Анализ гармонических процессов в линиях без потерь

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
А.В. САПСАЛЕВ, О.Б. ДАВЫДЕНКО,  
О.Е. ОВЧИННИКОВА 
 
 
 
 
АНАЛИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ 
ПРОЦЕССОВ  
В ЛИНИЯХ БЕЗ ПОТЕРЬ 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 621.3.011.71(075.8) 
   С 197 
 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент В.С. Данилов, 
канд. техн. наук, доцент В.С. Чуркин 
 
 
Работа подготовлена на кафедре электроники и электротехники  
для студентов II курса РЭФ, обучающихся по направлениям:  
11.03.01 – Радиотехника, 11.03.04 – Электроника и наноэлектроника, 
28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника,  
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи, 
11.03.03 – Конструирование и технология электронных средств 
 
 
Сапсалев А.В. 
С 197  
Анализ гармонических процессов в линиях без потерь: учебное пособие / А.В. Сапсалев, О.Б. Давыденко, О.Е. Овчинникова. – 
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 76 с. 

 
 
ISBN 978-5-7782-3924-1 

В учебном пособии рассматриваются теоретические вопросы анализа комплексных характеристик линий без потерь, даются пояснения к 
структуре круговой диаграммы и примеры ее использования для расчета комплексных сопротивлений и проводимостей линии без потерь при 
произвольной нагрузке. Приведены различные примеры анализа комплексных характеристик линий без потерь, в том числе задачи по расчету согласующих устройств с помощью круговой диаграммы. 
Предназначено для самостоятельной работы студентов, а также 
может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса. 

УДК 621.3.011.71(075.8) 

 
ISBN 978-5-7782-3924-1 
 Сапсалев А.В., Давыденко О.Б.,  
 
    Овчинникова О.Е., 2019 
 
 Новосибирский государственный  
 
    технический университет, 2019 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие ............................................................................................................. 4 

1. Анализ периодических процессов  в однородной линии без потерь ......... 5 

1.1. Комплексные характеристики  отрезков линии без потерь ..................... 6 
1.2. Распределения действующих значений  напряжения и тока ................... 8 
1.3. Распределения составляющих сопротивления  и проводимости .......... 10 
1.4. Характеристики линии без потерь  в предельных режимах работы ....... 14 
1.5. Применение отрезков линии  в качестве элементов согласующих устройств ............................................................................................ 16 
1.6. Примеры решения задач ........................................................................... 25 
1.7. Задачи для самостоятельного решения ................................................... 46 

2. Применение круговой диаграммы Вольперта–Смита  
для анализа характеристик линий без потерь ........................................... 47 

2.1. Структура и свойства круговой диаграммы ........................................... 47 
2.2. Общие правила пользования круговой диаграммой .............................. 51 
2.3. Примеры использования круговой диаграммы ...................................... 52 
2.4. Задачи для самостоятельного решения ................................................... 73 

Библиографический список .................................................................................. 75 

 
 
 
 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

«Теория электрических цепей» – первая общепрофессиональная 
дисциплина в системе подготовки студентов по направлениям: 
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи; 
28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника; 11.03.04 – 
Электроника и наноэлектроника; 11.03.01 – Радиотехника; 11.03.03 – 
Конструирование и технология электронных средств. Она представляет собой теоретическую основу, на которую опирается дальнейшее 
обучение студентов указанных направлений.  
Настоящее руководство охватывает раздел курса «Основы теории 
электрических цепей», посвященный анализу установившихся гармонических процессов в отрезках линий без потерь. Пособие включает 
основные теоретические сведения по теме «Установившиеся процессы 
в однородной линии без потерь при гармоническом внешнем воздействии», примеры решения задач и сами задачи. Учебное пособие предназначено в первую очередь для самостоятельной работы студентов и 
может быть использовано преподавателями при проведении практических занятий по указанному разделу курса. 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ  
В ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ 

Характеристики участка конечного отрезка однородной линии 
можно записать в экспоненциальных функциях в одном из двух равносильных представлений: 

