Математика. Сборник задач

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
В.В. КОМИССАРОВ 
Н.В. КОМИССАРОВА 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
 
СБОРНИК ЗАДАЧ 
 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
2-е издание, исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 51(076.1)(075.8) 
         К 632 
 
 
 
 
Рецензенты:  
канд. физ.-мат. наук, доцент СибУПК, О. В. Брюханов 
канд. физ.-мат. наук, доцент НГТУ Е. В. Казанцева 
 
 
 
 
 
Комиссаров В. В. 
К 632  
Математика. Сборник задач: учебное пособие / В.В. Комиссаров, Н.В. Комиссарова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. –  
88 с. 

ISBN 978-5-7782-3926-5 

Работа выполнена на кафедре высшей математики для студентов 
первого курса, обучающихся по специальностям: Регионоведение 
(41.03.01), Менеджмент (38.03.02), Психология (37.03.01), Социология 
(39.03.01), Конфликтология (37.03.02), Социальная работа (39.03.02) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 51(076.1)(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-3926-5 
© Комиссаров В.В.,  
 
    Комиссарова Н.В., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
     технический университет, 2019 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Общие положения .................................................................................................... 5 

1. Элементы теории множеств.  Способы задания множеств.  Операции 
над множествами,  свойства операций .............................................................. 5 

Основные определения и формулы ............................................................... 5 
Задачи ............................................................................................................... 8 

2. Элементы математической логики. Высказывания и логические операции. Формулы алгебры логики.  Равносильность формул,  логические законы. Предикаты. Кванторы ................................................................. 11 

Основные определения и формулы ............................................................. 11 
Задачи ............................................................................................................. 14 

3. Линейная алгебра. Матрицы,  определители, системы линейных 
уравнений ........................................................................................................... 18 

Основные определения и формулы ............................................................. 18 
Задачи ............................................................................................................. 19 

4. Векторная алгебра .............................................................................................. 26 

Основные определения и формулы ............................................................. 26 
Задачи ............................................................................................................. 30 

5. Аналитическая геометрия ................................................................................. 34 

Определения и основные формулы  аналитической геометрии  
на плоскости................................................................................................... 34 
Задачи ............................................................................................................. 35 
Определения и основные формулы  аналитической геометрии  
в пространстве ............................................................................................... 37 
Задачи ............................................................................................................. 38 
Линии второго порядка ................................................................................. 42 
Задачи ............................................................................................................. 42 

6. Введение в анализ .............................................................................................. 44 

Функции и их графики .................................................................................. 44 
Последовательности. Предел последовательности. Предел  
функции .......................................................................................................... 45 
Задачи ............................................................................................................. 46 
Непрерывность функции .............................................................................. 49 
Производная и ее применение ...................................................................... 50 
Задачи ............................................................................................................. 51 

7. Интегральное исчисление ................................................................................. 56 

Основные формулы и свойства .................................................................... 56 
Задачи ............................................................................................................. 59 

8. Функции нескольких переменных .................................................................... 64 

Основные формулы ....................................................................................... 64 
Задачи ............................................................................................................. 66 

9. Дифференциальные уравнения ......................................................................... 71 

Основные определения и методы решения ................................................. 71 
Задачи ............................................................................................................. 74 

10. Ряды ................................................................................................................... 76 

Краткие сведения из теории ......................................................................... 76 
Задачи ............................................................................................................. 81 

11. Комплексные числа ......................................................................................... 84 

Основные определения ................................................................................. 84 
Задачи ............................................................................................................. 86 

Библиографический список .................................................................................. 87 

 
 

 

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 

Настоящий сборник задач предназначен для аудиторных и самостоятельных занятий по математике. Каждый новый раздел предваряется краткими теоретическими сведениями и необходимыми по теме 
формулами. Более подробно с теоретическим материалом можно ознакомиться в рекомендованной литературе. Затем идет блок задач для 
аудиторных и самостоятельных занятий. Часть задач можно использовать для проведения контрольных работ. 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.  
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ.  
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ,  
СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ 

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ 

Множество – совокупность вполне различимых объектов одной 
природы, называемых элементами множества. 
Элемент a принадлежит множеству А (a  А). Элемент a не принадлежит множеству А (a  А). 
Множество А называется подмножеством множества В (А  В), 
если всякий элемент из множества А является элементом В. 
 
 

B 

A 

 

