Лекции по линейной алгебре для физиков и математиков

Г.М. ЖИСЛИН

ЛЕКЦИИ  
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ  
ДЛЯ ФИЗИКОВ И МАТЕМАТИКОВ

Ã.Ì. Æèñëèí
Ëåêöèè ïî ëèíåéíîé àëãåáðå äëÿ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ:
Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Ã.Ì. Æèñëèí – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2021. – 160 ñ.

ISBN 978-5-91559-275-8

 ó÷åáíîì ïîñîáèè ïîäðîáíî èçëàãàþòñÿ îñíîâíûå âîïðîñû
êóðñà «Ëèíåéíàÿ àëãåáðà».

Ãëàâíûå îñîáåííîñòè  ýòîãî ó÷åáíèêà:

- òåîðèÿ ìàòðèö ñòðîèòñÿ êàê ñëåäñòâèå òåîðèè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ;

- âåçäå, ãäå ýòî íå ïðèâîäèò ê ÷ðåçìåðíûì óñëîæíåíèÿì, ðàññìàòðèâàþòñÿ íå òîëüêî êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà (è îïåðàòîðû â íèõ), íî è áåñêîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà.

Ïðèëîæåíèå ê êíèãå ñîäåðæèò íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè îïðåäåëèòåëåé.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå îòðàæàåò îïûò Àâòîðà, ÷èòàþùåãî ìíîãî ëåò
êóðñû ïî ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ëèíåéíîé àëãåáðå è
òåîðèè ãðóïï íà ôàêóëüòåòå «Âûñøàÿ øêîëà îáùåé è ïðèêëàäíîé ôèçèêè» ÍÍÃÓ.

Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ.

© 2020, Ã.Ì. Æèñëèí
© 2021, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-275-8

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1. Основные понятия теории линейных пространств . .
7
§ 1. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 2. Базис и размерность линейного пространства . . . . . . . . . . .
12
§ 3. Подпространства. Прямая сумма подпространств . . . . . . . .
19
§ 4. Пространства со скалярным произведением . . . . . . . . . . . .
24
§ 5. Гильбертово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

Глава 2. Линейные операторы и их матрицы . . . . . . . . . . . .
37
§ 1. Определения. Действия над линейными операторами . . . . .
37
§ 2. Матрицы и действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
§ 3. Обратные операторы и матрицы: определение, существование,
нахождение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
§ 4. Изменение координат векторов и матриц операторов при изменении базиса. Подобные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
§ 5. Инвариантные подпространства. Собственные вектора и собственные значения линейных операторов . . . . . . . . . . . . . .
60
§ 6. Отыскание собственных векторов и собственных значений. .
71

Глава 3. Жорданова нормальная форма матриц . . . . . . . . . .
81
§ 1. Ранг и дефект линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
§ 2. Теорема о жордановой нормальной форме . . . . . . . . . . . . .
85
§ 3. Теорема о жордановой нормальной форме (общий случай) . .
92

Глава 4. Линейные операторы в пространствах со скалярным
произведением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
§ 1. Сопряженные, эрмитовы и самосопряженные операторы. . . .
99
§ 2. Положительно определенные операторы . . . . . . . . . . . . . .
107
§ 3. Унитарные и ортогональные операторы и их матрицы . . . . .
115

Оглавление

Глава 5. Линейные, билинейные и квадратичные формы . . .
123
§ 1. Линейные и билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
§ 2. Диагонализация билинейных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
§ 3. Квадратичные формы и их диагонализация . . . . . . . . . . . .
135
§ 4. Положительно определенные квадратичные формы . . . . . . .
146

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем учебном пособии рассмотрены практически все вопросы, обычно изучаемые в университетских курсах линейной алгебры.
Пособие имеет две особенности.
1. Теория матриц строится как следствие теории линейных операторов в конечномерных пространствах. Такой подход представляется естественным и логически обоснованным.
2. Везде, где это не приводит к серьезным усложнениям, в пособии наряду с конечномерными пространствами рассматриваются и
бесконечномерные пространства и определенные в них операторы.
В частности, это делается при построении обратных операторов,
при изучении свойств унитарных и эрмитовых операторов и в ряде
других мест. Реализуя этот подход, мы всюду отмечаем, какие отличия возникают в бесконечномерном случае и какие определения
и утверждения сохраняются при уходе от конечномерности. Причина именно такого подхода — в потребностях приложений и других
университетских курсов (в первую очередь — математической физики и теории представлений).
Пособие написано замкнуто и чтение его возможно без знакомства с другими дисциплинами (нужны только некоторые сведения
из теории определителей). Поэтому, может быть, в некоторых местах изложение излишне подробно (например, при изучении систем
линейных однородных алгебраических уравнений).
Пособие содержит и упражнения для самостоятельной работы.
Их выполнение безусловно будет способствовать усвоению излагаемого материала.
Небольшой по объему курс линейной алгебры, безусловно, является вспомогательным по отношению к другим курсам физикоматематического цикла университетского образования. Однако зна

