Математическая экономика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
А.В. МОРГУНОВ  
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

ББК 65в631я73 
М 791 

 
Рецензенты: 
канд. экон. наук, доцент З.А. Лукьянова 
канд. экон. наук, доцент В.И. Мамонов 
 
Работа подготовлена на кафедре экономической информатики  
и утверждена Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебно-методического пособия 
 
Моргунов А.В. 
М 791       Математическая экономика: учебно-методическое пособие / 
А.В. Моргунов. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 96 с. 

ISBN 978-5-7782-3719-3 

В пособии раскрываются положения математической экономики, 
разбирается большое количество примеров и задач с реальными данными. Предлагаются примеры и задачи для самостоятельного решения.  
Предназначено для студентов высших учебных заведений, изучающих курсы «Математическая экономика», «Финансовый менеджмент» и др. Представляет интерес для специалистов банковских, финансовых и инвестиционных организаций. 
Составлено на основе федерального государственного образовательного стандарта высшего образования (далее – ФГОС ВО) по 
направлению 38.06.01 «Экономика» (уровень подготовки кадров 
высшей квалификации), требований законодательства в сфере профессионального образования и локальных нормативных актов вуза. 
В учебно-методическом пособии отражено содержание дисциплины. 
 
 
 
 
ББК 65в631я73 
 
ISBN 978-5-7782-3719-3 
© Моргунов А.В., 2018 
 
© Новосибирский государственный  
 
технический университет, 2018 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение .................................................................................................................. 4 
Раздел 1. Финансовые операции с простыми  и сложными процентами ........... 5 
1.1. Простейшие сведения о процентах ........................................................... 5 
1.2. Простые и сложные ставки  ссудных процентов. Математическое дисконтирование по простой и сложной процентной ставке ...... 11 
Раздел 2. Модели финансовых потоков .............................................................. 19 
2.1. Ренты, аннуитеты, их виды и параметры. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо и пренумерандо .................. 19 
2.2. Консолидация ссуд ................................................................................... 26 
Раздел 3. Понятия неопределенности и риска. Управление рисками. 
Оценка риска. Выбор решений .......................................................... 31 
3.1. Алгоритм управления риском ................................................................. 31 
3.2. Математические модели и методы оценки риска .................................. 38 
3.3. Вероятностные показатели риска. Точечная и интервальная 
оценка риска ............................................................................................. 40 
Раздел 4. Матпрогнозирование. Методики прогнозирования социальноэкономических показателей................................................................. 50 
4.1. Модель линейной регрессии. Линейные уравнения ............................. 50 
4.2. Временные ряды. Аддитивные  и мультипликативные модели ........... 62 
Раздел 5. Анализ эффективности инвестиционных проектов ........................... 68 
5.1. Критерии оценки инвестиционных проектов. Понятие денежного потока ................................................................................................... 68 
5.2. Оценка инвестиционных проектов при помощи чистой приведенной стоимости (NPV) ......................................................................... 71 
5.3. Оценка инвестиционных проектов при помощи внутренней 
нормы доходности (IRR) ......................................................................... 72 
5.4. Метод дисконтированного периода окупаемости. Пример оценки эффективности инвестиционного проекта по бухгалтерской 
методике ................................................................................................... 73 
5.5. Учет инфляции  в инвестиционных проектах ........................................ 77 
Список литературы ............................................................................................... 82 
Приложения ........................................................................................................... 84 
Приложение 1 ..................................................................................................... 84 
Приложение 2 ..................................................................................................... 90 

