Численные методы и математическое моделирование

А.А. БАЛАКИН  

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 
И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ

À.À. Áàëàêèí
×èñëåííûå ìåòîäû è ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / À.À. Áàëàêèí – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2022. – 288 ñ.

ISBN 978-5-91559-297-0

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå íà îñíîâå
êóðñà ëåêöèé àâòîðà íà ôàêóëüòåòå Âûñøàÿ øêîëà îáùåé è
ïðèêëàäíîé ôèçèêè Íèæåãîðîäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, áàçîâîãî ôàêóëüòåòà Èíñòèòóòà ïðèêëàäíîé ôèçèêè ÐÀÍ.
Êíèãà îõâàòûâàåò ýíöèêëîïåäè÷åñêè øèðîêèé êðóã âîïðîñîâ,
îòíîñÿùèõñÿ ê ïðèáëèæåííîìó ðåøåíèþ ìíîãî÷èñëåííûõ çàäà÷. Îðèåíòèðîâàííîñòü íà ïðèêëàäíûå çàäà÷è, âîçíèêàþùèå â
ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè, îïðåäåëèëà ñòèëü ïîäà÷è
ìàòåðèàëà. Îñíîâíîé óïîð â êíèãå ñäåëàí íà èçëîæåíèå èäåéíîé ÷àñòè, íà îïðåäåëåíèå âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè, óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåíèìîñòè òîãî èëè èíîãî àëãîðèòìà, îñîáåííîñòåé èõ èñïîëüçîâàíèÿ â íåñòàíäàðòíûõ çàäà÷àõ.
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ðàññ÷èòàíî íà ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçè÷åñêèõ è èíæåíåðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé, èíæåíåðîâ è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, à òàêæå âñåõ èíòåðåñóþùèõñÿ
÷èñëåííûìè ìåòîäàìè è ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëèðîâàíèåì.

© 2019, À.À. Áàëàêèí
© 2022, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-297-0

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 1. Общие вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.1. Численное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2. Погрешность вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3. Корректность вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4. Элементарные вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4.1. Возведение в степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4.2. Полиномы и цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4.3. Повышение сходимости рядов . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.4.4. Рекуррентные соотношения и суммы . . . . . . . . . . . .
24

Глава 2. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .
27

2.1. Определения и свойства матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2. Метод исключения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3. Улучшения метода Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4. Разреженные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4.1. Прогонка для трехдиагональных матриц . . . . . . . . . .
35
2.4.2. Прогонка для пятидиагональных матриц . . . . . . . . . .
36
2.4.3. Формула Шермана–Моррисона . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.4. Циклическая прогонка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.5. Итерационные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5.1. Метод простой итерации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5.2. Псевдо-собственные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.5.3. Метод Гаусса–Зайделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.6. Метод отражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

Оглавление

Глава 3. Собственные значения и векторы . . . . . . . . . . . . . .
46

3.1. Элементы общей теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.2. Метод Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.3. Метод QR-итераций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.4. Частичная проблема собственных значений . . . . . . . . . . . .
53
3.4.1. Метод линеаризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.4.2. Степенной метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

Глава 4. Системы нелинейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . .
56

4.1. Локализация корней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.2. Интервальные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2.1. Метод деления пополам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.2.2. Методы хорд и прочие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3. Метод простых итераций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.4. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.4.1. Метод секущих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.4.2. Метод Мюллера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.5. Метод спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.6. Улучшение метода Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.7. Сравнение сходимости методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.8. Корни полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

Глава 5. Поиск минимума функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73

5.1. Метод золотого сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.2. Метод парабол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.3. Метод Брента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.4. Метод спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.5. Метод переменной метрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.6. Сопряженные направления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.7. Метод оврагов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.8. Минимизация с ограничениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

Глава 6. Интерполяция данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

6.1. Линейная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.2. Интерполяция полиномами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.3. Точность интерполяции полиномами . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.4. Полиномы Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.5. Рациональная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

Оглавление
5

6.6. Локальная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.6.1. Табличные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
6.6.2. Кусочно-линейная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . .
101
6.6.3. Триангуляция Делоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
6.6.4. Локальный сплайн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
6.7. Глобальный сплайн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
6.8. Многомерная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
6.9. Кривые Безье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109

