Кристаллография. Методы проецирования кристаллов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
И.А. БАТАЕВ, А.А. БАТАЕВ, 
Д.В. ЛАЗУРЕНКО 
 
 
 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 

 
 

МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ  
КРИСТАЛЛОВ 
 
 
Утверждено 
Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
2-е издание, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

УДК 548(075.8) 
Б 28 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор В.Г. Буров 
д-р техн. наук, доцент А.О. Токарев 
 
 
 
Работа выполнена на кафедре материаловедения в машиностроении  
для студентов и аспирантов НГТУ, обучающихся по образовательным  
программам укрупненных групп направлений подготовки «Технологии  
материалов», «Нанотехнологии и наноматериалы» и «Машиностроение» 
 
 
 
 
Батаев И.А.  
Б 28   
Кристаллография. Методы проецирования кристаллов: учебное пособие / И.А. Батаев, А.А. Батаев, Д.В. Лазуренко. – 2-е изд., испр. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 72 с. 

ISBN 978-5-7782-3709-4 

Даны представления о типах пространственных задач, характерных для кристаллографии. Описаны методы сферического, стереографического, гномостереографического и гномонического проецирования кристаллов, проведено их сравнение. Приведены примеры проецирования граней различного типа. Описано решение кристаллографических задач с использованием сетки Г.В. Вульфа.  
 
 
 
 
УДК 548(075.8) 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-3709-4  
© Батаев И.А., Батаев А.А.,  
 
    Лазуренко Д.В., 2017, 2018 
 
© Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2017, 2018 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение ................................................................................................................................ 5 

1. Построение сферических проекций ................................................................................ 7 

2. Стереографическое проецирование ............................................................................... 11 

3. Гномостереографическое проецирование .................................................................... 21 

4. Таутозональные грани кристалла. Пояс (зона) граней ................................................ 26 

5. Гномоническое проецирование ..................................................................................... 29 

6. Вспомогательные трафареты – измерительные инструменты в кристаллографии ........ 33 

6.1. Полярная сетка (сетка А.К. Болдырева) ................................................................ 34 
6.2. Кристаллографическая сетка Г.В. Вульфа ............................................................ 35 

7. Решение задач геометрической кристаллографии с использованием сетки 
Вульфа .............................................................................................................................. 40 

7.1. Построение стереографических проекций по сферическим координатам ........ 40 
7.2. Измерение угла между двумя направлениями по их сферическим координатам .................................................................................................................... 43 
7.3. Построение пояса граней кристалла ..................................................................... 45 
7.4. Построение стереографической проекции плоскости по стереографической проекции ее нормали (построение дуги к полюсу) ..................................... 46 
7.5. Построение стереографической проекции нормали по стереографической проекции ее плоскости (построение полюса к дуге) .................................. 48 
7.6. Применение сетки Вульфа для решения задач, связанных с поворотом 
стереографических проекций направлений на заданный угол ........................... 49 
7.7. Измерение углов между дугами больших кругов ................................................ 50 
7.8. Выявление совокупности граней (гномостереографических проекций), 
находящихся на одном угловом расстоянии от заданной проекции грани ....... 52 
7.9. Угловые соотношения гномостереографических проекций граней кристалла ....................................................................................................................... 53 

7.10. Построение пояса граней с учетом данных по его ориентации относительно двух других заданных поясов ................................................................. 53 
7.11. Построение стереографических проекций линий пересечения плоскостей ......................................................................................................................... 54 
7.12. Отражение гномостереографической проекции грани в плоскости симметрии .................................................................................................................... 55 
7.13. Замена плоскости проекции ................................................................................. 57 
7.14. Взаимосвязь стереографических и гномостреографических проекций 
ребер и граней кристаллов ................................................................................... 58 
7.15. Применение сетки Вульфа для определения значений координатных 
углов направлений в кристаллических многогранниках .................................. 60 
7.16. Построение стереографической проекции направления в кристалле  
по координатным углам ....................................................................................... 62 
7.17. Вычисление кристаллографических символов направлений и плоскостей по их стереографическим проекциям ......................................................... 63 
7.18. Соотношения между координатами, используемыми при решении кристаллографических задач с помощью сетки Вульфа ......................................... 65 

Контрольные вопросы ........................................................................................................ 67 

Библиографический список ............................................................................................... 70 

