Лекции по уравнениям и методам математической физики

А.Ф. НИКИФОРОВ

2009

ЛЕКЦИИ  
ПО УРАВНЕНИЯМ И МЕТОДАМ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

А.Ф. Никифоров
Лекции по уравнениям и методам математической физики:
Учебное  пособие / А.Ф. Никифоров  – Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2009. – 136 с.
ISBN 9785915590310

Лекции, читавшиеся на протяжении многих лет в МГУ. В небольшом
объеме сконцентрированы знания и навыки, необходимые для решения
основных задач математической физики.
Рассмотрены вывод основных уравнений и наиболее употребительные
методы их решения. Дано элементарное введение в теорию обобщенных
функций.
Для студентов и преподавателей инженернофизических и физикотехнических факультетов, инженеровисследователей.

                        © 2009, ООО «Издательский
                        Дом  «Интеллект»,
                        оригиналмакет,  оформление

ISBN 9785915590310
 © 2009, наследники

УДК 519.6
ББК 22.19

Н62

Н62

ББК 22.19
УДК 519.6

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Гла ва 1
Вывод основных уравнений математической физики. . . . . . . . . . . .
9

1.1. Уравнения малых поперечных колебаний струны . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Уравнения теплопроводности и диффузии . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3. Уравнения гидродинамики и акустики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3.1. Система уравнений гидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3.2. Уравнения акустики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.4. Уравнения для напряженностей электрического и магнитного поля
в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

Гла ва 2
Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных
производных 2-го порядка и постановка основных задач математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

2.1. Классификация
линейных
относительно
старших
производных
дифференциальных уравнений 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2. Приведение дифференциальных уравнений 2-го порядка с двумя
независимыми переменными к каноническому виду . . . . . . . . .
30
2.3. Постановка основных краевых задач математической физики . . .
34
2.3.1. Выбор функции, вывод уравнения, задание дополнительных
условий (начальных и граничных). . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3.2. Классификация краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3.3. Примеры постановки краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.3.4. Условия сопряжения как краевые условия . . . . . . . . . . . .
38
2.3.5. Роль характеристик в постановке краевых задач . . . . . . . .
40
2.4. Корректность постановки задач математической физики . . . . . . .
44
2.4.1. Существование и единственность решения, непрерывная зависимость решения от исходных данных . . . . . . . . . . . . .
44

Оглавление

Гла ва 3
Метод характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

3.1. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения . . .
46
3.1.1. Формула Даламбера. Область зависимости решения от начальных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.1.2. Устойчивость решения. Обобщенное решение . . . . . . . . .
48
3.2. Решение краевых задач на полупрямой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2.1. Однородные краевые задачи. Отражение волн на закрепленных и свободных концах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.2.2. Задача о распространении краевого режима на полупрямой
51
3.3. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерного волнового
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3.1. Решение задачи Коши для сферически-симметричного случая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3.2. Формула Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.3.3. Двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.3.4. Принцип Дюамеля для решения неоднородного уравнения .
57
3.3.5. Физическая интерпретация формулы Кирхгофа . . . . . . . .
58

Гла ва 4
Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

4.1. Решение задачи о колебаниях струны с закрепленными концами .
61
4.2. Сущность метода Фурье. Постановка задачи Штурма–Лиувилля. .
67
4.2.1. Самосопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2.2. Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.2.3. Cамосопряженность оператора M =−ρ−1L, L = div(k grad)−q(x)
73
4.3. Решение однородной краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.4. Элементарное введение в теорию обобщенных функций . . . . . . .
77
4.4.1. Понятие дельта-функции Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.4.2. Обобщенные функции как функционалы . . . . . . . . . . . . .
83
4.5. Решение неоднородных краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.5.1. Неоднородность в уравнении и в начальных условиях . . . .
84
4.5.2. Неоднородность в начальных и граничных условиях . . . . .
86
4.5.3. Распространение краевого режима . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.6. Применение метода Фурье к решению краевых задач для эллиптических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.7. Метод Фурье для задач с сосредоточенным источником . . . . . . .
92