Введение

чение его не пропорционально велико и это связано с двумя обстоятельствами.
Во-первых, многие понятия, идеи, методы и результаты линейной алгебры присутствуют и работают почти во всех физико-математических дисциплинах.
Во-вторых, — и это, пожалуй, более важно — линейная алгебра,
возможно, больше других университетских курсов учит культуре
математического мышления, способности на простом материале
строить доказательства и умению отличать доказанное от не доказанного, хотя и кажущегося очевидным. Другими словами, линейная алгебра прививает мышлению «математический порядок».
А как сказал Леонард Эйлер: «Ежели кто к математическому порядку не приучен, тот вразумлен быть не может».
В работе принята следующая система нумерации. Параграфы
нумеруются внутри каждой главы, пункты и формулы имеют первой цифрой номер параграфа, в котором они находятся, второй —
номер пункта, формулы внутри параграфа. Аналогично нумеруются теоремы и леммы. При ссылках внутри данной главы ее номер опускается, а при ссылках на параграф, пункт, формулу и т. д.
другой главы обязательно указывается номер главы. Так п. 2.4 и
теорема 5.2 — это соответственно четвертый пункт § 2 и вторая
теорема § 5 той же главы, где помещены данные ссылки.

Г Л А В А
I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

§ 1.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

п.1.1. Главные понятия нашего курса — понятия поля
и линейного пространства.
Определение. Числовое множество F называется полем, если для любых α, β ∈ F выполняется α ± β ∈ F, αβ ∈ F и α/β ∈ F
при β ̸= 01).
Примеры полей:
1) F = R — множество вещественных чисел;
2) F = C — множество комплексных чисел;
3) F = F0 =
α | α = p/q, ∀ p, q —целые числа, q ̸= 0
— множество рациональных чисел;
4) F = F1 =
α | α = a + b
√

3, ∀ a, b ∈ F0
.

Задания
1. Показать, что F1 — поле.
2. Выяснить, является ли полем множество

F =
˘
α | α = a + b
3√

3, ∀ a, b ∈ F0
¯
.

Определение. Множество K = {x,y,z, . . . } элементов x,y,z . . .
называется линейным пространством над полем F, если
I. существует закон, по которому каждым двум элементам
x, y ∈ K ставится в соответствие элемент z ∈ K, называемый
суммой элементов x и y и обозначаемый z = x + y (правило
сложения);

1)Мы рассматриваем только числовые поля.

Глава I. Основные понятия теории линейных пространств

II. существует закон, по которому каждому элементу x ∈ K
и каждому скаляру (числу) α ∈ F ставится в соответствие элемент z ∈ K, называемый произведением α на элемент x и обозначаемый z = αx (правило умножения);
и если законы I и II обладают следующими свойствами:
I. а) x + y = y + x для ∀ x, y ∈ K;
б) (x + y) + z = x + (y + z) для ∀ x, y, z ∈ K;
в) существует элемент θ ∈ K такой, что x+θ = x для ∀ x ∈ K;
элемент θ называется нуль-вектором;
г) для ∀ x ∈ K существует элемент x ∈ K такой, что x+x = θ;
элемент x называется противоположным для x;
II. а) 1 · x = x для ∀ x ∈ K;
б) α(βx) = (αβ)x для ∀ x ∈ K, ∀ α, β ∈ F;
в) (α + β)x = αx + βx для ∀ α, β ∈ F, ∀ x ∈ K;
г) α(x + y) = αx + αy для ∀ α ∈ F, ∀ x, y ∈ K.
Элементы линейного пространства называются векторами.
Приведем примеры линейных пространств.
1. K = V3 {V2} — множество векторов в трехмерном пространстве {на плоскости} над полем F = R с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр.
2. K = Kn = {x | x = (α1, . . . , αn), ∀ αi ∈ F, i = 1, 2, . . . , n} — множество наборов n чисел с операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр, определенными следующими соотношениями: для x = (α1, . . . , αn), y = (β1, . . . , βn) ∈ Kn, λ ∈ F, полагаем x + y = (α1 + β1, . . . , αn + βn), λx = (λα1, . . . , λαn). Нуль-вектор
пространства Kn: θ = (0, 0, . . . , 0), противоположный элемент для x
есть x = (−α1, −α2, . . . , −αn).
3. K = C[ab] — пространство непрерывных на отрезке [ab] функций x(t), F = R, с обычными законами сложения функций и умножения функции на скаляр.
4. K = H0 — множество решений X = (ξ1, . . . , ξn), ξi ∈ F, однородной алгебраической системы m уравнений с коэффициентами из F:

n
X

j=1
aijξj = 0,
i = 1, 2, . . . , m
(1.1)

с теми же законами I, II, что в Kn.
Легко проверяется, что условия I а)–г), II а)–г) выполняются
для всех примеров 1–4.