 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Решение многих кристаллографических задач связано с необходимостью 
получать информацию о форме анализируемых объектов (кристаллов, многогранников) и проводить на них угловые измерения. Имея фотоснимки кристаллов, можно получить важную информацию об особенностях их внешнего 
строения. В то же время численных представлений о форме кристаллов фотография не дает. Графические методы решения отмеченных задач, несмотря на 
более высокую трудоемкость, имеют явные преимущества перед фотографией, 
поскольку они более информативны.  
При анализе несложных по внешнему виду кристаллов особых проблем с 
получением графических представлений о их форме, как правило, не возникает. Однако, если речь идет о кристаллах с большим количеством граней, в том 
числе о комбинационных многогранниках, в огранке которых используется 
несколько простых форм, привычное нам графическое представление объекта 
становится сложной, трудоемкой задачей. Поэтому обойтись построением эскиза либо чертежа кристалла, как правило, не удается. Присутствие множества 
граней делает чертеж перегруженным, что резко усложняет его восприятие и 
возможность выполнять соответствующие угловые измерения. По этой причине в решении кристаллографических задач особенно велика роль методов 
проецирования. В сочетании с фотографическими изображениями проекции, 
построенные по определенным правилам, дают важную информацию о форме 
реальных кристаллов.  
Для кристаллографии характерно использование собственных инструментов и методов измерений. Так, например, для измерения углов между гранями 
кристаллов созданы приборы, называемые гониометрами. Простейший прикладной (или прикасательный) гониометр был разработан французским механиком Арну Каранжо (франц. Arnould Carangeot) еще в 1772 году. Точность 
прикладных гониометров близка к 1. Более совершенный отражательный гониометр, представляющий собой оптико-механический прибор, в кристалло

графическую практику введен в 1809 году английским ученым Волластоном 
(англ. William Hyde Wollaston). Точность отражательных гониометров примерно на порядок выше по сравнению с прикладными. Гониометрические исследования широко используются при оценке симметрии кристаллов. Учет углов между атомными рядами и плоскостями необходим также при анализе явления анизотропии, характерного для кристаллических материалов.  
Указанные выше обстоятельства обусловили разработку универсальных 
подходов к проблеме изображения кристаллов и кристаллографического пространства, а также проведения соответствующих угловых измерений. Результатом развития этих подходов стали используемые в кристаллографии методы 
проецирования кристаллов. Важнейшая их особенность заключается в том, что 
кристаллографические проекции позволяют оперировать углами между 
направлениями (ребрами, атомными рядами) и плоскостями (гранями), не учитывая размеров конкретного анализируемого кристалла. В этом заключается 
универсальность и особая ценность методов проецирования кристаллов. 
В приложении к задачам кристаллографии следует рассмотреть четыре 
метода проецирования, основанных на построении сферических, стереографических, гномостереографических и гномонических проекций. Особенности, 
характерные для этих методов, рассмотрены ниже. Следует подчеркнуть, что 
из отмеченных выше методов наиболее широко применяются два: методы стереографических и гномостереографических проекций.  
 
 
 
 

1. ПОСТРОЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ 

Построение сферической проекции кристаллического многогранника 
предполагает выполнение следующих операций. Все грани и ребра кристалла 
необходимо перенести параллельно самим себе таким образом, чтобы они пересеклись в одной точке пространства. Результатом такого виртуального переноса будет планарный либо полярный комплекс многогранника.  
Планарный комплекс – это совокупность плоскостей, которые параллельны граням кристалла и имеют общую точку, представляющую собой центр 
комплекса. При наличии в кристалле двух любых параллельных друг другу 
граней им соответствует одна плоскость планарного комплекса. Планарный 
комплекс кристалла можно представить как результат параллельного переноса 
каждой его грани в центр комплекса. 
В отличие от планарного комплекса, который есть совокупность плоскостей, полярный комплекс – это пучок лучей, ориентированных перпендикулярно граням кристалла и пересекающихся в одной центральной точке. Число лучей, составляющих полярный комплекс анализируемого кристалла, равно числу его граней.  
Вокруг центральной точки комплекса следует описать сферу произвольного радиуса – сферу проекций. Условно ее делят на две части: верхнюю и 
нижнюю (северную и южную) полусферы. Точки экватора принято относить к 
верхней полусфере.  
Любой вектор, выходящий из центра, пересечет сферу проекций в некоторой точке, называемой сферической проекцией вектора (направления) или полюсом направления. Функцию вектора может выполнять направление ребра 
кристалла, ось симметрии кристалла или нормаль к грани. На поверхности 
сферы, показанной на рис. 1, точками А и В обозначены сферические проекции 
двух векторов OA и OB. 
Если речь идет не о векторе, а об оси симметрии, то на сферической проекции она обозначается не одной, а двумя диаметрально противоположными 

точками, представляющими собой следы пересечения оси с поверхностью 
сферы. 
 