Глава 7. Аппроксимация функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111

7.1. Среднеквадратичная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
7.2. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
7.3. Линейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
7.4. Сглаживание данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
7.5. Логистическая регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
7.6. Метод итерированного веса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
7.7. Аппроксимация Паде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
7.8. Выбросоустойчивая аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123

Глава 8. Численное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . .
125

8.1. Проблемы численного дифференцирования . . . . . . . . . . . .
125
8.2. Использование интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
8.3. Метод Рунге–Ромберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
8.4. Регуляризация дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
8.5. Вычисление лапласиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

Глава 9. Численное интегрирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133

9.1. Формулы трапеций и средних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
9.2. Формулы Симпсона и Боде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
9.3. Формула Эйлера–Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
9.4. Процесс Эйткена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
9.5. Формула Гаусса–Кристоффеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
9.6. Метод Филона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
9.7. Интегралы с особенностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
9.7.1. Переменный предел интегрирования . . . . . . . . . . . . .
144
9.7.2. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
9.7.3. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
9.8. Метод Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147

Оглавление

Глава 10. Дискретные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . .
150

10.1. Дискретное преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
10.2. Быстрое преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
10.3. Варианты преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
10.3.1. Преобразование Фурье действительных функций. . . .
155
10.3.2. Синус-преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
10.3.3. Косинус-преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
10.4. Применение преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
10.4.1. Огибающая функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
10.4.2. Тригонометрическая интерполяция . . . . . . . . . . . . .
159
10.4.3. Свертка функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
10.4.4. Улучшение изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
10.4.5. Оптимальная фильтрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
10.5. Оконное преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
10.6. Вейвлет-преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166

Глава 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения . . . .
170

11.1. Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
11.2. Метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
11.3. Метод Рунге–Кутта 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
11.4. Метод Рунге–Кутта 4-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
11.5. Метод Рунге–Кутта с подбором шага . . . . . . . . . . . . . . . .
177
11.6. Регуляризация уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
11.7. Быстропеременная правая часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
11.7.1. Метод усреднения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
11.7.2. Быстрые и медленные движения . . . . . . . . . . . . . . .
183
11.7.3. Особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
11.8. Специальные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
11.8.1. Метод Адамса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
11.8.2. Уравнения 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
11.8.3. Неявные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
11.8.4. Метод Пикара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188

Глава 12. Уравнения в частных производных . . . . . . . . . . . .
191

12.1. Классификация уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
12.2. Точные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
12.3. Вариационное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
12.4. Сеточные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198

Оглавление
7

12.5. Метод операторной экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
12.6. Разностные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
12.6.1. Метод разностной аппроксимации . . . . . . . . . . . . . .
203
12.6.2. Интегро-интерполяционный метод . . . . . . . . . . . . . .
204
12.6.3. Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . . . .
206
12.7. Устойчивость схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
12.7.1. Метод разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . .
209
12.7.2. Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
12.7.3. Примеры неустойчивостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
12.8. Сходимость схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
12.9. Явные разностные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
12.10. Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
12.11. Параболические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
12.12. Уравнение переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
12.12.1. Схемы бегущего счета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
12.12.2. Монотонные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
12.12.3. Диссипативные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
12.12.4. Ложная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
12.13. Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
12.13.1. Схема «крест» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
12.13.2. Неявная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239
12.13.3. Двухслойная акустическая схема . . . . . . . . . . . . .
240
12.13.4. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
12.14. Уравнения гидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
12.14.1. Схема расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
12.14.2. Метод частиц-в-ячейках . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
12.14.3. Метод Лакса–Вендроффа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248

Глава 13. Краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250

13.1. Метод стрельбы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
13.2. Метод установления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
13.3. Вариационный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
13.4. Обоснование вариационного метода . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
13.5. Метод конечных элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261

Глава 14. Интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264

14.1. Виды интегральных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
14.2. Разностный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266

