вычислениях неизбежно возникают ошибки округления, связанные с неточностью представления вещественных чисел на ЭВМ. Обусловленность отражает 
чувствительность решения задачи к погрешности входных данных. 
Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям 
входных данных отвечают малые погрешности решения. Иначе задачу 
называют плохо обусловленной. Если для задачи удается ввести некоторую числовую оценку связывающую погрешности входных данных 
и решения, то её называют числом обусловленности задачи. То есть 
если 
*
*
(
)
(
)
r
s


  
 или 
*
*
(
)
(
)
r
s


  
, то 

  и 

  – соответственно числа абсолютной и относительной обусловленности задачи. На 
практике обычно наиболее полезным является 

 .Так если 
10N


 
, 
то N  показывает число верных цифр, которое может быть утеряно в 
результате по сравнению с числом верных цифр входных данных.  
В качестве примеров плохо обусловленных задач можно привести задачу вычитания приближённых чисел одного знака и задачу вычисления корней полиномов высокого порядка. В первом случае 

/
a
b
a
b

 


 и при близких a  и b  

  может быть очень большим. Второй случай можно проиллюстрировать на классическом примере Дж. Уилкинсона. Пусть полином 
( )
P x  имеет вид 

20
19
( )
(
1)(
2)...(
20)
210
...
P x
x
x
x
x
x







 

Возьмём коэффициент 
210
a  
 при 
19
x
 и немного изменим его 
значение: 
*
23
210
2
a

 

. Корни изменённого полинома будут приближенно равны: 

*
1
1.00000
x 
,   
*
2
2.00000
x 
,   
*
3
3.00000
x 
,   
*
4
4.00000
x 
, 

*
5
5.00000
x 
,   
*
6
6.00001
x 
,   
*
7
6.99970
x 
,   
*
8
8.00727
x 
, 

*
9
8.91725
x 
,   
*
10,11
10.0953
0.643501
x
i


,   
*
12,13
11.7936
1.65233
x
i


,  

*
14,15
13.9924
2.51883
x
i


,   
*
16,17
16.7307
2.81262
x
i


, 

*
18,19
19.5024
1.94033
x
i


,   
*
20
20.8469
x

. 

Видно, что разные корни найдены с разной точностью. Если оценить 

    для этих корней, то получим: 

15
1
2 10
 

,   
8
2
9 10
 

,   
4
3
10
 
,   
1
4
10
 
,   
1
5
3 10
  
, 

3
6
2 10
 

,   
4
7
8 10

 
,   
6
8
2 10
 

,   
7
9
2 10
 

,   
8
10
2 10



, 

9
11
9 10



,   
9
12
4 10



,   
10
13
10


,   
10
14
2 10



,   
10
15
3 10

 
, 

10
16
3 10

 
,   
10
17
3 10

 
,   
10
18
10


,   
9
19
3 10

 
,   
8
20
5 10



. 

Подчеркнём, что обусловленность является свойством задачи и не 
зависит от выбранного метода её решения и точности, с которой будут 
выполняться вычисления. 
 

2. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
 
Разделение прямых и обратных задач по принципу причина – следствие весьма универсально, но есть исключения. Иногда под обратными задачами понимают задачи, в которых просто не хватает какойлибо информации для того, чтобы считать их корректными прямыми 
задачами математической физики. Поэтому под обратными задачами 
часто просто понимают те задачи, которые невозможно отнести к прямым. Как результат, обратные задачи классифицируют по тому, какой 
именно информации не хватает для того, чтобы задача была прямой. 
Таким образом, классификация может быть следующей [2]. 
1. Коэффициентные обратные задачи. Эти задачи характеризуются неизвестными коэффициентами или правой частью уравнения.  
В качестве характерного примера можно привести параболическое 
уравнение 

( )
( , ),   0
,    0
u
u
k x
f x t
x
l
t
T
t
x
x









 







. 

Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции ( , ),
u x t
 
удовлетворяющей данному уравнению и начальным и краевым условиям: 

(0, )
0,  ( , )
0,  0
u
t
u l t
t
T


 
, 

0
( , 0)
( ),   0
u x
u
x
x
l


 . 

В прикладных проблемах часто свойства среды неизвестны и их 
нужно определять. В нашем случае можно поставить задачу идентификации коэффициента ( )
k x . В простейшем случае однородной среды 
неизвестным является коэффициент 
( )
const
k x 
, для кусочно-одно
родной среды – несколько констант. При зависимости свойств среды 
интерес может представлять коэффициентная обратная задача по восстановлению 
( )
k
k u

. 
Список возможных постановок коэффициентных обратных задач 
не исчерпывается вышеотмеченными и легко может быть продолжен. 
Характерной является задача по нахождению пары неизвестных функций 

( , ),  ( )
u x t
k x
. Основная особенность рассматриваемой обратной 
задачи состоит в нелинейности коэффициентной обратной задачи. 
Можно выделить, как самостоятельную, задачу определения неизвестной правой части 
( , )
f x t . Более частные постановки связаны, 
например, с выбором зависимости 
( , )
( ) ( )
f x t
t
x
 

. 
Интерес может представлять неизвестная зависимость источника 
(правой части) от времени при известном распределении по пространству – функция ( )t

 неизвестна, а функция 
( )x

 задана. 
2. Граничные обратные задачи. Эти задачи заключаются в идентификации недостающих граничных условий. Например, для приведённого выше уравнения значения функции ( , )
u x t  при x
l
  неизвестны, 

но известно значение в некоторой внутренней точке 
*
x  – 
*
(
, )
( )
u x
t
t
 
. Типичная постановка граничной обратной задачи состоит в идентификации потока на части границы, недоступной измерению. 
3. Эволюционные обратные задачи. В таких задачах идентифицируются начальные условия. Применительно к рассматриваемой задаче 
это означает, что вместо условия 
0
( , 0)
( , 0)
u x
u
x

 задано условие 
( , )
( )
T
u x T
u
x

. Необходимо найти решение в предыдущие моменты 
времени (ретроспективная обратная задача).