Дифференциальные уравнения. Фазовая плоскость

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

Е.В. КАЗАНЦЕВА 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ 

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 

Утверждена Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 

НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 517.91 (075.8) 
         К 142 
 
 

Рецензенты: 

В.В. Комиссаров, канд. физ.-мат. наук, доцент 
О.В. Брюханов, канд. физ.-мат. наук, доцент 
 
 
 
Казанцева Е.В. 
К 142   
Дифференциальные уравнения. Фазовая плоскость: учебное 
пособие / Е.В. Казанцева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. –  
64 с. 

ISBN 978-5-7782-4128-2 

Учебное пособие предназначено для студентов I и II курса очного 
отделения технических направлений и специальностей. Пособие посвящено методам решения и качественного исследования задач из 
курса обыкновенных дифференциальных уравнений, а также для проведения практических занятий по рассмотренным темам. Все задачи не 
являются оригинальными, а заимствованы из учебников и сборников 
задач, список которых представлен в конце пособия. 
 
 
Работа подготовлена на кафедре высшей математики  
для студентов технических специальностей с углубленной  
математической подготовкой 
 
 
УДК 517.91 (075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-4128-2  
 
 
 
 
 
 
 Казанцева Е.В., 2020 
 Новосибирский государственный 
технический университет, 2020     

 

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 

Понятие устойчивости решения 

Определение  
Решение 
( )
x
t
 
 системы дифференциальных уравнений 

 
( , )
dx
f t x
dt 
, 
 (1) 

определенной при всех 
0
t
t

, называется устойчивым (по Ляпунову), 

если для любого 
0
 
 существует такое 
( )
0
    
 , что для всякого 

решения 
( )
x
x t

 той же системы уравнений, начальное значение кото
рого удовлетворяет неравенству 

 
0
0
( )
( )
x t
t

 , 
 (2) 

при всех 
0
t
t

выполняется неравенство 

( )
( )
x t
t

  . 

Решение
( )
x
t
 
системы дифференциальных уравнений (1) называ
ется асимптотически устойчивым (по Ляпунову), если оно устойчиво 

и существует такое 
0
0
 
, что для всякого решения 
( )
x
x t

 той же си
стемы уравнений, начальное значение которого удовлетворяет неравенству  

0
0
0
( )
( )
x t
t

  , 

справедливо предельное равенство 

lim
( )
( )
0
t
x t
t



. 

Если решение 
( )
x
t
 
не является устойчивым, то оно называется 

неустойчивым. Таким образом, для неустойчивости решения 
( )
x
t
 
 

достаточно, чтобы существовало положительное число 0
0
 
 и при лю
бом как угодно малом 
0
 
 нашлось хотя бы одно решение 
( )
x
x t

, 

удовлетворяющее при 
0
t
t

 неравенству (2), для которого при некото
ром 1
0
t
t

 выполнялось бы равенство 
1
1
0
( )
( )
x t
t

  . 

Вопрос исследования устойчивости некоторого решения
( )
x
t
 
 си
стемы уравнений (1) сводится к исследованию устойчивости нулевого 
решения ( )
0
y t 
другой системы, получаемой из (1) с помощью замены 

( )
x
y
t

 
. 

 
 
 
 
 
 
 
 

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ 

1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, выясним, 
устойчивы ли решения данных уравнений с указанными начальными 
условиями: 

dx
x
k
dt
t

, (1)
0
x

. 

Решение 
Решение дифференциального уравнения имеет вид 

0
( )
k
x t
t x

,   если 
0
(1)
x
x

. 

Тогда решение, удовлетворяющее условию (1)
0
x

, есть 
0( )
0
x
t 
. 

Рассмотрим разность 
0
0
( )
( )
k
x t
x
t
t x


: 

если k = 0, то 
0
0
( )
( )
x t
x t
x


; 

если k < 0, то 
0
0
( )
( )
0  
k
x t
x
t
x t



при 
t   ; 

если k > 0, то 
0
( )
( )
x t
x t

   при t   , каким бы малым по аб
солютной величине ни было 
0
0
x 
. 

Делаем вывод, что решение 
0
x 
 неустойчиво при k > 0, асимптотически устойчиво при k < 0, устойчиво при 
0
k 
. 
2. Исследуем на устойчивость решение задачи Коши: 

1
dx
t
x
dt   
, (0)
0
x

. 

Решение 
Решение дифференциального уравнения имеет вид 

0
( )
t
x t
x e
t


 ,   если 
0
(0)
x
x

. 

Разность любых двух решений ( )
x t , 
0
(0)
x
x

 и ( )
y t , 
0
(0)
y
y

: 



0
0
( )
( )
t
x t
y t
e
x
y





0
0
( )
( )
0
t
x t
y t
e
x
y





при t   .  

Таким образом, все решения данного уравнения асимптотически устойчивы. 
3. Исследуем на устойчивость решение задачи Коши: 

2
sin
dx
x
dt 
, (0)
0
x

. 

