Типовые задачи по рядам и преобразованию Фурье. Специальные главы математического анализа

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
С.В. НЕДЕЛЬКО, Г.Н. МИРЕНКОВА 
 
 
 
 
 
 
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО РЯДАМ  
И ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ФУРЬЕ 

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ  
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

 

УДК 517.518.45(075.8) 
         Н 421 
 
 

Рецензенты: 

канд. физ.-мат. наук, доцент А.П. Ковалевский 
д-р физ.-мат. наук, профессор В.А. Селезнев 
 
 
 
 
Неделько С.В. 
Н 421   
Типовые задачи по рядам и преобразованию Фурье. Специальные главы математического анализа: учебно-методическое пособие / С.В. Неделько, Г.Н. Миренкова. – Новосибирск: 
Изд-во НГТУ, 2019. – 62 с. 
 
      ISBN 978-5-7782-3962-3 
 
Пособие является продолжением пособия, выпущенного в 2018 году. 
В нем сначала излагаются основные формулы, далее рассмотрены решения новых примеров, а затем приведены условия задач типового расчета 
и ответы к ним. 
Предназначено студентам технических факультетов, в программе 
обучения которых содержится тема «Ряды Фурье. Преобразование 
Фурье».  
 
 
Работа подготовлена кафедрой высшей математики 
и утверждена Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебно-методического пособия 
 
 
УДК 517.518.45(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-3962-3  
 
 
 
 
 
© Неделько С.В., Миренкова Г.Н., 2019 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2019 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Настоящее учебно-методическое пособие является продолжением пособия «Ряды и преобразование Фурье», изданного авторами в 2018 году. 
В § 1 приводятся основные формулы, рассмотренные в предыдущей 
части пособия. 
На основе практических занятий авторами выделены типы задач, 
вызывающие наибольшие затруднения у студентов. Эти задачи, а также 
задачи, не вошедшие в первую часть пособия, составляют содержание 
§ 2. Рассмотрены задачи исследования спектральной плотности сигналов на основе преобразования Фурье, задачи построения интеграла 
Фурье в комплексной форме и переход к интегралу Фурье в действительной форме. 
При нахождении преобразования Фурье отдельно показывается абсолютная интегрируемость функции 
( )
f x , а также показывается, где 
это необходимо, что особая точка преобразования Фурье является 
устранимой особой точкой. 
В § 3 приводятся условия задач типового расчета. 
В § 4 содержатся ответы к заданиям типового расчета, условия которых входят в обе части пособия. 
В приложениях указаны формулы тригонометрии и таблица интегралов, необходимые для выполнения типового расчета. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 

Пусть дана 2L-периодическая функция 
2
( )
f x
L

. 
Тогда для нее тригонометрический ряд Фурье в действительной 
форме на интервале (-L, L) имеет вид 

0

1
( )
sin
cos
2
k
k
k

a
kx
kx
f x
b
a
L
L











. 

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье 
0,
,
k
k
a
a
b  находятся по формулам 

0
1
( )
2
2

L

L

a
f x dx
L 


,  
1
( )cos
L

k
L

kx
a
f x
dx
L
L





,  
1
( )sin
L

k
L

kx
b
f x
dx
L
L





. 

Если сигнал 
( )
f x  задан только на интервале (–L, L), то разложение 
в ряд справедливо только на (–L, L). Но сумма ряда Фурье есть функция 
всегда периодическая, значения которой по теореме Дирихле в точках 
непрерывности совпадают со значениями функции ( )
f x , а в точках разрыва есть среднеарифметическое пределов функции 
( )
f x  слева и 
справа от точки разрыва. 
В случаях четных или нечетных функций 
( )
f x  нахождение тригонометрического ряда Фурье и его коэффициентов упрощается. 
Для четных функций коэффициент 
0
kb 
, поэтому формулы имеют 
вид: 

0

1
( )
cos
2
k
k

a
kx
f x
a
L







 
,  
0
0

2
( )
L
a
f x dx
L


,  

0

2
( )cos
L

k
kx
a
f x
dx
L
L



 

Для нечетных функций коэффициенты 
0
0
k
a
a


, следовательно: 

1
( )
sin
k
k

kx
f x
b
L






 
,   

0

2
( )sin
L

k
kx
b
f x
dx
L
L



. 

Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид 

 

kx
i L
k
k
f
x
c e




 
,   
1
( )
2

L
kx
i L
k
L
c
f x e
dx
L







. 

Если значения коэффициентов 
,
k
k
a
b  уже известны, то можно коэффициент kc  находить по формуле 



1
2
k
k
k
c
a
ib


, 

а также использовать эту формулу для самопроверки. 

Для четных функций 
1
2
k
k
c
a

, для нечетных функций 
2
k
k
i
c
b
 
. 

Периодические функции представляются рядами Фурье, а непериодические функции, заданные на всей числовой оси, представляются интегралами Фурье. 

Определение. Функция 
( )
f x  называется абсолютно интегрируе
мой, если сходится несобственный интеграл 
( )
f x dx
Q




 

. 

Определение. Функция 

1
( )
( )
2

i x
F
f x e
dx

 


 
 
 

называется преобразованием Фурье (интегральным преобразованием 
Фурье) или фурье-образом функции 
( )
f x . 
Функция 

1
( )
( )
2

i x
f x
F
e
d







 
 

есть обратное преобразование Фурье. 

Для представления функции 
( )
f x  интегралом Фурье необходимо 
пользоваться следующими теоремами. 

Теорема 1 
Если функция 
( )
f x  абсолютно интегрируема и на любом конечном 

промежутке (–L, L] представима рядом Фурье, то на числовой оси 

x
 
   функция 
( )
f x  представима интегралом Фурье 

1
( )
( )
2

i
x
i
x
f x
f x e
dx e
d


 


















. 

В действительной форме 


0
( )
( )cos
( )sin
f x
A
x
B
x d



 




, где 

1
( )
( )cos
A
f x
xdx



 

 
, 
1
( )
( )sin
B
f x
xdx



 

 
 

или 

2Re
( )
2Im
( )
( )
,
( )
2
2
F
F
A
B


 
  


. 

Причем в точках разрыва функции 
( )
f x  при 
0
x
x

 

0
0
(
0)
(
0)
( )
2
f x
f x
f x




. 

Известны упрощения формулы интеграла Фурье для некоторых 
частных случаев: при нечетной функции 
( )
f x  коэффициент 
( )
0
A  
, 
при четной функции 
( )
f x  коэффициент 
( )
0
B  
. 

Теорема 2 

Если функция ( )
f x  абсолютно интегрируема, т. е. 
( )
,
f x dx
Q




 

 

и 
( )
F   есть ее преобразование Фурье, то 
( )
2
Q
F  

. 

Доказательство. Действительно,  

-i x
1
( )
( )
учитываем, что  e
1
2

i x
F
f x e
dx

 





 





 
 

1
( )
2
2

Q
f x dx








. 

Если преобразование Фурье и интеграл Фурье найдены в комплексной форме, то легко можно перейти к действительной форме интеграла 
Фурье по формулам 

2Re
( )
2Im
( )
( )
,
( )
2
2
F
F
A
B


 
  


. 

В радиофизике преобразование Фурье без константы 
1
2
 называ
ется спектральной плотностью (не путать с отличным от этого определением спектральной плотности в статистической физике, что выходит 
за рамки пособия). Таким образом, спектральная плотность равна 

( )
( )
i x
F
f x e
dx

 


  

. Спектральная плотность применяется в технике 

для определения свойств физических систем, поэтому бывает нужным 
исследовать и построить ее график. 
Для построения графика спектральной плотности нужно исследовать особые точки 
( )
F 

 (если они возникают) и показать, что эти особые точки являются устранимыми особыми точками, т. е. если 
0
  есть 

особая точка, то 
0
lim
( )
const
F

 

. 

