Энергетический подход к анализу линейных электрических цепей и оценке времени переходных процессов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Е.И. АЛГАЗИН, К.А. ЛАЙКО 
 
 
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД  
К АНАЛИЗУ ЛИНЕЙНЫХ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ  
И ОЦЕНКЕ ВРЕМЕНИ  
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 621.3.011.71.018.782.3(075.8) 
А 456 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор В.А. Хрусталёв 
д-р техн. наук, профессор В.П. Разинкин 
 
 
Работа выполнена на кафедре ЭЭ и утверждена Редакционноиздательским советом университета в качестве  
учебно-методического пособия для студентов направлений  
28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника 
и 11.03.03 – Конструирование и технология электронных средств 
 
 
Алгазин Е.И. 
А 456  
Энергетический подход к анализу линейных электрических 
цепей и оценке времени переходных процессов: учебно-методическое пособие / Е.И. Алгазин, К.А. Лайко. – Новосибирск: 
Изд-во НГТУ, 2019. – 64 с. 

ISBN 978-5-7782-3874-9 

Рассматриваются следующие основные задачи подготовки студентов: заложить научно-технический фундамент, т. е. ввести в сферу понятий, принципов, идей, целей и возможностей описание и анализ электрических цепей, дать теоретические основы для более глубокого изучения частных вопросов электротехники и теории электрических цепей. 
Уделено внимание сочетанию математических выводов с физическими представлениями, изучение методов расчета сопровождается 
рассмотрением физической стороны явлений. 
Пособие предназначено для изучения курсов «Электротехника» и 
«Теория электрических цепей» студентами электротехнических и радиотехнических специальностей факультета радиотехники и электроники, которые являются базовыми для изучения последующих специальных дисциплин. 
 
УДК 621.3.011.71.018.782.3(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3874-9 
© Алгазин Е.И., Лайко К.А., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Цель настоящей работы – научить студентов анализировать временны́ е соотношения в электрических цепях. 
Под временны́ ми соотношениями понимаются прежде всего постоянные времени электрических цепей. В работе анализируются простейшие электрические цепи. К ним относятся последовательные R–L-, 
R–C- и R–L–C-цепи без источника питания и при его наличии. 
Все предыдущие способы оценки постоянной времени электрических цепей сводились к получению характеристического уравнения на 
основе дифференциального и вычислению его корней. Постоянная 
времени вычислялась как величина, обратная корню характеристического уравнения. 
В пособии использован новый подход, заключающийся в составлении функционала энергий элементов электрической цепи, и на его основе получено характеристическое уравнение. 
Кроме того, предложено формировать аналитическое выражение 
для постоянной времени на основе выражения корней характеристического уравнения с последующим его анализом. 
При этом материал в данном учебно-методическом пособии рассматривается от частного случая к общим его примерам. Вначале формируются аналитические выражения для постоянной времени на основе 
функционалов энергии для цепей R–C, R–L, L–C, R–L–C, а затем идет 
подтверждение полученных результатов на основе дифференциальных 
уравнений, описывающих такие же цепи с помощью закона Кирхгофа. 
Затем приводится решение примеров для цепей R–L, R–C, L–C  
и R–L–C. 
При рассмотрении вопроса о содержании и методике изложения 
отдельных разделов пособия учитывался современный уровень физико-математической подготовки в высшей школе. Поэтому предполагалось, что комплекс знаний, приобретенный по физике и математике, 
вполне достаточен для изучения материала данного пособия. 
В пособии содержатся вопросы для самопроверки и задачи (с ответами), которые предлагается выполнить самостоятельно. 

