Введение в динамику сверхпроводниковых квантовых цепей

Ñåðèÿ îñíîâàíà â 2001 ãîäó

Ó×ÅÁÍÈÊÈ

ÍÃÒÓ

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ» 
 
 
д-р техн. наук, проф. (председатель) А.А. Батаев 
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) Г.И. Расторгуев 
 
д-р техн. наук, проф. С.В. Брованов 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов 
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода 
д-р техн. наук, проф. В.А. Гридчин 
д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский 
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев 
д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков 
д-р техн. наук, проф. Н.В. Пустовой 
д-р техн. наук, проф. Х.М. Рахимянов 
д-р филос. наук, проф. М.В. Ромм 
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев 
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов 
д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина 
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко 
д-р техн. наук, проф. Н.И. Щуров 
 
 

 

 

ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊ

2 0 1 8

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÄÈÍÀÌÈÊÓ
ÑÂÅÐÕÏÐÎÂÎÄÍÈÊÎÂÛÕ

ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÖÅÏÅÉ

Å. Â. ÈËÜÈרÂ

УДК 530.143:519.72(075.8) 
          И 468 

Рецензенты: 

д-р физ.-мат. наук, профессор Я.С. Гринберг 
д-р физ.-мат. наук, профессор В.В. Рязанов 
 
 
Ильичёв Е.В. 
И 468  
Введение в динамику сверхпроводниковых квантовых цепей: 
учебник / Е.В. Ильичёв. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. –  
174 с. (Серия «Учебники НГТУ»). 

ISBN 978-5-7782-3675-2 

Учебник посвящен изложению основ слабой сверхпроводимости и ее 
существующим и потенциальным применениям. Особое внимание уделено описанию недавно открытых джозефсоновских квантовых битов, 
называемых кубитами. По уровню изложения он доступен студентам 
старших курсов и аспирантам физико-технических направлений высших 
учебных заведений. Начальные знания квантовой механики необходимы. 
Изложены основы физики джозефсоновских контактов. Подробно рассмотрена динамика квантовых двухуровневых систем, приводятся примеры описания открытых квантовых систем. Обсуждаются особенности 
измерения и контроля сверхпроводниковых кубитов. 
Учебник предназначен для магистрантов и аспирантов физикотехнических направлений вузов, специализирующихся в области квантовой информатики и физики конденсированного состояния. 
 
 
 
 
 
 
УДК 530.143:519.72(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-3675-2  
 
 
 
 
 Ильичёв Е.В., 2018 
 Новосибирский государственный 
технический университет, 2018          

 

 

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 

Предисловие ..................................................................................................... 7 

Глава 1. Явление сверхпроводимости ....................................................... 9 
   Введение ........................................................................................................ 9 
   1.1. Эффект Мейснера ................................................................................ 13 
   1.2. Кинетическая индуктивность ............................................................. 20 
   1.3. Проводимость сверхпроводника ........................................................ 23 
   1.4. Квантование магнитного потока ........................................................ 28 
   1.5. Эффект Джозефсона ............................................................................ 30 
   1.6. Полупроводниковая модель джозефсоновского контакта ............... 35 
   1.7. Cвойства джозефсоновского тока ...................................................... 38 
   1.8. Квантовая механика  джозефсоновского контакта ........................... 41 
   1.9. О системах единиц ............................................................................... 45 
Библиографический список к главе 1 .......................................................... 46 

Глава 2. Примеры сверхпроводниковых устройств ............................. 47 
   2.1. Основы пленочной  сверхпроводниковой технологии ..................... 47 
   2.2. Болометры ............................................................................................ 49 
   2.3. Сквиды .................................................................................................. 51 
   2.4. Стандарт вольта ................................................................................... 65 
   2.5. Подходы к реализации стандарта тока .............................................. 67 
   2.6. Сверхпроводниковая электроника ..................................................... 72 
Библиографический список к главе 2 .......................................................... 76 

Глава 3. Элементы сверхпроводниковых  квантовых цепей .............. 77 
Введение ......................................................................................................... 77 
   3.1. Двухуровневая квантовая система ..................................................... 80 
   3.2. Одноконтактный квантовый интерферометр .................................... 85 
   3.3. Потоковый кубит ................................................................................. 88 
   3.4. Потоковый кубит как двухуровневая квантовая система ................ 98 
   3.5. Копланарный сверхпроводящий резонатор линии передачи ........ 102 
   3.6. Система «сверхпроводящий резонатор–кубит» .............................. 108 
Библиографический список к главе 3 ........................................................ 111 

 

