Интегральное исчисление функций одной переменной

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
_____________________________________________________________________ 

 
 
 
 
 
 
 

С.Х. Рояк 

 
 
 

Интегральное исчисление 
функций одной переменной 

 
 

 

Утверждено Редакционно-издательским советом 

университета в качестве учебного пособия 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

НОВОСИБИРСК 

2020 

 

 УДК 517.3(075.8) 
 
Р 816 

 
 
 
 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, доц. Е.В. Чимитова 

канд. техн. наук И.М. Ступаков 

 

Работа подготовлена на кафедре прикладной математики  

 
 
 
Рояк С.Х. 

Р 816 Интегральное исчисление функций одной переменной: учебное  

пособие  / С.Х. Рояк. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 136 с. 
 
 
ISBN 978-5-7782-4336-1 

 

В настоящем учебном пособии излагаются основные разделы интегрального 

исчисления функций одной переменной. Пособие содержит большое количество 
примеров и может быть рекомендовано как для самостоятельного изучения курса, 
так и в качестве расширенного конспекта лекций.  

Для студентов I и II курса всех специальностей факультета прикладной мате
матики и информатики. 

 
 
 
 
 

УДК 517.3(075.8) 

 
 
 

 
ISBN 978-5-7782-4336-1 
 Рояк С.Х., 2020 

 
 Новосибирский государственный 

 
технический  университет, 2020 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Глава 1. Неопределенный интеграл .............................................................. 7 
 1.1. Первообразная и неопределенный интеграл ..................................... 7 
 1.2. Основные методы интегрирования  ................................................. 11
  1.2.1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой) ........... 11 
  1.2.2. Интегрирование по частям ......................................................... 13 
 1.3. Интегрирование рациональных выражений ................................... 15 
  1.3.1. Разложение рациональной дроби на сумму простейших  
                    дробей  ........................................................................................ 15 
  1.3.2. Интегрирование рациональной дроби ...................................... 20 
  1.3.3. Метод Остроградского ................................................................ 24 
 1.4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений ............ 29 
  1.4.1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей ........ 30 
  1.4.2. Интегрирование биномиальных дифференциалов .................. 31 

  1.4.3. Интегралы вида 



2
,
R x
ax
bx
c dx



.  

                    Подстановки Эйлера ................................................................. 34 

  1.4.4. Интегралы вида 
 

2
R x
dx

ax
bx
c



  ............................................ 38 

 1.5. Интегрирование тригонометрических выражений......................... 44 

  1.5.1. Интегралы вида 


sin ,cos
R
x
x dx

  ........................................... 44 

  1.5.2. Интегралы вида sin
cos
s
r
x
xdx

  ............................................... 46 

  1.5.3. Интегралы вида 




sin
cos
x
x dx



, 




sin
sin
x
x dx



,  

                     




cos
cos
x
x dx



  ................................................................ 47 

  1.5.4*. Частные случаи интегрирования тригонометрических  
                     дифференциалов  ...................................................................... 49 

  1.5.5. Интегралы вида 


sh ,ch
R
x
x dx

  ............................................. 51 

  1.5.6. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся  
                     с помощью интегрирования по частям .................................. 52 

1.5.7. Интегралы вида  



2
2
,
R x
a
x
dx


, 



2
2
,
R x
a
x
dx


.   

                   Тригонометрические и гиперболические подстановки ......... 52 
 1.6. Общие замечания об интегрировании.  
             Неберущиеся интегралы ................................................................. 55 

