Специальные методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

Министерство науки и высшего образования Россаийской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
В.А. АКСЮТИН 
 
 
 
 
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ  
РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ  
ЦЕПЯХ 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

УДК 621.3.011.71(075.8) 
   А 429 
 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент Ю.В. Морозов 
канд. техн. наук, доцент Ф.Э. Лаппи 
 
 
Работа подготовлена на кафедре ТОЭ  
для студентов электротехнических специальностей  
всех форм обучения 
 
Аксютин В.А. 
А 429  
Специальные методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях: учебное пособие / В.А. Аксютин. – 
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 82 с. 

 
 
ISBN 978-5-7782-4191-6 

Рассматривается два метода расчета переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами: интеграл Дюамеля, 
который применяется при воздействии в линейных цепях источников, 
имеющих кусочно-гладкую форму напряжения или тока, и метод переменных состояния. Приводятся теоретические сведения и большое количество примеров решения типовых задач. Предлагаются задачи для 
самостоятельного решения. 
Структура и содержание пособия соответствуют программе курса 
«Теоретические основы электротехники» для электротехнических специальностей вуза. 
Предназначено для самостоятельной работы студентов и аспирантов и может быть полезно преподавателям при организации учебного 
процесса. 
 
 
УДК 621.3.011.71(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-4191-6 
© Аксютин В.А., 2020 
 
© Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение ................................................................................................................... 4 

1. Переходные процессы при воздействии ЭДС  произвольной  
формы (интеграл Дюамеля) ............................................................................ 5 

1.1. Единичная функция  и переходная характеристика цепи ........................ 5 
1.2. Интеграл Дюамеля ...................................................................................... 9 
1.3. Порядок расчета переходных процессов  с помощью интеграла 
Дюамеля ..................................................................................................... 12 
1.4. Примеры расчета переходных процессов  с помощью интеграла 
Дюамеля ..................................................................................................... 12 
1.5. Приведение цепи к нулевым начальным условиям ................................ 28 
1.6. Определение переходного процесса  и установившегося режима 
при воздействии  периодических импульсов напряжения или тока ....... 34 
1.7. Задачи для самостоятельного решения ................................................... 38 
Контрольные вопросы и задания .................................................................... 43 

2. Метод переменных состояния ....................................................................... 44 

2.1. Составление уравнений состояния .......................................................... 44 
2.2. Пример решения уравнений состояния  матричным способом ............ 47 
2.3. Численные методы решения уравнений состояния ............................... 52 
2.4. Примеры расчета переходных процессов ............................................... 56 
2.5. Задачи для самостоятельного решения ................................................... 77 
Контрольные вопросы и задания .................................................................... 80 

Библиографический список .................................................................................. 81 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

При исследовании переходных процессов в реальных электрических цепях возникает задача анализа реакции цепи на внешнее воздействие, имеющее сложную фору напряжения или тока, задаваемую численно либо в виде импульсов, имеющих кусочно-гладкие функции. 
В настоящем пособии рассматриваются два метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами: интеграл Дюамеля, который применяется при воздействии в цепи источников, имеющих кусочно-гладкую форму 
напряжения или тока, и метод переменных состояния. 
Учебное пособие состоит из двух разделов. 
В первом разделе рассматриваются причины возникновения переходных процессов в цепи, дается обоснование невозможности скачкообразного изменения тока в индуктивности и напряжения на емкости 
при коммутациях, вводится понятие «начальные условия», рассматривается математический аппарат, используемый при расчете переходных процессов. 
Во втором разделе излагаются основы метода переменных состояния для расчета переходных процессов как в линейных так и нелинейных электрических цепях. Математической базой этого метода является решение системы неоднородных дифференциальных уравнений 
первого порядка с постоянными коэффициентами записанных относительно первых производных переменных состояния, т. е. в форме Коши. Данный метод является основой численных методов расчета переходных процессов в системе MatchCAD. 
В первом и втором разделах изложение теоретического материала 
иллюстрируется соответствующими числовыми примерами и вопросами для самопроверки. 

1. Переходные процессы при воздействии ЭДС  
произвольной формы (интеграл Дюамеля) 

1.1. Единичная функция  
и переходная характеристика цепи 

Единичной функцией называется разрывная функция, обладающая 
следующим свойством: 

0
при
0 ,
( )
( )
1
при
0 .
1
t
f t
t
t








 


 

Единичную функцию, или единичный источник ЭДС, можно представить как включение цепи при t ≥ 0+ к источнику постоянной ЭДС, 
равной 1 В. На рис. 1.1 представлена цепь без источников энергии 
(пассивный четырехполюсник), который включается на источник постоянной ЭДС, равный 1 В, т. е. вся цепь включается на единичную 
ЭДС. 
 

t 

1 

0 

1(t) 
e 
2 

П
e(t) = 1(t)

2 

2 
1 

1 

П

Кл

E = 1 В

i(t) = g(t)

u(t) = k (t) 

 
Рис. 1.1 

Единичный источник ЭДС является одним из стандартных воздействий, который имеет широкое применение при проведении как теоретических, так и экспериментальных исследований электрических цепей и систем. 
Переходной характеристикой цепи h(t) называется функция времени, равная возникающему переходному процессу искомого тока или 
напряжения при включении цепи на единичный источник ЭДС. 
Если функция h(t) равна переходному процессу для тока h(t) =  
= i(t) = g(t), то такая функция называется переходной проводимостью g(t) 
и имеет размерность проводимости 1/Ом. 
Если функция h(t) равна переходному процессу для напряжения 
h(t) = u(t) = k(t), то такая функция называется переходной функцией по 
напряжению k(t) и является безразмерной величиной. 

