Теория вероятностей, математическая статистика, математическое программирование

И.В. Белько
И.М. МорозоВа
е.а. крИштапоВИч

теорИя Вероятностей, 

МатеМатИческая 

статИстИка, 

МатеМатИческое 

програММИроВанИе

 

Допущено  

Министерством образования Республики Беларусь  

в качестве учебного пособия для студентов  

учреждений высшего образования  

по  экономическим специальностям

2022

Москва

 «ИНФРАМ»

УДК 519.2(075.8) 
ББК 22.17я73 
 
Б44

Белько, И.В.

Теория вероятностей, математическая статистика, математи
ческое программирование : учебное пособие / И.В. Белько, И.М. Морозова, Е.А. Криштапович.  —  Москва : ИНФРА-М, 2022. —  
299 с. : ил. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-011748-5 (print)
ISBN 978-5-16-104278-6 (online)

Рассмотрены темы, изучаемые в третьей части курса «Высшая мате
матика»: теория вероятностей, математическая статистика и математическое программирование. Каждая глава содержит теоретические основы 
с примерами, задачи с решениями и задачи для самостоятельной работы, 
снабженные ответами. Большинство примеров и задач имеют экономическую направленность. Пособие может быть использовано для самостоятельной подготовки по данным разделам курса высшей математики.

Для студентов и преподавателей экономических специальностей выс
ших учебных заведений.

УДК 519.2(075.8) 
ББК 22.17я73

Б44

 
© Белько И.В., Морозова И.М., 

Криштапович Е.А., 2016
 
© ООО «Новое знание», 2016

ISBN 978-5-16-011748-5 (print)
ISBN 978-5-16-104278-6 (online)

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра общей математики и информатики механико-математического факультета Белорусского государственного университета (зав. кафедрой — доктор физико-математических наук, профессор В.А. Еровенко);
зав. кафедрой высшей математики Белорусского государственного экономического университета, доктор физико-математических наук, профессор 
М.П. Дымков

Оглавление

Предисловие..........................................................................................................8

Часть I. теория вероятностей

Глава 1. события и вероятности..............................................................13
1.1..Элементы.комбинаторики....................................................................13
1.2..События.......................................................................................................16
1.3..Понятие.вероятности.............................................................................17
1.4..Действия.над.событиями......................................................................21
1.5..Теорема.сложения.вероятностей........................................................24
1.6..Условные.вероятности,.теорема.умножения.вероятностей,.
независимость.событий.........................................................................27
1.7..Формула.полной.вероятности.и.формула.Байеса......................30
1.8..Аксиоматическое.построение.теории.вероятностей...................33
Задачи.с.решениями.......................................................................................36
Задачи.для.самостоятельного.решения...................................................43
Ответы................................................................................................................46

Глава 2. схема испытаний Бернулли.....................................................47
2.1..Формула.Бернулли.................................................................................47
2.2..Формула.Пуассона..................................................................................50
2.3..Локальная.формула.Муавра.—.Лапласа..........................................50
2.4..Интегральная.формула.Муавра.—.Лапласа....................................51
Задачи.с.решениями.......................................................................................52
Задачи.для.самостоятельного.решения...................................................55
Ответы................................................................................................................57

Глава 3. случайные величины и законы их распределения.........58
3.1..Общие.сведения.о.случайных.величинах......................................58
3.2..Дискретные.случайные.величины.и.операции.над.ними.........60
3.2.1..Операции.над.случайными.величинами.............................62
3.2.2..Математическое.ожидание.и.дисперсия.дискретной.
случайной.величины..................................................................63
3.2.3..Функция.распределения.дискретной.случайной.
величины.........................................................................................65
3.3..Непрерывные.случайные.величины.................................................67
3.4..Математическое.ожидание.и.дисперсия.непрерывной.
случайной.величины..............................................................................69

Оглавление

Задачи.с.решениями.......................................................................................70
Задачи.для.самостоятельного.решения...................................................78
Ответы................................................................................................................81