Оглавление

14.3. Метод итераций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
14.4. Замена вырожденным ядром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
14.5. Регуляризация некорректных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270

Приложение A. Случайные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272

A.1. Простейшие генераторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
A.2. Современные генераторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
A.3. Распределения случайных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
A.3.1. Метод трансформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
A.3.2. Метод отношения однородных . . . . . . . . . . . . . . . . .
277

Приложение B. Элементы статистической обработки данных
279

B.1. Моменты распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
B.2. Моменты функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
B.3. Корреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс вычислительной математики является одним из основных
в рамках базового образования для студентов-физиков. Причина
такого внимания состоит в том, что огромное многообразие физических явлений описывается схожими, а зачастую и одинаковыми математическими моделями. Появление возможности быстрого поиска их приближенных решений дало огромный толчок в
развитии естественных наук, и в первую очередь физики. Многие
считавшиеся труднорешаемыми задачи теперь являются рутинной
операцией. Более того, усовершенствование компьютерной техники
и численных методов послужило одной из причин бурного развития многих областей нелинейной физики: стохастики, солитоники,
теории коллапсов, турбулентности и много другого.
В настоящее время есть множество книг по вычислительной
математике и численным методам. Однако большинство из них написано многие десятилетия назад. Соответственно, классические
методы вычислительной математики уже реализованы в значительном числе свободных и проприетарных библиотек функций. Их повторная программная реализация имеет смысл только для очень
простых алгоритмов вычислений, а в большинстве случаев целесообразно использовать уже оптимизированные библиотечные функции для более сложных алгоритмов решения задач линейной алгебры, быстрого преобразования Фурье, решения многомерных систем
нелинейных уравнений, задач оптимизации (нахождения минимума) функции многих переменных и других.
В данной книге основной упор сделан на изложение идейной
части, на определения вычислительной сложности, устойчивости
и применимости того или иного алгоритма, на особенности их использования в нестандартных задачах, оставляя строгое обоснование и оптимизацию на долю классических книг по вычислитель

Предисловие

ной математике. Кроме того, в книге изложены довольно современные методы решения дифференциальных уравнений, которые появились в последние 20–30 лет и попросту не успели войти в классические учебники. В первую очередь к таким методам относятся
метод операторной экспоненты (разд. 12.5), методы регуляризации
дифференциальных уравнений (разд. 11.6) и явные методы решения уравнений в частных производных (разд. 12.9), допускающие
эффективное распараллеливание даже в вычислительных системах
с распределенной памятью (компьютерных кластерах). Наконец,
в книгу включены отдельные методы вычислительной геометрии
(разд. 6.6), позволяющие элегантно решать ряд задач интерполяции.
Книга состоит из 14 глав, которые условно можно разбить на
три крупных блока: методы решения систем линейных и нелинейных уравнений (главы 2–5), методы аппроксимации функций и операторов (главы 6–10), методы решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений (главы 11–14). В приложениях
рассмотрены вспомогательные вопросы о генерации псевдослучайных чисел и элементах статистической обработки данных. Каждую
из глав книги можно читать независимо. Однако в последующих
главах используются классические методы, представленные ранее
и доступные в целом ряде программных пакетов и библиотек.
Большинство представленных численных методов можно условно разбить на две большие группы: сеточные и вариационные. Сеточные методы основаны на замене непрерывной функции ее дискретным аналогом, определенным в конечном числе точек координат. Это позволяет построить интерполяционную формулу и заменить точные производные на производные этой формулы при построении численной схемы решения. Различные варианты сеточных методов представлены в главах 6, 8–14. Вариационные методы, наоборот, основаны на приближении решения заданной функцией, зависящей от небольшого числа параметров (часто порядка 10). Цель вариационных методов состоит в поиске оптимальных параметров, минимизирующих ошибку аппроксимации решения. Основным недостатком вариационных методов является сложность выбора подходящей аппроксимирующей функции, так как
именно ее свойства будут определять вид получившегося приближенного решения. Поэтому вариационные методы в основном используют при поиске решений более трудоемких задач (главы 7, 13
и 14), в которых классические сеточные методы слишком медленны.
Автор благодарен Н. Н. Кралиной и И. А. Кокориной за внимательное прочтение книги и помощь в ее оформлении. Все рисунки
рассчитаны и построены с помощью пакета программ MathGL.