Глава 2. Определенный интеграл ................................................................ 56 
 2.1. Интегральные суммы. Интегрируемость ......................................... 56 
 2.2. Верхние и нижние суммы ................................................................. 57 
 2.3. Классы интегрируемых функций ..................................................... 62 
 2.4. Свойства определенного интеграла ................................................. 66 
 2.5. Существование первообразной  для непрерывной функции ........ 73 
 2.6. Основные методы интегрирования .................................................. 74 
  2.6.1. Формула Ньютона-Лейбница ..................................................... 74 
  2.6.2. Интегрирование кусочно-заданной функции ........................... 75 
  2.6.3. Формула интегрирования по частям ......................................... 76 
  2.6.4. Замена переменной под знаком определенного интеграла .... 77 
  2.6.5. Интегрирование по симметричному промежутку. 
                   Cимметризация определенного интеграла .............................. 79 
  2.6.6. Интегрирование периодических функций  
                    по полному периоду ................................................................. 80 
  2.6.7. *Гиперболические подстановки ................................................ 81 
 2.7. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме ........ 84 

Глава 3. Геометрические приложения Определенного Интеграла .......... 86 
 3.1. Длина дуги кривой ............................................................................. 86 
 3.2. Дифференциал дуги ........................................................................... 91 
 3.3. Площадь плоской фигуры ................................................................. 91 
 3.4. Площадь криволинейной трапеции .................................................. 93 
 3.5. Площадь криволинейного сектора ................................................... 94 
 3.6. Площадь плоской фигуры в случае параметрического задания  
              ее границ .......................................................................................... 96 
 3.7. Объем тел ............................................................................................ 99 
 3.8. Кубируемость тел вращения ........................................................... 100 
 3.9. Площадь поверхности вращения .................................................... 102 

 
 

Глава 4. Несобственные интегралы .......................................................... 107 
 4.1. Основные определения .................................................................... 107 
 4.2. Свойства несобственных интегралов ............................................. 110 
 4.3. Основные методы интегрирования ................................................ 112 
  4.4. Сходимость несобственных интегралов ........................................ 119 
  4.4.1. Признаки сходимости для знакопостоянных функций ......... 119 
  4.4.2. Общие признаки сходимости.  
                   Абсолютная и условная сходимость ...................................... 123 
  4.4.3. * Главное значение несобственного интеграла ...................... 130 
Библиографический список ....................................................................... 133 
Предметный указатель ............................................................................... 134 
 
 

 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящее учебное пособие создано на базе второго издания учебного 

пособия «Интегральное и дифференциальное исчисление функций одной 
переменной» (2007 год) и курса лекций, читаемых автором на факультете 
прикладной математики и информатики НГТУ. Основой для изложения 
теории математического анализа послужили следующие издания: «Основы математического анализа» В.А. Ильина и Э.Г. Позняка, «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Г.М. Фихтенгольца и «Курс 
математического анализа» Л.Д. Кудрявцева.  

Пособие охватывает основные разделы интегрального исчисления 

функций одной переменной. Оно содержит все необходимые для изучения 
курса определения и теоремы и может быть использовано как для самостоятельного изучения курса, так и в качестве расширенного конспекта 
лекций.  

Весь теоретический материал широко проиллюстрирован примерами, 

раскрывающими его суть и облегчающими восприятие курса в целом. 
При этом целью большинства из приведенных примеров является не 
только демонстрация технических приемов решения задач, но и акцентирование внимания читателя на различных «тонких местах» теории, например, на условиях применимости той или иной теоремы. 
 

Изложение математического анализа ведется на уровне, доступном 

широкому кругу студентов. Материал, помеченный знаком «*», в некотором роде дополнительный и предназначен для более глубокого изучения. 
Как правило, это либо примеры решения задач повышенной сложности, 
либо разделы математического анализа, не обязательные для базового 
курса. При первом (ознакомительном) прочтении глав пособия указанные 
разделы рекомендуется пропускать и возвращаться к ним только после 
разбора основной части материала по данной теме.  

Автор выражает глубокую благодарность А.Н. Игнатьеву и Д.В. Шилаку, 

которые в 2005 году, будучи студентами, оказали неоценимую помощь  
в создании первого издания учебного пособия «Интегральное и дифференциальное исчисление функций одной переменной», которое послужило 
основой данной книги.  
 