Глава 4. Законы распределения случайных величин......................83
4.1..Законы.распределения.дискретных.случайных.величин.........83
4.1.1..Постоянная.случайная.величина.
(вырожденное.распределение)...............................................83
4.1.2..Альтернативная.случайная.величина.
(распределение.Бернулли).......................................................83
4.1.3..Биномиальное.распределение.................................................84
4.1.4..Геометрическое.распределение...............................................85
4.1.5..Гипергеометрическое.распределение....................................85
4.1.6..Закон.Пуассона.............................................................................86
4.2..Законы.распределения.непрерывных.случайных.величин.....88
4.2.1..Равномерное.распределение.R[a,.b]......................................88
4.2.2..Показательное.(экспоненциальное).распределение.......89
4.2.3..Нормальное.распределение......................................................91
4.2.4..Логнормальное.распределение................................................94
Задачи.с.решениями.......................................................................................96
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 100
Ответы............................................................................................................. 103

Глава 5. Многомерные случайные величины................................... 104
5.1..Дискретные.двумерные.случайные.величины........................... 105
5.2..Функция.распределения.двумерной.случайной.величины.... 107
5.3..Непрерывные.двумерные.случайные.величины....................... 108
5.4..Независимые.случайные.величины..
Ковариация,.коэффициент.корреляции....................................... 109
5.5..Двумерное.нормальное.распределение........................................ 112
Задачи.с.решениями.................................................................................... 113
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 117
Ответы............................................................................................................. 118

Глава 6. Закон больших чисел............................................................... 120
6.1..Неравенства.Чебышева.и.Маркова................................................ 120
6.2..Закон.больших.чисел.......................................................................... 121
6.3..Теорема.Бернулли................................................................................ 122
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 123
Ответы............................................................................................................. 124

Оглавление 
5

Часть II. МатеМатиЧеская статистика

Глава 7. вариационные ряды и их характеристики...................... 128
7.1..Генеральная.и.выборочная.совокупности.................................... 128
7.2..Понятие.вариационного.ряда.и.его.графические..
изображения........................................................................................... 129
7.3..Числовые.характеристики.вариационных.рядов...................... 136
Задачи.с.решениями.................................................................................... 138
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 141
Ответы............................................................................................................. 143

Глава 8. оценка параметров генеральной совокупности........... 144
8.1..Точечные.оценки.параметров........................................................... 144
8.2..Основные.статистические.распределения................................... 150
8.3..Интервальные.оценки.параметров................................................. 152
8.4..Доверительные.интервалы.для.генеральной.средней.
и.генеральной.доли.выборки........................................................... 152
8.5..Объем.выборки...................................................................................... 155
8.6..Доверительный.интервал.для.дисперсии.................................... 156
Задачи.с.решениями.................................................................................... 157
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 161
Ответы............................................................................................................. 163

Глава 9. Проверка статистических гипотез...................................... 164
9.1..Основные.понятия............................................................................... 164
9.2..Гипотезы.о.значениях.числовых.характеристик....................... 168
9.2.1..Гипотеза.о.численной.величине.среднего.значения.... 168
9.2.2..Гипотеза.о.числовом.значении.дисперсии....................... 170
9.2.3..Гипотеза.о.числовом.значении.доли.признака.............. 171
9.3..Проверка.гипотезы.о.равенстве.средних.значений................. 172
9.4..Критерии.согласия............................................................................... 174
Задачи.с.решениями.................................................................................... 176
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 180
Ответы............................................................................................................. 182

Глава 10. однофакторный дисперсионный анализ....................... 184
10.1..Условия.применения......................................................................... 184
10.2..Разложение.суммы.квадратов.отклонений............................... 185
10.3..Проверка.гипотезы.о.равенстве.групповых.средних............ 186
10.4..Коэффициент.детерминации......................................................... 187

Оглавление

10.5..Сводка.формул.................................................................................... 188
Задачи.с.решениями.................................................................................... 189
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 191
Ответы............................................................................................................. 192

Глава 11. корреляционный анализ....................................................... 193
11.1..Представление.данных.в.корреляционном.анализе.............. 194
11.2..Коэффициент.корреляции.............................................................. 195
11.3..Корреляционное.отношение.......................................................... 197
Задачи.с.решениями.................................................................................... 198
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 200
Ответы............................................................................................................. 201

Глава 12. регрессионный анализ........................................................... 202
12.1..Корреляционное.поле....................................................................... 203
12.2..Линейная.регрессия........................................................................... 203
12.3..Статистический.анализ.уравнения.регрессии......................... 205
Задача.с.решением....................................................................................... 206
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 208
Ответы............................................................................................................. 208