Если А  В и А  В, то А называется строгим подмножеством В 
(А  В). 
Множества А и В равны, если их элементы совпадают (или А  В и 
В  А). 
Множества бывают конечными (состоящими из конечного числа 
элементов) и бесконечными. 
Число элементов в конечном множестве А называется его мощностью. 
Множество мощности 0, т. е. не содержащее элементов, называется 
пустым (). 
Конечные множества с равным количеством элементов называются 
равномощными. 
Совокупность допустимых объектов множества называют основным (универсальным) множеством U. 
Обозначения наиболее часто используемых числовых множеств: 
N – множество натуральных чисел; 
N0 – множество целых неотрицательных чисел (или Z+); 
Z – множество целых чисел; 
Q – множество рациональных чисел; 
I – множество иррациональных чисел; 
R – множество действительных чисел; 
R+ – множество неотрицательных действительных чисел; 
R- – множество неположительных действительных чисел. 
Способы задания множеств: 
1) перечислением (списком) своих элементов в произвольном порядке. Списком можно задавать лишь конечные множества. Например, 
А = {a, b, c, d}; 
2) порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов либо других объектов. Например, множество C заданно 
двумя правилами: 1) c1  C; 2) если cm  C, то cm+1 = P(cm)  C; 
3) описанием характеристических свойств, которыми должны 
обладать его элементы: B = {x /  K(x)} – запись читается так: B есть 
множество всех x, обладающих свойством K. 
Характеристическим свойством, определяющим множество, 
называется такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий данному множеству, и не обладает ни один элемент, ему 
не принадлежащий. 

Множество считается заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. 
Диаграммы Эйлера–Венна – геометрическое представление множеств. 
Построение диаграммы заключается в изображении прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – 
кругов (или каких-либо других замкнутых фигур), представляющих 
множества. 

Алгебраические операции над множествами 

№ 
п/п 
Название 
Обозначение 
Определение 
Диаграммы 
Эйлера–Венна* 

1 
Объединение 
(сумма) 
А  В 
{х | х  А  В } 

U 

А
В

 

2 
Пересечение 
(произведение) 
А  В 
{х | х  А  х  В} 

U 

А
В

 

3 
Разность 
А \ В 
{х | х  А  х  В} 

U 

В
А

 

4 
Дополнение 
Ā = U \ А 
{х | х  А } 

 
U 

А

 

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее 
из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A или 
множеству B, или обоим множествам одновременно. 
Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее 
из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и 
множеству B одновременно. 
Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из 
тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат 
множеству B. 
Дополнением множества A называется множество, состоящее из 
элементов универсального множества U, которые не принадлежат 
множеству A. 

Свойства операций над множествами 

1. Коммутативность 
А  В = В  А; 
(А  А = А ); 
А  В = В  А; 
(А  А = А ). 
2. Ассоциативность 
А  (В  C) = (А  В)  C; 
А  (В C) = (А  В)  C. 
3. Дистрибутивность 
А  (В  C) = (А В)  (А  C); 
А  (В  C) = (А  В)  (А   C). 
4. Законы нуля и единицы 
А   = А; 
А   = ; 
А  Ā = U; 
А  Ā = . 
5. Законы де Моргана 

A
B
A
B



; 

A
B
A
B



. 
Алгебраическая операция над множествами U – декартово произведение.  
Декартовым произведением множеств X и Y (X  Y) называется 
множество упорядоченных пар 


( ,
)
,
X
Y
x y
x
X y
Y




. 
Декартовым произведением множеств X, Y и Z называется множество 


(
)
(
)
( ,
, )
,
,
X
Y
Z
X
Y
Z
x y z
x
X y
Y z
Z









. 
Известными примерами прямых произведений являются: 
2
1
1
R
R
R


 – плоскость; 
3
1
1
1
R
R
R
R



 – трехмерное пространство. 

З а д а ч и  

1. Записать множества, перечислив их элементы: 
1) множество всех положительных простых чисел, меньших 40. 
2) множество всех целых положительных степеней числа 3, меньших 50; 

3) множество всех целых положительных чисел, кратных 5, которые меньше 47. 
2. Записать множества, используя разные формы их задания: 
1) целые числа, большие –3 и меньшие 5; 
2) натуральные числа, меньшие 7; 
3) натуральные делители числа 180; 
4) корни уравнения 3x2 + x – 4 = 0. 
3. Перечислить элементы заданных множеств: 
1) 
3
2
{
,
5
6
0}
M
x x
R x
x
x





; 

2) 
2
{
,
5
6
0}
M
x x
R x
x





; 

3) 
2
{
, 0
16}
M
x x
N
x




. 
4. Изобразить на координатной прямой множества: 
1) 
{
,
3
8}
A
x x
R
x





; 

2) 
2
{
,
4
21
0}
B
x x
R x
x





; 

3) 
2
{
, 4
12
9
0}
C
x x
R
x
x





; 

4) 
3
{
,
0}
2
x
D
x x
R x





; 

5) 
{
, 2
6
5}
E
x x
R
x




. 
5. Принадлежат ли числа 2/5; 17/20; –1/7; 5/6 множеству 

2

2
1
,
,
4

n
A
x x
Q x
n
N
n

















? 

6. Написать 5 чисел, принадлежащих множеству 

 

3

3
7
,
,
15

n
A
x x
Q x
n
N
n

















. 