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

1.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

Функция 
 
F x  называется первообразной функцией (или просто  

первообразной) для функции 
 
f
x  на промежутке A , если в любой  

точке x
A

 функция 
 
F x  дифференцируема и 
 
 
F
x
f
x


. 

Замечани е. Любая первообразная является непрерывной функцией, 

так как из дифференцируемости функции на множестве следует ее непрерывность на этом множестве. 

Функция 
 
F x  называется обобщенной первообразной для функции 

 
f
x  на промежутке A , если 
 
F x  непрерывна на A  и 
 
 
F
x
f
x


 на 

множестве A , за исключением, быть может, конечного количества точек. 

Замечани е. Обычно под термином «первообразная» понимают 

«первообразная или обобщенная первообразная». 

Теорема 1.1. Если 
 
1
F
x  и 
 
2
F
x  – любые две первообразные для функ
ции 
 
f
x  на промежутке A , то 
x
A
 
 
 
 
1
2
F
x
F
x
C


, где C  – некото
рая постоянная.  

Следствие. Если 
 
F x  – одна из первообразных функций для функ
ции 
 
f
x  на промежутке A , то любая первообразная 
 
G x  для функции 

 
f
x  на A  имеет вид 
 
 
G x
F x
C


, где C  – некоторая постоянная. 

 
Совокупность всех первообразных функций для данной функции 
 
f
x  на промежутке A  называется неопределенным интегралом от 

функции 
 
f
x  (на этом промежутке) и обозначается следующим образом: 

 
 
f x dx

, 
(1.1) 

при этом знак  называется знаком интеграла, выражение 
 
f
x dx – 

подынтегральным выражением, а сама функция 
 
f
x  – подынте
гральной функцией. Операцию нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции 
 
f
x  принято называть интегрирова
нием функции 
 
f
x .  

Если 
 
F x  – одна из первообразных для функции 
 
f
x  на проме
жутке A , то в силу следствия из теоремы 1.1 
 
 
 
f x dx
F x
C



,  C. 
(1.2) 

Замечани е. Если первообразная (а значит, и неопределенный инте
грал) для функции 
 
f
x  на промежутке A  существует, то подынтеграль
ное выражение в формуле (1.1) представляет собой дифференциал любой 
из этих первообразных, т. е.  

 
 
dF
F
x dx
f
x dx



. 

Теорема 1.2. Для всякой функции 
 
f
x , непрерывной на ограничен
ном промежутке, существует на этом же промежутке первообразная  
(и неопределенный интеграл). 

Доказательство см. в главе 2 (теорема 2.6). 
 
Пример 1.1. На всей числовой оси функция 
 
sin
F x
x

 является пер
вообразной функции 
 
cos
f
x
x

, так как x
   
 


sin
cos
F
x
x
x




. 

Пример 1.2. На всей числовой оси функция 
  |
|
G x
x

 является обоб
щенной первообразной функции 
 
sign
g x
x

, так как 
 
G x  непрерывна 

на   и 
\{0}
x
 
  
 


|
|
sign
G
x
x
x




. 

Пример 1.3 (Первообразная кусочно-непрерывной функции). Най
дем первообразную  

 
2
1,
1;

6
7,
1.

x
x
f x
x
x




 




 

Вычислим первообразную на каждом из промежутков:  

 
 

2

1

2

2

,
1;

3
7
,
1.

x
x
C
x
f x dx
F x

x
x
C
x







 





 

Первообразная должна быть непрерывной функцией. Из условия  

непрерывности функции 
 
F x  в точке 
1
x   находим связь между посто
янными 
1
C  и 
2
C : 

 
 
1
2
1
1
lim
2
4
lim

x
x
F x
C
C
F x

 
 


  

. 