Часть III. МатеМатиЧеское ПроГраММирование

Глава 13. классические задачи линейного  
программирования....................................................................................... 211
13.1..Задача.о.планировании.производственной.программы.
предприятия......................................................................................... 211
13.2..Задача.об.оптимальной.корзине.продуктов..
(задача.о.диете)................................................................................... 214
13.3..Задача.оптимального.раскроя.материалов............................... 216
13.4..Транспортная.задача.......................................................................... 218
13.5..Задача.о.назначениях........................................................................ 219

Глава 14. основные понятия задач линейного 
программирования и графический метод их решения................. 221
14.1..Постановка.общей.задачи.линейного.программирования.... 221
14.2..Формы.записи.задач.линейного.программирования............ 222
14.3..Базисные.и.свободные.переменные..Опорный.план............ 223
14.4..Графическое.решение.задачи.линейного..
программирования,.сводимой.к.двум.переменным.............. 224

Оглавление 
7

Задачи.с.решениями.................................................................................... 227
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 231
Ответы............................................................................................................. 233

Глава 15. симплексный метод. теория двойственности............. 234
15.1..Симплексный.метод.решения.ЗЛП............................................ 234
15.2..Двойственность.в.линейном.программировании................... 243
15.2.1..Понятия.анализа.устойчивости..
и.чувствительности.............................................................. 243
15.2.2..Понятие.двойственности.................................................... 246
15.3..Основные.теоремы.теории.двойственности.
и.их.экономический.смысл............................................................ 250
15.4..Информационные.технологии.в.решении.задач.
математического.программирования.......................................... 255
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 265
Симплексный.метод............................................................................ 265
Двойственность.в.линейном.программировании..................... 268
Ответы............................................................................................................. 269

Глава 16. транспортная задача.............................................................. 270
16.1..Постановка.транспортной.задачи................................................. 270
16.2..Построение.начального.опорного.плана................................... 273
16.3..Проверка.опорного.решения.на.оптимальность..................... 278
16.4..Переход.к.следующему.распределению.поставок.................. 280
Задача.с.решением....................................................................................... 283
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 289
Ответы............................................................................................................. 292

Приложения................................................................................................... 293

Литература.................................................................................................... 298

Предисловие

Теория.вероятностей,.математическая.статистика.и.математическое. программирование. занимают. важное. место. в. математической. подготовке. экономистов.. Теория. вероятностей. и. математическая.статистика.служат.основой.для.последующего.изложения.
эконометрики,.а.третий.раздел.является.введением.в.теорию.экономико­математических.методов.и.математических.моделей.
Конечно,.для.глубокого.и.полного.усвоения.предмета.при.изложении.со.всей.строгостью.необходима.серьезная.математическая.подготовка..Имеется.достаточное.количество.пособий.с.таким.
уровнем. строгости,. хотя,. согласно. прежним. стандартам,. отсутствуют.учебники,.включающие.совместно.все.три.названных.раздела.курса.
Данное. учебное. пособие. соответствует. программе. предмета,.
принятой. в. новом. образовательном. стандарте,. и. состоит. из. трех.
компонентов:.теоретические.основы.с.примерами,.задачи.с.решениями.и.задачи.для.самостоятельной.работы,.снабженные.ответами..
Таким.образом,.пособие.может.одновременно.служить.и.учебником,. и. сборником. задач.. Теоретическая. часть. пособия. содержит.
основные. понятия. и. свойства,. приведенные. с. возможной. полнотой. и. выделением. идейных. основ,. насколько. это. позволяет. принятое.в.пособии.интуитивно­наглядное.изложение..Для.усвоения.
этого.материала.достаточно.базовой.математической.подготовки.
Важным.дополнением.к.теории,.которое.облегчает.ее.понимание,.служат.примеры,.приведенные.в.пособии.
Особая. роль. отводится. задачам. с. решениями.. Для. их. усвоения.достаточно.сведений.из.теоретической.части..Они.позволяют.
глубже.понять.теоретический.материал.и.получить.навыки.самостоятельного. решения. задач.. Большинство. приводимых. задач.
и.примеров.имеет.экономическую.направленность..Набор.задач.
для. самостоятельной. работы. достаточен. для. практических. занятий.и.домашних.заданий..Отметим,.что.несоответствие.в.точности.
числовых.данных.при.округлении.вызвано.тем,.что.в.используемых.таблицах.данные.приводятся.с.точностью.до.0,0001..Такая.высокая.точность.вряд.ли.уместна.во.многих.вычислениях.
Содержание. пособия. традиционно. и. адаптировано. к. уровню.
подготовки.студентов.
В. I. части. после. краткого. знакомства. с. элементами. комбинаторики. на. интуитивном. уровне. вводятся. основные. понятия. —.

