Тензор инерции. Матричные преобразования моментов инерции при повороте и переносе системы координат

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
Н.В. КРАМАРЕНКО 
 
 
 
ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 
 
МАТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 
МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ 
ПРИ ПОВОРОТЕ И ПЕРЕНОСЕ  
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 531.23(075.8) 
К 777 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент А.А. Рыков 
канд. техн. наук, доцент Н.А. Чусовитин 
 
Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов  
для студентов II курса факультета летательных аппаратов  
и механико-технологического факультета очной и заочной  
формы обучения 
 
Крамаренко Н.В.  
К 777  
Тензор инерции. Матричные преобразования моментов 
инерции при повороте и переносе системы координат: учебное 
пособие / Н.В. Крамаренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2019. – 54 с. 
ISBN 978-5-7782-3896-1 
Для решения таких практически важных задач, как определение 
реакций в подшипниках вращающегося неотбалансированного тела в 
теоретической механике или определение главноцентральных осей 
поперечного сечения сложной формы изгибаемого стержня в сопротивлении материалов, требуется знать формулы преобразования как 
осевых, так и центробежных моментов инерции. 
В учебном пособии формулы преобразования осевых и центробежных моментов инерции рассматриваются с позиции преобразования тензора инерции. Наиболее краткой является индексная форма записи, в которой ij-й компонент тензора инерции определяется через 
двойные суммы. Для студентов младших курсов машиностроительных специальностей, которые не имеют навыков работы с индексными формулами, такая форма записи непонятна для применения. 
В учебном пособии рассматривается матричный способ. При таком 
способе сохраняется универсальность доказательства формул преобразования для каждого момента инерции, а также появляется наглядность применения этих формул для практических задач. 
 
УДК 531.23(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3896-1 
© Крамаренко Н.В., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

 
 
 
 
 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение .................................................................................................................. 4 
1. Общие понятия .................................................................................................... 5 
1.1. Какие бывают моменты масс .................................................................... 5 
1.2. Какие бывают оси инерции ....................................................................... 6 
1.3. Где используются моменты инерции ....................................................... 8 
2. Справочные формулы ......................................................................................... 9 
2.1. Двойное векторное произведение ............................................................. 9 
2.2. Смешанное произведение векторов ........................................................ 12 
2.3. Преобразование проекций вектора при повороте осей (связь 
между проекциями вектора на оси двух прямоугольных систем 
координат) ................................................................................................ 13 
3. Источник тензора инерции – кинетический момент твердого тела ............. 15 
4. Геометрическая интерпретация тензора инерции .......................................... 19 
5. Преобразование моментов инерции при повороте осей ................................ 21 
5.1. Кинетическая энергия твердого тела в исходных осях ......................... 21 
5.2. Кинетическая энергия твердого тела в новых повернутых осях ......... 23 
5.3. Примеры .................................................................................................... 24 
Пример 1 .................................................................................................. 24 
Пример 2 .................................................................................................. 26 
Пример 3 .................................................................................................. 29 
5.4. Обратная задача: нахождение угла поворота двух осей до их 
главных направлений вокруг третьей главной оси .............................. 32 
6. Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей ....... 36 
7. Преобразование моментов инерции при повороте и параллельном 
переносе осей ................................................................................................... 41 
8. Алгоритм решения задачи определения реакций в подшипниках 
вращающегося тела ......................................................................................... 42 
9. Алгоритм решения задачи определения главноцентральных осей поперечного сечения стержня............................................................................. 47 
10. Таблицы моментов инерции .......................................................................... 48 
Библиографический список ................................................................................. 53 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Студенты младших курсов сталкиваются с понятием моментов 
инерции в теоретической механике и в сопротивлении материалов. 
При решении простейших задач достаточно осевых моментов инерции 
и формулы Гюйгенса–Штейнера для их простейших преобразований 
при параллельном переносе осей координат. 
Однако для решения таких практически важных задач, как определение реакций в подшипниках вращающегося неотбалансированного 
тела в теоретической механике или определение главноцентральных 
осей поперечного сечения сложной формы изгибаемого стержня в сопротивлении материалов, необходимо знать формулы преобразования 
не только осевых, но и центробежных моментов инерции. 
Такие формулы можно вывести различными способами.  
Первый способ опирается на физическое определение каждого момента инерции как интеграла от массы, умноженной на соответствующие координаты. При таком подходе формулы преобразования для 
каждого осевого или центробежного момента инерции выводятся независимо и доказательства становятся настолько громоздкими, что их 
невозможно вставить в современные часовые рамки преподавания соответствующих курсов. Такой подход используется в учебниках [1–3]. 
Второй способ опирается на понятие тензора инерции. В этом случае любой момент инерции представляется в виде типового, который 
зависит от i- и j-координат, и тогда формулы преобразования становятся универсальными как для осевых, так и для центробежных моментов 
инерции. При таком подходе также возможны два способа изложения.  
1. Можно вывод формул проводить в индексной форме с использованием двойных сумм по индексам. Такой способ наиболее компактен 
для изложения, но непонятен для применения, поскольку студенты 
младших курсов машиностроительных специальностей не имеют 
навыков работы с индексными формулами.  
2. Другой способ – матричный. При таком способе сохраняется 
универсальность доказательства формул преобразования для каждого 
момента инерции, а также появляется наглядность применения этих 
формул для практических задач.  
 

