Алгебра и геометрия. Практикум

Серия основана в 2001 году

УЧЕБНИКИ

НГТУ

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 
ÑÅÐÈÈ «Ó×ÅÁÍÈÊÈ ÍÃÒÓ» 
 
 
д-р техн. наук, проф. (председатель)  А.А. Батаев 
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя)  Г.И. Расторгуев 
 
д-р техн. наук, проф. С.В. Брованов 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов 
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода 
д-р техн. наук, проф. В.А. Гридчин 
д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский 
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев 
д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков 
д-р техн. наук, проф. Н.В. Пустовой 
д-р техн. наук, проф. Х.М. Рахимянов 
д-р филос. наук, проф. М.В. Ромм 
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев 
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов 
д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина 
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко 
д-р техн. наук, проф. Н.И. Щуров 
 
 
 
 
 

 

ÀËÃÅÁÐÀ È ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Â. È. ÄÅÍÈÑÎÂ,

Â. Ì. ×ÓÁÈ×, Î. Ñ. ×ÅÐÍÈÊÎÂÀ

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

НОВОСИБИРСК

2018

УДК 512(075.8)+514(075.8) 
         Д 332 
 
 
 
 
Рецензенты 
д-р физ.-мат. наук, доцент С.В. Судоплатов, 
канд. техн. наук, доцент В.С. Карманов 
 
 
 
 
Денисов В.И. 
Д 332  
Алгебра и геометрия. Практикум: учебник / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 307 с. (Серия 
«Учебники НГТУ»). 

ISBN 978-5-7782-3791-9 

Учебник содержит необходимый теоретический материал, методические 
пояснения и рекомендации к решению задач и упражнений по курсу линейной 
алгебры и аналитической геометрии.  
Учебник предназначен для студентов I курса факультета прикладной математики и информатики НГТУ. Может быть также полезен студентам технических специальностей высших учебных заведений с повышенной математической подготовкой.  
 
 
 
 
 
 
УДК 512(075.8)+514(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-3791-9 
 Денисов В.И., Чубич В.М.,  
 
    Черникова О.С., 2018 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2018 

 

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 
 
Предисловие .......................................................................................................................... 7 

Указатель основных обозначений ....................................................................................... 8 

Г л а в а  1. Комплексные числа ...................................................................................... 11 

Комплексные числа и действия с ними  ...................................................................... 11 

Г л а в а  2. Матрицы и определители ............................................................................ 17 

§ 2.1. Действия с матрицами  ........................................................................................ 17 
§ 2.2. Определение и простейшие свойства определителей ...................................... 23 
§ 2.3. Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа ............................... 30 
§ 2.4. Крамеровские системы линейных уравнений. Обратные матрицы ................ 35 

Г л а в а  3. Линейные пространства .............................................................................. 41 

§ 3.1. Определение линейного пространства ............................................................... 41 
§ 3.2. Линейная зависимость векторов ......................................................................... 47 
§ 3.3. Эквивалентные системы векторов...................................................................... 52 
§ 3.4. Базис и размерность линейного пространства .................................................. 56 
§ 3.5. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств .......................................................................................................... 64 

Г л а в а  4. Системы линейных уравнений ................................................................... 71 

§ 4.1. Ранг матрицы. Однородные системы. Фундаментальная система  
решений ................................................................................................................ 71 
§ 4.2. Неоднородные системы. Теорема Кронекера–Капелли ................................... 76 

Г л а в а  5. Евклидовы и унитарные пространства .................................................... 81 

§ 5.1. Определение евклидова пространства ............................................................... 81 
§ 5.2. Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации Грама–
Шмидта. Ортонормированный базис ................................................................. 85 
§ 5.3. Ортогональное дополнение. Ортогональные суммы подпространств ............ 92 
§ 5.4. Унитарное пространство ..................................................................................... 98 

Г л а в а  6. Квадратичные формы ................................................................................ 103 

§ 6.1. Билинейные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому 
виду методом Лагранжа .................................................................................... 103 
§ 6.2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом  
Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы ......................................... 111 

