Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
О.Е. РОЩЕНКО, Е.А. ЛЕБЕДЕВА 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  
АНАЛИЗ 
 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ  
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК  
2019 

 

УДК 517(075.8) 
         Р 815 
 

Рецензенты: 

канд. пед. наук, доцент Е.В. Подолян 
ст. преп. Е.В. Исаева 
 
Работа подготовлена на кафедре инженерной математики  
и утверждена Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебно-методического пособия 
 
Рощенко О.Е. 
Р 815   
Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения: учебно-методическое пособие / О.Е. Рощенко, Е.А. Лебедева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. –  
76 с. 

ISBN 978-5-7782-3944-9 

 
 
Настоящее пособие является логическим продолжением учебного 
пособия «Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной» и предназначено для 
студентов технического направления обучения. 
 
 
 
 
 
УДК 517(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3944-9  
 
 
 
 
© Рощенко О.Е., Лебедева Е.А., 2019 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2019 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Настоящее пособие является логическим продолжением учебного 
пособия «Математический анализ. Дифференциальное и интегральное 
исчисление функции одной переменной» и предназначено для студентов технического направления обучения. 
Представленные в пособии разделы являются основными при изучении математического анализа студентами первого курса, позволяют 
систематизировать получаемые знания. Пособие включает в себя комплекс теоретического материала и разнообразные задачи, поэтому работа по нему позволит студентам развивать навыки самостоятельной 
работы с учебной литературой. 
Поскольку пособие содержит большое количество примеров и задач, оно может быть использовано студентами для самостоятельной 
подготовки по соответствующим разделам математического анализа. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 

 
– следует, влечет за собой 
  
– равносильно, эквивалентно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно 
  
– существует (квантор существования) 
x  
– существует, найдется хотя бы один x 
x 
– существует единственный x 
 
– любой, каждый, всякий 
x 
– для любого x, для каждого x 
: 
– такой, что 
  
– и 
  
– или 
  
– пустое множество 
  
– строго принадлежит, содержится (символ принадлежности 
элемента множеству) 
,   – принадлежит, содержится 
 
– не принадлежит, не содержится 

A
B

 – множество А является подмножеством множества В 
\
A B
– разность множеств 
( )
D f  – область определения функции f 
( )
E f  – множество значений функции f 

 
(
;
)
R     – множество действительных чисел 

(0;
)
R 
   – множество положительных действительных чисел 

 

 

§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ  
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ  
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ 
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 

1.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ  
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 

Пусть 
n
D
R

 – произвольное множество точек n-мерного арифме
тического пространства. 

Определение. Если задано правило f, по которому каждой точке 

1
2
( ;
;...,
)
n
M x x
x
D

 ставится в соответствие некоторое вполне опреде
ленное действительное число 
1
2
(
)
( ;
;...,
)
n
u
f M
f x x
x


, то говорят, 

что на множестве D задана числовая функция (или отображение) f от п 
переменных. 

Обозначение. 
:
n
f
R
R

 или 
1
2
( ;
;...,
)
n
u
f x x
x

. 

Множество D называют областью определения, а множество 


:
(
), где 
E
u
R u
f M
M
D




 – множеством значений функции 

1
2
( ;
;...,
)
n
u
f x x
x

. 

В частном случае при 
2
n 
 функцию двух переменных можно рас
сматривать как функцию точек плоскости. 

Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел 

(х; у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится 

в соответствие значение переменной z, то переменная z называется 
функцией двух переменных. 

Определение. Областью определения D(f) функции z называется 

совокупность пар (х, у), при которых функция z существует. 

Обозначение. 
( ; )
z
f x y

. 

Частное значение функции при 
0
0
,
x
x
y
y


 имеет вид 

0
0

0

0
0
0
(
;
)
(
)
.
x x
M
y y
f x
y
f M
z
z





 

Функция f двух переменных х и у может быть задана аналитиче
ским, табличным, графическим, программным (алгоритмом вычисления z по значениям х и у) и другими способами. 

Функцию двух переменных 
( ; )
z
f x y

 можно изобразить в трех
мерном пространстве при выбранной декартовой системе координат 
Oxyz как множество точек (график функции)  



3
( ; ; )
:
( ; )
L
x y z
R
z
f x y



, 

которое, вообще говоря, есть некоторая поверхность в 
3
R . Проекцией 

этой поверхности на плоскость Оху является область определения D(f). 

Замечание. При нахождении области определе
ния D(f) используем стандартные ограничения на 
аналитические формулы. 

Функцию трех и более переменных изобра
зить графически невозможно. 

Пример. 
2
2
4
2
z
x
y



. Областью определения D(f) этой функции является множество всех 
точек плоскости R2, для которых определено вы
ражение 
2
2
4
2
x
y


, т. е. 
2
2
4
2
0
x
y



  

2
2
 
1
4
2
x
y


 . Множество таких точек лежит внутри эллипса и на 

 

Рис. 1.1 

нем с полуосями 
2,    
2
a
b


 (на рис. 1.1 оно заштриховано). Множество значений 
( )
[0; 2]
E f 
. Графиком этой функции является верхняя часть эллипсоида. 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 

Найти область определения следующих функций: 

1) 
2
2
4
z
x
y



; 2) 
2
ln(3
6 )
z
x
y


;   
3)
12
3arcsin 2
z
x
y


; 

4) 
2
z

x
y


;   
5) 
2
2
9
9
z
x
y




; 6) 
arcsin x
z
y

. 