 
γ
γ
γ
γ
п
п
( )
(0)
ρ
,
( )
(0)
ρ


















х
х
х
х
c
U x
U
е
е
I x
Y U
е
е
  
(1) 

или 

 
γ
γ
γ
γ
п
п
( )
(0)
ρ
,
( )
(0)
ρ
,






















х
х
х
х
c
U x
Z I
е
е
I x
I
е
е
  
 (2) 

где 
п
2
2
п
п
2
2
(0)
(
) / 2,
(0)
(0) /
(
) / 2












c
c
c
U
U
Z I
I
U
Z
I
Y U
 – комплексы действующих значений волн напряжений и тока в конце отрезка линии (х = 0); 
0 0
γ
α(ω)
β(ω)
Z Y
j



 – коэффициент распростра
нения волны; 
н

н
ρ


 



j
с

с

Z
Z
e
Z
Z  – коэффициент отражения волны.  

Выражения комплексных характеристик участка [0, x] в экспонентах позволяют не только количественно, но и качественно определять 
распределение действующих значений напряжений и токов и их 
начальных фаз вдоль конечного отрезка линии (0  x  l). 
Общие решения уравнений Гельмгольца можно представить также и 
в виде линейной комбинации гиперболических функций sh γx и ch γx : 

 
2
2
( )
ch γ
sh γ





c
U x
U
x
Z I
x ,  
(3) 

 
2
2
( )
sh γ
ch γ





c
I x
Y U
x
I
x .  
(4) 

Комплексные характеристики участка конечного отрезка однородной линии в экспоненциальных и гиперболических функциях взаимно дополняют друг друга, выбор тех или иных диктуется условиями задачи. 

1.1. Комплексные характеристики  
отрезков линии без потерь 

На практике часто, особенно при высоких частотах, значения потребляемой мощности в начале и в конце отрезка линии передачи 
близки. Тогда в любом режиме такой отрезок линии передачи удовлетворительно моделируется отрезком однородной линии без потерь. 
Применение такой довольно грубой модели можно считать обоснованным, если собственное затухание отрезка линии передачи l в согласованном режиме не превышает 0,045 Нп; при этом 
1,00
 
l
e
 с погрешностью не более 5 %. 
Рассматривать линию, не имеющую потерь, т. е. пренебречь первичными параметрами 
0
R  (продольным сопротивлением) и 
0
G  (поперечной проводимстью), в ряде случаев оказывается удобным и полезным. Формально линия без потерь есть предельный случай линии с 
потерями при ограничении дуальной пары ее первичных диссипативных параметров значениями 
0
R  = 0 и 
0
G  = 0. В этом случае выражения характеристических параметров линии принимают наипростейший 
вид: 
( )
0
    
, 
следовательно, 
j
   , 
0
0
( )
L C
     
, 

0

0
c
c
L
Z
R
C


, т. е. собственное затухание  линии без потерь равно 

нулю, а ее характеристическое сопротивление вещественно. Поскольку 
коэффициент фазы  пропорционален частоте , то фазовая скорость 

ф
ф( )


v
v
 волн напряжения и тока от частоты не зависит: 

ф
0
0

ω
1
.
β(ω)
v
L C


 

Для линий без потерь, которые моделируют воздушные линии  
передачи, значение фазовой скорости 
ф
v  по умолчанию принимают 

равным значению скорости света: 
ф
v  = с = 3  108 м/с. Если же линия  
без потерь моделирует радиотехнический кабель, то скорость света 
делят на так называемый «коэффициент укорочения длины волны», 
значения которого приводятся в стандарте на соответствующий кабель 
(ГОСТ 11326.1–79 – 11326.92–79). 
Выразим комплексные характеристики участка [0, x] конечного отрезка (0  x  l) линии без потерь, нагруженного пассивной ветвью с 
характеристиками 
н
н
н
U
Z I


  или 
н
н
н
I
Y U


 , с учетом того, что 

j
   , 
c
c
Z
R

 и 
c
c
Y
G

. 
Характеристики в экспоненциальных функциях мнимого аргумента 
на основании (1) и (2): 

