Высшая математика. Дифференциальные уравнения

Национальный исследовательский университет МЭИ 
 
Московский государственный университет  
имени М.В. Ломоносова 
 
 
 
А.А. Туганбаев 
 
 
 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 
Дифференциальные уравнения 
 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2021 

УДК 517.9(076.2) 
ББК 22.161.1я73 
  Т81 

     Высшая математика. Дифференциальные уравнения 
[Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — Москва : 
ФЛИНТА, 2021. — 152 с.  

ISBN 978-5-9765-4519-9 

Книга соответствует программам курсов высшей мате
матики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, 
решебника и сборника контрольных заданий по важнейшему 
разделу высшей математики: дифференциальные уравнения. 

Для студентов и преподавателей нематематических фа
культетов высших учебных заведений. 
УДК 517.9(076.2) 
ББК 22.161.1я73 

ISBN 978-5-9765-4519-9 
© Туганбаев А.А., 2021 
© Издательство «ФЛИНТА», 2021 

Туганбаев А.А.

  Т81 

Оглавление 

 

Введение ......................................................................................... 5 
 
I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ...................................... 7 
1. Общие сведения об уравнениях первого порядка .................. 7 
2. Уравнения с разделяющимися переменными ........................ 13 
3. Сведение к уравнениям  
с разделяющимися переменными ................................................ 20 
4. Линейные уравнения первого порядка  
и уравнения Бернулли ................................................................... 25 
5. Полные дифференциалы и интегрирующие множители ....... 30 
 
II. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ..................................... 36 
6. Общие сведения об уравнениях второго порядка .................. 36 
7. Уравнения второго порядка,  
допускающие понижение порядка .............................................. 40 
8. Общие сведения о линейных уравнениях  
второго порядка ............................................................................. 45 
9. Линейные однородные уравнения второго порядка  
с постоянными коэффициентами ................................................ 58 
10. Уравнения y’’ + py’ + qy = f(x), где f(x) –  
квазимногочлен и p, q, y  R ........................................................ 62 
11. Уравнения Эйлера второго порядка ...................................... 68 
 
III. УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА n ≥ 3. СИСТЕМЫ.  
УСТОЙЧИВОСТЬ ........................................................................ 72 
12. Общие сведения об уравнениях порядка n ≥ 3 .................... 72 
13. Линейные уравнения произвольного порядка ..................... 78 
14. Линейные уравнения порядка n  
с постоянными коэффициентами ................................................ 83 
15. Системы уравнений ................................................................ 92 
16. Устойчивость решений ......................................................... 102 

IV. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД  
И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ................................................. 110 
17. Операционный метод решения  
дифференциальных уравнений .................................................. 110 
18. Контрольные задания ............................................................ 133 
19. Справочный материал ........................................................... 146 
 
 

M m Ox !F(t, x, x′
t)
mx′′tt = F(t, x, x′
t)x(t) " #M tmx′′tt = F(t, x, x′
t) $%#& (a, b)
%[a, b][a, b)(a, b]& F(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 n $#n
(a, b) %[a, b]& y = f(x)F(x, y(x), y′(x), . . . , y(n)(x)) = 0 x ∈ (a, b)' y = f(x)#(!y = ϕ(x) F(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0
)y = C/xC ∈ R!y′ = −y/x*y = C/x y′ = (C/x)′ = −C/x2 y′ = −y/x −C/x2 = −(C/x)/x+C ̸= 0 )$#y = C/xC = 0 y = 0,

dy

dx = xdy = xdx∫ dy = ∫ xdxy = x2/2 + C !"#
$#
$$#
$n
%n #
"""&y =
ϕ(x, C1, . . . , Cn)&'%""('%"#
) '%n %#
%"#
%n ""#
"&Φ(x, C1, . . . , Cn) = 0*+ #
*"+%#
'%*+ *+
""",#
'" "'%*#
"""+ #
""

 y′ = f(x, y)y′x y = y(x) !" M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0#f(x, y) = −M(x, y)

N(x, y) $#%&!'