Оглавление
5

Гла ва 5
Метод функций Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

5.1. Использование обобщенного принципа суперпозиции при решении
однородных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
5.1.1. Обобщенный принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . .
98
5.1.2. Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
5.1.3. Решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности на бесконечной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
5.1.4. Сведение задачи Коши к построению функции Грина . . . .
103
5.1.5. Построение функции Грина с помощью интегрального преобразования Фурье. Физический смысл функции Грина . . .
104
5.2. Метод функций Грина для параболических уравнений . . . . . . . .
107
5.2.1. Решение задачи Коши для однородного и неоднородного
уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.2.2. Решение задачи на полупрямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
5.2.3. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
(трехмерный случай). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
5.2.4. Принцип максимума для решений уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
5.3. Метод функций Грина для уравнений эллиптического типа. . . . .
117
5.3.1. Фундаментальные решения уравнения Лапласа . . . . . . . . .
117
5.3.2. Простейшие свойства гармонических функций . . . . . . . . .
119
5.3.3. Теорема о наибольшем и наименьшем значении . . . . . . . .
121
5.3.4. Сущность метода функций Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
5.3.5. Некоторые свойства функций Грина . . . . . . . . . . . . . . . .
124
5.3.6. Функция Грина одномерной краевой задачи . . . . . . . . . .
127

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый читателю курс лекций посвящен разделу математики,
в котором изучаются математические модели физических процессов и
явлений. В последнее время математика интенсивно проникает в самые
различные области науки: в химию, биологию, геологию, медицину, а
также в экономику, социологию и т. д. Это проникновение осуществляется путем формирования математических моделей, представляющих
количественное описание изучаемых явлений на языке математики. Понятно, что математические модели лишь приближенно отражают явления реального мира, их уровень зависит от накопленных знаний.
Наибольшего успеха в построении и использовании математических
моделей добились физики, которые занимаются этим более трехсот лет.
Это произошло благодаря тому, что физические законы выражаются в
виде математических соотношений. Установлением, изучением и выяснением пределов применимости основных физических законов занимается теоретическая физика. Число действительно основных физических
законов исключительно мало. Примерами основных физических законов являются законы Ньютона в механике, система уравнений Максвелла в электродинамике, уравнения Шрёдингера и Дирака в квантовой
механике.
В повседневной физике и технике обычно интересуются изучением
следствий основных физических законов в заданных конкретных условиях, расчетами различного рода эффектов. При этом математическое
описание многих физических процессов приводит в зависимости от применяемой теоретической модели к дифференциальным и интегральным
уравнениям определенного вида, а также к интегро-дифференциальным
уравнениям. Возникающие математические задачи (они могут быть из
различных областей физики) имеют много общих черт и составляют
содержание предмета математической физики в широком смысле этого
слова. Например, одними и теми же уравнениями описываются процессы диффузии и теплопроводности. Изучение колебаний различной
физической природы приводит к волновому уравнению. Как заметил
Л. Больцман, единство природы обнаруживается в поразительной ана

Предисловие
7

логичности дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений.
Теория математических моделей физических явлений составляет предмет математической физики. Математическая физика занимает, таким
образом, промежуточное положение между математикой и теоретической физикой. Точные рамки этой дисциплины ввиду большого разнообразия вопросов, относящихся к уравнениям математической физики,
определить довольно трудно. В более узком смысле под математической
физикой иногда понимают теорию линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, так как многие задачи
математической физики сводятся к таким уравнениям.
С появлением компьютеров существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реальная
возможность ставить вычислительные эксперименты. В этом интенсивном взаимодействии теоретической физики и математики создаются качественно новые классы моделей для описания процессов современной
физики и техники.
Курс лекций по математической физике читался профессором А.Ф. Никифоровым в течение многих лет на вечернем факультете ВМК МГУ.
Материал лекций тщательно отбирался и перерабатывался для того, чтобы
сделать курс прозрачным для студентов с различной математической
подготовкой.
В сравнительно небольшом объеме удалось сконцентрировать знания
и навыки, необходимые для решения типичных задач математической
физики. Сведения из дополнительных глав высшей математики органично включены в текст, описанные методы иллюстрируются на многочисленных примерах. Курс включает тот минимум, который необходим
любому инженеру-исследователю.
В курсе лекций рассмотрены наиболее употребительные методы решения основных задач математической физики:
1) метод характеристик;
2) метод разделения переменных (метод Фурье), опирающийся на
разложение решений в ряды по собственным функциям;
3) метод функций Грина, использующий фундаментальные решения.
Дается элементарное введение в теорию обобщенных функций. Для
решения неоднородных уравнений и систем используется принцип Дюамеля.
К сожаленью, работа над изданием лекций не была закончена самим
Арнольдом Федоровичем в связи с его безвременной кончиной в конце 2005 г. Арнольд Федорович обладал великим даром преподавателя,
мог донести до студентов самые запутанные научные проблемы, глубоко
знал психологию студентов, легко находил контакт с ними, и, пожалуй,

.

