Тепломассообмен. Теплопроводность

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
М.В. ГОРБАЧЕВ 
 
 
 
 
ТЕПЛОМАССООБМЕН 
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 
 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

УДК 536.2(075.8) 
   Г 672 
 
 
 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент И.А. Сажин 
канд. физ-мат. наук, доцент А.А. Поздеев 
 
 
Горбачев М.В 
Г 672  
Тепломассообмен. Теплопроводность: учебное пособие /  
М.В. Горбачев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 76 с. 

ISBN 978-5-7782-4134-3 

Курс «Тепломассообмен» является базовой дисциплиной для ряда 
инженерных и прежде всего теплотехнических и энергетических специальностей. В связи с быстрым развитием теории теплообмена из года 
в год видоизменяется и совершенствуется учебный курс тепломассообмена, читаемый студентам высших учебных заведений. 
В учебном пособии рассмотрены теоретические положения одного 
из способов распространения теплоты – теплопроводности, приведены 
сведения по методам и алгоритмам расчета стационарных и нестационарных температурных полей. 
 
 
 
УДК 536.2(075.8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-4134-3 
© Горбачев М.В., 2020 
 
© Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2020 

ВВЕДЕНИЕ 

Самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты в пространстве неоднородным полем температуры называется теплообменом. Пространство может быть заполнено многокомпонентной смесью 
веществ. Если концентрации компонентов в различных точках пространства разные, происходит необратимый процесс переноса массы 
компонентов из одной области в другую. Этот процесс называется 
массообменом. Совместно протекающий процесс переноса теплоты и 
массы вещества называется тепломассообменом. 
Как любой реальный самопроизвольный процесс, тепломассообмен 
является необратимым и продолжается до тех пор, пока в системе не 
установится термодинамическое равновесие. 
Перенос теплоты при непосредственном контакте более нагретых 
элементов тела (или среды) с менее нагретыми, происходящий за счет 
хаотического движения и взаимодействия микрочастиц (молекул, атомов, электронов, ионов), называется теплопроводностью. Интенсивность процесса теплопроводности в различных телах разная. 
Металлы обладают наибольшей способностью проводить теплоту. 
Их теплопроводность при не очень низких температурах в основном 
объясняется тепловым движением электронов. Чем меньше удельное 
электрическое сопротивление металла, тем выше его теплопроводность. 
 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

Тепломассообмен – наука о самопроизвольных необратимых процессах распространения теплоты и массы в пространстве в переменном 
поле температур и переменном поле концентраций. Согласно второму 
закону термодинамики самопроизвольный процесс передачи теплоты и 
массы направлен в сторону уменьшения температуры и концентрации 
компонента смеси. 
Температурное поле – совокупность значений температуры во всех 
точках расчетной области и во времени. Математически оно записывается в виде 
( ,
, , )
T
f x y z

 , измеряют его в градусах Цельсия или 
кельвинах, где x, y, z – координаты точки в пространстве, в которой 
находят температуру, в метрах (м); τ – время процесса теплообмена в 
секундах (с). Таким образом, температурное поле характеризуется количеством координат и своим поведением во времени. 
В зависимости от числа координат, вдоль которых может изменяться температура тела, различают трехмерное, двумерное, одномерное и нульмерное (однородное) температурные поля. Температурное 
поле, которое изменяется во времени, называют нестационарным температурным полем. И наоборот, температурное поле, которое не изменяется во времени, называют стационарным температурным полем. 
Изотермическая поверхность – поверхность равных температур. 
Свойства изотермических поверхностей: 
а) они не пересекаются; 
б) в нестационарных процессах перемещаются в пространстве. 
Примеры изотермических поверхностей в телах простой формы: 
а) изотермические поверхности в бесконечной пластине при одинаковых на обеих поверхностях условиях теплообмена – это плоскости, 
параллельные плоскостям, образующим данную пластину; 

б) изотермические поверхности в бесконечном цилиндре при одинаковых по всей его поверхности условиях теплообмена – соосные 
(коаксиальные) цилиндрические поверхности или, другими словами, 
вложенные друг в друга цилиндры меньшего диаметра; 
в) поверхности в шаре при равномерном нагреве или охлаждении 
представляют собой вложенные друг в друга сферы. 
Градиент температуры (обозначается grad( )
T  или 
)
T