F(x, y, y′) = 0 #(

y′ = f(x, y) "(

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 )y′ = f(x, y) !D ) (x; y)) !#f(x, y)*y = y(x) y′ =
f(x, y) (a, b)(x; y(x)) ∈ D )
x ∈ (a, b)y = y(x) (a, b) y′ = f(x, y(x)) ) x ∈ (a, b)" (a, b) ![a, b] ) (a, b] [a, b)]+,,a = −∞ b = +∞+y = x2 y′ = 2√y ![0, +∞)

dy

dx = f(x, y) (∗) y′y = y(x) (∗)(x; y(x))  !""f(x, y(x)) = C#$D
{1; f(x, y)}. %!$!(∗)&$!$!!(∗)' $D (!γ(x; y) !) f(x, y) = C = const*!!(∗)+f(x, y) = C !!(x; y)
! !!(∗){1; } = {1; f(x, y)}%() !$({1; }, $,(x0; y0) ∈ D- f(x, y) = C {1; }. %$$$!(∗)%y′ = −y/x$!!) !)◁ .y′ = −y/xy = −Cx/$! ! C1 = −1C2 = −2C3 = 2C4 = 1C5 = 1/2C6 = −1/2/! y = −Cx C1 = −1 y = x)($0*−1y′ = c1 = −11

Ox 3π/4C2 = −2 y = 2x−2y = −2x C3 = 2! y = −x C4 = 1! y = −x/2
C5 = 1/2! y = x/2 C6 = −1/2"##$! $!
%& '$y = C/x▷

y′ = f(x, y)( y′ = f(x, y) $! )y′! $)y = y(x) ! y(x0) = y0* (x0; y0) ! +

y(x0) = y0 y′ = f(x, y)(x0; y0)f(x, y) f ′
y(x, y) !! D"(x0; y0) ∈ D (x0 − h, x0 + h)#$ $%y = y(x) dy

dx = f(x, y)$y(x0) = y0&$#$(x0; y0) dy

dx = f(x, y)(x0; y0)'$$%y = y(x)
%$(x0 − h, x0 + h) x0$ $! $!!!$ $%(%$)y′ = f(x, y) !%y = y(x) (%$$ y(x0) = y0y′ = f(x, y) !%F(x, y) = 0%#y′ = f(x, y) D′)D ⊆ Oxy y′ = f(x, y) !%y = F(x, C)!*+

CC y = F(x, C) y′ = f(x, y) (a, b)
(x, F(x, C)) ∈ D′ (F(x, C))′
x(x, C) = f(x, y(x, C)) x ∈ (a, b) (x0; y0) ∈ D′

C0 Cy = F(x, C0) y′ =
f(x, y) !y(x0) = y0"!#
C ln |C| − ln |C|!!$C $#
!!y′ = f(x, y) D′ ⊆
D !F(x, y, C) = 0#
%C D y′ = f(x, y)&$x = ψ(y)F(x(y), y, C) = 0'!!!$!! $(%!#
)y′ = f(x, y) !$y = y(x)%(x0; y(x0))
$y = y(x) ! $*$#
*$y = y(x)'y′ = −y/xM0(1; 2)◁ +*$y =

,,

−C/x
C

y = −C/x
y′ = −y/x

x0 = 1
y0 = 2
C = −2

y = 2/x ▷

y = (x+C)3/27

y′ = y2/3
y = 0

x ̸= 0

◁
y = (x + C)3/27

y′ = y2/3
y′ = (x + C)2/9

y′ = y2/3
y′ = (x + C)2/9

y = (x + C)3/27

C
(x + C)2/9 = (x + C)2/9

y = (x + C)3/27

y = 0
x ̸= 0

y′ = y2/3

y = 0

y = (x + C)3/27
y = 0

y = 0
C