А

В



A

B

N

S

В

A

О

Сферическая 
проекция вектора ОА

Сферическая 
проекция вектора ОВ
Сфера 
проекций

 
Рис. 1. Построение сферических проекций векторов ОА и ОВ (сферическими проекциями являются точки А и В соответственно) 

Положение любой точки на сфере проекций однозначно определяется с 
помощью двух сферических координат: долготы  и широты . Обе координаты представляют собой угловые величины и обычно выражаются в градусах 
(реже в радианах). Вместо термина «широта»  в кристаллографии используется понятие «полярное расстояние».  
Сферические координаты  и  измеряются на поверхности сферы, проградуированной с использованием параллелей и меридианов (аналогично градусной сетке глобуса). При этом верхнюю точку сферы проекций N принимают за северный полюс, а нижнюю точку S – за южный (рис. 1). Система сферических координат будет заданной окончательно, если один из меридианов 
используется в качестве нулевого ( = 0°).  
Долгота представляет собой угол , заключенный между плоскостями нулевого меридиана и меридиана, проходящего через анализируемую точку. 
Полярное расстояние  – это угол между северным полюсом сферы и анализируемой точкой, расположенной на поверхности сферы.  
Рассмотрим пример определения координат произвольной точки А, находящейся в северной части сферы проекций (рис. 1). Значение долготы А указанной точки определяют, измеряя вдоль экватора в направлении движения 
часовой стрелки угол между нулевым меридианом и меридианом, проведенным через анализируемую точку А. Полярное расстояние А представляет собой угол, который отсчитывается от северного полюса N к южному S по меридиану, проходящему через точку А. Аналогично могут быть найдены сферические координаты точки В, расположенной в южной части сферы проекций.  

Значение долготы может находиться в пределах от 0 до 360°. Полярное 
расстояние изменяется в пределах 0°   180°. На северном полюсе  = 0°, на 
экваторе  = 90°, а на южном полюсе  = 180°. 
Вертикальный вектор характеризуется значением полярного расстояния  
 = 0°. Значение долготы в этом случае не фиксируется. Векторы, расположенные горизонтально, описываются некоторым значением долготы  и полярным расстоянием  = 90°.  
Выше было показано, что сферической проекцией (полюсом) направления 
является точка на сфере проекций. Какая-либо плоскость или грань кристалла, 
проходящая через центр сферы, при сферическом проецировании отображается в виде дуги большого круга, т. е. в виде окружности. Такая окружность 
представляет собой след пересечения грани кристалла со сферой проекций. На 
рис. 2, а показана совокупность сферических проекций нескольких граней 
кристалла галенита (PbS).  
 

N

S

N

S
S

N

K

L

M

P

– точки, расположенные на передней части сферы проекций
 точки, расположенные на задней части сферы проекций 
–

 
                        а                                                б                                                в 

Рис. 2. Сферические проекции граней кристалла галенита – PbS (окружности на 
поверхности сферы) (а), сферические проекции нормалей к граням кристалла  
(26 точек в местах пересечения сферы нормалями) в сочетании со сферическими  
     проекциями граней кристалла (б), полярный комплекс кристалла галенита (в) 

Анализ полученной картины позволяет сделать вывод о неудобстве сферического проецирования граней в виде дуг больших кругов. Получаемые при 
таком подходе изображения перегружены большим количеством пересекающихся кривых. В наибольшей степени эта проблема характерна для многогранных, сложных по форме кристаллов. Картина существенно упростится, 
если каждую грань кристалла заменить нормалью к ней, проведенной из центра сферы проекций. Сферические проекции нормалей всех двадцати шести 

граней кристалла галенита отражены на рис. 2, б. Приведенная рядом совокупность нормалей ко всем граням является полярным комплексом кристалла  
галенита (рис. 2, в). 
Важнейшее достоинство описанного выше метода проецирования в том, 
что нормали к граням, исходящие из центра, четко фиксируют положение граней реальных (нередко искаженных по форме) кристаллов на поверхности 
сферы проекций. В основе этого лежит закон Стенона, именуемый также законом постоянства углов или законом угловых констант. Суть его заключается в 
том, что углы между соответственными гранями и ребрами во всех кристаллах 
одного и того же вещества, находящегося в одной полиморфной модификации, 
равны. Указанный закон предполагает возможность неравномерного по скорости роста граней, что во многих случаях приводит к существенным искажениям формы реальных кристаллов (рис. 3). Однако параллельность соответственных граней кристалла, характеризующихся различной степенью искажения его формы, обеспечивает однозначное положение сферических проекций 
нормалей (граней). Таким образом, метод сферического проецирования кристаллов, основанный на восстановлении нормалей, позволяет четко определить пространственную ориентацию всех граней независимо от их относительных размеров. Анализируя взаимное положение точек выхода нормалей 
граней на сферу проекций, можно однозначно выявить истинную симметрию 
кристаллических многогранников даже в тех случаях, когда они не обладают 
идеальной формой.  
 