Предисловие

самое главное, мог заразить любовью к науке, научному мышлению любого, давая ему радость понимания того, что раньше казалось скрытым
за семью печатями.
Закончить труд Арнольда Федоровича считаем своим долгом и данью
уважения памяти своему учителю и замечательному человеку.

В. Г. Новиков, Н. Н. Фимин
Москва, 1 февраля 2009 г.

Г Л А В А
1

ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

В этой главе рассмотрены несколько характерных физических задач, приводящих к основным уравнениям математической физики.

1.1.
УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ
КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

Будем называть струной натянутую гибкую нить. Математическое выражение понятия гибкости заключается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее
мгновенному профилю. Это условие выражает отсутствие сопротивления изгибу, или, другими словами, что сопротивлением при изгибании
можно пренебречь по сравнению с натяжением.
Направим ось x вдоль струны в положении равновесия и каждую
точку струны будем характеризовать значением ее абсциссы x. Описать процесс колебаний струны — значит задать положения точек струны в различные моменты времени, т. е. координаты вектора смещения
{u1(x, t), u2(x, t), u3(x, t)} точки x в момент времени t.
Рассмотрим наиболее простую задачу о колебаниях струны. Будем
предполагать выполненными следующие условия.
1. Смещения струны лежат в одной плоскости.
2. Действующие на струну внешние силы лежат в одной плоскости
со струной и направлены перпендикулярно оси x, а вектор смещения в
любой момент также перпендикулярен оси x, так что процесс колебаний
можно описать одной функцией u(x, t), характеризующей смещение точек струны.
3. Ограничимся рассмотрением малых колебаний струны, т. е. будем
пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с величиной ux(x, t) ≡ u/x = tg α, где α — угол наклона касательной к
профилю струны в точке x (рис. 1.1). В частности, будем пренебрегать
величиной u2
x по сравнению с единицей.

Глава 1. Вывод основных уравнений математической физики

Малость отклонений приводит к тому, что любой участок струны
(x1, x2) не изменяет своей длины. Действительно, длина участка слабо
деформированной струны ℓ c точностью до бесконечно малых 2-го порядка совпадает с длиной ℓ участка струны, находящейся в покое:

ℓ =

x2
x1

dx2 + du2 =

x2
x1

1 + u2
x(x, t) dx ≈

x2
x1

dx = x2 − x1 = ℓ.

Если в некоторой точке x мысленно разрезать струну на две части, то
действие правой части на левую выразится в виде силы T(x, t) (рис. 1.1).
В рамках нашего приближения величина силы натяжения струны T(x, t)
является постоянной:

|T(x, t)| ≡ T(x, t) = T0.

Рис. 1.1
Рис. 1.2

Запишем теперь уравнение движения струны, используя второй и третий законы Ньютона. Пусть ρ(x) — линейная плотность струны в точке x, F(x, t) — величина линейной плотности внешних сил, направленных перпендикулярно оси x. На элемент струны (x, x + dx) действуют
силы натяжения T(x + dx), −T(x) и внешняя сила F(x, t) dx (рис. 1.2).
Векторная сумма этих сил должна быть равна произведению массы рассматриваемого участка ρ(x) dx на ускорение a:

T(x + dx) − T(x) + F dx = ρ dx a.
(1.1)

Спроектируем полученное векторное равенство на оси x и u:

(T cos α)|x+dx − (T cos α)|x = 0,

(T sin α)|x+dx − (T sin α)|x + F(x, t) dx = ρ(x) dx utt.

(1.2)

1.1. Уравнения малых поперечных колебаний струны
11

В нашем приближении

cos α =
1
p

1 + tg2 α
=
1
p

1 + u2x
≈ 1,

sin α =
tg α
p

1 + tg2 α
≈ ux.

Поэтому из (1.2) имеем,





T(x + dx) = T(x) = T0,

ρ(x)utt(x, t) = T0
1
dx
ux(x + dx, t) − ux(x, t)
+ F(x, t),

откуда при dx → 0 получим

ρ(x)utt = T0uxx + F(x, t).
(1.3)

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. Оно было получено нами, как обычно говорят, на физическом уровне строгости.
Приведем еще один вывод уравнения (1.3), который является более
общим. Он основан на применении 2-го закона Ньютона в интегральном виде. Этот вывод может быть полезен, например, в случае, когда к
струне приложена сосредоточенная сила.
Рассмотрим конечный участок струны (x1, x2). Изменение количества движения участка ∆x = x2 − x1 за время ∆t = t2 − t1 равно импульсу действующих сил. Проекция соответствующего векторного равенства
на ось u дает

x2
x1

ρ(ξ)
ut(ξ, t2) − ut(ξ, t1)
dξ =

=

t2
t1

T0
ux(x2, τ) − ux(x1, τ)
dτ +

t2
t1

dτ

x2
x1

F(ξ, τ) dξ.