Г л а в а  7. Линейные операторы в линейных пространствах ................................ 117 

§ 7.1. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора ............ 117 
§ 7.2. Связь между координатами вектора-образа и вектора-прообраза. Ядро 
и образ линейного оператора ............................................................................ 125 
§ 7.3. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.  
Действия с линейными операторами ............................................................... 131 
§ 7.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора ......... 138 
§ 7.5. Линейные операторы простой структуры ....................................................... 144 
§ 7.6. Линейные операторы в унитарных и евклидовых пространствах................. 149 

Г л а в а  8. Элементы аналитической геометрии ...................................................... 171 

§ 8.1. Прямые в аффинном пространстве .................................................................. 171 
§ 8.2. Плоскости в аффинном пространстве .............................................................. 184 
§ 8.3. Прямые и плоскости в аффинном пространстве ............................................. 192 
§ 8.4. Кривые второго порядка ................................................................................... 198 
§ 8.5. Поверхности второго порядка .......................................................................... 214 

Г л а в а  9. Канонический вид линейных операторов .............................................. 229 

§ 9.1. Жорданова нормальная форма матриц ............................................................ 229 
§ 9.2. λ-матрицы ........................................................................................................... 236 

Г л а в а  10. Функции от матриц ................................................................................... 245 

Вычисление значений функций от матриц различными способами ....................... 245 

Ответы и указания ............................................................................................................. 252 

Библиографический список ............................................................................................. 300 

Предметный указатель ...................................................................................................... 302 

 
 
 
 
 
 
 

 

Светлой памяти 
Чубича Михаила Петровича 
посвящается 
 

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ 

астоящее издание создано на основе учебных пособий В.И. Денисова, 
В.М. Чубича «Сборник задач по геометрии и алгебре» (Новосибирск: 
Изд-во НГТУ, 2001–2003. – Ч. 1–3) и В.М. Чубича, О.С. Черниковой «Сборник 
задач по аналитической геометрии» (Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2015). Оно 
обобщает многолетний авторский опыт преподавания линейной алгебры и 
аналитической геометрии на факультете прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета и содержит материалы по основным разделам указанной дисциплины.  
Целесообразность подготовки настоящего учебника обусловлена прежде 
всего отчетливо ощущаемой авторами необходимостью помочь студентам в 
глубоком и качественном усвоении на практических занятиях наиболее значимых идей и методов дисциплины, а также естественной потребностью компактного расположения решаемых задач и упражнений из многочисленных 
сборников [2, 9, 11–13, 15–19]. 
Практикум включает в себя десять глав: «Комплексные числа», «Матрицы 
и определители», «Линейные пространства», «Системы линейных уравнений», 
«Евклидовы и унитарные пространства», «Квадратичные формы», «Линейные 
операторы в линейных пространствах», «Элементы аналитической геометрии», «Канонический вид линейных операторов» и «Функции от матриц».  
В начале каждой главы приводятся используемые в ней определения, теоремы 
и формулы. При изложении теоретического материала использованы соответствующие разделы из книг [1, 3–8, 10, 14, 20–22]. На многочисленных примерах с подробными решениями поясняются обсуждаемые вопросы, понятия и 
методы. Главу завершают задачи для решения на практических занятиях и дома. Номер каждой задачи содержит три разделенных точками числа. Первое 
число указывает номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер задачи в этом параграфе. Аналогичным образом нумеруются формулы, на которые 
в дальнейшем возможны ссылки. 
В конце работы помещены ответы и указания, указатель обозначений, а 
также предметный указатель. 
Главы 1–7, 9, 10 написаны В.И. Денисовым и В.М. Чубичем, глава 8 –  
В.И. Денисовым, В.М. Чубичем и О.С. Черниковой.  
Авторы будут признательны за любую информацию о замеченных опечатках и неточностях. 

