Элементарная математика: стереометрия

О.В. Шабашова

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ 
МАТЕМАТИКА: 
СТЕРЕОМЕТРИЯ 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2020

Учебно-методическое пособие 

2-е издание, стереотипное

УДК 22.151.0 
ББК 514

Ш12 

Научный редактор: 

Уткина Т.И., доктор педагогических наук,  
профессор кафедры математики, информатики и физики 
Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ 

Рецензенты: 

Голунова А.А., кандидат педагогических наук, доцент кафедры  
математики, информатики и физики  
Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ; 
Пергунов В.В., кандидат физико-математических наук,  
доцент кафедры прикладной информатики и математики  
Орского филиала АОЧУ ВО  
«Московский финансово-юридический университет МФЮА» 

Шабашова О.В. 
Элементарная математика: стереометрия [Электронный ресурс]: 
учеб.-метод. пособие / О.В. Шабашова ; науч. ред. Т.И. Уткина. – 2-е 
изд., стер. –  Москва : ФЛИНТА, 2020. – 118 с.  

ISBN 978-5-9765-4426-0 

Решение стереометрических задач является одним из слабых мест в профессиональной подготовке будущего учителя математики. Цель настоящего пособия – оказать помощь студентам в развитии умения решать типовые задачи школьного курса 
геометрии. Наличие теоретического материала, раскрывающего разнообразие методов решения стереометрических задач, и большого числа разобранных примеров даст 
возможность использовать это пособие не только студентам, но и учителям. 

 ISBN 978-5-9765-4426-0      
© Шабашова О.В., 2020  
© Издательство «ФЛИНТА», 2020

Ш12

УДК 22.151.0 
ББК 514

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ……………………………………………………............. 4 
1 Изображение геометрических фигур. Сечения 
многогранников……………………………………………………. 6 

1.1 Роль изображений пространственных фигур в учебном 

процессе …………………………………………………………….. 6 

1.2 Общие сведения о построении изображений 

пространственных фигур …………………………………………... 7 

1.3 Обучение изображению пространственных фигур ……… 12 
1.4 Методы построения сечений многогранников …..……… 
18 

2 Методы нахождения расстояний в пространстве ….….......... 28 

2.1 Расстояние от точки до прямой …………………………... 28 
2.2 Расстояние от точки до плоскости ……………………….. 30 
2.3 Расстояние между скрещивающимися прямыми ………... 38 

3 Методы нахождения углов в пространстве ..………………… 43 

3.1 Угол между скрещивающимися прямыми ………………. 43 
3.2 Угол между прямой и плоскостью ……………………….. 52 
3.3 Угол между плоскостями …………………………………. 57 
3.4 Площади сечений многогранников ………………………. 66 

4 Задания к практическим занятиям …………........................... 74 
5 Материалы для диагностики качества подготовки  
студентов по разделу «Стереометрия» …………………………. 91 
Библиографический список ……………………………………... 112 
Приложение 1. Теоретические основы метода координат …....... 113 
Приложение 2. Основные утверждения геометрии прямых и 
плоскостей ………………………………………………………….. 
116 

ВВЕДЕНИЕ 

Решение задач является одним из важнейших элементов подготовки будущего учителя математики, который должен уметь решать 
задачи школьного курса различной трудности, четко и грамотно излагать решение задач устно и в письменной форме, анализировать ошибочные решения, обучать решению задач, творчески владеть материалом школьного курса.  
Для приобретения этих навыков необходимо, чтобы каждый 
студент систематически самостоятельно решал задачи школьного 
курса математики. Настоящее пособие предназначено для организации и управления учебной деятельностью студентов по самостоятельному решению задач под руководством преподавателя. 
Пособие охватывает второй раздел программы дисциплины 
«Элементарная математика» и посвящено стереометрии.  
В первых трех разделах пособия представлен курс лекций по основным методам решения стереометрических задач. В лекциях рассматриваются особенности каждого из методов решения, выделяются 
их теоретические основы, даются некоторые общие указания и рекомендации (эвристики) по поиску решения задач тем или иным методом, приводится достаточное количество примеров, призванных показать планомерный процесс решения задачи.  
В четвёртом разделе предложены задания для практических занятий. Перечень задач предваряется контрольными вопросами по 
теоретическим основам решения задач данной тематики. В некоторых 
темах присутствуют упражнения пропедевтического характера.  
В заключительном разделе представлены материалы для диагностики качества подготовки студентов по разделу «Стереометрия» 
дисциплины «Элементарная математика». Они представлены тематическими контрольными заданиями и вопросами для итоговой аттестации по дисциплине «Элементарная математика». 

В приложении 1 рассматриваются основные положения метода 
координат, в приложении 2 – базовые утверждения геометрии прямых и плоскостей.  
Учебно-методическое пособие адресовано студентам бакалавриата математических и физико-математических специальностей, обучающимся по направлению «Педагогическое образование», а также 
учащимся и учителям математики школ, лицеев, гимназий, колледжей, преподавателям педвузов. 