Для перехода к дифференциальному уравнению используем теорему о
среднем

b
a
ϕ(x) dx = ϕ(c) · (b − a),
c ∈ [a, b],
(1.4)

и формулу Лагранжа для конечных приращений

Φ(b) − Φ(a) = Φ′(c) · (b − a),

Глава 1. Вывод основных уравнений математической физики

которую легко получить из (1.4), полагая

ϕ(x) = Φ′(x).
(1.5)

Если предположить существование и непрерывность вторых производных функции u(x, t), то с помощью (1.4) и (1.5) получим

ρ(ξ1)utt(ξ1, τ1)∆x ∆t = T0uxx(ξ2, τ2)∆x ∆t + F(ξ3, τ3)∆x ∆t,

где

ξ1, ξ2, ξ3 ∈ [x1, x2],
τ1, τ2, τ3 ∈ [t1, t2].

После деления на ∆x ∆t и перехода к пределу при ∆x → 0, ∆t → 0, снова
придем к уравнению (1.3).
Если плотность струны постоянна, т. е. ρ(x) = ρ0, то уравнение колебаний струны можно записать в виде

utt = a2uxx + f (x, t),
(1.6)

где a2 = T0/ρ0, f = F/ρ0. Уравнение (1.6) называют одномерным волновым уравнением.
Исходя из законов Гука можно показать, что уравнение вида (1.6)
описывает также малые продольные колебания однородного упругого
стержня.
Аналогично, с помощью 2-го закона Ньютона, выводится уравнение малых поперечных колебаний мембраны. Формально оно получается из (1.6) заменой uxx → uxx + uyy, что приводит к двумерному волновому уравнению

utt = a2(uxx + uyy) + f (x, y, t),
(1.7)

где u = u(x, y, t) — смещение, перпендикулярное плоскости мембраны
(x, y), в момент времени t.
Замечание. Волновые уравнения, в частности, уравнение (1.7), можно получить с помощью вариационных принципов (см. например, Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: ГИФМЛ,
1960. — Гл. III.

1.2.
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ

Процесс распространения тепла в некоторой сплошной среде может быть охарактеризован температурой u(r, t), являющейся функцией радиус-вектора r и времени t. Oбозначим через ρ(r), c(r), k(r) плотность, удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводности соответ

1.2. Уравнения теплопроводности и диффузии
13

ственно. Далее, пусть F(r, t) — интенсивность тепловых источников в
точке r в момент t (количество выделяемого в единице объема в единицу
времени тепла).
Подсчитаем баланс энергии в произвольном объеме V , ограниченном
фиксированной поверхностью S, для двух близких моментов времени t
и t + ∆t. За счет источников тепла в объеме V за время ∆t возникает

Рис. 1.3

количество энергии Q =
V F(r, t) dV ∆t. Эта
энергия частично выходит через поверхность
(обозначим ее через Q1), а остаток ее расходуется на подогрев вещества (соответственно Q2).
Количество тепла, вытекающее через элемент
поверхности dS в единицу времени, согласно
закону Фурье, равно

dQ1
dt = −k u

n dS = −k gradn u dS =

= (−k grad u · dS) = (j · dS),

где j = −k grad u есть вектор плотности потока тепла, n — единичный
вектор внешней нормали, dS = n dS — так называемый вектор ориентированной площади (рис. 1.3).
Следовательно,

Q1 =
S
(j · dS)∆t = −
S
(k grad u · dS)∆t.

На подогрев вещества за время ∆t расходуется количество энергии

Q2 =
V
c
u(r, t + ∆t) − u(r, t)
ρ dV .

По закону сохранения энергии Q = Q1 + Q2, откуда после перехода к
пределу при ∆t → 0 получим
V
F(r, t) dV = −
S
(k grad u · dS) +
V
cρut dV .

Так как согласно теореме Гаусса–Остроградского
S
(k grad u · dS) =
V
div(k grad u) dV ,

то
V

cρut − div(k grad u) − F(r, t)
dV = 0.
(1.8)