ВВЕДЕНИЕ 
 
В последние годы в России появилось много книг отечественных авторов по математической экономике. В первую очередь здесь необходимо отметить фундаментальные труды Е.М. Четыркина, Н.А. Садовникова, Р.А. Шмойлова, В.Н. Уродовских и других исследователей.  
В настоящем пособии изложены следующие разделы: «Финансовые 
операции с простыми и сложными процентами», «Модели финансовых 
потоков», «Понятие неопределенности и риска», «Матпрогнозирование», «Анализ эффективности инвестиционных проектов».  
В разделе «Финансовые операции с простыми и сложными процентами» изложены простейшие сведения о процентах, простые и сложные 
ставки ссудных процентов; даны понятия математического дисконтирования по простой и сложной процентной ставке. 
В разделе «Модели финансовых потоков» рассмотрены темы ренты 
и аннуитетов; приведены их виды и параметры; дана методика расчетов 
современной стоимости постоянной ренты постнумерандо и пренумерандо. 
В разделе «Понятия неопределенности и риска» описываются общие 
положения, используемые в теории рисков; делается акцент на необходимость управления рисками и раскрывается содержание этого процесса; приводятся количественные характеристики и схемы оценки рисков 
в условиях неопределенности; рассмотрены экспертные методы оценки 
риска. 
В разделе «Матпрогнозирование» и приложениях 1 и 2 представлена 
модель линейной регрессии для описания связи между переменными с 
математической точки зрения, даны понятия временных рядов, аддитивных и мультипликативных моделей. 
В разделе «Анализ эффективности инвестиционных проектов» рассмотрены закономерности организации инвестиционной деятельности и 
принципы реализации инвестиционных решений; приведен метод дисконтированного периода окупаемости инвестиционного проекта; даны 
оценка эффективности инвестиционного проекта по бухгалтерской методике и порядок учета инфляции в инвестиционных проектах. 
 
 

РАЗДЕЛ 1 

ФИНАНСОВЫЕ ОПЕРАЦИИ С ПРОСТЫМИ  
И СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕНТАМИ 

1.1. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОЦЕНТАХ 

Процентами называют доход по банковскому вкладу потому, что 
основой для его измерения являются проценты (сотые доли) от суммы внесенных на вклад средств. Различают проценты простые и 
сложные. Проценты называются простыми, если ежепериодно при 
неизменной сумме основного вклада (основной вклад – деньги, внесенные в банк вкладчиком) доход клиента – одна и та же величина. 
Проценты называются сложными, если ежепериодно сумма средств 
вкладчика увеличивается в одинаковое количество раз. В первом 
случае мы имеем линейный закон роста сбережений, во втором – экспоненциальный. 
Определение 1.1. Одну сотую долю числа a называют одним процентом числа a; k сотых долей числа a называют k процентами числа a; 
число a называют базой для нахождения процентов. 
По определению 1.1 

 
k % числа 
100
k
a
a

. 
(1.1) 

Пример 1.1. Даны два числа a и b. Сколько процентов составляет 
число b от числа а? 
 
 

Р е ш е н и е. Заметим, что в примере 1.1 базой для нахождения процентов является число а, и предположим, что число b составляет х % 
числа а. По формуле (1.1) 

,
100
x
b
a

  

откуда вытекает 

 
100 .
b
x
a

 
(1.2) 

Ответ. Число b составляет 
100 %
b
x
a

 числа  a. 

Пример 1.2. Число а увеличилось в 3,7 paзa. На сколько процентов 
увеличилось число a? 
Р е ш е н и е. При увеличении числа в 3,7 раза (т. е. умножении 
на 3,7) число а увеличивается на число b, причем 
3,7
2,7 .
b
a
a
a



  

По формуле (1.2) 

100
1
2,7
2 0.
00
7
a
x
a
a
b




  

Ответ. Число а увеличилось на 270 %. 
Пример 1.3. Число уменьшилось в 2,5 раза. На сколько процентов 
уменьшилось это число? 
Р е ш е н и е. Обозначим рассматриваемое число буквой а. При 
уменьшении числа в 2,5 раза (т. е. делении на 2,5) число а уменьшится 
на число b, причем 

2,5
1,5
15
3 .
2,5
2,5
2,5
25
5
a
a
a
a
a
a
b
a







  

По формуле (1.2) 

100
100 3
60.
5
b
a
x
a
a




 

Ответ. Число а уменьшилось на 60 %. 

