Расчет и компьютерное моделирование электрических цепей с применением программы Mathcad (от простого к сложному)

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
Ф.Э. ЛАППИ, П.В. МОРОЗОВ  
 
 
 
 
РАСЧЕТ И КОМПЬЮТЕРНОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 
 С ПРИМЕНЕНИЕМ  
ПРОГРАММЫ MATHCAD 
 
(ОТ ПРОСТОГО К СЛОЖНОМУ) 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 621.3.011.7 : 004.94(075.8) 
         Л 245 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, проф. В.Ю. Нейман, 
канд. техн. наук, доц. Ю.В. Морозов 
 
Работа подготовлена на кафедре ТОЭ  
для студентов факультета механотроники и автоматизации 
 
Лаппи Ф.Э. 
Л 245   
Расчет и компьютерное моделирование электрических цепей с 
применением программы Mathcad (от простого к сложному): учебное 
пособие / Ф.Э. Лаппи, П.В. Морозов. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2020. – 112 с. 

ISBN 978-5-7782-4258-6 

Рассматриваются основные понятия, приемы анализа электрических цепей 
в различных режимах работы, в том числе и в переходных процессах с использованием возможностей программы Mathcad. Курс теоретических основ электротехники предполагает, что при изучении методов анализа электрических 
цепей важное значение имеет получение точного результата. Как правило, последнее обстоятельство приводит к необходимости проведения большого объема вычислительной работы. Если расчет проводится один раз и схема относительно небольшая, то оправдано применение логарифмической линейки, калькулятора, программы Excel и других относительно несложных вычислительных систем. Если же схема содержит только линейные элементы, но расчет 
необходимо сделать много раз при изменяющихся по величине параметрах, то 
требуется использование мощных вычислительных систем. Это особенно актуально при анализе переходных процессов и при наличии в схеме нелинейных 
элементов. Программа Mathcad отвечает всем требованиям по эффективному 
анализу сложных электрических схем. 
Пособие будет полезно студентами, желающим, во-первых, закрепить знания, полученные ранее при изучении курса Теоретические основы электротехники; во-вторых, создать базу прочных навыков для дальнейшего анализа 
сложных электрических и электронных цепей в любых ситуациях инженерной 
жизни. 

УДК 621.3.011.7 : 004.94(075.8) 

 
ISBN 978-5-7782-4258-6  
 
 
 
 
 
 
© Лаппи Ф.Э., Морозов П.В., 2020 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Введение ................................................................................................................... 4 

1. Основные элементы, используемые при анализе   
    линейных электрических цепей .......................................................................... 5 

2. Основные режимы работы электрических цепей и расчетные модели .......... 7 

3. Анализ цепей постоянного тока в установившемся режиме ......................... 13 

4. Анализ цепей синусоидального тока в установившемся режиме.................. 26 

5. Анализ цепей несинусоидального тока в установившемся режиме .............. 37 

6. Анализ переходных процессов в линейных цепях классическим  
    методом ............................................................................................................... 51 

7. Анализ переходных процессов в линейных цепях операторным  
    методом ............................................................................................................... 64 

8. Анализ переходных процессов в линейных цепях методом  
    переменных состояний ...................................................................................... 89 

9. Анализ переходных процессов в линейных цепях методом 
    интеграл Дюамеля ............................................................................................ 102 

Заключение ........................................................................................................... 110 

Библиографический список ................................................................................ 111 
 
 
 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

В курсе Теоретические основы электротехники изучаются принципы работы электрических цепей, работающих в различных режимах, 
и дан их анализ. Современные электрические цепи – это совокупность 
электротехнических устройств, в состав которых входит большое количество разнообразных элементов. В связи с этим, а также с ростом сложности устройств существенно увеличилась трудность аналитических 
расчетов электрической цепи. В настоящее время появились вычислительные программы, одна из которых называется Mathcad, позволяющие производить большой и самый разнообразный объем вычислений 
сложных систем уравнений. 
Однако чтобы воспользоваться возможностями указанной программы, необходимо прежде всего установить, в каком режиме работает 
анализируемая схема. Затем требуется создать расчетную модель и для  
ее анализа выбрать по возможности наиболее оптимальный метод. В соответствии с выбранным методом записать систему уравнений, и для 
решения полученной системы привлечь соответствующую программу. 
Когда будут получены результаты, сделать анализ правильности вычислений. Таким образом, программа Mathcad – мощный вычислительный, 
но только инструмент. Чтобы хорошо этот инструмент использовать, 
требуется достаточно прочно знать основы теории по тому или иному 
предмету. 
В предлагаемом пособии авторы исходили из следующих соображении: полагаем, что читатели знакомы с законами Кирхгофа, Ома, знают 
основные методы анализа линейных электрических цепей в установившемся режиме, к которым относятся методы контурных токов, узловых 
потенциалов, наложения, а также о методах анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. 