 

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ 

1.1. КАКИЕ БЫВАЮТ МОМЕНТЫ МАСС [1] 

При движении системы материальных точек большую роль играют 
величины, характеризующие распределение масс точек. Называют эти 
величины моментами масс и определяют как суммы произведений 
масс точек системы на однородную функцию их координат: 

k k
k k
m x y z
 


, 

где 
l
       – степень момента. Моменты вычисляют относительно 
точки, оси или плоскости. Для наших задач нужны моменты относительно осей. 
Момент нулевой степени дает полную массу системы точек: 

0 0 0
.
k k
k k
k
m x y z
m
М




 

Моменты первой степени называют статическими моментами 
масс точек. Для плоских тел, лежащих в плоскости xy, получаем статические моменты относительно осей  x, y: 

1
0 0

y
k k
k k
k k
S
m x y z
m x




,                 
0 1 0

x
k k
k k
k
k
S
m x y z
m y




. 

Моменты второй степени  



2
2
2
z
k k
k
k
k
I
m h
m
x
y





,         xy
k k k
I
m x y
 
 

называют соответственно осевым моментом инерции системы относительно оси z и центробежным моментом инерции относительно 
осей  x,  y.  Название «центробежный» объясняется тем, что такие моменты инерции появляются в уравнениях для динамических реакций в 
подшипниках вращающегося тела от центробежных сил инерции. 

1.2. КАКИЕ БЫВАЮТ ОСИ ИНЕРЦИИ 

Если центр тяжести тела лежит на оси z, то такая ось называется 
центральной. 
Если для оси z центробежные моменты инерции 
xz
J
 и 
yz
J
 равны 
нулю, то такая ось называется главной. 
Если центр тяжести тела лежит на оси z и центробежные моменты 
инерции 
xz
J
 и 
yz
J
 равны нулю, то такая ось называется главноцентральной. 
Центробежные моменты инерции равны нулю в двух случаях: когда тело имеет либо плоскость материальной симметрии, либо ось материальной симметрии. Эти ситуации отражены в следующих двух 
теоремах. 
ТЕОРЕМА 1. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью инерции тела в точке пересечения прямой с 
плоскостью симметрии.  
Д о к а з а т е л ь с т в о  [1, с. 325]. Пусть тело имеет плоскость материальной симметрии Р (рис. 1.1). Проведем ось Oz перпендикулярно 
этой плоскости Р, точка О – точка пересечения оси Oz и плоскости Р. 
Проведем взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, лежащие в плоскости Р. Докажем, что центробежные моменты инерции 
xz
J
 и 
yz
J
 равны нулю.  
Так как плоскость Р есть плоскость материальной симметрии тела, 
то для каждой материальной точки 
k
М  тела с массой 
k
m  и координатами 
,
)
(
, 
 
k
k
k
х
у
z
 найдется точка 
k
М   равной массы с координатами 
(
, 
,
.)
k
k
k
х
у
z