Г Л А В А
1

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

Данная глава является в значительной степени вводной. В ней обсуждаются многие общие вопросы численного моделирования, которые кажутся очевидными на первый взгляд. Тем не
менее ознакомиться с ними следует, поскольку это поможет писать
более быстрые и более точные программы для других разделов вычислительной математики.

1.1.
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Численные методы и математическое моделирование
являются составной частью вычислительной математики. Вычислительная математика — раздел математики, посвященный выполнению разнообразных вычислений на цифровых электронно-вычислительных машинах (ЭВМ): обычных компьютерах, планшетах,
программируемых калькуляторах и др. В более узком понимании
вычислительная математика это теория численных методов решения типовых математических задач. В значительной степени развитие вычислительной математики связано с совершенствованием
компьютерной техники и расширением круга задач физики, химии,
экономики, инженерии, биологии и т. д., которые стали доступны
для приближенного решения.
Очень часто в реальных задачах требуется решить уравнения,
имеющие трансцендентные корни, найти интегралы, которые не берутся в элементарных функциях, увидеть решение дифференциальных уравнений, построить приближенную функцию, описывающую
экспериментальные данные, просуммировать ряды и т. п. К счастью, излишне высокая точность во всех этих задачах не нужна, и можно использовать приближенные методы вычислительной
математики. Другими словами, составить алгоритм решения зада

Глава 1. Общие вопросы

чи и переложить рутинные операции на «плечи» вычислительного
устройства.
По мере развития численных методов и компьютерной техники
происходил переход от решения перечисленных выше «элементарных» задач ко все более сложным, связанным с построением модели реального объекта или явления, включающим вывод дифференциальных уравнений, определение типичных параметров и последующее решение этих уравнений. Такой комплексный подход получил название численное моделирование в противопоставлении
реальному моделированию — эксперименту или наблюдениям.
Численное моделирование имеет ряд преимуществ перед экспериментом. Оно обычно экономичнее, поскольку затраты на написание
программы, как правило, многократно меньше затрат на создание
экспериментальной установки, станции наблюдений и пр. Численное моделирование пригодно для моделирования гипотетических
объектов, существование которых в данный момент невозможно.
Например, так зародилась идея метаматериалов из задач о «шапкеневидимке» — нестандартном поведении электромагнитных волн.
Численное моделирование хорошо подходит для исследования редких или опасных событий — взрывов звезд или бомб, аварий на
предприятиях и пр. Помимо всего этого, численное моделирование
позволяет получить максимально полную информацию об исследуемом явлении, замедлить или ускорить течение времени при моделировании процессов. Численное моделирование универсально,
поскольку различные физические процессы описываются одинаковыми по форме уравнениями. Кроме того, численное моделирование позволяет проверять гипотезы, находить оптимальные параметры, помогает «угадывать» зависимости и т. д. Другими словами,
оно сильно помогает и при аналитическом исследовании явления.
Численное моделирование любой задачи подчиняется следующему простому алгоритму:
1) постановка задачи;
2) математическая формулировка;
3) исследование модели;
4) выбор численного метода (дискретизация задачи);
5) написание программы и ее базовая отладка;
6) тестирование на известных решениях или асимптотиках;
7) основные расчеты, включая перебор параметров;
8) обработка результатов, построение графиков, сопоставление
с экспериментом и т. д.
Математическая формулировка должна охватывать важнейшие
эффекты, существенные для данной задачи. Это наиболее сложная