 – вектор, 
направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону 
увеличения температуры и численно равный изменению температуры 
по этому направлению [1, 2, 4, 6]: 

0
grad( )
T
T
n
n






, или 
0
( )
T
T
n
n







, 

где n – нормаль; 
0
n  – единичный вектор;   – оператор Гамильтона 
(«набла») – символический вектор, заменяющий символ градиента. 
Необходимым условием распространения теплоты является неравномерность распределения температуры в рассматриваемой среде, поэтому для передачи теплоты теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела. 
В декартовой системе координат: 

grad( )
,
T
T
T
T
T
i
j
k
x
y
z



 










 

oC
К
м
м

, 

где ,
,
i
j k

 
 – единичные векторы, или орты, в декартовой системе координат. 
Теплота – количество энергии в форме теплоты, полученное или 
отданное телом или проходящее через это тело за некоторое время τ  
в результате теплообмена. 
Обозначают теплоту Q  и измеряют в джоулях [Дж] или калориях 
[кал]: 
1 ккал = 4,1868 кДж, 1 кДж = 0,24 ккал. 

Тепловой поток (обозначают Q


) – теплота, проходящая через заданную и нормальную к направлению распространения теплоты поверхность в единицу времени [Дж/с = Вт]: 

0
.
dQ
Q
n
d







 

При стационарном режиме теплообмена тепловой поток не изменяется во времени и рассчитывается по формуле 
/
Q
Q

, Вт. 

В расчетах используют три вида удельных тепловых потоков: 
а) поверхностную плотность теплового потока (обозначают q, 
Вт/м2) – тепловой поток, отнесенный к площади поверхности тела; 
б) линейную плотность теплового потока (обозначают lq , Вт/м) – 
тепловой поток, отнесенный к длине тела; 
в) объемную плотность теплового потока (обозначают v
q , Вт/м3) – 
тепловой поток, отнесенный к объему тела. 
Поверхностная плотность теплового потока – теплота, проходящая через заданную и нормальную к направлению распространению 
теплоты единичную площадку в единицу времени [Вт/м2]: 

2

0
d Q
dQ
q
n d
dF
dF








, 

где 0
n  – единичный вектор; τ – время, с; F – площадь, м2. 

, откуда следует, что 
и
Q
Q
q
Q
qF
Q
qF
F
F








. 

Линейная плотность теплового потока – тепловой поток, проходящий через боковую поверхность единичной длины некоего протяженного тела: 

l
Q
Q
q
l
l




,   откуда следует, что 
l
Q
q l

  и  
l
Q
q l
 
 , 

где τ – время, с; l  – длина протяженного объекта, м. 
Поверхностная плотность теплового потока и линейная плотность 
теплового потока связаны между собой следующим соотношением: 

П
,
l
q l
q l

   или   
П
lq
q

, 

где П – периметр тела постоянного поперечного сечения. 
Например, для трубы диаметром d периметр равен длине окружности (П
)
d
 
 и формула связи q и lq  принимает вид 

lq
q d
  . 

Объемная плотность теплового потока – теплота, которая выделяется или поглощается внутри единичного объема тела в единицу 
времени: 

v
Q
Q
q
V
V




,   откуда следует, что   
v
Q
q V

 и 
v
Q
q V
 
 . 

Величина v
q  может быть как положительной (теплота выделяется), 
так и отрицательной (теплота поглощается). 
 

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СПОСОБЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛОТЫ 

Различают три элементарных способа передачи теплоты [1, 2, 4, 6]: 
теплопроводность, конвекция, тепловое излучение (радиационный или 
лучистый теплообмен). 
Теплопроводность – способ передачи теплоты за счет взаимодействия микрочастиц тела (атомов, молекул, ионов в электролитах и 
электронов в металлах) в переменном поле температур. Теплопроводность имеет место в твердых, жидких и газообразных телах. В твердых 
телах теплопроводность является единственным способом передачи 
теплоты. В вакууме теплопроводность отсутствует. 
Конвекция – способ передачи теплоты за счет перемещения макрообъемов среды из области с одной температурой в область с другой 
температурой. При этом текучая среда с более высокой температурой 
перемещается в область более низких температур, а холодная – в область с высокой температурой. В вакууме конвекция теплоты невозможна. 
Тепловое излучение – способ передачи теплоты за счет распространения электромагнитных волн в определенном диапазоне частот. 
 