Решение 
Решение, удовлетворяющее условию (1)
0
x

, есть 
0( )
0
x
t 
. 

Решение дифференциального уравнения имеет вид 

0
( )
arcctg(ctg
)
x t
x
t


,   если 
0
(0)
x
x

, 
0
0
x

  . 

Тогда 


0
lim
( )
lim arcctg ctg
t
t
x t
x
t




 . Значит, каким бы малым 

ни было 
0
0
x 
, найдется момент времени 1
0
t 
 такой, что 
1
( )
1
x t
 . 

Следовательно, решение 
0
x 
 неустойчиво. 

4. Исследовать на устойчивость решение 
1,  
1
x
t
t

 , уравнения 

Риккати 

2
2
dx
x
dt
t


 





. 

Решение 

Сделаем замену 
1
x
y
t

 . Получим уравнение Бернулли: 

 
2
2
dy
y
y
dt
t


. 
 (3) 

Таким образом, исследование устойчивости решения
1
x
t

 исход
ного уравнения сводится к исследованию вопроса устойчивости тривиального решения 
0
y 
 полученного уравнения Бернулли. Решая урав
нение (3), находим 

 

2

3
3

3

t
y
t
c


и 
0
y 
. 
 (4) 

Решение уравнения (3), удовлетворяющее условию 
0
(1)
y
y

 имеет 

вид 

2
0
3
0

3

(
1)
3

y t
y
y
t



. 

Анализируя полученное решение, видим, что, каким бы малым по абсолютной величине ни было 
0
0
y 
, решение 
0
( ),  (1)
y t
y
y

 уравнения (3) 

непродолжимо до моментов 

1 3

0

3
1
t
t
y











, т. е. 
0
lim
( )
t
t
y t



  . Та
ким образом, решение ( )
0
y t 
 уравнения (3) неустойчиво. 

5. Дана система уравнений 

0,

.

dx
dt

dy
xy
dt








 

а) Исследовать на устойчивость решения; 
б) изобразить траектории решений; 
в) указать направление движения по траекториям. 

Решение 

а) Решениями этой системы являются функции 
0
( )
x t
x

, 
( )
y t 

0
0

x t
y e

, где 
0x  и 
0
y произвольные постоянные. 

Зафиксируем произвольное решение 

0
( )
( )
x t
t
x
 

, 
0
0
( )
( )
x t
y t
t
y e


 

 

и исследуем его на устойчивость. Если 
0
0
x 
, то по любому 
0
 
 

можно указать такое 
( )
0
    
, чтобы из неравенства 

 
0
0
(0)
(0)
(0)
(0)
x
y
x
x
y
y










    
(5) 

следовало неравенство 

 
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
x t
x t
t
x t
t
y t
x
x
e
y
e
y





 





    
(6) 

для всех 
0
t 
. Выбор такого ( )
   обеспечен тем, что 

0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0

min
, 0
0
0
1
0

x t
x t

x
x

x
x
x
x

x
x
e
y
e
y
x
x

y
y
e
e
y
x
x
y
y

e
e
y






















































 

равномерно по 
0
 
, лишь только 
0
0
x
x

, 
0
0
y
y

 и 
0
0
x 
. 

Неравенства (5) и (6) означают, что любое решение
0
0
x
x


, 

0
0

x t
y
e
y



 устойчиво. Если 
0
0
x 
, то разность 
( )
( )
t
y t


 стремится к 

бесконечности при t   : 

0
0
0
0
( )
( )
x t
x t
t
y t
e
y
e
y






  . 

В этом случае неравенство (6) при всех 
0
t 
 невозможно, какое бы 

малое  ни фиксировали. Следовательно, любое решение 
0
0
x
x


, 

0
0

x t
y
e
y



 исходной системы уравнений неустойчиво. 

б) Найдем траектории решений данной системы уравнений. 

 

Рис. 1 

Правые части исходных уравнений одновременно обращаются в 
нуль при 
0
xy 
, т. е. на координатных осях. Следовательно, коорди
натные оси состоят из особых точек. Каждая такая точка служит  

траекторией решения 
0
x 
, 
0
y
y

 или 
0
x
x

, 
0
y 
. Если же 
0
xy 
, 

то уравнение траекторий имеет вид 
0
dx
dy 
. Отсюда 
0
const
x
x


, т. е. 

траекториями служат лучи 
0
x
x

, 
0
y 
 и 
0
x
x

, 
0
y 
. Из второго 

уравнения исходной системы находим 
0
0
( )
x t
y t
y e

. Значит, если  

0
0
x 
, то движение по указанным лучам происходит в направлении к 

оси абсцисс. Если 
0
0
x 
, то движение по указанным лучам происхо
дит в направлении удаления от оси абсцисс. 
Траектории изображены на рис. 1.