Предисловие 
9

событие. и. вероятность.. Свойства. операций. над. событиями. и. их.
связь.с.вероятностями.интерпретируются.на.основе.классической.
вероятности..Для.полноты.изложения.и.восприятия.основ.теории.
и. свойств. вероятностей. приводится. аксиоматика. вероятностного.
пространства..Хотя,.в.принципе,.для.принятого.уровня.при.отсутствии.доказательств.глубоких.результатов.саму.аксиоматику.можно.опустить..При.этом.нужно.все.же.учесть,.что.у.читателей.должно.сформироваться.представление.о.вероятностном.пространстве..
Основными.примерами.для.этого.служат.классическая.схема.случаев.и.схема.Бернулли.(повторных.независимых.испытаний)..Для.
вероятностей. событий. из. схемы. Бернулли. даются. формула. Бернулли,.а.также.приближенные.формулы:.Пуассона,.локальная.и.интегральная.формулы.Муавра.—.Лапласа..Центральное.место.в.I.части. пособия. отводится. случайным. величинам.. Рассматриваются.
два.типа.случайных.величин:.дискретные.и.непрерывные,.приводятся.способы.их.задания.и.их.числовые.характеристики:.математическое.ожидание.и.дисперсия..В.качестве.примеров.рассматриваются.следующие.распределения.случайных.величин:.постоянная.
случайная. величина,. альтернативная. случайная. величина,. биномиальное,.геометрическое.и.гипергеометрическое.распределения,.
распределение.Пуассона,.равномерное,.показательное.и.нормальное.распределения..Рассмотрение.многомерных.случайных.величин. ограничено. двумерным. случаем.. Вводятся. ковариация. и. коэффициент.корреляции.пары.случайных.величин..Закон.больших.
чисел.приводится.в.упрощенных.формулировках.теорем.Чебышева.и.Бернулли,.пригодных.для.решения.задач.
Во.II.части,.посвященной.математической.статистике,.вводятся.основные.понятия.выборочного.метода,.повышенное.внимание.
уделено.заданию.выборки.в.виде.случайного.вектора.или.его.реализации..Строятся.выборочные.характеристики.генеральных.совокупностей,. даются. точечные. и. интервальные. оценки. их. параметров..
Описываются. этапы. проверки. статистических. гипотез,. которые.
затем.иллюстрируются.гипотезами.о.средних.значениях,.дисперсии.и.доле.признака..Приводится.критерий.Пирсона.для.проверки.
гипотезы.о.законе.распределения.случайной.величины..Оценка.зависимости.между.переменными.(случайными.и.детерминированными). проводится. на. основе. дисперсионного,. корреляционного.
и.регрессионного.анализа.

Предисловие

III.часть.пособия.является.по.существу.введением.в.математическое. программирование. и. содержит. примеры. задач. линейного.
программирования.и.методы.их.решения..Графический.метод.решения.задач.линейного.программирования.с.двумя.переменными.
и. сводящихся. к. ним. задач. служит. интерпретацией. идеи. общего.
симплекс­метода..На.основе.симплекс­метода.и.соответствующих.
ему.таблиц.сначала.проводится.разбиение.переменных.на.базисные.и.свободные,.а.затем.находится.оптимальное.значение.целевой.функции..Анализ.решения.проводится.на.основе.теории.двойственности..Отдельно.выделяется.метод.потенциалов.для.решения.
транспортной.задачи..Приводятся.другие.типы.задач.математического.программирования.
С. учетом. требований. учебной. программы. в. пособии. даются.
решения.задач.линейного.программирования.с.применением.компьютерного.пакета.прикладных.программ.Excel.
Авторы.выражают.благодарность.и.признательность.заведующему.кафедрой.высшей.математики.Белорусского.государственного.
экономического.университета.Михаилу.Пахомовичу.Дымкову,.коллективу.кафедры.высшей.математики.и.информатики.Белорусского.
государственного.университета.и.ее.заведующему.Валерию.Александровичу.Еровенко..Их.скрупулезное.прочтение.и.замечания.по.содержанию.рукописи.значительно.улучшили.изложение.материала.
пособия.