 
β
β
п2
( )
[
ρ
]





j x
j x
U x
U
e
e
, 
(5) 

 
β
β
п2
( )
[
]


 


j x
j x
I x
I
e
e
, 
 (6) 

где через 
п2
п2



c
U
R I
 и 
п2
п2



c
I
G U
 обозначены комплексы действующих значений падающих волн напряжения и тока в конце отрезка 
линии: 
п2
п(0)



U
U
 и 
п2
п(0)



I
I
. 
Характеристики в гиперболических функциях (3) и (4) записываются теперь в тригонометрических функциях вещественного аргумента: 

 
2
2
( )
cosβ
sinβ
c
U x
U
x
jR I
x





,  
(7) 

 
2
2
( )
sinβ
cosβ
c
I x
jG U
x
I
x





,  
(8) 

поскольку 

ch
ch
cos
x
j x
x
 
 
 , sh
sh
sin
x
j x
j
x
 
 
 . 

Получим теперь выражение потребляемой комплексной мощности 
в сечении с координатой x конечного отрезка однородной линии: 




*
*
(2β
ν)
(2β
ν)
п
п
п

2
(2β
ν)
(2β
ν)
п
п

( )
( ) ( )
( ) 1
ρ
( ) 1
ρ

= 
( )
( ) 1
ρ
ρ


































j
x
j
x

j
x
j
x

S
x
U x I x
U
x
e
I
x
e

U
x I
x
e
e

 

 
2
п
п
= 
( )
( ) (1
ρ )
2sin(2β
ν) .







U
x I
x
j
x
  
(9) 

1.2. Распределения действующих значений  
напряжения и тока 

Для вывода зависимости U(x) обратимся к уравнению (5) и найдем 
его модуль на основе следующих соотношений: 






*
1/2
1/2
*
*
β
β
β
β
п2
п2
( )
( )
( )
ρ 








 








j x
j x
j x
j x
U x
U x U x
U
e
e
U
e
e
. 

Принимая во внимание, что коэффициент отражения равен 

ν
н

н
ρ
ρ j
c

c

Z
Z
e
Z
Z





,  

после несложных преобразований получим 

 
2
п2
( )
1
ρ
2ρcos(2β
ν)
U x
U
x




.  
(10) 

Заменяя здесь формально идентификаторы U на I, а  на –, получаем 

 
2
п2
( )
1
ρ
2ρcos(2β
ν)
I x
I
x




.  
(11) 

Анализ распределения действующих значений напряжения и тока 
удобнее провести для нормированных характеристик, которые выражаются функциями 

2

п2

( )
( )
1
ρ
2ρcos(2β
ν)
U x
U x
x
U





  

и 

2

п2

( )
( )
1
ρ
2ρcos(2β
ν)
I x
I x
x
I





, 

определенными на интервале [0, l]. Отметим особенности этих функций (рис. 1): 
 функции 
( )
U x и 
( )
I x  являются периодическими с периодом  
/2 = /; 

 их максимальные 1   и минимальные 1  значения определяются только значением модуля коэффициента отражения ; 
 сечения отрезка, в которых наблюдаются максимумы функции 

( )
U x , совпадают с сечениями, в которых функция 
( )
I x принимает минимальные значения, и наоборот. Значения координаты этих сечений  

(
) / 2
(
/ ) 4



  
 
  
kx
k
k
, 0
kx
l

 , 
0
k
N

 

определяются лишь значением аргумента коэффициента отражения . 
 

 
Рис. 1 

В режиме бегущих волн ( = 0) функции 
( )
( )
1
U x
I x

  и графики 
распределений нормированных действующих значений напряжения и 
тока вырождаются в два совпадающих отрезка, параллельных оси абсцисс. В режиме стоячих волн ( = 1) из общих выражений функций 

( )
U x  и ( )
I x  по формулам приведения получим 

( )
2 cos(β
ν / 2)
U x
x


, 

( )
2 sin(β
ν / 2)
I x
x


. 