ЗАКОН ФУРЬЕ 

В 1807 году французский ученый Фурье предположил, что в каждой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности существует 
однозначная связь между тепловым потоком и градиентом температуры: 

grad( )
Q
T F
 


, 
(1) 

где Q – тепловой поток, Вт; grad( )
T  – градиент температурного поля, 
К/м; F – площадь поверхности теплообмена, м2;   – коэффициент 
теплопроводности – величина, характеризующая физические свойства 
вещества (приводят в справочной литературе). 
Закон Фурье для поверхностной плотности теплового потока запишется в виде 

 
grad( )
q
T
 



. 
(2) 

Физический смысл коэффициента теплопроводности: характеризует способность данного вещества проводить теплоту (в общем случае 
зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры). 
Знак «минус» показывает, что векторы теплового потока и градиента температуры направлены в противоположные стороны. Градиент 
температуры направлен по нормали к изотермической поверхности в 
сторону возрастания температуры, тепловой поток – в сторону убывания температуры. 
Выражения (1) и (2) представляют собой линейный закон теплопроводности. В этом законе коэффициент теплопроводности есть величина постоянная (
const)
 
. При экспериментальной проверке закона Фурье обнаруживается отклонение расчета и эксперимента, которое в первом приближении можно учесть, сохранив форму записи закона, но приняв зависимость ( )
Т

. В этом случае получаем нелинейный закон Фурье: 

( )grad( )
q
Т
T
 



. 

Для разных веществ и их фазового состояния λ может как увеличиваться, так и уменьшаться с ростом температуры. 
 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

При решении задач [1, 2, 4, 6], связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение тепло

проводности. Для облегчения вывода этого дифференциального уравнения сделаем следующие допущения: 
1) тело однородно и изотропно; 
2) физические параметры постоянны; 
3) деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением 
температуры, очень мала по сравнению с самим объемом; 
4) внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае 
могут быть заданы как 
( ,
, , )
v
q
f x y z

 , распределены равномерно. 
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности 
положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: теплота dQ, введенная в элементарный объем извне за время d  посредством теплопроводности, а также от внутренних источников, равна изменению 
внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в 
элементарном объеме: 

 
1
2
dQ
dQ
dQ


, 
(3) 

где 
1
dQ  – теплота (Дж), введенная в элементарный объем путем теплопроводности за время d ; 
2
dQ  – теплота, которая за время d  выделилась в элементарном объеме dv  за счет внутренних источников; 
dQ – изменение внутренней энергии, или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме dv , за время d . 
Для нахождения составляющих уравнения (3) выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 1). Параллелепипед должен быть расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям. Теплота, которая 
подводится к граням элементарного объема за время d  в направлении 
осей Ox, Оу, Oz, обозначим соответственно 
x
dQ , 
,
y
dQ
 
.
z
dQ  

Теплоту, которая будет отводиться через противоположные грани в 
тех же направлениях, обозначим соответственно 
,
x dx
dQ 
 
,
y dy
dQ 
 

.
z dz
dQ 
 Теплота, подведенная к грани dydz в направлении оси Ох за 
время d , составляет 
x
x
dQ
q dydzd

 , где 
x
q  – проекция плотности 
теплового потока на направление нормали к указанной грани. 

dz

 
Рис. 1. К выводу уравнения теплопроводности 

Теплота, отведенная через противоположную грань элементарного 
параллелепипеда в направлении оси Ох, запишется как 
x dx
dQ 
 

x dx
q
dydzd


 .  
Разница между количеством теплоты, подведенным к элементарному параллелепипеду, и количеством теплоты, отведенным от него за 
время d  в направлении оси Ох, представляет собой количество теплоты: 

 
1
x
x
x dx
dQ
dQ
dQ 


, 
1
x
x
x dx
dQ
q dydzd
q
dydzd


 
 . 
(a) 

Функция 
x dx
q 
 является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора: 

2
2
...
1!
2!
x dx
x
x dx
x
q
q dx
q
q
x
x










 

 
1
x
x
q
dQ
dxdydzd
x


 


. 
(б) 

Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение (а) 
запишется в виде (б). Аналогичным образом можно найти теплоту, 
подводимую к элементарному объему и в направлениях двух других 
координатных осей Оу и Оz.