Следовательно, 
2
1
6
C
C

  и 

 

2
2

1

2
2

1

,
1;
,
1;

3
7
6
,
1
3
7
6,
1.

x
x
C
x
x
x x
F x
C

x
x
C
x
x
x
x




























Замечани е. Функция 
 

2

1
G
x
x
x


 является первообразной функ
ции 
 
f
x  на любом промежутке, содержащемся в луче 

,1

, а функция  

 

2

2
3
7
G
x
x
x


 – первообразной функции 
 
f
x  на любом промежутке, 

содержащемся в луче 

1, . Но функция  

 

2

2

,
1;

3
7 ,
1

x
x x
G x

x
x x





 




 

на любом промежутке, содержащем точку 
1
x  , не будет первообразной 

функции 
 
f
x , так как первообразная должна быть непрерывной функ
цией, а функция 
 
G x
 в точке 
1
x   имеет разрыв I рода: 

 

1
lim
2

x
G x

 

,  
 

1
lim
4

x
G x

 
  . 

 
Основные свойства неопределенного интеграла 

1. 
 
 
d
f x dx
f x dx


. 

      
 
 


 
 
 
d
f x dx
d F x
C
dF x
F
x dx
f x dx







. 

2. 
 
 
dF x
F x
C



. 

Из определения первообразной следует, что  

 
 
 
dF x
f x dx
F x
C





.  

3. 
 
 
 
 
,
f x
g x
dx
f x dx
g x dx
 


 









. 

Заметим, что равенство в этой формуле имеет условный характер: 

его следует понимать как равенство левой и правой части с точностью до 
произвольной постоянной (так как каждый из интегралов, фигурирующих 
в этой формуле, определен с точностью до произвольной постоянной).  

Если 
 
F x  – первообразная для 
 
f
x , а 
 
G x  – первообразная для  
g x , 

то 
 
 
F x
G x

 
 – первообразная для функции 
 
 
f
x
g x

 
, так как 

 
 


 
 
 
 
F x
G x
F
x
G
x
f x
g x




 
 
 
 
 
. 

Таблица основных неопределенных интегралов 
1. 0 dx
C



. 

2. 1 dx
x
C




. 

3. 



1

1
1

a

a
x
x dx
C
a
a





 


. 

4. 


ln
0
dx
x
C
x
x 



. 

5. 


0,
1
ln

x

x
a
a dx
C
a
a
a





,  
x
x
e dx
e
C



. 

6. sin
cos
xdx
x
C
 


. 

7. cos
sin
xdx
x
C



. 

8. 



2

2
1
tg
tg
,
cos
2

dx
x dx
x
C
x
k k
x









 







 . 

9. 





2

2
1 ctg
ctg
,
sin

dx
x dx
x
C
x
k k
x 

 

 



 . 

10. 


2
2

1 arctg
0
dx
x
C
a
a
x
a
a





. 

11. 


2
2
arcsin
0,
dx
x
C
a
x
a
a
a
x








. 

12. 



2
2

2
ln
0,
0
dx
x
x
d
C
d
x
d

x
d











. 

13. 


2
2

1 ln
0,
2

dx
a
x
C
a
x
a
a
x
a
a
x









. 

14. sh
ch
xdx
x
C



. 

15. ch
sh
xdx
x
C



. 

16. 
2
th
ch
dx
x
C
x 


. 

17. 
2
cth
(
0)
sh
dx
x
C
x
x  



. 

1.2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 

1.2.1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой) 

Пусть функция 
 
t
x
 
 дифференцируема на некотором множестве 

X  ( X  – отрезок, интервал, луч, прямая), а T  – множество всех значений 
этой функции. Пусть функция 
 
g t  определена на T  и имеет на этом 

промежутке первообразную 
 
G t . Тогда всюду на множестве X  для 

функции 
 
 
[
]
g
x
x



 существует первообразная, равная 
[ ( )]
G
x

, т. е. 

  
 
 


 
 


 
g t dt
g
x
x dx
G
x
C
G t
C











. 
(1.3) 

Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться 

правилом дифференцирования сложной функции 

 


 
 
[
]
[
]
d G
x
G
x
x
dx







 

и учесть, что, по определению первообразной, 
 
 
G t
g t


.  