Пример 

Для цепи рис. 1.2 определить: 
 переходную проводимость ( )
( )
L
g t
i
t

; 

 переходную функцию по напряжению ( )
( ).
L
k t
u
t

 

Решение 
Переходные 
функции 
рассчитаем 
операторным методом, т. е. как включение цепи (рис. 1.2) на источник постоянной ЭДС 1 В (рис. 1.3). 
 
 
 

Е = 1 В 

Кл 
iL(t) = g(t) 

uL(t) = k(t)
L 

R1 

R2 

      

Е(p) 

IL(p)

UL(p) 
рL 

R1 
R2 

I22(p) 
I11(p)

 
                     Рис. 1.3 
Рис. 1.4 

1. До коммутации в цепи источников нет, токи и напряжения равны 
нулю, и независимые начальные значения 
–
0
 
0
0.
(
)
(
)
L
L
i
i



 

L 

R1 

R2 

iL(t)

uL(t)
u1(t) 

Рис. 1.2

2. Для режима после коммутации составим эквивалентную операторную схему (рис. 1.4). Определяем параметры схемы замещения: 
изображение постоянной ЭДС: 

( )
/
1/
Е
р
p
р
Е


; 

операторная ЭДС индуктивности: 

0.
(
)
0
L
Li
 
 

3. По эквивалентной операторной схеме находится изображение 
тока 
( )
L
I
p  и напряжений 
( ).
L
U
p  
По второму закону Кирхгофа: 

11
1
2
22

11
2
22
2

( ) (
)
( )
 
 
 –

–

/
,

( )
(
(
.
)
0
)

I
p
R
R
I
p

I
p R
I
p R
pL

E
p









 

Определим изображение тока: 

2

1 2
1
2
2
2 ( )
( )
(
)
 
L

E R
p
R R
pL
I
p
I
p
R
R




 

2

1
2

1 2

1
2

(
)

(
)

R
L R
R

R R
p p
L R
R












. 

Определим изображение напряжения: 

2

1
2

1 2

1
2

(
)
( )
(
 
 )

(
)

L

R
L R
R
U
p
LpI p
L
R R
p p
L R

p

R















 = 

2

3
1
2

1 2
4

1
2

( )
( )
(
)

R

F
p
R
R
R R
F
p
p
L R
R






. 

4. По теореме разложения определяем: 
 оригинал тока 
):
(
Li
t
 

2

1
2
1

2
1 2

1
2

(
)
( )
( )
.
( )
(
)

 L

R
L R
R
F p
F
p
R R
p p
L R
R

I
p














 

Корни: 

1
2
1
0,   
0
)
 
c
(
F
p
p



 и 
1 2

1
2
2
;)
 
(
 
R R
L R
p
R

 
 

2
1 2
2
1
2
 
2
(
)
( )
R R
F
p
p
p
p
L
d
R
dp
R













1 2

1
2
(
)
R R
L R
R

; 

1
1
1

2
1

(
)
( )
(
)

t
L
p
F p
e
F
p
i
t 

 + 
2
1
2

2
2

(
)
(
)

p t
F p
e
F
p

 = 
0

1

1
t
e
R
 – 

1 2

1
2
(
)

1

1
R R
t
L R
R
e
R



; 

 оригинал напряжения
( )
L
u
t : 

2

1
2

1 2

1
2

 
( )

(
)

L

R
R
R
R R
p
L
R

U

R

p






 = 
3

4

( )
( )

F
p

F
p . 

Корень уравнения: 

4
3
1 2

1
2
0,  
( )
(
)
R
p
R
F
L R
R
p 
 

 и 
4( ) 
F
p
d
dp


1 2

1
2)
1.
(
R R
L R
R
p










 

1
3
1

4
1

(
)
( )
(
)

t
L
p
F
p
e
F
p
u
t 

 = 

1 2

1
2
(
)
2

1
2

R R
t
L R
R
R
e
R
R




. 

Переходная проводимость: 

1

1
( )
( )
L
g t
i
t
R


 – 

1 2

1
2
(
)

1

1
R R
t
L R
R
e
R



. 