§ 1. Линейные пространства
9

Задание
Выяснить, являются ли линейными пространствами следующие множества функций с естественными законами сложения функций и умножения функции на скаляр, F = R:
а) множество C1[0, 1] — непрерывно дифференцируемых функций на
отрезке [0, 1];
б) K = {x(t) | x(t) ∈ C[0, 1] (см. пример 3), x(0) = 0};
в) K =
˘
x(t) | x(t) ∈ C1[0, 1], x(1/2) = 2x′(1)
¯
;

г) K =
˘
x(t) | x(t) ∈ C[0, 1], x(1/2) = 1/2};
д) K = {x(t) | x(t) ∈ C1[0, 1], x′(0,7) = 0,7}.

п.1.2. Возвращаемся теперь к случаю произвольного линейного пространства K над полем F. Многие из фактов, которые для
конкретных пространств очевидны, в случае абстрактного линейного пространства требуют доказательства. Например, в конкретных пространствах нулевой и противоположный элементы — единственные, 0x = θ при ∀ x ∈ K, αθ = θ при ∀ α ∈ F, противоположный элемент x для x — это (−1)x. Докажем эти факты в общем
случае.
Пусть θ1 и θ — нуль-вектора в K. Тогда в силу определения
нуль-вектора имеем

θ1 + θ = θ1
(ибо θ — нуль-вектор)

и
θ1 + θ = θ
(ибо θ1 — нуль-вектор);

значит, θ1 = θ, т. е. нуль-вектор — единственный. Далее, пусть x ∈ K
и x, x1 — противоположные элементы для x. В силу I б)

(x + x) + x1 = x + (x + x1).

Так как x и x1 — противоположные вектора для x, то отсюда получаем θ + x1 = x + θ, т. е. x1 = x и, значит, противоположный элемент вектора — единственный. Докажем, что 0x = θ. Имеем

(1 + 0)x = 1 · x = x.

Но в силу II в) (1 + 0)x = x + 0x. Таким образом, получаем, что
x = x + 0x. Прибавим к обеим частям этого равенства вектор x,
противоположный x. Получим

x + x = (x + 0x) + x = (0x + x) + x = 0x + (x + x) = 0x + θ = 0x,

т. е. θ = 0x.

Глава I. Основные понятия теории линейных пространств

Наконец, покажем, что (−1)x = x. Вычислим
1 + (−1)
x.
Имеем
1 + (−1)
x = 1 · x + (−1)x = x + (−1 · x), но левая часть
этого равенства равна 0x = θ и, значит, x + (−x) = θ, т. е. (−1)x = x.
Далее будем писать вместо (−1)x просто −x. Из приведенных рассуждений следует, что в линейном пространстве наряду с операцией сложения можно определить операцию вычитания как сложение
с противоположным вектором.

Задание
Доказать, что αθ = θ при ∀α ∈ F.

п.1.3. Пустьx1, . . . , xm —фиксированныевектораизK,α1, . . . , αm —
фиксированные числа из F.
Определение. Линейной комбинацией векторов x1, . . . ,xm называется вектор y = m
i=1 αixi.
Беря разные наборы α1, . . . , αm, мы получаем различные линейные комбинации векторов x1, . . . , xm.
Определение. Линейной оболочкой L{x1, . . . , xm} векторов
x1, . . . , xm называется множество всех линейных комбинаций
векторов x1, . . . , xm:

L{x1, . . . , xm} =
y | y =

m
X

i=1
αixi,∀ α1, . . . , αm ∈ F
.

Задание
Докажите, что L{x1, . . . , xm} есть линейное пространство над полем F.

Определение. Вектора x1, . . . , xm из K называются линейно зависимыми, если ∃ α1, . . . ,αm ∈ F так, что m
i=1 αixi = θ и
m
i=1 |αi| ̸= 0 (т. е. не все коэффициенты αi нулевые).
Вектора x1, . . . ,xm из K называются линейно независимыми,
если равенство m
i=1 αixi = θ выполняется только при

α1 = α2 = . . . = αm = 0.

