Высшая математика. Дифференциальные уравнения

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 

Н.В. ЮГОВА 

 
 
 
 
 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

НОВОСИБИРСК 

2020 

 

УДК 51(075.8) 
          Ю 152 
Рецензенты: 
канд. пед. наук Е.В. Траулько 
 канд. пед. наук О.Е. Рощенко 

 

Работа подготовлена на кафедре общих и естественно-научных  

дисциплин ИСТР и утверждена Редакционно-издательским советом  

университета в качестве учебно-методического пособия 
 

Югова Н.В. 

Ю 152   
Высшая математика. Дифференциальные уравнения: учебно
методическое пособие / Н.В. Югова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2020. – 28 с. 

ISBN 978-5-7782-4111-4 

Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов. Оно со
держит основные определения, формулы и задачи для самостоятельного решения по разделам курса высшей математики «Дифференциальные уравнения». 
Приведены примеры решений типовых задач и варианты заданий для расчетно-курсовой работы. 
УДК 51(075.8) 

Югова Наталья Владимировна 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

Учебно-методическое пособие 

Редактор И.Л. Кескевич 
Выпускающий редактор И.П. Брованова 
Корректор Л.Н. Киншт 
Дизайн обложки А.В. Ладыжская  
Компьютерная верстка Л.А. Веселовская 
 
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции 
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) 
___________________________________________________________________________________ 

Подписано в печать 14.02.2020. Формат 60 × 84  1/16. Бумага офсетная. Тираж  50  экз. 
Уч.-изд. л.  1,62.   Печ. л.   1,75.  Изд. №  248/19.  Заказ №  401.  Цена договорная 
___________________________________________________________________________________ 
Отпечатано в типографии 
Новосибирского государственного технического университета 
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 

 
ISBN 978-5-7782-4111-4  
 
 
 
 
 
© Югова Н.В., 2020  
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ  
ПЕРВОГО ПОРЯДКА 

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:  

F (x; y; y') = 0. 

Если это уравнение разрешимо относительно y', то y' = ƒ(x; y) или 

dy = ƒ(x, y)dx. 

Общее решение дифференциального уравнения представляют в 

виде функции y = φ(x, C), где C – постоянная, которая дала бы любое 
частное решение. Геометрически общее решение представляет собой 
совокупность интегральных кривых на плоскости, зависящих от параметра С. 

Частным решением уравнения называется решение, полученное из 

общего решения при фиксированном значении С: 

0
( ,
),
y
x С
 
  

где 
0
С  – фиксированное число. 
Задача о нахождении частного решения дифференциального уравне
ния при заданном начальном условии называется задачей Коши. 

 
 
 
 

1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ  
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися 

переменными называется уравнение вида 

( ) ( )
X x Y y dx  + 
1
1
( ) ( )
X x Y y dy  = 0, 

где 
1
( ),
( )
X x
X x  – функции только от x; 
1
( ),
( )
Y y Y y  – функции только 

от y. 

В результате деления исходного уравнения на произведение 

1
)
( )
(
Y y X x  оно приводится к уравнению с разделенными переменными: 

1

1

( )
(
0
( )
(
 
)
)
Y y
X x
X
x
Y
d
y
x
dy


. 

Интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению 

1

1

( )
(
,
( )
)
 
(
)
Y y
X x dx
d
X
x
Y
С
y
y




 

которое определяет решение исходного уравнения. 

Пример 1. Решить уравнение 
2
5
0.
x dx
ydy


 

Решение. 
2
5
0,
x dx
ydy




 

2
3
5
3
2
y
C
x 

 – общий интеграл. 

Пример 2. Решить уравнение 
2
(
1)
(
1)
0.
x y
dx
x
ydy




 

Решение. Разделяя переменные, приведем его к виду 

2
0.
1
1

xdx
ydy
y
x




 

Интегрируя, получим  

2
ln |
1|
ln |
1|
.
1
2
x
y
y
С





 

Заменим С на ln С : 

2
ln |
1| ln |
1|
ln
;
1
2
x
y
С
y





  

    

2
|
1|
1|
ln
;
y
x
y
C



       

2
|
1|
1|
 y
y
x
e
C



. 

Общий интеграл можно представить в виде 

2
1
1

y
Сe
x
y



. 

Пример 3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение 

2
(
1)
2
0
x
dy
xydx



. 

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0. 

Решение. Разделив обе части уравнения на произведение 
2
(
1)
y x 
, 

получим уравнение с разделенными переменными: 

2
2
0
1

dy
xdx
y
x



. 

Интегрируя, получим 

2
ln |
| ln(
1)
ln |
|,
y
x
C



 

или 

2
|
|
ln
ln |
|
1

y
C
x

 





, 

откуда найдем общее решение: 
2
(
1).
y
C x


 Чтобы найти искомое част
ное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям  
1
y   при x = 0: 

1 
 (
1)
0
,
С


    
1
С  . 

Следовательно, частное решение имеет вид 
2
1
y
x

 . 

1.3. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

Сначала введем понятие однородной функции. Функция двух пере
менных ƒ(x, y) называется однородной функцией измерения m, если при 
любом k выполняется равенство 
(
,
)
( , )
m
f kx ky
k
f x y

. 

Дифференциальное уравнение первого порядка 

,
 
,
 
0
(
)
(
)
M x y
N x y
dx
dy


 

называется однородным, если 
,
(
)
M x y  и
,
(
)
N x y  – однородные функции 

одного и того же измерения. Однородные уравнения можно привести к 

виду 
y
y
f
x



 




. Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать 

замену y = tx, после чего получим уравнение с разделяющимися переменными. 

Пример 1. Решить уравнение 

 (
 )
xdy
x
x
y d


. 

