Активная параметрическая идентификация линейных дискретных систем. Лабораторный практикум

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
В.М. ЧУБИЧ, Е.В. ФИЛИППОВА 
 
 
 
 
 
АКТИВНАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ 
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ  
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 
 
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

УДК 681.5.015.4(075.8) 
         Ч-813 
 
 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, профессор А.А. Воевода 
канд. техн. наук, доцент О.С. Черникова 
 
 
 
 
Чубич В.М. 
Ч-813   
Активная параметрическая идентификация линейных дискретных систем. Лабораторный практикум: учебное пособие / 
В.М. Чубич, Е.В. Филиппова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2020. – 62 с. 
 
ISBN 978-5-7782-4326-2 
 

Предназначено для магистрантов факультета прикладной матема
тики и информатики НГТУ, изучающих дисциплины «Математические 
методы планирования эксперимента» и «Методы активной идентификации динамических систем» по направлениям 01.04.02 «Прикладная 
математика и информатика» и 02.04.03 «Математическое обеспечение 
и администрирование информационных систем» соответственно. Может быть полезно специалистам, научные и профессиональные интересы которых связаны с моделированием динамических систем стохастической природы. 
 
 
УДК 681.5.015.4(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-4326-2  
 
 
 
 
 
© В.М. Чубич, Е.В. Филиппова, 2020 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Учебное пособие задумано авторами как руководство для выполне
ния лабораторных работ по дисциплинам «Математические методы планирования эксперимента» и «Методы активной идентификации динамических систем», изучаемым в рамках магистерской подготовки по 
направлениям 01.04.02 «Прикладная математика и информатика» и 
02.04.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» соответственно. 

Лабораторный практикум является необходимым приложением к 

учебным пособиям В.М. Чубича и Е.В. Филипповой «Активная идентификация стохастических динамических систем. Оценивание параметров» и «Активная идентификация стохастических динамических систем. Планирование эксперимента для моделей дискретных систем» 
(выпущены издательством НГТУ в 2016 и в 2017 гг.), в которых   
обстоятельно изложены основные идеи и методы теории активной параметрической идентификации стохастических дискретных систем. 

В настоящем пособии, посвященном прикладным аспектам актив
ной параметрической идентификации линейных дискретных систем, 
наряду с общими указаниями приведено описание лабораторных работ 
по всем шести темам («Оценивание неизвестных параметров», «Вычисление информационной матрицы Фишера», «Вычисление производных 
информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала», 
«Прямая процедура синтеза непрерывных A- и D-оптимальных планов», 
«Двойственная процедура построения непрерывных A- и D-оптимальных планов», «Активная параметрическая идентификация»), включающее в себя основные теоретические сведения, задания на выполнение и 
контрольные вопросы. Имеется указатель основных обозначений. 

Авторы надеются, что лабораторный практикум окажет реальную 

помощь студентам в успешном и качественном изучении предлагаемого 
материала, и будут признательны за любую информацию о замеченных 
опечатках и неточностях. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 

 
– вектор неизвестных параметров размерности s 


  
– область допустимых значений параметров 

*
  
– вектор истинных значений параметров 




 
– оценка вектора параметров  

  
– данные наблюдений 
( ;
)
    
– критерий идентификации 

U 
– входной сигнал 


1
0
(
),
0,1,...,
1
N
k
U
U
u t
k
N





 

U
  
– область допустимых входных сигналов 

i
U  
– i-й входной сигнал 

(
)
k
u t
 
– r-мерный вектор управления (входа) в соответствующий момент времени 
(
)
k
x t
 
– n-мерный вектор состояния в соответствующий момент времени 

1
(
|
)
k
k
x t
t



 
– оценка 
1
(
)
k
x t 
 по измерениям 1
k
Y
 (оценка одношагового прогнозирования) 

1
(
|
)
k
k
ij
x
t
t



 – оценка одношагового прогнозирования состояния 

1
(
)
k
x t 
, соответствующая паре (
,
)
i
ij
U Y
 

1
1
(
|
)
k
k
x t
t




 – оценка 
1
(
)
k
x t 
 по измерениям 
1
1
k
Y
  (оценка фильтрации) 

1
1
(
|
)
ij
k
k
x
t
t




 – оценка фильтрации состояния 
1
(
)
k
x t 
, соответствую
щая паре (
,
)
i
ij
U Y
 

(
)
k
w t
 
– p-мерный вектор шума системы в соответствующий 
момент времени 

1
(
)
k
y t 
 
– m-мерный вектор измерения (выхода) в момент времени 
1
kt   

1
1
(
|
)
k
k
y t
t




 – оценка 
1
(
)
k
y t 
 по измерениям 
1
1
k
Y
  при   



 

1
,
N
Y Y
 
– выходной сигнал 


1
1
(
),
0,1,...,
1
N
k
Y
Y
y t
k
N





 

ij
Y  
– j-я реализация выходного сигнала, соответствующая 
входному сигналу 
i
U  

( ; )
L    
– функция правдоподобия 

1
(
)
k
v t 
 
– m-мерный вектор шума измерения в момент времени 
1
kt   

1
(
)
kt 

 
– m-мерный вектор обновления в момент времени 
1
kt   

 
– непрерывный нормированный план эксперимента 

1
2

1
2

,
,
,
,
,
,
,

q

q

U U
U

p
p
p





  









 
1
0,
1
q

i
i
i
p
p




, 

i
U
U 
, i = 1, 2, …, q 


  
– дискретный нормированный план эксперимента 

1
2

1
2

,
,
,

,
,
,
,

q

q

U
U
U

k
k
k








  














 
i
U
U 
, i = 1, 2, …, q 

*
  
– оптимальный по некоторому критерию непрерывный 
нормированный план эксперимента 
( )
M   
– информационная матрица плана 



