Решение задач математического анализа с использованием Matlab

Т.В. Рябикова, Л.Ю. Уразаева 

Решение задач математического анализа с 

использованием Matlab 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2021 

Учебно-методическое пособие

УДК 517 

ББК 22.161.1 

Рябикова Т.В. 

Р98       Решение задач математического анализа с использованием Matlab 

[Электронный ресурс] : учеб.-метод. пособие / Т.В. Рябикова, Л.Ю. Уразаева. 

– М. : ФЛИНТА, 2021. – 108 с.

ISBN 978-5-9765-4583-0 

Учебное 
пособие, 
содержит 
краткие 
систематизированные 

теоретические сведения для компьютерного решения математических задач 

учебного и прикладного характера. Задачи представлены в форме, удобной 

для изучения и усвоения. Практикум предназначен для закрепления 

изученного материала и проверки знаний. Учебно-методическое пособие 

включает в себя задачи для решения на практические занятия и для 

самостоятельной работы студентов по основным разделам математического 

анализа, прикладной математики.  

УДК 517 

ББК 22.161.1 

ISBN 978-5-9765-4583-0 
     © Рябикова Т.В., Уразаева Л.Ю., 2021 

© Издательство «ФЛИНТА», 2021 

Р98       

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………...6

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ И СИМВОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В 
МATLAB……………………………………………………………………………...7

Основные сведения о вычислениях в Мatlab, константы и стандартные 

функции ....................................................................................................7

Построение графиков в Matlab .................................................................8

Векторы и матрицы в Matlab ..................................................................12

Построение поверхностей и линий уровня в Matlab ............................13

Элементы программирования в Matlab .................................................16

Символьные вычисления в Matlab .........................................................17

Задание 1. Вычисления и символьная математика в Matlab ...............24

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ……………………….26

Основные понятия теории множеств. Функция ...................................26

Задание 2. Выполнить операции над множествами с использованием 

Matlab ......................................................................................................33

Элементарные функции. Построение простейших графиков .............33

Задание 3. Выполнить, используя возможности Matlab ......................35

Числовая последовательность ................................................................37

Предел функции .......................................................................................38

Непрерывность функции .........................................................................41

Сложные функции ...................................................................................43

Точки разрыва ..........................................................................................44

Задание 4. Найти пределы и построить графики с использованием 

Matlab ......................................................................................................45

Контрольная работа 1. Введение в математический анализ ...............49 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ 
ПЕРЕМЕННОЙ…………………………………………………………………….51 
Задание 5. Найти производные и решить задачи на касательные к 

графику функции с использованием Matlab .......................................56 

Контрольная работа 2. Дифференциальное исчисление функции одной 

переменной .............................................................................................58 

Контрольная работа 3. Интегральное исчисление функции одной 

переменной .............................................................................................66 

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО 
ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ………………………68 
Раскрытие  неопределенностей по правилу Лопиталя ........................68 

Локальные экстремумы функции ...........................................................69 

Необходимое условие экстремума……………………………………………………………69 
Достаточное  условие экстремума……………………………………………………………69 
Многочлен Тейлора .................................................................................69 

Вычисление площадей плоских фигур ..................................................70 

Вычисление длин плоских кривых ........................................................71 

Вычисление объема тела вращения .......................................................71 

Примеры решения прикладных задач в Matlab ....................................72 

Контрольная работа 4. Приложения дифференциального и 

интегрального исчисления функции одной переменной ..................75 

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО 
ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ....................... 76 
Экстремумы функции двух переменных ...............................................76 

Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции ..........77 

Производная по направлению. Градиент ..............................................78 

Задача о вычислении объема цилиндрического тела ...........................79 

Контрольная работа 5. Приложения дифференциального и 

интегрального исчисления функции нескольких переменных ........89 

Примеры решения в Matlab задач на ряды ............................................97 

Контрольная работа 6. Ряды ................................................................ 103 

ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................. 106 
Основная ................................................................................................ 106 

Дополнительная .................................................................................... 106 

Цифровые ресурсы ................................................................................ 107 

 

 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ  
 
Целью 
пособия 
является 
обеспечение 
методической 
поддержки 

самостоятельного освоения студентами компьютерных технологий для решения 

задач по математическому анализу, в том числе по прикладной математике. 

Предлагаемые 
в 
практикуме 
примеры 
иллюстрируют 
применение 

компьютерных технологий для решения математических задач и акцентируют 

внимание на особенностях применения математического пакета Матлаб. 

Учебно-методическое 
пособие 
позволяет 
эффективно 
организовать 

самостоятельную работу студентов, так как содержит большое количество 

разнообразных задач для решения. 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ И СИМВОЛЬНАЯ 
МАТЕМАТИКА В МATLAB 

 

Основные сведения о вычислениях в Мatlab, константы и 
стандартные функции 
 
Мatlab - широко известный востребованный математический пакет, де
факто основной инструмент для проведения инженерных расчётов. Навык работы 

с Мatlab необходимая компетенция будущего инженера при проведении при 

решении прикладных профессиональных задач. 