Решение. Это уравнение однородное. Полагаем y = tx. Тогда 
 
  
dy
xdt
tdx


. Подставляя в исходное уравнение, получаем 

(
  
) (
)d
x xdt
tdx
x
x
tx



, откуда
.
xdt
dx

 

Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными 

dx
dt
x

;   
 
|
|  
t
ln x
С


. 

Возвращаясь к старому переменному y, получаем   
 (ln |
|  )
y
x
x
С


. 

Кроме того, имеется решение 
 0
x 
, которое было потеряно при делении 

на x. 

Пример 2. Найти общий интеграл однородного уравнения 

2
2
(
)
2
0.
x
y
dy
yxdx



 

Решение. В данном случае имеем 

2
2
( , )
M x y
x
y


,    
( , )
2
.
N x y
yx
 
 

Эти функции являются однородными функциями второй степени. 
Полагая y = tx, находим 
  
  
dy
xdt
tdx


. 

Подставляя выражения для y и dy в исходное уравнение и сокращая 

на 
2
0
x 
, получаем уравнение с разделяющимися переменными 

2
(1
)(
)
2
0
t
xdt
tdx
tdx




, 

2

2
1
0
(1
)

dx
t
dt
x
t
t





. 

Принимая во внимание, что 

2

2
2
1
1
2

(1
)
1

t
t
t
t
t
t






, и интегрируя полу
ченное уравнение, находим 
2
ln |
| ln | | ln |1
|
ln |
|,
x
t
t
С




 откуда 

2
1

Ct
x
t


. 

Представив сюда выражение для t, получим общий интеграл 

2
2
.
x
y
Cy


 

 
 
 
 
 
 

1.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

Определение. Дифференциальное уравнение вида 

 
( )
( )
y
p x y
q x


 
 (1)  

называется линейным уравнением первого порядка. Если функция 

( )
0
q x 
, то уравнение (1) принимает вид
( )
0
y
p x y


 и называется ли
нейным однородным. 

Признак линейного уравнения: искомая функция и ее производная 

входят в уравнение первой степени и между собой не перемножаются. 

Метод решения. Используется подстановка Бернулли:  

( ) ( ),
y
u x v x

 

тогда
.
y
u v uv





 Подстановка выражения для y и y  в уравнение (1) 

приводит к виду 

 
 ( )
( ).
du
dv
v
p x v u
q x
dx
dx









 

В качестве v выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравне
нию 

 ( )
0
dv
p x v
dx 

. 

Тогда функция u определяется из уравнения  
( ).
du
v
q x
dx 
 Итак, получаем 

систему двух дифференциальных уравнений с разделяющимися пере
менными 

( )
0,

 
( ).

d
p x
dx
du
q x
dx




 

 



 

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять ме
стами искомую функцию и независимое переменное. Например, уравнение 
3
(2
)
y
x
y
y


, в котором y является функцией от x, – нелинейное. 

Запишем его в дифференциалах: 
3
(2
)
0
ydx
x
y
dy



. Так как в это 

уравнение x и dx входят линейно, то уравнение будет линейным, если x 
считать искомой функцией, а y – независимым переменным. Это урав
нение может быть записано в виде 
2
2 x
y
y
dx
dy 

и решается аналогично. 

Пример. Найти общее решение линейного уравнения 

3
xy
y
x


. 

Решение. Положим 
( ) ( )
y
u x v x

, тогда 
.
y
u v uv





  

Уравнение перепишем в виде  

3
(
)
x u v
uv
uv
x





   или    
3
(
)
.
u xv
v
xu v
x





 

Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда 

 –  
0
dv
x
v
dx

,   dv
dx
v
x

,   ln
ln
v
x

,   v
x

. 

Уравнение при v = x запишем так: 
2
3 
x du
x dx

, 
 
,
du
x dx

 откуда 

2

2
u
С
x


. Следовательно, 

2
 
2
С
x
y
uv
x









 – общее решение. 

1.5. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ 

Уравнением Бернулли называется уравнение вида 

(
'
)
( )
,
n
y
p x y
q x y


 

где n – произвольное число, не равное 0 и 1. 

Признак уравнения Бернулли: левая часть уравнения такая же, как у 

линейного уравнения, а правая отличается на сомножитель: искомую 
функцию в степени n. 

Метод решения. Используется подстановка Бернулли: 

 
( ) ( ),
y
u x v x

 

тогда
.
y
u v uv





 Подстановка выражения для y и y  в уравнение при
водит к виду 

( )
( )
( )
( ).
n
n
du
dv
v
p x v u
q x u
x v
x
dx
dx









 

Функции u(x) и v(x) находятся из системы уравнений с разделяющи
мися переменными 

( )

( )

0,

( )
( ).
n
n

dv
p x v
dx

du
v
q x u
x v
x
dx









 

Пример. Решим уравнение  

2ln .
xy
y
y
x


 

Решение. Это уравнение Бернулли. Используется подстановка  

( ) ( ).
y
u x v x

 

Сначала решим уравнение 
0.
xv
v
 

 Разделяя переменные, нахо
дим, что 
dv
dx
v
x
 
, откуда получаем ln
ln
v
x
 
, т. е. 
1
v
x

; 

( ) ( )
y
u x v x

 = 
( ) 
u x

x
.  

Имеем: 

2

2
( )ln
( )
u
x
x
u x

x



,  
2
( )
u x
xu
u
y
x
x




 


 

, 

и потому исходное уравнение примет вид 

2

2
( ) 
ln
( )
xu
u
u x
u
x
x
x
x
x





. 

Отсюда следует, что

2

2
( )ln
( )
u
x
x
u x

x



.