 Тогда центробежный момент инерции 
xz
J
 равен нулю: 

(I)
(II)
(
)
0
xz
k k k
k k k
k k
k
I
m x z
m x z
m x
z








. 

Аналогично можно доказать, что 
0.
yz
J

 Следовательно, ось Oz 
является главной осью инерции тела в точке О. Теорема доказана. 
ТЕОРЕМА 2. Если тело имеет ось материальной симметрии, то 
эта ось является главной центральной осью инерции этого тела. 
Д о к а з а т е л ь с т в о  [1, с. 324]. Пусть ось Oz – это ось материальной симметрии тела, тогда центр масс С лежит на этой оси (рис. 1.2). 

Проведем через центр масс С две перпендикулярные между собой и 
перпендикулярные оси Cz оси Сх и Су. Докажем, что центробежный 
момент 
xz
J
 равен нулю.  
Всегда можно найти материальные точки тела 
k
М  и 
k
М   с равными 
массами 
, 
,
k
k
m
m  симметрично расположенные относительно оси Cz. 
Координаты этих точек соответственно 
,
)
(
, 
 
k
k
k
х
у
z
 и 

, 
, 
.
k
k
k
х
у
z


 
Для точек 
и 
 
k
k
N
N  с равными массами 
, 
k
k
m
m  соответственно имеем 
(
, 
, 
  и  (
)
)
, 
, 
.
k
k
k
k
k
k
х
у
z
х
у
z


 Тогда  

(I)
(II)

(III)
(IV)

(
)

' (
)
...
0,

xz
k k k
k k k
k
k
k

k k k
k
k
k

I
m x z
m x z
m
x
z

m x z
m
x
z




















 

где I, II, III и IV – соответственные части тела. (Аналогично записываются суммы для точек, лежащих ниже плоскости Сху.)  
 

 
 
Рис. 1.1 [1, рис. 14.24] 
Рис. 1.2 [1, рис. 14.23] 

 
Можно также доказать, что 
0.
yz
J

  

Итак, центробежные моменты 
и  
 
xz
yz
J
J
 равны нулю, следовательно, ось Cz является главной центральной осью инерции тела. Теорема доказана. 

Замечание 1. Центр масс тела С лежит в плоскости материальной 
симметрии, значит, ось Cz является главной центральной осью инерции тела.  
Замечание 2. Если тело однородно, то плоскость или ось материальной симметрии является просто плоскостью или осью геометрической симметрии. 

1.3. ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ 

Во-первых, моменты инерции появляются в теоретической механике в задачах динамики вращающихся тел. Для осесимметричных тел 
или тел с плоскостью симметрии, перпендикулярной оси вращения, 
достаточно только осевых моментов инерции. Если же вращающееся 
тело имеет произвольную форму, то в таких задачах используются как 
осевые, так и центробежные моменты инерции. Например, при расчете 
динамических реакций в подшипниках А и В для случая вращения цилиндра, показанного на рис. 1.3, необходимо знать осевой момент 
инерции вокруг оси z, а также центробежные моменты инерции в 
осях  zx  и  zy. 
 

 
Рис. 1.3 [4] 
Рис. 1.4 [8] 

Во-вторых, моменты инерции появляются в сопротивлении материалов при определении главноцентральных осей поперечного сечения 

стержня (рис. 1.4). Для расчета изгибаемого стержня на прочность требуется сначала определить центр тяжести поперечного сечения С, затем найти моменты инерции 
, 
,
x
y
xy
I
I
I
 в центральных осях Cxy. Далее 

находится угол наклона главных осей 
0 0,
Cx y
 а затем определяются 
моменты инерции в главных осях. Новые оси 
0 0
Cx y  – центральные и 
главные, т. е. главноцентральные. 
 