Часть I
теория вероятностей

 
Š События и вероятности

 
Š Схема испытаний Бернулли

 
Š Случайные величины и законы 
их распределения

 
Š Законы распределения 
случайных величин

 
Š Многомерные случайные величины

 
Š Закон больших чисел

В.этой.части.приведено.краткое.изложение.основ.теории.вероятностей. на. интуитивно­наглядном. уровне.. Дана. также. аксиоматика.вероятностей..Элементы.комбинаторики.служат.базой.для.
решения. задач. классического. раздела. теории.. Для. вводимых. понятий.и.свойств.приводятся.примеры.задач.и.задания.для.самостоятельной.работы.
Особое. внимание. уделяется. случайным. величинам,. которые.
составляют.основу.математической.статистики.
Из.всего.их.многообразия.выделены.основные.величины,.которые.рассматриваются.в.классической.теории.вероятностей..Для.
многомерных.случайных.величин.описывается.только.двумерный.
случай,.в.частности,.двумерная.нормальная.величина..Достаточно.
полно. введено. понятие. независимости. случайных. величин. и. их.
числовые.характеристики.

события и вероятности

Для. вычисления. вероятностей. в. начале. главы. вводятся. элементы.комбинаторики..Связи.между.операциями.над.событиями.
и.их.вероятностями.описываются.теоремами.сложения.и.умножения. вероятностей.. Для. случая,. когда. пространство. событий. разбивается.гипотезами,.рассматриваются.формула.полной.вероятности.и.формула.Байеса.

1.1. Элементы комбинаторики

Комбинаторика.—.это.раздел.математики,.в.котором.изучаются.различные.комбинации.подмножеств.в.конечных.множествах..
Элементы.комбинаторики.будут.использоваться.при.вычислениях.
классических.вероятностей.
Упорядоченным множеством.называется.множество,.в.котором.
указан.порядок.следования.его.элементов..Так,.например,.множества.{a, b, c}.и.{a, c, b}.есть.различные.упорядоченные.множества.
Сформулируем.основные.правила.комбинаторики.
1..Правило суммы
Пусть.из.множества.A.элемент.a1.можно.выбрать.n1.способами,.
элемент.a2.—.другими.n2.способами.и.т.д.,.элемент.ak.–.nk.способами,.отличными.от.предыдущих..Тогда.выбор.одного.из.элементов.
a1,.или.a2,....,.или.ak.можно.произвести.n1.+.n2.+.....+.nk.способами.

Пример 1.1.. Пусть. в. корзине. имеется. 7. апельсинов,. 5. бананов.
и.10.яблок..Тогда.выбор.одного.из.фруктов.(или.апельсина,.или.банана,.
или.яблока).можно.сделать.22.способами.(22.=.7.+.5.+.10).

Характерным. признаком. использования. правила. суммы. служит.предлог.«или».
2..Правило произведения
Пусть.A.—.некоторое.множество,.из.которого.выбор.элемента.a1.
можно.осуществить.n1.способами,.после.этого.выбор.элемента.a2.

Часть I. Теория вероятностей
14

можно. осуществить. n2. способами. и. т.д.,. наконец,. после. выбора.
элемента.ak-1.элемент.ak.можно.выбрать.nk.способами..Тогда.одновременный.выбор.элементов.a1,.a2,....,.ak.в.указанном.порядке.можно.осуществить.n1.·.n2.·.....·.nk.способами.

Пример 1.2.. Пусть. в. спортивном. велосипеде. имеются. 3. ведущие.
звездочки.и.4.ведомые..Сколько.передач.имеется.в.велосипеде?
Так.как.каждая.передача.определяется.выбором.одной.ведущей.и.одной.
ведомой. звездочки,. то. число. всех. передач. совпадает. с. числом. выборов.
одного. элемента. из. 3. и. другого. элемента. из. 4.. Поэтому. число. передач.
равно.3.⋅.4.=.12.

