Применение математического моделирования в задачах электроэнергетики

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
В.Я. ЛЮБЧЕНКО, С.В. РОДЫГИНА 
 
 
 
 
ПРИМЕНЕНИЕ 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ  
В ЗАДАЧАХ 
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

УДК 621.311:001.57(075.8) 
         Л 935 
 
 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент Д.А. Павлюченко 
канд. техн. наук, доцент М.А. Купарев 
 
 
Работа подготовлена на кафедре  
систем электроснабжения предприятий 
 
 
 
 
 
Любченко В.Я.  
Л 935  
Применение математического моделирования в задачах электроэнергетики: учебное пособие / В.Я. Любченко, С.В. Родыгина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 72 с. 

 
 
ISBN 978-5-7782-3627-1 

В учебном пособии изложены методологические основы построения математических моделей, используемых при исследовании физических процессов, 
проектировании и управлении техническими объектами. 
Представлены математические модели, применяемые для описания процессов в однородных протяженных линиях электропередач. Основное внимание уделено математическим моделям и методам расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. 
Предназначено для студентов, обучающихся по образовательной программе подготовки бакалавров по направлению 13.03.02 «Электроэнергетика и 
электротехника» всех форм обучения. 
 
УДК 621.311:001.57(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-3627-1 
 Любченко В.Я., Родыгина С.В., 2018 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2018 

ВВЕДЕНИЕ 

В учебном пособии рассмотрены основы математического моделирования, которые находят применение при решении задач электроэнергетики. Наибольшее внимание уделено методологическим аспектам и принципам построения математических моделей, используемых 
в задачах исследования физических процессов, а также проектирования и управления техническими объектами.  
Представлены общие проблемы и принципы моделирования как 
способа познания окружающего мира и универсального метода решения 
задач. В основе классификации моделей использованы принципы блочно-иерархического подхода к формированию структуры математических моделей объектов. Выделены три обобщенных иерархических 
уровня, называемых далее микро-, макро- и метауровнями моделирования, используемые для описания сложных технических объектов, таких 
как электроэнергетическая система.  
Рассмотрено моделирование на микроуровне, представлены математические модели, используемые для описания физических процессов в 
однородных протяженных линиях электропередач. Также рассмотрены 
модели макроуровня, применяемые для описания режимов функционирования сложных технических объектов. Основное внимание 
уделено моделям и методам расчета установившихся режимов 
электроэнергетических систем.  
Наше следующее учебное пособие будет посвящено рассмотрению 
моделей макроуровня для анализа статической устойчивости режимов 
энергосистем, а также в нем будут рассмотрены основы метауровня – 

информационного и логического моделирования, их применение для 
решения задач анализа и синтеза устройств релейной защиты. 
Изложенный теоретический материал позволит сформировать у 
студентов целостное представление о моделировании, связать математику как общетеоретическую науку с ее применением в инженерной 
практике и научных исследованиях, сформировать грамотный технический подход к решению инженерных и научных проблем, а также 
подготовить к более глубокому и критическому восприятию специальных дисциплин.  
 
 
 
 
 
 
 

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ 
СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 

1.1. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ 

Моделирование представляет собой универсальный и эффективный 
метод познания окружающего мира, который используется практически во всех сферах человеческой деятельности. При этом наибольшее 
распространение методы моделирования получили в инженерной деятельности, при проведении научных исследований, проектировании и 
управлении объектами. 
Первоначально слово «модель» сформировано от латинских слов 
modus, modulus – это «мера», «образец», «норма».  
Понятие «модель» берет свое начало из строительного искусства, и 
практически во всех европейских языках оно использовалось для обозначения образа или прообраза предмета, схожего с оригинальным 
предметом в каком либо отношении.  
Термин «модель» имеет множество смысловых значений, каждое 
из которых определяется предметной областью его употребления. Сюда относятся научные исследования, астрономия, архитектура, энергетика, медицина, изобразительное искусство и т. д. 
В качестве примера можно привести модель Земли – глобус; модель звездного неба – экран планетария; модель животного – его чучело; фотография в паспорте и перечень паспортных данных – модель 
владельца паспорта; модели автомобилей; медицинские модели функционирования отдельных органов человека; картины Айвазовского – 
модели бушующего моря. 

Процесс моделирования представлен на рис. 1.1 и включает три 
основных элемента: 
 субъект (исследователь); 
 объект исследования; 
 модель, отражающую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. 
 

 
Рис. 1.1. Процесс моделирования 

Первый этап предполагает формирование системы некоторых знаний об объекте-оригинале через восприятие и анализ его свойств. 
В результате по мере получения и накопления знаний происходит 
формирование некоторого мысленного образа объекта, который является основой для создания модели. 
Далее в ходе исследования осуществляется перенос знаний с модели на оригинал. Знания о модели также могут быть скорректированы с 
учетом тех свойств объекта-оригинала, которые ранее не нашли отражения или были изменены при построении модели.  
Последним этапом является практическая проверка получаемых с 
помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.  
Таким образом, моделирование представляет собой циклический 
процесс. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и 
уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется.  