Пример 1.4. Число увеличилось на 5 %. Во сколько раз увеличилось это число? 
Р е ш е н и е. Обозначим рассматриваемое число буквой с, а буквой d – число с, увеличенное на 5 %. Воспользовавшись формулой (1.1), получим 

  
 0,05  
 1,05 .
d
c
c
с



  

Ответ. Число с увеличилось в 1,05 раза. 
Пример 1.5. Число d на 15 % меньше числа с. Какую часть составляет число d от числа с? 
Р е ш е н и е. Важно, что в рассматриваемом примере базой для 
нахождения процентов является число с. В соответствии с формулой (1.1) 

  
0,15  
 0,85 .
d
с
с
с



  

Ответ. Число d составляет 0,85 числа с. 
Пример 1.6. Налог на добавленную стоимость (НДС) равняется 
18 % цены товара. Найти цену товара, если товар с учетом НДС стоит 
1652 руб. 
Р е ш е н и е. Обозначим через а цену товара без учета НДС. Стоимость товара с учетом НДС составляет 100 % +18 % = 118 % от а. Следовательно, 

1,18
1652,
a 

 

1652
1400 руб.
1,18
a 

 

Ответ. Цена товара без учета НДС равна 1400 руб. 
Пример 1.7. В течение первого месяца цена товара увеличилась на 
30 %, а в течение следующего месяца новая цена товара уменьшилась 
на 10 %. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара за два месяца? 
Р е ш е н и е. Обозначим через а первоначальную цену товара. Поступая, как при решении примера 1.4, получаем, что по истечении первого месяца цена товара стала равной 1,3а. По условию задачи за вто

рой месяц новая цена товара, равная 1,3а (база), уменьшилась на 10 % 
и стала равной 

1,3
0,9
1,17 .
a
a


  

Ответ. Первоначальная цена товара за два месяца увеличилась  
на 17 %. 
Пример 1.8. В течение месяца цена товара увеличилась на 25 %, а в 
течение следующего месяца цена товара возвратилась к первоначальному уровню. На сколько процентов уменьшилась новая цена товара? 
Р е ш е н и е. Обозначим через с первоначальную цену товара. Поступая, как при решении примера 1.4, получаем, что по истечении месяца новая цена товара стала равной 1,25с. Следовательно, для того 
чтобы вернуться к первоначальному уровню с, новая цена товара, равная 1,25с (база), должна уменьшиться на 0,25с. Для завершения решения примера остается определить, сколько процентов составляет число 
0,25с от числа 1,25с. Воспользовавшись формулой (1.2), получим 

100
100 0,25
20.
1,25
b
c
x
a
c




  

Ответ. Новая цена товара уменьшилась на 20 %. 
Пример 1.9. Банковский вклад, не тронутый в течение года, в конце этого года увеличивается на 10 %. На сколько процентов увеличится вклад, не тронутый в течение трех лет? 
Р е ш е н и е. Обозначим через а первоначальную сумму вклада. 
Действуя, как при решении примера 1.4, получаем, что по истечении 
первого года вклад станет равным 1,1а. По истечении второго года 
вклад станет равным 1,1
1,1 1,21
а
а


, а по истечении третьего года 
1,21
1,1
1,331 .
a
a


 Таким образом, вклад, не тронутый в течение трех 
лет, увеличивается на число b, равное 0,331а. В соответствии с формулой (1.2) первоначальная сумма вклада увеличивается на 

100
100 0,331
33,1 %.
b
a
x
a
a





  

Ответ. Вклад увеличится на 33,1 %. 