В Matlab есть возможность численных и символьных вычислений. В 

некоторых случаях можно обходиться без символьных вычислений, записывая 

выражение по правилам синтаксиса Matlab, и получать численный результат. 

Общение пользователя с системой Matlab происходит посредством окон. 

Окно Command Window является наиболее важным. Посредством этого окна 

вводятся математические выражения, получаются результаты вычислений, а 

также выдаются сообщения, посылаемые системой.  

Математические выражения пишутся в командной строке после знака 

приглашения «>>» (режим калькулятора в Матлаб). Для выполнения действия 

нажимаем клавишу «Enter».  

По умолчанию программа записывает результат в специальную переменную 

ans. Для сохранения результата под другим именем используют имя переменной 

и знак присваивания « = ».  

Редактировать в Command Window можно только текущую командную 

строку. Для того чтобы отредактировать ранее введённую команду, необходимо 

установить курсор в строку ввода и воспользоваться клавишами «↑ » или«↓ ». 

Если команда заканчивается «;», то результат её действия не отображается 

в командной строке. 

Помимо ans в программе имеются следующие специальные переменные: 

pi –  число π; 

i или j –  мнимая единица; 

Inf – бесконечность ∞; 

NaN – неопределенное значение, 

а также встроенные математические функции: 

exp(x) – экспонента числа x; 

log(x) – натуральный логарифм числа x;  

sqrt(x) – квадратный корень из числа x; 

abs(x) – модуль числа x; 

sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) – синус, косинус, тангенс, 

котангенс числа x; 

asin(x), acos(x), atan(x), acot(x) – арксинус, арккосинус, 

арктангенс, арккотангенс числа x; 

sec(x), csc(x) – секанс, косеканс числа x; 

round(x) – округление числа x до ближайшего целого; 

sign(x) – возвращение знака числа x.   

При вычислениях в Matlab удобно создавать m-файлы (скрипты), которые 

можно сохранять, затем вызывать и использовать повторно для дальнейшего 

многократного применения. Путь создание нового m-файла 

 New --> Script --> ScriptCtrl+N. 

Файл должен иметь уникальное имя, записанное латинскими буквами (не 

начинать с цифры), название не должно совпадать со служебными словами. 

Построение графиков в Matlab 
 
Простейший пример вычисления значения функции с помощью скрипта в 

можно реализовать с помощью следующего кода в новом скрипте, сохранив 

скрипт и затем апустив его на выполнение.  

X=5 
Y=X+sin(X) 
Код скрипта для реализации простейшего примера построения графика 

функции y=x+sinx. Особенность компьютерных программ состоит в том, что им 

требуется указать отрезок, на котором следует построить график функции, и шаг с 

которым будет изменяться аргумент функции на этом отрезке. 

clear all 
clc 
X=1:0.5:15; 
plot(X,X+sin(X),’*’) 
Результат работы программы (Рис.1): 

 

0
5
10
15

0

2

4

6

8

10

12

14

16

 

Рис. 1. График функции 
sin
y
x
x
=
+
 

График выводится в отдельном окне. Здесь первые две команды 

используются для очистки значений всех переменных из памяти (clear all), 

вторая команда (clc) для очистки окна вывода от предыдущих результатов. 

Аргумент изменяется от 1 до 15 с шагом 0,5.  

Команда plot служит для вывода графика, график выводится с помощью 

символов «звездочка». 

Далее код для простого примера построения двух графиков (Рис.2). 

X=1:0.1:2 
plot(X, sin(X),’*’) 
hold on 
plot(X, cos(X),’*’) 
grid 
xlabel(’x’) 
ylabel(’y’) 
title(’graph’) 
 

Каждый раз, при выполнении команды построения графика, программа 

Matlab стирает старый чертеж и рисует новый. Если нужно произвести наложение 

двух или более чертежей, следует использовать команду hold on. 

Эта команда дает программе Matlab инструкцию - сохранять старые 

изображения и рисовать любые новые изображения поверх старых. Эта 

инструкция будет выполняться до тех пор, пока вы не введете команду hold 

off. 

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2

x

-0.5

0

0.5

1

y

graph

 

Рис. 2. Графики двух функций в одних осях 

 

Команд grid задает построение сетки с параметрами по умолчанию, для 

задания своих параметров сетки их нужно прописать. Следующие команды 

позволяют подписать оси и вывести заголовок: xlabel(’x’), ylabel(’y’), 

title(’graph’). Отдельные блоки m-файла можно снабжать комментариями, 

которые начинаются со знака процента %. 