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 

6 
 

Глава 4. Основы динамики сверхппроводниковых  
квантовых цепей ........................................................................................ 113 
   4.1. Матрица плотности ............................................................................ 113 
   4.2. Уравнение Блоха ................................................................................ 117 
   4.3. Раби-осцилляции ................................................................................ 122 
   4.4. Приближение вращающейся волны ................................................. 127 
   4.5. Уравнение Блоха двухуровневой системы с периодическим  
          возбуждением ..................................................................................... 133 
   4.6. Элементы квантовой теории релаксации ......................................... 137 
Библиографический список к главе 4 ........................................................ 146 

Глава 5. Современные методы изготовления, инициализации 
и считывания системы сверхпроводниковых кубитов ...................... 147 
   5.1. Основы технологии изготовления  сверхпроводниковых  
          кубитов ................................................................................................ 148 
   5.2. Низкие температуры .......................................................................... 153 
   5.3. Считывание ........................................................................................ 155 
   5.4. Усилители на основе сквида ............................................................. 157 
   5.5. Параметрические усилители ............................................................. 159 
   5.6. Импульсные генераторы ................................................................... 164 
   5.7. Использование сверхпроводниковой электроники ........................ 166 
Библиографический список к главе 5 ........................................................ 172 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ 

Настоящий учебник является введением в бурно развивающееся 
направление, которое можно назвать микроволновой квантовой 
инженерией. При низких температурах и малых мощностях сигналов для описания динамики линий передачи, линейных и нелинейных осцилляторов необходимо привлекать квантовую физику. Создание макроскопических квантовых систем на основе сверхпроводников, так называемых джозефсоновских квантовых битов (кубитов), позволило экспертам предложить различные реализации 
квантового компьютера. Поэтому это направление, которое помимо 
квантового компьютера может привести к появлению новых типов 
приборов в недалеком будущем, привлекает повышенное внимание 
исследователей. 
По уровню изложения данный учебник доступен студентам 
старших курсов, магистрантам и аспирантам физико-технических 
направлений высших учебных заведений, прослушавших начальный курс квантовой механики. 
В первой главе приводятся основные сведения из физики сверхпроводников. Рассмотрены свойства сверхпроводящих материалов, 
описывается их электродинамика. Также здесь представлены важнейшие свойства сверхроводников, такие как эффект Мейснера и 
квантование магнитного потока. Особое внимание уделено эффекту 
Джозефсона и его упрощенному квантовому описанию. 
Во второй главе приводятся примеры некоторых наиболее распространенных сверхпроводниковых устройств. 
В третьей главе внимание уделяется основам квантово-механического описания сверхпроводниковых цепей. Это описание 
включает моделирование поведения как отдельных элементов цепей, так и связи между ними. 
Четвертая глава посвящена в основном подходам к описанию 
открытых квантовых систем. Рассмотрены простейшие примеры 

 

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ 

8 
 

применения формализма матрицы плотности, показано получение 
уравнения Блоха. 
В пятой главе кратко освещены требования к экспериментальным методикам исследования квантовых электрических цепей. 
Приводятся основы технологических процессов для изготовления 
цепей, включая осаждение пленок и литографию. Обосновываются 
требования к электронным устройствам инициализации, контроля и 
измерения полученных приборов. Также описываются методы получения низких температур, необходимых для функционирования 
изготовленных устройств, и показаны современные криостаты растворения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Ã Ë À  À  1 

ßÂËÅÍÈÅ ÑÂÅÐÕÏÐÎÂÎÄÈÌÎÑÒÈ 

 
 
 
 
Электрическое сопротивление металлов вызвано взаимодействием электронов проводимости с дефектами кристаллической решетки, 
которые могут быть статическими (примеси, дислокации и т. д.)  
и динамическими (фононы и другие возбуждения в кристалле). Фононами называются квантованные тепловые колебания атомной решетки материала. Они выступают в качестве квазичастиц в физике 
твердого тела, так как могут быть описаны с помощью возбуждений 
относительно некоторого выбранного состояния. При понижении 
температуры число таких квазичастиц – тепловых фононов – уменьшается. Поэтому можно ожидать, что при температурах, близких к 
абсолютному нулю, проводимость ограничивается только наличием 
примесей и других статических дефектов, присутствующих в материале. 
В 1911 г. Х. Камерлинг-Оннес экспериментально обнаружил исчезновение сопротивления ртути при температуре Т, близкой к 
температуре кипения жидкого гелия, которая составляет 4,2 К. Это 
исчезновение сопротивления было названо явлением сверхпроводимости, а материал, обладающий таким свойством, – сверхпроводником. 
Характерная зависимость удельного сопротивления от температуры представлена на рис. 1.1. Позднее подобные переходы были 
обнаружены у различных материалов. Примеры веществ и соответствующие температуры перехода в сверхпроводящее состояние 
кр
Т
, 

называемые критическими температурами, приведены в табл. 1.1. 