1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ  
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 
 
В электрических цепях при переходе от одного установившегося 
режима к другому возникают электромагнитные процессы, называющиеся переходными. Такие переходы появляются при непериодических изменениях в цепи приложенного напряжения или изменениях 
параметров R–L–C [1–5]. 
Изменения в цепи могут произойти произвольно. К такого рода изменениям приводит следующее: 
 включение цепи под напряжение; 
 включение или отключение цепи; 
 включение или отключение фрагмента цепи и элемента цепи. 
Все эти виды включения или отключения называются одним словом – коммутация. Направление стрелки над ключом, которым осуществляется коммутация, показывает, размыкается или замыкается 
цепь. 
Во время переходного процесса токи в ветвях цепи и напряжения 
на ее участках определяются как внешними источниками, приложенными к схеме или ее фрагментам, так и внутренними источниками в 
виде конденсаторов и индуктивности.  
Принято считать, что момент коммутации происходит в момент 
0
t 
. Именно с этого момента начинается перераспределение энергии 
между элементами схемы. 
Спустя некоторое время в цепи установится новый, послекоммутационный, режим. Он будет обусловлен только внешними по отношению к цепи источниками энергии. 
При исследовании переходного процесса решаются две задачи: 
– закон изменения токов и напряжений; 
– время переходного процесса в исследуемой цепи. 
Следует помнить, что изменение энергии в цепи, содержащей индуктивности и конденсаторы, не может происходить мгновенно. 
В противном случае мощность, равная скорости изменения энергии 
/
p
dE dt

, обращалась бы в бесконечность. 
При анализе переходных процессов делаются следующие допущения: 
– будем считать, что ключи, осуществляющие коммутацию, замыкаются и размыкаются мгновенно и без электрической дуги; 
– время переходного процесса ограничено условным пределом; 

– установившийся после коммутации режим рассчитывается при 
t   . 
Изучение переходных процессов является важной задачей, так как 
эти процессы могут привести к выходу из строя элементов электрических цепей. 

1.1. Математическое описание анализа  
переходных процессов 

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 1, а. После коммутации в 
ней вместо 
0
R
R

 остается сопротивление R. После коммутации состояние цепи на основании первого закона Кирхгофа описывается 
уравнением 

 
1
di
L
Ri
idt
e
dt
C




. 
 (1) 

Продифференцируем это уравнение по времени еще раз: 

 

2

2
1
d i
di
de
L
R
i
dt
c
dt
dt



. 
(2) 

 

e

R
i

C

L
0

пр

L
L

C
C

i

R

R
R

e
eL

eС

+
=

 
а 
 б 
 в 

Рис. 1 

Решение такого рода уравнений состоит из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. 
Частное решение находят из установившегося после коммутации режима. Поэтому этот режим называют принужденным. Освободив 

уравнение (2) от правой части, получаем однородное уравнение.  
Поэтому решение его в виде токов или напряжений называют свободным. 
Переходный ток (или напряжение) находят как сумму свободной и 
принужденной составляющей (см. рис. 1): 

 
пр
св
i
i
i


. 
 (3) 

Из уравнения (2) получим следующее однородное уравнение: 

 

2
св
св
св
2
1
0
d i
dt
R
i
L
dt
LC
dt




. 
 (4) 

При классическом подходе имеем решение в виде суммы двух экспонент: 

 
1
2
св
1
2
p t
p t
i
A e
A e


. 
(5) 

После подстановки экспонент 
к
к
p t
A e
 в уравнение (4) дифференцируем его. Затем получаем характеристическое уравнение, а из него – 
корни 
1
2
 и 
p
p . Если 
1
2
,
p
p
p


 то получим следующее решение: 

св
1
2
pt
pt
i
A e
A pe


. 

Постоянные интегрирования 
1
2
  и  
A
A  находят из начальных  
условий. 

1.2. Цепи первого порядка 
Классический метод решения. Законы коммутации 

1.2.1. Короткое замыкание цепи R–L 

Пусть к зажимам цепи до коммутации было приложено напряжение 
0
u
U

 (рис. 2, а). 
После коммутации ключа получаем 

пр
св
св
св
 
 0
.
i
i
i
i
i





 

Уравнение для св :
i
  

св
св
0
di
L
Ri
dt 

.            (6) 

Для такого уравнения первого 
порядка решением является 

св
;
pt
i
e
A

    
cв
св.
pt
di
pAe
pi
dt 

 

Подставив эти решения в уравнение (6), получим характеристическое уравнение 

св
св
св(
)
0
pLi
Ri
i
pL
R




.  (6а) 

Из уравнения (6а) находим корень 
R
p
L
 
 и определяем постоян
ную времени 
1
L

p
R
  

. 