Иногда вместо уравнения линии 
)
(x
F
y =
, связывающего прямоугольные 

координаты x  и y , рассматривают параметрические уравнения линии (уравнения 

траектории). Они представляют собой выражение текущих координат в виде 

функций от некоторой переменной величины t  (параметра): 

( )
x
t
= ϕ
, 
( )
y
t
= ψ
, 
( , )
t
a b
∈
. 

Принцип построения графика функции, заданной параметрически, покажем 

на примере (Рис.3): 

sin(2 )
x
t
=
, 
cos(3 )
y
t
=
, 
[0,2 ]
t ∈
π . 

t=0:pi/100:2*pi; %создание массива t с приращением pi/100 
plot(sin(2*t),cos(3*t)) %построение графиков функций sin(2*t) и 
sin(2*t) 
grid %нанесение сетки 

-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

 
Рис. 3. График функции, заданной параметрически 

 

Функция polar предназначена для построения линии в полярных 

координатах ( , )
ρ ϕ . Ниже приведен код для построения кардиоиды 
5(1
cos )
ρ =
+
ϕ  

Результат представлен на Рис.4. 

phi =0:pi/100:2*pi; 
ro = 5*(1+cos(phi)); 
polar(phi,ro) 
title('Кардиоида') 

Кардиоида

  2

  4

  6

  8

  10

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180
0

 
Рис. 4. График функции в полярных координатах 

Векторы и матрицы в Matlab 
 

При численных вычислениях программа рассматривает все переменные как 

векторы. Вектор в Matlab формируется с помощью квадратных скобок [ ]. 

 При этом элементы вектора - столбца разделяют точкой с запятой «;», а 

элементы вектора – строки разделяют пробелом « » или запятой « , ».  

 Матрицу можно вводить как вектор-столбец, состоящий из двух элементов, 

каждый из которых является вектор - строкой и отделяется точкой с запятой. Для 

транспонирования вектора или матрицы применяют апостроф «’ ». 

Над матрицами и векторами можно выполнять математические операции. 

Для нахождения суммы и разности массивов используются знаки «+» и «–». Для 

умножения согласованных матриц используется знак «*». Этот же знак 

используется для произведения матрицы на число, как справа, так и слева.  

Операции «. *», «.^», « ./ » приводят к поэлементному умножению, 

поэлементному возведению в степень, поэлементному делению двух векторов или 

матриц. 

Разделить элементы массива на число можно при помощи знака « / ».  

Деление числа на каждый элемент массива, осуществляется с помощью операции 

« ./ ».  

Основные функции для работы с векторами. 

• 
length(x) – определение длины вектора x; 

• 
prod(x)   – перемножение всех элементов вектора x; 

• 
sum(x)   – суммирование всех элементов вектора x; 

• 
max(x) (min(x)) – нахождение максимального (минимального) элемента 

вектора x. 

Если вызвать функцию min или max с двумя выходными аргументами [m, 

k] = min(x), то первой переменной присваивается значение минимального 

(максимального элемента), а второй переменной присваивается номер этого 

элемента. 

 Некоторые функции для работы с матрицами: 

• 
size(M) определяет размер матрицы M; 

• 
sum(M) суммирует элементы матрицы M в столбцах;   

• 
max(M) (min(M)) формирует вектор – строку, содержащую максимальные 

(минимальные) элементы в столбцах матрицы M; 

• 
 [i, j] = find(M) – возвращает индексы строк и столбцов нулевых 

элементов матрицы M; в качестве аргумента может выступать некоторое 

условие: find(условие). 

Операторы отношения производят   поэлементное   сравнение двух матриц 

и возвращают матрицу той же размерности с элементами 1, где отношение 

истинно и 0, где отношение ложно: 

      <   –  меньше чем  ( <=  означает "меньше или равно"); 

      >   –  больше чем ( >=  означает "больше или равно"). 

Массивы могут быть аргументами встроенных функций, и чтобы быть 

уверенным, что в качестве аргумента функции может выступать вектор, 

необходимо ставить точки перед математическими операциями ^,  *, /. 

 

Построение поверхностей и линий уровня в Matlab 
 
В Matlab можно строить поверхности и линии уровня для функций двух 

переменный. Рассмотрим пример построения функции двух переменных, 

заданной 
уравнением 
)
1(
)
1()
5.1
cos(
)
2
sin(
4
)
,
(
2
y
y
x
y
x
y
x
z
−
−
=
π
π
 
 
в 
диапазоне 

изменения аргументов 
]1
,0
[
],
1
;1
[
∈
−
∈
y
x
(Рис.5). 

Для построения поверхности необходимо:  

1. разбить область равномерной сеткой и создать матрицы с координатами узлов 

сетки с помощью команды meshgrid;  

2. вычислить значения функции z  в узлах сетки и записать полученные значения 

в матрицу; 

3. использовать одну из графических функций Matlab: mesh или surf; 

4. нанести на график дополнительную информацию.  

[X,Y] = meshgrid(-1:0.05:1,0:0.05:1);