A
B

C

D
E

F
O

A
B

C

D
E

F

O

 
                                    а                                                                 б 

Рис. 3. Схема нарастания граней кристалла с одинаковыми скоростями 
вдоль трех осей (а), а также преобразование формы кристалла при изменении скорости роста его граней (б). Направления роста соответ- 
           ственных граней (нормали к ним) остаются неизменными 

Таким образом, говоря о сферических проекциях граней кристалла, следует различать два эквивалентных варианта их отображения. В первом случае 
строится большой круг, например KLMP, представляющий собой сечение сферы плоскостью, параллельной грани кристалла и проходящей через центр сферы (см. рис. 2, а). Во втором случае анализируемая грань изображается точкой на 
сфере, соответствующей месту пересечения нормали к грани со сферой проекций 
(см. рис. 2, б). Соответственно говорят либо о «дуге грани» (первый случай), 
либо о «полюсе грани» (второй случай). 
С учетом сказанного выше сферическую проекцию горизонтальной грани 
кристалла можно отобразить двумя способами: во-первых, большим горизонтальным кругом, т. е. экватором сферы проекций, во-вторых, точкой, совпадающей с одним из полюсов сферы проекций и представляющей след пересечения сферы проекций нормалью к горизонтальной грани. 
Вертикальная грань кристаллического многогранника на сферической 
проекции отображается в виде большого вертикального круга, соответствующего меридиональному сечению сферы проекций, проходящему через северный и южный полюсы. Кроме того, она может быть показана в виде точки, которая лежит на экваторе сферы и представляет след пересечения перпендикуляра к вертикальной грани со сферой проекций.  
В практических целях метод сферического проецирования, предполагающий анализ объемных проекций многогранников, используется редко. Воспроизвести сферическую проекцию кристалла на плоскости достаточно сложно. Гораздо проще и рациональнее элементы симметрии и грани кристаллов 
проецировать не на сферу проекций, а на ее экваториальную плоскость и рассматривать полученный результат в плоскости чертежа. Такой метод, получивший название метода стереографического проецирования, в кристаллографии наиболее распространен. 
 

2. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ 

Одно из наиболее важных достоинств анализируемого ниже метода стереографического проецирования – это то, что при его использовании угловые 
величины на стереограммах отображаются в неискаженном виде. Стереографические проекции направлений (ребер кристалла, осей симметрии) пересекутся под теми же углами, под которыми они пересечены на сфере проекций. 
Это обстоятельство имеет принципиальное значение, поскольку углы между 
гранями представляют собой основную морфологическую характеристику 
кристаллов. По-другому можно сказать, что в соответствии с законом Н. Стенона углы между гранями являются «видовым», или «родовым», признаком 
каждого кристалла.  

Начало использования метода стереографического проецирования относится примерно ко второму веку до нашей эры. Авторство этого метода приписывают древнегреческому математику Аполлонию Пергскому. Термин 
«стереографическая проекция» происходит от греческих слов стереос – пространственный, объемный и графо – пишу. Таким образом, стереографическая 
проекция представляет собой проекции точек сферы на плоскость. 
Если сферическая проекция, связанная с анализом кристалла в объеме, ассоциируется с глобусом, то стереографическую проекцию кристалла можно 
сравнить с географической картой. Как географические карты имеют более 
широкое применение по сравнению с глобусами, так и стереографические 
проекции, благодаря своей лаконичности, в кристаллографии используются 
гораздо чаще, чем сферические. 
В виде стереографической проекции может быть представлено любое 
направление, выделенное в кристалле (вектор, ребро кристалла, нормаль к 
грани, ось симметрии). Последовательность действий, выполняемых при таком 
способе описания кристаллических многогранников, показана на примере стереографического проецирования некоторого направления OF (рис. 4).  
  

a

p

h

m

b
c
n
s
e
f
g

  Основной
круг проекций

  Сфера 
  проекций

A( )
a

B

C
N

S

E

F

G( )
g

P( )
p

H( )
h
M( )
m

O(
)
d,s
b
c
e
f

 
                                      а                                                                        б 

Рис. 4. Построение стереографических проекций направлений (а)  
и примеры проекций одиннадцати направлений (б) 

Следует отметить, что для анализируемого метода характерны такие термины, как «точка зрения» и «лучи зрения». Точка, из которой выходят проецирующие лучи – лучи зрения, называется точкой зрения. Точки зрения совпадают либо с южным, либо с северным полюсом сферы проекций.  
На первом этапе строится сферическая проекция направления OF. Графически она выражается точкой F, в которой вектор, исходящий из центра сферы 
проекций, пересекается с поверхностью сферы (рис. 4, а). Подчеркнем, что в