Переходная функция по напряжению: 

1 2

1
2
(
)
2

1
2
( )
( )
.
L

R R
t
L R
R
k t
u
t
R
e
R
R






 

Если линейная цепь включается на постоянный источник ЭДС, отличный от единици, то возникающие в цепи токи и напряжения прямо 
пропорциональны величине приложенной к цепи ЭДС: 

( )
( ) ( )
1( ) ( ),
x t
e t h t
E t h t


 

где ( )
x t  – расчетный ток или напряжение; ( )
h t  – переходная характеристика цепи ( )
k t  или ( )
g t . 

1.2. Интеграл Дюамеля 

Пусть на зажимах цепи (рис. 1.5) действует источник напряжения e(t), 
имеющий кусочно-гладкую форму (рис. 1.6). Заменим кривую e(t) 
приближенно ступенчатой с интервалами . Величину напряжения 
u(t) или тока i(t) в момент t обозначим через x(t). Величину x(t) можно 
рассматривать как сумму составляющих, возникающую от действия 
скачкообразных напряжений 
)
–
(
,
e t

  следующих друг за другом через промежутки  в интервале τ от 0 до t. 
 

 
i(t)

e(t) 

2 

2 
1 

1 

П 
u(t)

      

 

e(0+)

Δe(τ)

e(t) 

 

t

0

e 

τ 

t

t –

 
                        Рис. 1.5 
Рис. 1.6 

Первый скачок равен (0 )
e
  в момент 
0 .
t


 Последующие скачки 

равны 
( )
( )
e
e

  
 

. Составляющая величины ( ),
x t
 вызванная скач
ком напряжения, действующим в момент , равна 
( )
(
.
) (
)
x
e t h t
t

  

 

Вся величина x(t) определяется суммой составляющих, вызванных отдельными скачками напряжения, т. е. 

( )
( )
( )
(
)
(0)
.
t
e
h t
x t
e
h t








 



 

При уменьшении интервалов  до бесконечно малой величины d 
ступенчатая кривая напряжения перейдет в заданную кривую e(t): 

 

0
(0)
( )
( )
( ) (
)
,
t
e
x t
e
h t
h t
d
 
 




 
(1.1) 

где 

0
( )
( )
( )
lim
e
de
e
d





  


 . 

Полученное выражение (1.1) носит название интеграл Дюамеля. 
Существует второе выражение интеграла Дюамеля: 

 

0
(0)
( )
( )
(
) ( )
t
h
x t
e
h t
t
е
d

 



 
. 
(1.2) 

Интеграл Дюамеля для определения закона изменения тока имеет 
вид 

 

0
(0)
( )
( )
( ) (
)
t
e
i t
e
t
t
g
g
d

 
 



, 
(1.3) 

а для изменения напряжения: 

 

0
(0)
( )
(
(
)
 
(
)
t
e
u t
e
t
t
k
k
d

 
 



. 
(1.4) 

Рассмотрим применение интеграла Дюамеля при расчете переходного процесса, если напряжение источника определяется кусочногладкой функцией, т. е. функцией, заданной аналитически на каждом 
конечном интервале и имеющей в точках стыка интервалов разрывы 
первого рода (рис. 1.7). 

t2 

e(t) 

e1(0) 

0 

e3(t2) – e2(t2) 
e2(t1) – e1(t1) 
e1(t) 

t1 

t 

e2(t) 

 
Рис. 1.7 

В промежутке 
1
0
t
t
 
 можно воспользоваться уже имеющейся 
формулой (1.1): 

 
1
1
0
0
( )
( )
( ) (
)
t
x t
e
e
t
t
h
h
d




 


. 

В промежутке 
1
2
t
t
t
 
 следует учесть скачок напряжения 

2 1
1 1
–
)
),
(
(
e
t
e t
 а также то, что напряжение изменяется по закону 2( ):
e
t
 



1
2

1

1
1
1 1
1
0
(0)
( ) (
)
( )
(
( )
( )
–
)
( –
)
t
e
h t
x t
e
h t
e
t
e t
h t
d
t
 








 

1
2( ) (
)
t

t
e
h t
d



 


, 

где 
1
(
)
–
h t
t
 учитывает запаздывание скачка 
2 1
1 1
( ) –
( )
u
t
u t



  на время 

1t  по сравнению с началом отсчета времени. 
Для промежутка времени 
2t
t
    учитывается скачок 
2
2 ,
(
)
e
t

  
а также то, что 2( )
u
t  действует лишь до 2 :
t
 



1

1
2 1
1 1
1
1
0
(0)
( ) (
)
( )
(
( )
 ( )
 
–
(
)
)
–
t
e
h t
x t
e
h t
e
t
e t
h t
d
t
 







 




2

3
2
2
2
2
2
1
( ) (
)
(
)
(
)
(
–
–
.)
t

t
e
e
h t
t
e
t
h t
t
d 



 


 

Формула с интегралом Дюамеля применяется столько раз, сколько 
гладких интервалов имеет заданная кривая e(t). 

1
1

2
1
2

3
2

( ),
0

( )
( ),
( ),

e t
t
t

e t
e
t
t
t
t
e t
t
t

 



 


  