Для режима стоячих волн характерно наличие в отрезке линии сечений, в которых амплитуда колебания напряжения или тока равна  

/2 

нулю (узлы напряжения или соответственно тока), и сечений, в которых амплитуда колебаний максимальна (пучности напряжения или тока): 
п2
2 2U
 и 
п2
2 2I
. Кроме того, ни узлы, ни пучности волн напряжения и тока с течением времени вдоль отрезка линии не 
перемещаются. Вот почему эти волны называют стоячими. 
Среднее за период значение мощности 
п( )
P x , передаваемой к концу отрезка, найдем как вещественную часть выражения (9): 

2
п
п2 п2
( )
(1
ρ )
Р
x
U
I


. 

Отсюда видно, что среднее значение передаваемой вдоль отрезка 
мощности не зависит от координаты его сечения – результат, не удивительный для отрезка линии без потерь. 

1.3. Распределения составляющих сопротивления  
и проводимости 

Из характеристик участка [0, x] конечного отрезка [0, l] линии без 
потерь в экспонентах (5) и (6) найдем выражения входных параметров 
участка:  

2 β

2 β
1
ρ
( )
( )
( )
1
ρ

j x

c
j x
e
U x
Z x
R
I x
e











, 

2 β

2 β
1
ρ
( )
( )
( )
1
ρ

j x

c
j x
e
I x
Y x
G
U x
e











. 

Учитывая, что 
,
j
e 
  
 обозначим 2β
ξ
  
x
 и выделим действи
тельную 
( )
Re
( )
R x
Z x

и мнимую часть 
( )
Im
( )
X x
Z x

 сопротивления, для чего числитель и знаменатель умножим на сопряженный комплекс знаменателя: 

ξ
ξ
2
ξ
ξ
2
(1
ρ
)(1
ρ
)
1
ρ
ρ
ρ
1
ρ
2ρ cosξ




 


 

j
j
j
j
e
e
e
e
, 

ξ
ξ
2
ξ
ξ
2
(1
ρ
)(1 ρ
)
1
ρ
ρ
ρ
1
ρ
2 ρ sinξ




 


 

j
j
j
j
e
e
e
e
j
. 

В результате получим: 

 

2

2
1
ρ
( )
1
ρ
2ρcos(2β
)






 
c
R x
R
x
,  
 (12)  

 
2
2ρsin(2β
ν)
( )
1
ρ
2ρcos(2β
)


 



 
c
x
X x
R
x
.  
(13) 

Если заменить здесь идентификаторы R на G, X на B, а  на –, то 
получим выражения зависимостей вещественной 
( )
Re ( )
G x
Y x

 и 
мнимой 
( )
Im ( )
B x
Y x

 частей проводимости участка Y(x) от коорди
наты x: 

 

2

2
1
ρ
( )
1
ρ
2ρcos(2β
)






 
c
G x
G
x
,  
(14) 

 
2
2ρsin(2β
ν)
( )
1
ρ
2ρcos(2β
)






 
c
x
B x
G
x
.  
(15) 

Проанализируем последние выражения. Так как значения их знаменателей неотрицательны при любых значениях x, то знаки этих выражений определяются знаками их числителей. Следовательно, 
( )
0
R x 
, 
( )
0
G x 
, а X(x) и B(x) – знакопеременные функции x. Период 
их изменения равен /2 = /. Можно убедиться, что на тех участках 
отрезка линии, где амплитуда напряжения при перемещении к началу 
отрезка возрастает, сопротивление и проводимость носят индуктивный 
характер (
( )
0
X x 
, 
( )
0
B x 
), а там, где убывает – емкостный 
(
( )
0
X x 
, 
( )
0
B x 
). В тех сечениях отрезка линии, в которых амплитуда напряжения максимальна 
п2(1
ρ)

U
, а тока – минимальна п2(1 ρ)

I
, значения входных параметров участка вещественны и 
равны: 

1
(
)
1
k
c
R x
R
 

  , 
(
)
0
k
X x

,   
1
(
)
1
k
c
G x
G
 

  , 
(
)
0
k
B x

.