Í 

 

ÓÊÀÇÀÒÅËÜ ÎÑÍÎÂÍÛÕ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈÉ 

Re z  – действительная часть комплексного числа z  
Im z  – мнимая часть комплексного числа z  
|
|z  – модуль комплексного числа z  

arg z  – главное значение аргумента комплексного числа z  

N  – множество натуральных чисел 
Z  – множество целых чисел 
F  – поле (обычно R  или 
)
C  

R  – поле действительных чисел 
C  – поле комплексных чисел 
det , |
|
A
A  – определитель матрицы A  

1
2
( ,
,
,
)

n
N i
i
i
 – число инверсий в перестановке 

1 2
1
2
,
,
,
,
,
,


k
k
i i
i

j
j
j
m
 – минор k-го порядка, образованный строками и столбцами с 

номерами 1
2
,
,
,

k
i
i
i  и 1
2
,
,
,

k
j
j
j  соответственно 

1 2
1
2
,
,
,
,
,
,


k
k
i i
i

j
j
j
M
 – дополнительный минор к минору 
1 2
1
2
,
,
,
,
,
,


k
k
i i
i

j
j
j
m
 

ij
A  – алгебраическое дополнение элемента ij  матрицы A  

T
A  – транспонированная матрица для матрицы A  

1

A
 – матрица, обратная для матрицы A  
rg A  – ранг матрицы линейного оператора A  

Sp A  – след матрицы A  

L  – линейное пространство над полем F  

ÓÊÀÇÀÒÅËÜ ÎÑÍÎÂÍÛÕ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈÉ 

 

9 

n
F  – линейное пространство над полем F , состоящее из n-членных наборов с компонентами из F  

n
R  – действительное арифметическое пространство 

n
C  – комплексное арифметическое пространство 

( )
n
M
R  – действительное линейное пространство многочленов от одной 

переменной с действительными коэффициентами степени  n  

( )
n
M
C  – комплексное линейное пространство многочленов от одной пе
ременной с комплексными коэффициентами степени  n  

,
m n
R
 – действительное линейное пространство 

m n -матриц с действи
тельными элементами 
dim L  – размерность линейного пространства L  

1
2
(
,
,
,
)

m
L x
x
x
 – линейная оболочка системы векторов 1
2
,
,
,

m
x
x
x  

1
2

L
L  – сумма подпространств 1
L  и 
2
L  

1
2
L
L

 – прямая сумма подпространств 1
L  и 
2
L  

1
2

L
L  – ортогональная сумма подпространств 1
L  и 
2
L  

1
2

L
L  – пересечение подпространств 1
L  и 
2
L  

L  – ортогональное дополнение подпространства L  

( ,
)
x y  – скалярное произведение векторов x  и y  

x  – норма вектора x  

( ;
)
A x y  – билинейная форма 

( ;
)
A x x  – квадратичная форма 

XY
w
 – пространство линейных операторов, действующих из линейного 

пространства X  в линейное пространство Y  
( )
N A  – ядро линейного оператора A  

A
n  – дефект линейного оператора A  

( )
R A  – образ линейного оператора A  

*
A  – оператор (матрица), сопряженный(ая) c оператором (матрицей) A  
0

A
 – положительно определенный(ая) оператор (матрица) 
0

A
 – неотрицательный(ая) оператор (матрица) 

n – n-мерное аффинное пространство 

1
2
(
,
, ...,
)

n
M
x
x
x
 – точка М с координатами 
1
2
,
, ...,
n
x
x
x  в аффинной  

системе координат 
1
2
( ,
,
, ...,
)
n
O e e
e
 

1
2
{ ,
, ...,
}

n
x
x
x
x
 – вектор x с координатами 
1
2
,
, ...,
n
x
x
x  в аффинной си
стеме координат 
1
2
( ,
,
, ...,
)
n
O e e
e
 

(
)

i
i
p
N
 – корневое подпространство оператора А, отвечающее собственному 

значению 
i
  с алгебраической кратностью 
ip   

( )

k
J
 – клетка Жордана размера kk, соответствующая собственному 
значению   

1
2
diag(
,
, ...,
)
m
A
A
A
 – квазидиагональная матрица с клетками 
1
2
,
, ...,
m
A
A
A  
на главной диагонали 
( )

A
 – -матрица А 

( )~
( )


A
B
 – эквивалентность -матриц А и В 

( )

k
E
 – k-й инвариантный множитель -матрицы 

( )
   – минимальный многочлен матрицы 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ÃËÀÂÀ 1 

ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÅ ×ÈÑËÀ 

 
 
 
 

ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÅ ×ÈÑËÀ È ÄÅÉÑÒÂÈß Ñ ÍÈÌÈ  

омплексным числом z  называется упорядоченная пара 
( , )

z
a b  
действительных чисел со следующими свойствами. 
0
1 .  Два комплексных числа 1
1
1
(
,
)

z
a
b
 и 2
2
2
(
,
)

z
a
b
 равны тогда и толь
ко тогда, когда 1
2

a
a  и 1
2

b
b . 

0
2 . Сумма двух комплексных чисел 1
1
1
(
,
)

z
a
b
 и 
2
2
2
(
,
)

z
a
b
 определя
ется следующим образом: 

 
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
(
,
)
(
,
)
(
,
)
z
z
a
b
a
b
a
a
b
b






.  
(1.1.1) 

0
3 . Вычитание двух комплексных чисел 1
1
1
(
,
)

z
a
b
 и 
2
2
2
(
,
)

z
a
b
 опре
деляется как операция, обратная сложению: 

 
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
(
,
)
(
,
)
(
,
)
z
z
a
b
a
b
a
a
b
b






.  
(1.1.2) 

0
4 . Произведение двух комплексных чисел 
1
1
1
(
,
)

z
a
b
 и 
2
2
2
(
,
)

z
a
b
 

определяется следующим образом: 

 
1 2
1
1
2
2
1 2
1 2
1 2
2 1
(
,
)(
,
)
(
,
)
z z
a
b
a
b
a a
b b
a b
a b




.  
(1.1.3) 

0
5 . Деление двух комплексных чисел 1
1
1
(
,
)

z
a
b
 и 
2
z   
2
2
(
,
)
a
b
 опреде
ляется как операция, обратная произведению: 

 
1
1
1
1 2
1 2
2 1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

(
,
)
,
(
,
)
z
a
b
a a
b b
a b
a b
z
a
b
a
b
a
b






 







 при 
2
2
2
2
0
a
b


.  
(1.1.4) 

Ê

à ë à â à  1. ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÅ ×ÈÑËÀ 

 

12 

В алгебраической форме комплексное число 
( , )

z
a b  записывается в виде 

a
bi , где действительное число a  называется действительной частью комплексного числа z  и обозначается Re z , действительное число b  называется 
мнимой частью комплексного числа z  и обозначается Im z , символом i  
обозначено комплексное число (0, 1) , называемое мнимой единицей. Комплексное число 

a
bi  называется комплексно-сопряженным с комплексным 
числом 


z
a
bi  и обозначается z . 
Если на плоскости выбрать прямоугольную систему координат Oxy , то 
каждое комплексное число 


z
a
bi  можно изобразить радиусом-вектором с 
координатами ( , )
a b . 
Тригонометрическая форма записи комплексного числа 


z
a
bi  получается при использовании формул связи декартовых координат и полярных 
координат (
cos ,
sin )




a
r
b
r
, т. е. 
(cos
sin )



z
r
i
. При этом полярный 
радиус r  называется модулем комплексного числа z  (обозначается |
|z ), полярный угол   – аргументом комплексного числа z  (обозначается Arg )z . 
Модуль и аргумент комплексного числа выражаются через его действительную и мнимую часть следующим образом: 

 
2
2
2
2
2
2
; cos
; sin
.
a
b
r
z
a
b
a
b
a
b



 
 


 
(1.1.5) 

Главным значением аргумента комплексного числа z  (обозначается 
arg )z  считают такой его аргумент  , что     , если 
0

z
, и 
0
 
, если 
0

z
. 

 

arctg
, если
0;

arg
arctg
, если
0,
0;

arctg
, если
0,
0.

b
a
a
b
z
a
b
a
b
a
b
a






 





 




  
(1.1.6) 

Отметим, что Arg
arg
2
,
z
z
k
k
Z




. 
Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнять, если они 
заданы в тригонометрической форме. Пусть 

1
1
1
1
(cos
sin
)
z
r
i

 

,