7. Определить отношения между множествами и изобразить их на 
диаграммах Эйлера-Венна: 
1) прямоугольных треугольников и равнобедренных треугольников; 
2) ромбов и квадратов; 
3) прямоугольников и четырехугольников с равными диагоналями; 
4) натуральных делителей чисел 42 и 36; 

8. Найти и изобразить на числовой прямой множества: A
B

; 
A
B

; 
\
A B ; 
\
B A : 
1) 


1; 0
A  
, 


0; 1
B 
; 

2) 


2;
1
A  

, 


0; 3
B 
; 
3) 
{1; 2; 7; 12}
A 
, 
{2; 4; 12}
B 
; 
4) 
{2; 8; 9; 13}
A 
, 
{1; 3; 5}
B 
; 
5) 


0; 1
A 
, 
{0; 0,5; 5; 7,5}
B 
. 
9. Найти и изобразить на числовой прямой множества: A
B

; 
A
B

; 
\
A B ; A
B

: 
1) 
2
{
,
10
21
0}
A
x x
R x
x





,   
{
,4
5
2
31}
B
x x
R
x
x





; 

2) 
{
, 2 (
4)
3(
4)}
A
x x
R
x x
x





,   
{
,2
4
11
5}
B
x x
R
x
x





; 

3) 
{
,
3
6}
A
x x
R x




,   
{
,
2}
B
x x
R x



. 
10. С помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить, верны ли следующие равенства: 
1) (
\
)
(
\
)
(
\
) \
A B
A C
A B
C


; 

2) (
)
(
) \ (
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C







; 
3) (
\
)
(
\
)
(
\
)
(
\
)
A B
B C
A C
C B



; 
4) (
\
)
(
\
)
(
\
)
(
)
A B
B C
C
A
A
B
C





. 
11. Изобразить на координатной плоскости следующие множества: 

1) 
2
2
{( , )
1}
A
x y
R
y
x




; 

2) 
2
2
2
{( , )
(
1)
1}
B
x y
R
x
y





; 

3) 
2
{( , )
,
0,
1}
C
x y
R
y
x x
y





. 

12. Изобразить на координатной плоскости элементы декартова 
произведения A
B

: 
1) 
{
, 1
4}
A
x x
N
x




, 
{
, 3
6}
B
y y
R
y




; 

2) 
{
,
2
3}
A
x x
R
x





, 
{
,
4}
B
y y
R y


 
; 

3) 
{
,
5}
A
x x
R x



, 
{
,
2
3}
B
y y
Z
y





; 

4) 
{
,
7}
A
x x
N x



, 
{
,
3
5}
B
y y
Z
y





. 

2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. 
ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ. 
ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.  
РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ,  
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ. ПРЕДИКАТЫ. КВАНТОРЫ 

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ 

В математической логике изучают способы (методы) установления 
истинности или ложности высказываний. Основными объектами логики являются высказывания. 
Высказывание – повествовательное предложение (утверждение об 
объектах), имеющее однозначный, точно определенный смысл, о котором можно говорить: истинно оно или ложно в данных условиях места 
и времени. 
Квазивысказывание – предложение, которое принципиально не 
может иметь четкой и однозначной интерпретации – истина это или 
ложь. 
Высказывание, представляющее собой одно утверждение (никакая 
его часть не является высказыванием), принято называть простым 
(элементарным). 
Сложным (составным) называется высказывание составленное из 
простых с помощью логических связок (опрераций): НЕ (отрицание), 
И (конъюнкция), ИЛИ (дизъюнкция), СЛЕДУЕТ (импликация), 
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА (эквивалентность). 
Модальности применяются к высказываниям и изменяют наше 
отношение к ним: «по сведениям …», «как сказала …» и др. 
Элементарные высказывания будем обозначать буквами латинского алфавита (прописные или строчные): А, В, c,…,X, y, z,…; их логические значения – истина и ложь обозначаются буквами И и Л или цифрами 1 и 0 (ИСТИНА и ЛОЖЬ, TRUE и FALSE, ДА и НЕТ). 

Логические операции над высказываниями 

1. ОТРИЦАНИЕ (НЕ) (инверсия). 
Отрицание истинно, если высказывание ложно, и наоборот. Обозначатся A или 
A

, читается «не А». 
2. КОНЪЮНКЦИЯ (И) (логическое произведение). 
Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. 
Обозначатся А  B, читается «А и B». 
3. ДИЗЪЮНКЦИЯ (ИЛИ) (логическая сумма). 
Дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы 
одно высказывание. 
Обозначатся А  B, читается «А или B». 
4. ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование). 
Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а 
заключение ложно. Обозначатся A
B

 или A
B

, читается «если А, 
то B», «из А следует B». 
5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (логическое равенство). 
Эквиваленция истинна, тогда и только тогда, когда оба высказывания принимают одинаковые значения. Обозначатся A
B

 или 

A
B

, или A
B

, читается «А тогда и только  тогда, когда В». 
Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки 
составляют алфавит языков логики высказываний. 
Логическая формула – это выражение, составленное из обозначений высказываний, связок и скобок, удовлетворяющее условиям: 
 любая переменная, обозначающая высказывание – формула; 
 если А, В – формулы, то (А  B ), (А  B ), ( A
B

), A, ( A
B

) – 
формулы; 
 других формул нет. 
С помощью логических операций над высказываниями из заданной 
совокупности высказываний можно строить различные сложные высказывания. Порядок выполнения операций указывается скобками. 
Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. 
Логическое значение формулы алгебры логики полностью определяется логическими значениями входящих в неё элементарных высказываний.