 

Пример 1.4. Вычислим интеграл 



5
2
1
x
x
dx


. 

Способ 1. Внесение под диффененциал.  









5
5
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2

x
d
x
x
x
dx
x
dx
dx


















 






 






7
6

6
5
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
4
4
7
6

x
x
x
x
d
x
C




















. 

Способ 2. Замена переменной. 




5
2
1,

2
1
1,
2
2

t
x

x
x
dx
t
dt
x
dx




















 




5
6
5
1
1

2
2
4

t
dt
t
t
t
dt







 






7
6
7
6
2
1
2
1
1
1

4
7
6
4
7
6

x
x
t
t
C
C
























. 

Пример 1.5. Вычислим интеграл 

2
2
3

dx

x
x



. 








2

2
2
1
ln
1
2
3

2
3
1
4

d x
dx
x
x
x
C

x
x
x




 










. 

Пример 1.6. Вычислим интеграл cos

dx

x

. 




2
2

cos
sin
sin
cos
cos
1 sin

dx
xdx
d
x
t
x
x
x
x









 

2

1
1
1
1
sin
ln
ln
.
2
1
2
1 sin
1

dt
t
x
C
C
t
x
t












 

Пример 1.7. Вычислим интеграл 

2
4

dx

x x 

. 


2
2
2

2
2

1
1
1

1
1
4
1
4
4

dt
dt
dx
x
t
t
x x
t
t
t
t
t









 















 

2
2

sgn
sgn
2
4
ln
1
.
2
1
4

t dt
x
C
x
x
t

 
 






 

Замечани е. В примере 1.5 мы искали первообразную (неопре- 

деленный интеграл) на промежутке 




, 3
1,
X   


, в примере 1.6  

на промежутке X , не содержащем точек 
2
x
k


  , k
Z

, а в примере 1.7 

на промежутке X , не содержащем точки 
0
x  . 

На указанных множествах подынтегральная функция непрерывна,  

а значит, для нее существует первообразная. В дальнейшем мы будем  
искать первообразную (неопределенный интеграл) только на тех множествах, на которых первообразная существует, поэтому само множество указывать не будем, однако забывать о нем не следует.  
 

1.2.2.  Интегрирование по частям 

Пусть каждая из функций  
u x  и  
v x  дифференцируема на множе
стве X  и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для 
функции  
 
v x u
x

. Тогда на множестве X  существует первообразная и 

для функции    
u x v
x

, причем справедлива формула 

  
   
   
 
 
u x v x dx
u x v x
v x u
x dx






. 
(1.4) 

Так как 
   


   
   
u x v x
u
x v x
u x v x





, то  

   
   
   
u x v x
dx
u
x v x
u x v x
dx















. 

   
 
 
   
u x v x
v x u x dx
u x v x dx






. 

Замечани е 1. Определение дифференциала и свойство инвариант
ности его формы позволяют записать формулу (1.4) в виде  

 
udv
uv
vdu




. 
(1.5) 

Замечани е 2. Вычисление интеграла 
udv

 посредством формулы 

(1.5) называют интегрированием по частям.  

Пример 1.8. Вычислим интеграл ln xdx

. 

 ln
ln
ln
ln
ln
xdx
x
x
xd
x
x
x
dx
x
x
x
C










. 

Пример 1.9. Вычислим интеграл 
sin
xe
xdx

. 


sin
sin
sin
sin
x
x
x
x
I
e
xdx
xde
e
x
e d
x








 

sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
e
x
e
xdx
e
x
xde







 

sin
cos
cos
sin
cos
sin
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e d
x
e
x
e
x
e
xdx









 



sin
cos
xe
x
x
I


 . 

Следовательно, 

sin
cos
sin
2

x
x
x
x
I
e
xdx
e
C





.