1.1. Численное моделирование
13

и ответственная работа. После формулировки математической модели ее требуется исследовать, т. е. провести поиск аналитических
решений в предельных случаях, собрать исходные данные и выбрать наиболее интересные и перспективные области параметров.
Выбор численного метода должен осуществляться с учетом требуемой точности численного моделирования и доступных вычислительных ресурсов. В любом случае желательно иметь точность
в 3–10 раз выше ожидаемой конечной точности. Обычно в книгах,
статьях и отчетах приводят 3–5 значащих цифр результата, поэтому относительная погрешность численного моделирования должна
быть не выше 10−5 . . .10−6.
Следует сказать, что разработка адекватной математической модели и написание кода являются не быстрым делом. Иногда, пункты 2)–6) требуют месяцев или даже лет для создания надежной
и быстрой программы. Зато дальнейшее численное моделирование
(пункты 7) и 8)) оказывается много быстрее и много дешевле, чем
реальный эксперимент.
Рассмотрим в качестве примера задачу моделирования движения качелей. При постановке задачи мы должны выделить основные факторы, влияющие на динамику качелей, и отбросить множество второстепенных эффектов: трение о воздух, вибрацию опоры, деформацию подвеса, излучение звука и тепла, тепловые флуктуации, притяжение Луны и т. д. Если точность полученного приближенного решения будет недостаточной, то часть этих эффектов
придется включить в рассмотрение (например, трение о воздух будет очень важно для качелей в плотной атмосфере Юпитера). Далее требуется сформулировать математическую модель. Используя
уравнения Ньютона, получаем уравнение математического маятника с затуханием:
¨ϕ + γ ˙ϕ + ω2
0 sin ϕ = 0,
(1.1)

где ω0 и γ — собственная частота и коэффициент затухания колебаний.
На этапе сбора исходных данных выясняется, что интерес представляют только случай малого затухания γ ≪ ω0 и малых колебаний |ϕ| ≪ 1. Тогда уравнение (1.1) можно упростить и перейти к
уравнению гармонического осциллятора:

¨ϕ + ω2
0ϕ = 0.
(1.2)

Оно не только имеет простое аналитическое решение, но и хорошо описывает множество физических явлений вблизи устойчивого
состояния равновесия: колебания шарика в лунке, грузика на пружинке, волн в резонаторе, атомов в кристалле, электрона в атоме,

Глава 1. Общие вопросы

планет у звезды, ионов в плазме, числа хищников в экосистеме и
многие другие.
Для численного решения уравнений (1.1), (1.2) хорошо подходят
проверенные методы Рунге–Кутта (см. разд. 11.4). Их использование позволит быстро написать программу и сравнить результаты с
экспериментально измеренной динамикой реальных качелей. Задача численного моделирования движения качелей решена!
К сожалению, на практике редко встречаются столь простые
задачи. Часто программа для численного моделирования слишком сложна. Поэтому ее проверяют на известных свойствах, полученных при математической формулировке задачи. В первую
очередь контролируют точность законов сохранения, специфичных
для задачи (для уравнения (1.2) это энергия H = ˙ϕ2/2 + ω2
0ϕ2/2).
Следующим шагом проверяют совпадение асимптотических характеристик при устремлении параметров к предельным значениям
(обычно нулю, единице или бесконечности) и выполнение граничных условий (для уравнения (1.1) это гармонические колебания
при |ϕ| ≪ 1 и γ ≪ ω0). Обязательно проверяют однозначность
(повторяемость) решения. Это важно как при моделировании с использованием случайных чисел (например, методом Монте-Карло,
см. разд. 9.8), так и для проверки устойчивости схемы при малых
вариациях параметров. Наконец, смотрят на общую разумность
результатов: отсутствие «ряби», бесконечного роста, нарушения
знакоопределенности, неправильного отражения и т. д.
В большинстве случаев программы для численного моделирования различных явлений используются многократно. В связи с этим
становится важным вопрос эффективности программ. Эффективность складывается из нескольких факторов:
• надежности — желательно получать достоверные результаты
во всем диапазоне допустимых параметров математической модели
и начальных условий;
• быстродействия — программа, выдающая разумный результат за минуты, позволяет быстрее оценить качественную динамику,
найти оптимальные параметры и решить задачу, чем программа,
считающая сутками;
• требуемых ресурсов — важно не только написать программу,
но и суметь ее запустить на имеющемся вычислительном комплексе с ограниченной памятью и дисковым пространством;
• качества исходных текстов — внесение каких-либо изменений (например, добавление новых функций) в запутанные исходные тексты без комментариев становится очень сложной работой
спустя уже месяцы после создания кода;