 

Ãëàâà 1. ßÂËÅÍÈÅ ÑÂÅÐÕÏÐÎÂÎÄÈÌÎÑÒÈ 

10 
 

Т а б л и ц а  1.1 

Пример сверхпроводников 

Материал 
Критическая температура 
Ткр (кельвин) 

Алюминий Al 
1,18 

Свинец Pb 
7,18 

Ниобий Nb 
9,22 

Нитрид ниобия NbNX 
16,0 

Сплав Nb3Ge 
23,2 

Керамика состава YBa2Cu3O7–x 
~ 92 

Керамика состава Ta2Ba2Ca2 Cu3O10+x 
~ 127 

ρS 

Ткр 
Т 
 
Рис. 1.1. Характерная зависимость 
удельного сопротивления сверх- 
     проводника от температуры 

Исследование с использованием современных высокочувстви
тельных приборов показало, что 
кр
17

Cu

(
)
10
(
300 К)

S T
T

T







, где 
S
  – 

удельное сопротивление сверхпроводника ниже критической температуры и 
Cu

 – удельное сопротивление меди при комнатной 
температуре.
Таким образом, даже самые чувствительные измерения не фиксируют конечное сопротивление. Фактически не остается сомнений, что сверхпроводящий материал при температурах ниже критической обладает нулевым сопротивлением. 
Дальнейшие исследования этого явления показали, что сверхпроводимость может быть разрушена не только повышением тем

пературы, но и внешним магнитным полем. Такое разрушающее 
поле называется критическим полем 
C
H , и его зависимость от температуры хорошо описывается выражением 

 

2

кр
( )
(0) 1
C
C
T
H
T
H
T



















, 
(1.1) 

где 
(0)
C
H
 – критическое поле при нулевой температуре, Т < 
кр
T
. 

Соответствующая зависимость представлена на рис. 1.2. 

 
 HС 

T 
Ткр 
 
Рис. 1.2. Характерная зависимость критического поля сверхпроводника от 
температуры (закрашенная часть соответствует сверхпроводящему состоя- 
                   нию вещества) 

Исследования микроскопических механизмов, вызывающих исчезновение сопротивления при низких температурах, показало, что 
переход в сверхпроводящее состояние обусловлен образованием так 
называемых куперовских пар, так что носителем заряда в сверхпроводнике являются частицы с зарядом 2e. Такие парные состояния образованы посредством эффективного притяжения двух электронов с 
противоположно направленными импульсами и спинами. Как показано в теории Бардина, Купера и Шриффера (теория БКШ, 1957 год), 
такие корреляции между электронами для большинства сверхпроводников обусловлены электрон-фононными взаимодействиями. 
Образование куперовских пар энергетически выгодно. Для того 
чтобы разрушить такую пару, необходимо приложить некую энергию 2  (по   на каждый электрон). Тогда в энергетическом спек

Ãëàâà 1. ßÂËÅÍÈÅ ÑÂÅÐÕÏÐÎÂÎÄÈÌÎÑÒÈ 

12 
 

тре сверхпроводника (рис. 1.3) между основным состоянием и возбужденными существует энергетическая щель, так как возбуждений меньше   не существует. Такие возбуждения в сверхпроводнике называются квазичастицами, и ведут они себя подобно свободным электронам. 

Основное состояние 

Возбужденные 
состояния 

Δ 

 
Рис. 1.3. Энергетическая щель   отделяет основное состояние сверхпроводника (уровень 
конденсации куперовских пар, изображенных 
    кружками) от возбужденных состояний 

Энергетическая щель для одночастичных возбуждений   дается 
выражением 
Б кр
2
3,5
,
k T
 
 где Б
k  – постоянная Больцмана. Поэтому 

низкие температуры необходимы, чтобы избежать разрушения (другими словами, распаривания) куперовских пар термическими флуктуациями, вероятность которого пропорциональна 
Б
exp(
/
)
k T

. Поскольку такие парные частицы имеют целый спин, они могут рассматриваться как бозоны. Как следует из статистики бозонов (статистика Бозе–Эйнштейна), это позволяет парам занять одно и то же 
квантовое состояние (рис. 1.3). Отсюда следует, что совокупность 
куперовских пар может быть описана с помощью только одной 
волновой функции 
0
( )
( )exp(
( ))
r
r
i
r

 
 
, где i  – мнимая единица и 
( )
r

 – фаза волновой функции, зависящая от координаты. 
В этом случае естественным выбором условия нормировки для этой 

волновой функции будет 
2
*
S
n
  

, где 
S
n  – плотность заря
да конденсата. Окончательно искомую волновую функцию можно 
записать так: 

 
( )
( ) exp(
( )).
S
r
n
r
i
r


 
 
(1.2) 

Далее покажем, что с помощью условия (1.2) могут быть описаны важнейшие свойства сверхпроводников.