Если положить 
0
0
(
)
lim
( )
F
F






, то функции 
( )
F 

 и 
( )
F   ста
новятся непрерывными в точке 
0
 . Это удобно при исследовании и делает графики более наглядными. 
 
 
 
 

 

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 

Приведем пример разложения функции в ряд Фурье в действительной и комплексной формах. 

Пример. Пусть дана 2L-периодическая функция  

;
[0, ]
( )
(
);
(
,0)

ax x
L
f x
a x
L
x
L


 

 

 (период T = 2L). 

 

Рис. 1. График функции из примера 

Функция 
( )
f x  является функцией общего вида (не является нечетной либо четной), но сводится к нечетной функции. Ее график показан 
на рис. 1. Введем функцию  

1( )
( )
2
aL
f
x
f x


. 

Тогда 
1

;
[0, ]
2
( )
;
(
,0)
2

L
a x
x
L
f x
L
a x
x
L











  



 


 



является нечетной, и при ее раз
ложении в ряд Фурье коэффициенты 
0
0
k
a
a


. 



0

2
sin
интегрируем по частям
2

L

k
L
kx
b
a x
dx
L
L












 



1

0

2
(
)cos
sin
( 1)
1
2

L
k
a
L
kx
L
kx
aL
x
k
L
k
L
k




















, 

1

1
1

( 1)
1
( )
sin
k

k

aL
kx
f
x
k
L









  
. 

Разложение в ряд Фурье функции 
( )
f x  имеет вид 

1

1
1

( 1)
1
( )
( )
sin
2
2

k

k

aL
aL
aL
kx
f x
f
x
k
L












  
. 

Для функции 
( )
f x  имеем 
0 ,
0
2
2
k
a
aL
a


, в чем можно убедиться, 

вычислив коэффициенты по общим формулам. Но вычисление по общим формулам всех коэффициентов ряда сложнее, чем в предложенном 
решении. 
Сумма ряда Фурье есть функция периодическая, имеющая в точках 

разрыва x
kL

 значение 2
aL . 

Ряд Фурье в комплексной форме с учетом 
2
k
k
i
c
b
 
 имеет вид  

1

(
0)

( 1)
1
( )
2
2

kx
k
i L

k

k

aL
iaL
f x
e
k













 
, 

здесь 0
2
aL
c 
. 

Приведем теперь примеры нахождения преобразования Фурье 
( )
F   
и представления функции интегралом Фурье. 

Пример 1. 
;
[
, ]
( )
0;
[
, ]

x
x
a a
f x

x
a a


 
 
 

, 
0
a 
. 

Сначала покажем, что функция 
( )
f x  абсолютно интегрируема и, 
следовательно, существует преобразование Фурье и функция представима интегралом Фурье. 

0
2
2
0
2

0
0
( )
0
(
)
0
2
2

a
a
a

a
a
a

x
x
f x dx
dx
x dx
xdx
dx
a















 







. 

Находим преобразование Фурье: 

0

0

1
1
( )
( )
2
2

a
i x
i x
i x

a

F
f x e
dx
xe
dx
xe
dx

 
 
 






 









 




 



интегрируем по частям

  

0

2
2
0

1
1
1
(
)
(
)
2

a
i x
i x

a

x
x
e
e
i
i

 
 























 
 









 





2
2

1
2
1
(
)
2

ia
ia
ia
ia
a
e
e
e
e
i



















 




 

ia

ia

по формуле Эйлера

e
2cos

e
2 sin

ia

ia
e
a

e
i
a
















 










 

2
1
2(
sin
cos
1)

2

a
a
a






. 

Покажем, что для 
( )
F   (и для 
( )
F 

) точка 
0
 
 является устранимой особой точкой.