 
2. СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ 

2.1. ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 

 
(
)
(
)
(
)
A
B
C
B A C
C A B






  
(2.1) 

Доказательство [1, с. 22]. Сначала рассмотрим скобку 

(
)

(
)
(
)
(
).

x
y
z

x
y
z

y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x

i
j
k
B
C
B
B
B

C
C
C

i B C
B C
j B C
B C
k B C
B C












 

Обозначим для краткости проекции в скобках: 

(
),

(
),

(
).

x
y
z
z
y

y
z
x
x
z

z
x
y
y
x

BC
B C
B C

BC
B C
B C

BC
B C
B C










 

Тогда  

(
)
(
)
(
)
(
)
x
y
z
B
C
i BC
j BC
k BC




. 

Вернемся к полному векторному произведению 

(
)

(
)
(
)
(
).

x
y
z

x
y
z

y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x

i
j
k
А
B
C
A
A
A

BC
BC
BC

i A BC
A BC
j A BC
A BC
k A BC
A BC













 

Распишем проекции от BC: 

(
)

(
(
)
(
))

(
(
)
(
))

(
(
)
(
)).

y
x
y
y
x
z
z
x
x
z

z
y
z
z
y
x
x
y
y
x

x
z
x
x
z
y
y
z
z
y

А
B
C

i A
B C
B C
A
B C
B C

j A
B C
B C
A
B C
B C

k A
B C
B C
A
B C
B C






















 

Раскроем скобки: 

(
)

((
)
(
))

((
)
(
))

((
)
(
)).

x
y
y
y
y
x
z
z
x
x
z
z

y
z
z
z
z
y
x
x
y
y
x
x

z
x
x
x
x
z
y
y
z
z
y
y

А
B
C

i
B A C
A B C
A B C
B A C

j
B A C
A B C
A B C
B A C

k
B A C
A B C
A B C
B A C






















 

Из первых и четвертых слагаемых вынесем компоненты вектора В, а из 
вторых и третьих – компоненты вектора С: 

(
)

(
(
)
(
))

(
(
)
(
))

(
(
)
(
)).

x
y
y
z
z
x
y
y
z
z

y
z
z
x
x
y
z
z
x
x

z
x
x
y
y
z
x
x
y
y

А
B
C

i B
A C
A C
C
A B
A B

j B
A C
A C
C
A B
A B

k B
A C
A C
C
A B
A B






















 

Добавим и вычтем слагаемые, чтобы образовать скалярные произведения, и поставим их на первые места в скобках: 

(
)

(
(
)
(
))

(
(
)
(
))

(
(
)
(
)).

x
y
y
z
z
x
y
y
z
z

y
z
z
x

x
x
x
x

y
y
x
y
z
z
x
x

z
x
x
y
y

y
y

z
z
z
z
z
x
x
y
y

А
B
C

i B
A C
A C
C
A B
A B

j B
A C
A C
C
A B
A B

k B
A C

A C
A B

A C

A C
C
A B
A
A
B

A B

C
A B




























 

В скобках стоят скалярные произведения 

(
)
(
(
)
(
))

(
(
)
(
))
(
(
)
(
)).

x
x

y
y
z
z

А
B
C
i B
A C
C
A B

j B
A C
C
A B
k B
A C
C
A B

















 

Перегруппируем слагаемые отдельно для вектора В и вектора С: 

(
)

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

(
)(
)

(
)(
)

(
)
(
).

x
y
z

x
y
z

x
y
z

x
y
z

А
B
C

iB
A C
jB
A C
kB
A C

iC
A B
jC
A B
kC
A B

iB
jB
kB
A C

iC
jC
kC
A B

B A C
C A B




