Цель учебного пособия – помочь освоить основные приемы и ме
тоды анализа электрических цепей постоянного, синусоидального тока 
в различных режимах работы с использованием программы Mathcad. 

 

1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, 
 ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ АНАЛИЗЕ  
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 

В таблице приведены основные элементы линейных электрических 
цепей и полупроводниковый диод, имеющий нелинейную вольт-амперную характеристику. 

Основные элементы линейных электрических цепей 

№ 
п/п 
Название 
элемента 
Изображение  
элемента 

Основная  
характеристика  
элемента 

1 
Резистор 

R

2
1
i

u
 

u

1
u

i
1i

u
Ri


 

2 
Конденсатор 

 

2
1
i

u

C

q

q


dq
du
i
C
dt
dt


 

 

1
q

u
1
u

q
Cu


q

 

1
idt
C
u 

 

3 
Катушка 
индуктивности 

 

2
1
i

u

L

 

d
di
u
L
dt
dt



 

 

i
1i

Li
 



1


 

1
i
udt
L


 

П р о д о л ж е н и е  т а б л и ц ы  

№ 
п/п 
Название 
элемента 
Изображение  
элемента 

Основная  
характеристика  
элемента 

4 
Источник 
постоянной ЭДС 

2

1

Е

( )
i t
U
Е


 
t

U

Е

 

5 
Источник 
постоянного тока 

 
 J
( )
u t

2

1

 
t

i

J

 

6 

Синусоидальный 
источник  
электродвижущей 
 силы (ЭДС) 

2

1

( )
e t
( )
i t
( )
( )
u t
e t


 

0

0

( )
sin
(
)

sin(
)

m

m

e t
E
t
t

E
t


 



  
 

t

0t

T

 

e

m
E

 

7 
Синусоидальный 
 источник тока 
2

1

( )
J t
( )
( )
i t
J t

( )
u t

 

0

0

( )
sin
(
)

sin(
)

m

m

J t
J
t
t

J
t


 



  
 

t

0t

T

 

m
J

J

 

8 

Две катушки  
индуктивности 
с взаимной 
индуктивностью 

1i

12
u

1
L

2i

2
L

1
2

3
4

34
u

12
М

 

1
1 1
12 2
L i
M i
 

 

 

2
2 2
12 1
L i
M i
 

 

9 
Полупроводниковый диод 

d
u

di

 

d
u

di

 

О к о н ч а н и е  т а б л и ц ы  

№ 
п/п 
Название 
элемента 
Изображение  
элемента 

Основная  
характеристика  
элемента 

10 
Ключ 
 
Разомкнут – 
замыкается 

 
Замкнут – 
размыкается 

В дальнейшем будут рассмотрены методы расчета электрических 
цепей в разных режимах, содержащих вышеуказанные элементы. 

 
 
 

2. ОСНОВНЫЕ РЕЖИМЫ РАБОТЫ  
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 
 И РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ 

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.1 

2
С

1( )
е t

7
R

6( )
е
t
1
R

1( )
J
t

3
R

2
L

2i

1
L
A

1К
2К

2
3

4

4i

3i
5i

1i

1

4
R

5

5
R

6i

12
М

7i

3К

4
L

 

Рис. 2.1. Исходная схема для анализа режимов работы 

Это линейная цепь, в которой есть ключ, меняющий структуру 
схемы. Так как в схеме имеются индуктивности и емкости, которые могут накапливать энергию (это важно помнить – рано или поздно энергии 
надо измениться тем или иным способом), то при размыкании (коммутации) ключа в схеме возникнет переходный процесс, в ходе которого с 
течением времени будут меняться как по величине, так, возможно, и по 
направлению все токи и напряжения. Будем называть схему, существовавшую до размыкания ключа, докоммутационной. Рассмотрим возможные режимы работы докоммутационной схемы.  

1-й случай 
Источники имеют произвольную, но известную зависимость от времени. В этом случае необходимо решать систему уравнений по законам 
Кирхгофа для мгновенных значений. В схеме имеется пять узлов, семь 
ветвей, три контура. Следовательно, для анализа схемы надо составить 
семь уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений. Для 
примера запишем только одно уравнение по второму закону Кирхгофа 
для первого контура: 

1
2
2
1
1
1 1
2
2
7 7
1
2

1
( )
di
di
di
di
L
M
R i
i dt
L
M
R i
e t
dt
dt
C
dt
dt








. 