Рассмотрим пример. Пусть Kn = {x | x = (ξ1, . . . , ξn), ∀ ξj ∈ F} и
xi = (ξ1i, ξ2i, . . . ξni), i = 1, 2, . . . , m — какие-то вектора из K. Покажем, как определить, будут ли вектора x1, . . . , xm линейно зависимыми или нет. Составим линейную комбинацию y = m
i=1 cixi этих
векторов и попробуем обратить ее в нуль-вектор. Очевидно,

y =
m
X

i=1
ξ1ici,

m
X

i=1
ξ2ici, . . . ,

m
X

i=1
ξnici

§ 1. Линейные пространства
11

и, значит, равенство y=θ=(0, 0, . . . , 0) эквивалентно системе равенств

m
X

i=1
ξjici = 0,
j = 1, 2, . . . , n.
(1.2)

Соотношения (1.2) — это система n однородных уравнений с m неизвестными c1, . . . cm. По определению, вектора x1, . . . , xm будут линейно зависимыми, если система (1.2) допускает ненулевое решение. Выясним, когда это происходит.
Матрица ∥A∥ (таблица коэффициентов) этой системы имеет вид

∥A∥ =






ξ11
ξ12
. . .
ξ1m
ξ21
ξ22
. . .
ξ2m
. . .
. . .
. . .
. . .
ξn1
ξn2
. . .
ξnm




.
(1.3)

Определение. Назовем рангом ρ(∥A∥) матрицы ∥A∥ наибольший из порядков ее миноров не равных нулю.
В пп. 2.4 и 2.5 будет доказано, что для существования ненулевого решения системы (1.2) необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы ∥A∥ был меньше числа неизвестных, т. е. чтобы выполнялось неравенство
p := ρ(∥A∥) < m.
(1.4)

При m = n данное требование означает, что

∆ = det ∥A∥ = 0.
(1.5)

При m > n условие (1.4) выполняется автоматически, ибо матрица ∥A∥ вообще не содержит миноров m-го порядка. Следовательно, в обоих этих случаях вектора x1, . . . , xm — линейно зависимы.

Задание
Привести примеры линейно зависимых и линейно независимых систем
векторов x1, . . . , xm при m < n.

п.1.4. Изучим некоторые свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.
1. Вектора x1, . . . , xm линейно зависимы тогда и только тогда,
когда среди них найдется такой вектор xj, который является линейной комбинацией остальных векторов, т. е. когда для некоторых
чисел ds ∈ F

xj =

m
X

s=1, s̸=j
dsxs.
(1.6)

Глава I. Основные понятия теории линейных пространств

Действительно, если (1.6) выполнено, то m
s=1 αsxs = θ, где
αs = ds, s ̸= j, αj = −1, т. е. вектора x1, . . . , xm — линейно зависимы. С другой стороны, если вектора x1, . . . , xm — линейно
зависимы, то ∃ αs ∈ F такие, что

m
X

s=1
αsxs = θ
(1.7)

и m
s=1 |αs| > 0. Пусть j таково, что αj ̸= 0. Тогда, поделив (1.7)
на αj, получаем из (1.7)

xj =

m
X

s=1,s̸=j
dsxs,

где ds = −αs/αj, т. е. (1.6) доказано.
2. Если вектора x1, . . . , xm линейно независимы, то и вектора любой подсистемы этой системы линейно независимы. Действительно, рассмотрим произвольную подсистему из x1, . . . , xm.
Для простоты считаем, что это x1, . . . , xk, k < m. Тогда, если
вектора x1, . . . , xk — линейно зависимы, то ∃ α1, . . . , αk, αi ∈ F,
k
s=1 |αs| > 0, такие, что k
s=1 αsxs = θ, а, значит, и m
s=1 αsxs = θ,
где αk+1 = αk+2 = . . . = αm = 0 и m
s=1 |αs| > 0. Таким образом,
предположив линейную зависимость векторов какой-либо подсистемы, мы получили, что вектора x1, . . . , xm всей системы линейно
зависимы. Значит, системы линейно независимых векторов не
имеют линейно зависимых подсистем.

Задание
1. Покажите, что у линейно зависимой системы векторов подсистемы
могут быть как линейно зависимы, так и линейно независимы.
2. Докажите, что система векторов x1, . . . , xm, содержащая нуль-вектор, линейно зависима.

§ 2.
БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ
ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

п.2.1. Определение. Говорят, что вектора e1, . . . , en∈K
образуют базис в линейном пространстве K над полем F, если
Б1. Для ∀ x ∈ K ∃ ξ1, . . . , ξn ∈ F так, что

x =

n
X

i=1
ξi ei;
(2.1)

Б2. Вектора e1, . . . , en линейно независимы.