Процесс решения любой задачи неразрывно связан с формированием того или иного вида модели.  
Цель моделирования возникает, когда субъект моделирования решает стоящую перед ним задачу, и зависит как от решаемой задачи, 
так и от субъекта моделирования. То есть цель моделирования имеет 
двойственную природу: с одной стороны, она объективна, так как вытекает из задачи исследования, а с другой – субъективна, поскольку 
зависит от субъекта моделирования (его знаний, опыта, мотивации и 
т. д.) [1]: 
 для одного и того же объекта субъект может построить несколько моделей, если он решает разные задачи, приводящие к разным целям моделирования; 
 для одного и того же объекта разные субъекты могут построить 
разные модели, даже если задача моделирования у них одна; 
 возможно совпадение моделей разных объектов, даже если их 
строили разные субъекты, исходя из разных целей моделирования. 
Познавательные возможности модели обусловливаются тем, что 
модель 
отображает 
какие-либо 
существенные 
черты 
объектаоригинала, т. е. любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может 
быть построено несколько «специализированных» моделей, каждая из 
которых отображает определенные черты исследуемого объекта или 
же характеризует объект с разной степенью детализации.  
Определение: модель – это материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает 
объект-оригинал, сохраняя при этом наиболее типичные его черты, 
характерные для решаемой задачи [5, 8]. 
Фундаментальное свойство: модель всегда «беднее» объектаоригинала. 
Задача определяет характеристики модели, вне контекста задачи 
понятие модели не имеет смысла. 
И наконец, для чего люди прибегают к использованию моделей 
вместо прямого взаимодействия с реальным миром? Можно назвать 
три основные причины: 
1) чтобы понять, как устроен реальный объект, каковы его структура, свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром 
(с учетом сложности реальных объектов, которая иногда выходит за 
пределы человеческих возможностей); 

2) чтобы научиться управлять объектом (процессом), выбрать 
наилучший способ управления при заданных целях, когда экспериментальное исследование объектов ограничено высокой стоимостью или 
вовсе невозможно; 
3) чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект. 
Среди других причин можно назвать следующие: 
 исследуемый объект либо очень велик (модель Солнечной системы), либо очень мал (модель атома);  
 процесс протекает очень быстро (модель двигателя внутреннего 
сгорания) или очень медленно (геологические модели); 
 исследование объекта может привести к аварийной ситуации или 
его разрушению (модель самолета, автомобиля; электроэнергетическая 
система). 

1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ 

Моделирование является многофункциональным, так как оно используется для различных целей на различных уровнях исследования 
или преобразования. Среди ученых нет единой точки зрения на классификацию моделей, поэтому невозможно однозначно классифицировать и виды моделирования. В связи с этим обширная практика применения моделей породила обилие их форм и типов. 
Классификацию можно проводить по различным основаниям: по 
характеру моделей, характеру моделируемых объектов, сферам приложения моделирования, уровням моделирования, начиная, например, 
с выделения в физике моделирования на микроуровне.  
В литературе, посвященной аспектам моделирования, представлены различные классификационные признаки, по которым выделены 
различные типы моделей [1, 2, 8].  
В табл. 1 представлена классификация по классам задач, области 
использования и способу представления с примерами возможных приложений. 
Ниже подробнее рассмотрим еще одну классификацию, предлагаемую Л.М. Фридманом [2]. По способу построения и с точки зрения 
степени наглядности он все модели разбивает на два класса: материальные и идеальные (табл. 2).  

Т а б л и ц а  1 

Общая классификация математических моделей 

По классам задач 
По области  
использования 
По способу 
представления

Проектирование 
Управление 
Анализ 
Синтез 

Учебные
Опытные 
Игровые 
Имитационные

Материальные
Идеальные 

 

Т а б л и ц а  2               

Классификация моделей по способу представления 

 
 
Материальные модели представляют собой вещественный продукт человеческой деятельности, они могут быть непосредственно 
чувственно познаны, поскольку существуют реально, объективно. Основным требованием к построению данного класса моделей является 
требование сходства (подобия, аналогии) между моделью и оригиналом. 
Материальные модели отражают работу и конструкцию объекта 
оригинала (геометрические, физические, динамические, функциональные свойства). 

Физические модели представляют собой уменьшенную или увеличенную копию объекта оригинала, допускающую исследование с последующим переносом свойств на реальный объект на основе теории 
подобия. Они могут быть физически подобны оригиналам и воспроизводить моделируемые явления в каком-то масштабе, например: в астрономии используют глобус звездного неба; в гидроэнергетике для 
расчета проектируемой гидроэлектростанции строят действующую 
модель реки и будущей плотины; в электроэнергетике для исследования режимов может быть использована электродинамическая модель. 
Геометрически подобные модели передают лишь пространственные (геометрические) особенности оригиналов в определенном масштабе. Геометрическое подобие является основным требованием к построению геометрических моделей, которые представляют собой 
объект, геометрически подобный своему прототипу и служащий часто 
для демонстрационных целей. Например, макеты домов и разного рода 
муляжи, изготовленные из дерева, проволоки, стекла; пространственные модели молекул и кристаллов в химии; модели самолетов, кораблей и других машин.  
Еще одним видом материальных моделей являются аналоговые 
(или имитирующие), которые воспроизводят некоторое явление с помощью другого, в каком-то смысле более удобного. При этом модель и 
оригинал описываются единым математическим соотношением. Примером могут служить электрические модели, используемые для изучения механических, гидродинамических и акустических явлений. 
Идеальные модели основаны на идеальной (мысленной) аналогии 
объекта и модели. 
В отличие от материальных моделей, которые чаще всего являются 
экспериментальными, идеальные модели теоретические и существуют 
в сознании человека. Они могут быть перенесены на любой носитель 
информации. 
Идеальные модели делят обычно на три вида: 
1) образные (иконические);  
2) вербальные; 
3) знаковые. 
Образные (иконические) модели отражают свойства объекта оригинала с помощью наглядных образов, имеющих прообразы в реальном мире, например: 
 представление движения молекул газа или жидкости как взаимодействие упругих шаров;