Характерным. признаком. использования. правила. произведения.служит.предлог.«и».
Пусть.некоторое.множество.A.содержит.n.различных.элементов..Размещением из n элементов по k элементов.называется.каждое.его.упорядоченное.подмножество,.состоящее.из.k.элементов.
Через. An
k. обозначают. число. всех. размещений. из. n. элементов.
по.k.(читается:.«A.из.n.по.k»).

Пример 1.3.. Пусть. в. группе. 27. студентов.. Любые. трое. из. них,. расположенные.в.порядке.возрастания.номеров.их.зачетных.книжек,.образуют.размещение.из.27.по.3.

Пример 1.4..Перечислим.все.размещения.из.трех.элементов.{a, b, c}.
по. два:. (a, b),. (b, a),. (a, c),. (c,. a),. (b, c),. (c, b).. Их. количество. равно. 6,.
т.е..A3
2
6
=
.

Для.числа.размещений.справедлива.формула

.
A
n n
n
n
k
n
k =
−
−
−
−
(
)
(
)(
)...
(
)
1
2
1 ..
(1.1)

Доказательство. этой. формулы. легко. получается. по. правилу.
произведения:.первый.элемент.a1.можно.выбрать.n.способами,.после.этого.для.выбора.элемента.a2.остается.(n.-.1).способ.и.т.д..Для.
последнего.k­го.элемента.ak.остается.n -.(k -.1).способ.
Например,. согласно. формуле. (1.1). число. размещений. из. 27.
по.3

.
A27
3
27 26 25
17 550
=
⋅
⋅
=
 
.

Глава 1. События и вероятности
15

Для.сокращения.записи.произведение.всех.натуральных.чисел.
от.1.до.n.обозначается.n!.(n.факториал),.т.е..n!.=.1.⋅.2.⋅.3..n..При.
этом. условно. считается,. что. 0!. =. 1.. Применяя. это. обозначение,.
после.умножения.и.деления.правой.части.равенства.(1.1).на.(n - k)!.
получим

.
A
n
n
k
n
k =
−
!
(
)!..
(1.2)

Размещение.из.n.элементов.по.n.называется.перестановкой из 
n элементов..Количество.всех.таких.перестановок.обозначается.Pn..
Из.предыдущей.формулы.получим

.
P
A
n
n
n
n
=
=
!...
(1.3)

Пример 1.5..Пусть.в.группе.27.студентов,.расположение.их.в.порядке. возрастания. номеров. зачетных. книжек. является. перестановкой.
из.27.элементов..Количество.всех.перестановок.из.27.элементов.равно.
27!.=.1.⋅.2.⋅.3..27.=.10.888.869.450.418.352.160.768.000.000.

Пример 1.6..Перечислим.все.перестановки.из.трех.элементов.{a, b, c}:.
(a, b, c),.(a, c, b),.(b, a, c),.(b, c, a),.(c, a, b),.(c, b, a)..Их.количество.равно.
P3.=.3!.=.1.⋅.2.⋅.3.=.6.

Пусть.задано.множество,.состоящее.из.n.элементов..Сочетани‑
ем из n элементов по k элементов.называется.каждое.его.(неупорядоченное).подмножество,.содержащее.k.элементов.

Пример 1.7..Любые.трое.студентов.из.группы.в.27.человек.образуют.
сочетание.из.27.по.3.

Число.всех.сочетаний.из.n.элементов.по.k.элементов.обозначается.Cn
k.(«С.из.n.по.k»)..Для.числа.сочетаний.справедлива.формула

.
C
A
k
n
n
k
k
n n
n
n
k
k
n
k
n
k
=
=
−
⋅
=
−
−
−
−
!
!
(
)!
!
(
)(
)
(
)
!
1
2
1

..
(1.4)

Для.их.доказательства.заметим,.что.выбору.сочетания.из.n.по.k.
(так.как.выбираются.подмножества.из.k.элементов).отвечает.выбор. k!. размещений. из. n. по. k. (т.е.. упорядоченных. подмножеств.
из.этих.элементов)..Поэтому.справедливо.соотношение

.
A
k C
n
k
n
k
=
!
.