Определение 1.2. Месячным темпом инфляции называется такое 
количество процентов, на которое возрастают цены товаров за месяц 
по сравнению с предыдущим месяцем. 
Пример 1.10. Месячный темп инфляции равен 5 %. На сколько 
процентов возрастают цены за год? 
Р е ш е н и е. Обозначим через с цену товара в первый день года. 
Действуя, как при решении примера 1.4, получаем, что через месяц 
после начала года цена товара будет равной 1,05с. Через два месяца 
после начала года цена товара составит 

2
1,05
1,05
1,05
.
c
c
 

  

Еще через месяц (т. е. через три месяца после начала года) цена товара достигнет  

2
3
1,05
1,05
1,05
c
c



 

и т. д. Таким образом, через n месяцев после начала года цена товара 
станет равной 1,05
,
nс  где n = 1, 2, …, 12. Проводя для n = 12 вычисления на калькуляторе, по формуле (1.3) получаем 

12
1,05
1,7959 .
с
c

 

Следовательно, с начала года цена товара с увеличилась на число 
0,7959с, т. е. на 79,59 %. 
Ответ. При месячной инфляции 5 % цены вырастают за год на 
79,59 %.  
Расчет по формуле (1.3), а также расчет, проведенный в решении 
примера 1.10, являются простейшими примерами расчетов по схеме 
сложных процентов, с которыми более подробно познакомимся  
далее. 
На первый год ссуды предоставляются на основе годовых процентных и учетных ставок. 
С того момента, как на Земле появились деньги, появились и люди, 
которые стали давать их в долг, извлекая из этого прибыль. 

Определение 1.3. Лицо, дающее деньги в долг, называют кредитором. Лицо, берущее деньги в долг, называют заемщиком. 
Предоставление денег в долг происходит в соответствии с кредитным соглашением и осуществляется в различных формах: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, 
получение векселя, приобретение облигаций и т. д. 
При заключении кредитного соглашения кредитор и заемщик договариваются о размере кредита, времени и способе его погашения, а 
также об уровне вознаграждения кредитора (процентной или учетной 
ставке). 
Определение 1.4. Плата за предоставление денег в долг, т. е. разница между деньгами, возвращаемыми заемщиком кредитору, и деньгами, данными кредитором заемщику в долг, называется процентными 
деньгами. 
Будем использовать следующие обозначения: 
Z – сумма денег, данных кредитором заемщику в долг; 
K – сумма денег, возвращаемая заемщиком кредитору; 
D – процентные деньги. 
По вышеуказанному определению  

 
K
Z
D


. 
(1.3) 

Далее рассматривается случай, когда долг вместе с процентными 
деньгами (сумма K) возвращается заемщиком кредитору одним платежом в конце срока, установленного кредитным соглашением. 
Определение 1.5. Годовой процентной ставкой называется отношение процентных денег к деньгам, данным кредитором заемщику в 
долг, при предоставлении ссуды на срок один год. 
Будем обозначать символами Р и р процентную ставку, выраженную в процентах и долях соответственно. 
В силу определения 1.5 

,
100
P
p 
  

причем по вышеуказанному определению  

 
 
.
D
p
Z

 
(1.4) 

Следствие 1. Если известны значения р и Z, то, переписывая (1.4)  
в виде 
 
 
D
pZ

  
(1.5) 

и используя формулу (1.3), получаем соотношение для вычисления 
суммы K: 
,
K
Z
D
Z
pZ




  

из которого следует, что при предоставлении ссуды на срок один год 

 
(1
.)
K
Z
p


 
(1.6) 

Следствие 2. Если известны значения p и K, то из формулы (1.6) 
можно найти сумму Z: 

 
(1
)
K
Z
p


. 
(1.7) 

1.2. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ СТАВКИ  
ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТОЙ И СЛОЖНОЙ 
ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ 

Ссуды предоставляются на срок, выражаемый в годах, по схемам 
простых и сложных процентов на основе процентной ставки. 
Будем рассматривать случай, когда срок t возврата долга выража
ется в годах (например, t = 2
3  года, t = 2 года, t = 3,4 года и т. д.). 

Нашей целью является описание двух способов расчета сумм K, 
возвращаемых заемщиком кредитору (расчеты по схемам простых и 
сложных процентов на основе процентной ставки). 
Отметим особо, что значения р и Z известны, а мы вычисляем суммы K.