1.2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ  
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 

1.2.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 

Определение. Окрестностью точки 
0
0
0
;
(
)
 
М
х
у
 радиуса r называется совокупность всех точек (х; у), которые удовлетворяют условию  

2
2
0
0
(
)
(
)
x
x
y
y
r




. 

Определение. Число А называется пределом функции f(x; y) при 
стремлении точки М(х; у) к точке 
0
0
0
;
(
)
 
М
х
у
, если для каждого числа 
 > 0 найдется такое число r > 0, что для любой точки М(х; у), для которой верно условие 
0
MM
r

, также верно и условие 
( ; )
f x y
A

  . 

Обозначение. 
0
0

lim
( ; )
x
x
y
y

f x y
A



. 

Определение. Пусть точка 
0
0
0
;
(
)
 
М
х
у
 принадлежит области определения функции f(x; y). Тогда функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке 
0
0
0
;
(
)
 
М
х
у
, если 

 

0
0

0
0
lim
( ; )
(
;
)
x
x
y
y

f x y
f x
y



,  
(1) 

причем точка М(х, у) стремится к точке 
0
0
0
;
(
)
 
М
х
у
 произвольным образом. 
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = 
= f(x; y). Возьмем произвольную точку М(х; у) и зададим приращение 
х к переменной х. Тогда величина 
;
–
;
(
)
(
)
xz
f x
x y
f x y


 
 будет 
называться частным приращением функции по х. 
Можно записать 

(
; )
( ; )
xz
f x
x y
f x y
x
x

 




. 

Если существует 

0
lim
x

x
z
x
 


, то он называется частной производной 

функции z = f(x; y) по переменной х. 

Обозначение. 
( ; )
;
;
;
( ; ).
x
x
z
f x y
z
f
x y
x
x






 

Аналогично определяется частная производная функции по переменной у: 

0
( ;
)
( ;
)
lim
y
z
f x y
y
f x y
y
y
 

 




. 

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как функция одной из этих переменных при 
условии, что остальные переменные рассматриваются как постоянные. 
Для нахождения частных производных используют формулы и правила вычисления производных функции одной переменной. 

Пример. Найти частные производные функции  

2
3
ln(
2 )
5
z
x y
x
y
x




. 




2
2
переменная
3
ln(
2 )
5
3 (
)
постоянная

x
x

x
z
x y
x
y
x
y x
x
y














 

(
2 )
1
1
5( )
3
2
5 1
6
5;
(
2 )
(
2 )
(
2 )

x
х
x
y
x
y
x
xy
x
y
x
y
x
y









  





 




2
переменная
3
ln(
2 )
5
постоянная
y

y
z
x y
x
y
x
y
x












 

2
2
(
2 )
2
3
( )
(5 )
3
0
(
2 )
(
2 )

y
y
y
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y












. 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 

Найти пределы следующих функций: 

7) 
2
3
0
0

1
lim(3
4
)cos 2
x
y
x
y
xy



;   
8) 

3
lim 1

x

x
y

y
x










. 

Найти частные производные следующих функций: 

9) 
4
3
2
5
10
z
x
y
xy




;  
10) 
arccos x
y
z
x
y



; 

11) 
3
ln
2
z
x
y


;   
 
 
12) 
2xy
z 
;  
 

13) 
3
4
5 7
5
z
x
y


; 14) 
2
cos (
3 )
xy
y
z
e


. 

1.2.2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 

Если функция f(x; y) определена в некоторой области D, то ее частные производные 
( ; )
xf
x y

 и 
( ; )
yf
x y

 также будут определены в той же 
области или в ее части. Эти производные называют частными производными первого порядка. 
Производные этих функций будут частными производными второго порядка: 

2
2

2
2
( ; );
( ; );
xx
yy
z
z
f
x y
f
x y
x
y









 

2
2
( ; );
( ; ).
xy
yx
z
z
f
x y
f
x y
x y
y x






 
 
 

Продолжая дифференцировать полученные равенства, можем 
найти частные производные более высоких порядков. 

Определение. Частные производные вида 

2
2
3
;
;
;
z
z
z

x y
y x
x y x



 
 
  

3z

x y y

   … называются смешанными производными. 

ТЕОРЕМА. Если функция f(x; y) и ее частные производные 
,
,
,
x
y
xy
yx
f
f
f
f



  определены и непрерывны в точке М(х; у) и ее окрестно
сти, то верно соотношение 

2
2
f
f

x y
y x



 
  , т. е. частные производные 

высших порядков не зависят от порядка дифференцирования. 

Пример. Дана функция 
arctg y
z
x

. Показать, что выполняется ра
венство 

2
2
2

2
2
2
y
z
x
z
z

x
y
x y
x
y






 


. 

Найдем частные производные: 

2

2

2

2
2
2
2
2
1
arctg
;
1
y
х
х
x

z
y
y
x
y
y
x
x
x
x
y
x
x
y














 
















 

2

2
2
2
2
2 2
2
2 2
1
2
2
;
(
)
(
)
х

z
z
y
xy
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y












 
 
























 

2

2
2
2
2
2 2

2

1
1
arctg
(
)
1
у
у

z
y
y
x
x
y
x
x
x
y
x
y
x
y
x

























; 

2

2
2
2
2
2
2
2
2 2
1
2
2
(
) 
(
)
у

z
z
x
xy
x
y
y
y
y
x
y
x
y
x
y















 






















; 

2
2
2
2
2

2
2
2
2 2
2
2 2
1(
)
2
.
(
)
(
)
у

z
z
y
x
y
y
y
y
x
x y
y
x
x
y
x
y
x
y














 
 







 