( )
X M 
 
– критерий оптимальности 

( )
M U  
– информационная матрица Фишера одноточечного 
плана 

[ ]
E   
– оператор математического ожидания 

  
– векторная норма 

Т
2

1

n

i
i
a




, если 
Т
1
2
(
,
, ...,
)
n
a
 


 

T
A  
– матрица, транспонированная к матрице А 

1
A  
– матрица, обратная к невырожденной матрице А 

det A  
– определитель матрицы А 
sp A 
– след матрицы А 

I 
– единичная матрица 

ki

 
– символ Кронекера 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ  
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ 

Выполнение лабораторных работ предполагает использование весьма 
популярного в настоящий момент пакета MATLAB (допустимо также 
применение других современных пакетов, удобных для реализации математических вычислений) и подразумевает подготовку отчетов, содержащих следующие элементы: 
1) цель работы; 
2) необходимые теоретические соотношения; 
3) исходные данные согласно выбранному варианту; 
4) полученные результаты и их анализ; 
5) разработанную программу. 
Защита лабораторных работ принимается при наличии соответствующим образом оформленных отчетов. На защитах проверяется уровень 
усвоения теоретического материала, корректность работы программы, а 
также способность правильно анализировать и интерпретировать полученные результаты. 
Студентам предлагается к использованию два варианта моделей стационарных линейных дискретных систем со следующим структурно-вероятностным описанием. 
Модель с шумами в уравнениях состояния и измерения: 

 
1
(
)
(
)
(
)
(
)
k
k
k
k
x t
Fx t
u t
w t


 
 
; 
 (1) 

 
1
1
1
(
)
(
)
(
)
k
k
k
y t
Hx t
v t





, 
0,1,...,
1
k
N

 .  
(2) 

Здесь (
)
k
x t
 – n-вектор состояния; (
)
k
u t
 – детерминированный r-вектор управления (входа); (
)
k
w t
 – p-вектор шума системы (возмущения); 

1
(
)
k
y t 
 – m-вектор измерения (выхода); 
1
(
)
k
v t 
 – m-вектор шума 
(ошибки) измерения. 
Априорные предположения: 
 случайные векторы 
(
)
k
w t
 и 
1
(
)
k
v t 
 образуют стационарные белые гауссовские последовательности, для которых: 

[ (
)]
0
Е w tk

, 
T
(
)
( )
i
ki
Е w t
w
t
Q
k

 



; 



1
(
)
0
k
E v t 

, 
T
1
1
(
)
(
)
k
i
ki
E v t
v
t
R



 



; 

T
1
(
)
( )
0
k
i
E
t
w
t







, ,
0,1,
,
1
k i
N



; 

 начальное состояние 
0
( )
x t
 имеет нормальное распределение с параметрами 

0
0
[ ( )]
( )
E x t
x t

, 


T
0
0
0
0
0
[ ( )
( )][ ( )
( )]
( )
E
x t
x t
x t
x t
P t



 

и не коррелирует с
(
)
k
w t
 и 
1
(
)
k
v t 
 при любых значениях k ; 

 неизвестные постоянные параметры сведены в s-вектор , включающий в себя элементы матриц F ,  ,  , H , Q , R , 
0
( ),
P t
 и вектор 

0
( )
x t
в различных комбинациях. 
Модель с шумом в уравнении измерения: 

 
1
(
)
(
)
(
)
k
k
k
x t
Fx t
u t


 
; 
 (3) 

 
1
1
1
(
)
(
)
(
)
k
k
k
y t
Hx t
v t





, 
0,1,...,
1
k
N

 .  
(4) 

Здесь (
)
k
x t
 – детерминированный n-вектор состояния; (
)
k
u t
– детерминированный r-вектор управления (входа); 
1
(
)
k
y t 
 – m-вектор измерения 
(выхода); 
1
(
)
k
v t 
 – m-вектор шума (ошибки) измерения. 
Априорные предположения: 
 случайные векторы 
1
(
)
k
v t 
 образуют стационарную белую гауссовскую последовательность, для которой 



1
(
)
0
k
E v t 

, 
T
1
1
(
)
(
)
k
i
ki
E v t
v
t
R



 



; 

 начальное состояние 
0
( )
x t
 детерминировано; 

 неизвестные постоянные параметры сведены в s-вектор , включающий в себя элементы матриц 
,
F  
,
  
,
H  
,
R  и вектор 
0
( )
x t
в различных комбинациях. 
Наполнение лабораторных работ зависит от выбранного студентом 
уровня сложности. 
 I уровень сложности (оценка «отлично») предполагает реализацию градиентных методов при оценивании неизвестных параметров и 
планировании входных сигналов для моделей вида (1), (2). 
 II уровень сложности (оценка «хорошо») предполагает реализацию градиентных методов при оценивании неизвестных параметров и 
планировании входных сигналов для моделей вида (3),(4). 
 III уровень сложности (оценка «удовлетворительно») предполагает реализацию без градиентных методов при оценивании неизвестных параметров и планировании входных сигналов для моделей 
вида (3), (4). При этом лабораторная работа № 3 не выполняется. 
Исходные данные к лабораторным работам (матрицы для моделей 
состояния и измерения, ковариационные матрицы шумов системы и 
измерений, начальные условия, истинные значения параметров с областью допустимых значений и входной сигнал с областью допустимых значений) приведены в разделе «Варианты заданий» для каждого уровня сложности.