1.1. Численное моделирование
15

• удобства использования — дружелюбный интерфейс не только облегчит запуск расчетов авторам программы, но и позволит
поручить это другому сотруднику, не имеющему достаточной квалификации для самостоятельного написания программ.
Хорошо бы реализовать все эти факторы. Однако из-за временных ограничений это редко удается сделать сразу. Относительная
значимость этих факторов зависит от типа использования создаваемого программного продукта:
— разовые расчеты требуют лишь надежности программы, а все
остальные факторы являются вторичными и не обязательными;
— регулярное личное использование помимо надежности потребует еще и повышения быстродействия, и скорее всего улучшения
качества исходных текстов;
— публичный проект требует надежности и качества исходных
текстов, остальные факторы также являются крайне желательными;
— коммерческий продукт в первую очередь требует удобства
использования, а качество исходных текстов совершенно не важно;
— встраивание в системы управления очевидно требует надежности, быстродействия и снижения требуемых ресурсов (поскольку
системы управления часто делают на слабых компьютерах), а удобство использования тут не важно;
— медицинские приложения требуют надежности, надежности и
еще раз надежности, и хорошо бы быстродействия и удобства использования, а требования к ресурсам вторичны, поскольку стоимость
компьютера составляет малую долю медицинского оборудования.
Решить проблему надежности программы можно только с помощью обширного тестирования на как можно большем круге задач и пользователей. А проблема быстродействия и снижения требования к ресурсам лежит на «плечах» программиста. Радикальнее всего быстродействие программ повышается на алгоритмическом уровне.
• Изменение и упрощение математической модели может привести к понижению размерности задачи, числа параметров или конечной цели моделирования. Все вместе дает наиболее сильное упрощение кода и ускорение расчетов.
• Выбор подходящего численного метода позволит выполнять
расчеты с большими шагами по пространству и времени, что помимо повышения быстродействия приведет и к сокращению используемой памяти.
• Разумный выбор точности расчета также позволит уменьшить
число итераций и/или увеличить шаги расчета.

Глава 1. Общие вопросы

• Использование аналитических решений и аппроксимаций, как
правило, позволяет исключить трудоемкие вычисления для части
модели и заодно повысить общую точность расчетов.
• Улучшение начальных приближений позволит значительно
минимизировать число итераций в задаче определения оптимальных параметров и исключить неудачные попытки.
«Тактический» уровень оптимизации кода помогает дополнительно повысить быстродействие в том случае, когда алгоритмические пути ускорения кода исчерпаны. Хотелось бы предостеречь
от преждевременной оптимизации исходного кода, поскольку она
отвлекает от выполнения алгоритмической оптимизации, а иногда и затрудняет ее из-за усложнения исходного кода. Кроме того, оптимизация кода программы часто оказывается бесполезной
при смене алгоритма расчета. К тактическому уровню относятся
следующие основные виды оптимизации: оптимизация доступа к
памяти (кэш-оптимизация, выравнивание структур), вынесение общего кода из цикла, раскрытие коротких циклов, изменение порядка вложенных циклов, распараллеливание вычислений на разных ядрах или процессорах, использование inline функций и const
переменных, уменьшение числа и оптимизация очередности сравнений, устранение лишних преобразований типов и копирования
объектов, и, наконец, включение оптимизаций при компиляции.
Значительную помощь в повышении надежности и быстродействия
программы оказывают инструменты отладки программ, статические анализаторы, профилировщики времени выполнения, и пакеты программ контроля утечек памяти и конфликтов параллельного доступа.

1.2.
ПОГРЕШНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ

В отличие от фундаментальной математики все величины в естественных науках известны с конечной точностью.
В численном моделировании дополнительно происходит уменьшение точности из-за особенностей современной цифровой вычислительной техники. Различие точного as и приближенного a значений называют погрешностью. Погрешности бывают абсолютными (∆a = |a − as|) и относительными (∆a = |a − as|/|a|). Единого устоявшегося обозначения относительной погрешности нет.
Поэтому будем ее обозначать погрешностью в нижнем индексе,
чтобы отличать от абсолютной погрешности ∆a и амплитуды возмущений δa величины a.