Таким образом, режим работы в докоммутационной схеме будет 
описываться системой линейных дифференциальных уравнений, решение которой при известных начальных условиях позволит найти все 
токи и напряжения. 

2-й случай 
В докомутационной схеме «долго» действуют постоянные источники энергии. В таком случае для облегчения анализа расчетная модель 
примет вид, изображенный на рис. 2.2. 
В расчетной модели (рис. 2.2) – три узла, четыре ветви, два контура. 
Следовательно, по законам Кирхгофа необходимо записать четыре 
уравнения: два уравнения по первому закону и два – по второму. Для 
примера запишем одно уравнение по первому закону для третьего узла:

3
4
6
1
0
I
I
I
J





 и одно уравнение по второму закону для первого 
контура: 

1 1
5
5
4
4
3
3
3
7
1
I R
I R
I R
I R
I R
E





. 

1
E

7
R

6
E
1
R

1
J

3
R
2
0
I


A

1К

2К

3

4

4
I

3
I
5
I

1I

4
R

5

5
R

6
I

7
I

1
2

 
Рис. 2.2. Расчетная модель докоммутационной схемы 
по постоянному току 

3-й случай 
В докомутационной схеме «долго» действуют синусоидальные источники энергии. В этом случае, используя символический метод, получим расчетную модель, изображенную на рис. 2.3. 
 

2
С
jX


1
E

7
R

6
E
1
R

1
J

3
R

2
L
jX

2
I

A

1К
2К

2
3

4

4
I

3
I
5
I

1
I

1

4
R

5

5
R

6
I

12
М
jX

7
I

3К

4
L
jX

1
L
jX

 
Рис. 2.3. Расчетная модель докоммутационной схемы  
по синусоидальному току в установившемся режиме 

В расчетной модели (рис. 2.3) – пять узлов, семь ветвей, три контура. 
Следовательно, по законам Кирхгофа необходимо записать семь уравнений: четыре уравнения по первому закону и три – по второму.  
Для примера запишем одно уравнение по первому закону для третьего 
узла: 
3
4
6
1
0
I
I
I
J




 и одно уравнение по второму закону для первого контура:  

2
2
12
1
12
1
7
1
2
1
7
1
2
1
(
)
.
C
L
M
L
M
I R
I
jX
jX
I jX
I R
I jX
I jX
E








 

После коммутации (в рассматриваемом случае (размыкании ключа) 
в схеме возникнет переходный процесс, в течение которого возможны 
значительные изменения токов и напряжений на всех элементах схемы. 
В линейной цепи при разовой коммутации рано или поздно переходный 
процесс закончится, и в схеме наступит или принужденный, или квазиустановившийся режим. Под квазиустановившимся режимом понимают такой режим, при котором в схеме все время идет переходный 
процесс, но закон изменения токов и напряжений периодически повторяется. Не следует путать этот режим с установившимся синусоидальным режимом.  
Рассмотрим возможные режимы работы послекоммутационной 
схемы.  

1-й случай 
Источники имеют произвольную, но известную зависимость от времени. Послекоммутационная схема изображена на рис. 2.4. 
В этом случае необходимо решать систему уравнений по законам 
Кирхгофа для мгновенных значений. В схеме (рис. 2.4) – три узла, четыре ветви, два контура. Следовательно, для анализа схемы надо составить четыре уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений. 
Для примера запишем только одно уравнение по второму закону 
Кирхгофа для первого контура: 

1
2
2
1
1
1 1
2
2
7 7
1
2

1
( ).
di
di
di
di
L
M
R i
i dt
L
M
R i
e t
dt
dt
C
dt
dt








 

Таким образом, режим работы в послекоммутационной схеме будет 
описываться системой линейных дифференциальных уравнений, решение которой при известных начальных условиях позволит найти все 
токи и напряжения.  

2
С

6( )
е
t

3
R
2i

1К

3
3i

1

5

2

4

4
L

12
М

6i

5
R

4
R

1i

5i

4i

A

1
L

2
L

1( )
J t

1
R

1( )
е t

2К

 

Рис. 2.4. Послекоммутационная схема 

2-й случай 
В послекомутационной схеме «долго» действуют постоянные источники энергии. В таком случае для облегчения анализа расчетная модель 
примет вид, изображенный на рис. 2.5. 

1
E

6
E
1
R

1
J

3
R
2
0
I


A

1К

3

4
I

5
I

1I

4
R

5

5
R

6
I

1
2
3
0
I 

4

 

Рис. 2.5. Расчетная модель послекоммутационной 
 схемы по постоянному току