Далее определяется постоянная интегрирования A: 

при 
cв
0   
(0)
t
A
i


. 

Для определения токов при 
0
t 
 воспользуемся законами коммутации. 

Первый закон коммутации 
Ток в ветви с индуктивностью в цепи не может изменяться скачком 
и в момент коммутации остается равным тому значению, которое он 
имел в момент времени до коммутации. 

Второй закон коммутации 
Напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, и в 
момент коммутации остается равным тому значению, которое оно 
имело в момент времени до коммутации. 

Рис. 2 

Математическая формулировка первого закона коммутации имеет 
вид 

(0)
( 0)
i
i
i
i


. 

В нашем случае 

0

0

пр
св

( 0)
(
0)
,

(0)
(0)
(0).

U
i
i t
R
R

i
i
i










 

Следовательно, постоянная интегрирования А будет равна 

0
0
св
пр
0
0
(0)
( 0)
(0)
0
U
U
A
i
i
i
R
R
R
R









. 

Тогда ток  i  в  R–L-цепи равен 

0

0
.

Rt
L
U
i
e
R
R





 

По найденному аналитическому выражению тока находим напряжения на элементах R–L-цепи: 

0

0
,

Rt
L
R
RU
u
Ri
e
R
R






 

0
0
0

0
0
.

R
R
t
t
L
L
L
U
R U
di
R
u
L
L
e
e
dt
L
R
R
R
R








 






 

1.2.2. Включение цепи R–L  
под синусоидальное напряжение 

Если к рассматриваемой цепи приложить напряжение вида 
sin(
)
m
u
U
t

   , то свободный процесс не изменится. 
В данном случае   – частота приложенного напряжения;   – 
начальная его фаза; 
m
U
 – амплитуда приложенного напряжения. 

Изменится только постоянная интегрирования. Находим ток до 
коммутации: 

sin(
)
|
|
m
U
i
t
Z

    

,  

где  

2
2
0
|
|
(
)
(
)
Z
R
R
L


 

, 

0
arctg
L

R
R

 

. 

С учетом приведенных выше соотношений получим следующее 
выражение для тока: 

2
2
0
0
sin
arctg
(
)
(
)

m
U
L
i
t
R
R
R
R
L





   






 
. 

Значение тока в момент времени 
0
t 
 будет 

(0)
(0 )
sin(
0
)
sin(
)
|
|
|
|
m
m
U
U
i
i
Z
Z

 

    
  


. 

В результате с учетом найденного значения (0)
i
 записываем выражение для тока: 

sin(
)
,
|
|

R
R
t
t
m
L
L
U
i
Ae
e
Z





  

  

так как 

sin(
).
|
|
m
U
A
Z

  

 

Значение постоянной интегрирования A зависит от момента замыкания ключа. Если ключ замкнется в момент прохождения тока через 
нуль, когда 
,
    то св
i
 будет равен нулю, т. е. переходного процесса 
не будет. 

1.2.3. Включение цепи R–L под напряжение 

Рассмотрим более подробно цепь R–L (рис. 3). 
 

R

L
u
i

i

пр
i

св
i
0

2

3

t

i

 
–
w

пр
i

св
i

i

2
3


uL

i u
, 

U0

U 0

R

а

б

в
 
Рис. 3 

Если цепь R–L включена под напряжение 
0
u
U

 (рис. 3, а), то свободный режим ничем не отличается от цепи, изображенной на рис. 2, а: 

св
,

t
Rt
pt
L
i
Ae
Ae
Ae







 

при 
0
пр
 
U
t
i
R
 

, и тогда переходный ток 

0
пр
св

Rt
L
U
i
i
i
Ae
R







.