1 ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.  
СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ  
 
1.1 Роль изображений пространственных фигур  
в учебном процессе 
 
Учителю математики приходится сопровождать изложение курса геометрии чертежами. Изображение геометрической фигуры представляет трудности как внешнего характера – технические, так и по 
существу, в связи с содержанием рассматриваемого геометрического 
вопроса. 
По своему назначению чертеж может играть двоякую роль: сопровождать теоретический вопрос курса (определение, аксиому, теорему) или иллюстрировать условие задачи. 
При составлении чертежа для первой из указанных целей нужно 
иметь в виду, что всякая аксиома, определение, теорема представляют собой предложение, имеющее обобщающий характер. Поэтому 
фигуры должны подбираться так, чтобы они представляли наиболее 
общий вид фигур рассматриваемого рода. 
При решении задач к чертежу следует предъявлять противоположные требования: он должен возможно более соответствовать тому 
частному случаю, который рассматривается в задаче.  
Приемы построения планиметрических чертежей обычно не вызывают затруднений, так как все свойства плоской фигуры, расположенной в плоскости чертежа, сохраняются и правильность изображения зависит от тщательности его выполнения. Иначе обстоит дело с 
плоскими изображениями пространственных объектов. Понимание 
стереометрических чертежей трудно дается учащимся в силу их 
условности: на чертеже искажаются величины углов, длины отрезков, 
пересекаются линии, в действительности не имеющие общих точек. 
Многие учащиеся долгое время не могут преодолеть эти трудности и 
ограничиваются лишь механическим воспроизведением по учебнику 
или с классной доски наиболее распространенных фигур. Но они 

остаются беспомощными при необходимости изобразить на чертеже 
условие какой-либо новой задачи. 
В связи с этим преподаватель с первых уроков изучения геометрии должен попутно с изображением фигур сообщать учащимся элементы графической грамотности и строго следить за технической 
доброкачественностью своих чертежей. 
Наглядные изображения пространственных фигур играют определенную роль в педагогическом процессе: 
а) облегчают понимание учащимися рассуждений и выводов 
преподавателя; 
б) вызывают у учащихся пространственное представление изучаемых соотношений и придают им конкретную геометрическую 
форму; 
в) верный чертеж помогает найти правильное решение задачи. 
 
1.2 Общие сведения о построении изображений  
пространственных фигур 
 
В планиметрии изображением фигуры Ф0, называемой оригиналом, считается любая фигура Ф, подобная фигуре Ф0. 
Так, если фигура Ф0 – это прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 и 30, то её изображением можно считать любой такой прямоугольный треугольник, отношение катетов которого равно 
5:30, например прямоугольный треугольник с катетами 1 и 6. 
 Сложнее обстоит дело с изображением фигур в стереометрии. В 
начертательной геометрии детально разработаны различные методы 
построения изображений, и в частности методы параллельного проектирования. Однако в школьном курсе геометрии выполнение чертежей в какой-либо определенной проекции ни в коей мере не оправдано, и оказывается вполне целесообразным выполнять построение 
изображений пространственных фигур в так называемой произвольной параллельной проекции. Произвольность при этом состоит в том, 
что положение оригинала относительно плоскости, на которую осу

ществляется проектирование, и направление проектирования   на   эту 
плоскость остаются неопределенными. 
Возможность применения такого способа построения проекционного изображения следует из теоремы Польке – Шварца, в соответствии с которой любой плоский четырехугольник ABCD вместе с его 
диагоналями может быть принят за параллельную проекцию тетраэдра, подобного тетраэдру ����0����0����0����0 произвольной формы. 
Проекционное изображение фигуры Ф0 можно получить не 
непосредственным проектированием фигуры Ф0, а выполняя построения в строгом соответствии с законами параллельного проектирования, то есть сохраняя аффинные свойства оригинала. 
Напомним некоторые из аффинных свойств (то есть свойств, сохраняющихся при параллельном проектировании): 
1) свойство фигуры быть точкой, прямой, плоскостью; 
2) свойство фигур иметь пересечение; 
3) деление отрезка в данном отношении; 
4) свойство прямых (плоскостей, прямой и плоскости) быть параллельными; 
5) свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, 
трапецией; 
6) отношение длин параллельных отрезков; 
7) отношение площадей двух фигур. 
По изображению, построенному в соответствии только с законами параллельного проектирования, форму оригинала восстановить, 
разумеется, нельзя. Однако в школьном курсе геометрии это делать и 
не требуется.  
При изложении теоретического материала школьного курса 
геометрии и решении различных задач обычно в целях наглядности 
это изложение (или решение) сопровождается проекционным чертежом (изображением). К изображениям пространственных фигур, 
применяемых в процессе преподавания стереометрии в средней школе, предъявляются такие требования: 

1) изображение должно быть верным, то есть оно должно представлять собой фигуру, подобную произвольной параллельной проекции оригинала; 
2) изображение должно быть по возможности наглядным, то 
есть должно вызывать пространственное представление об оригинале 
(для достижения, например, большей наглядности изображения так 
называемые невидимые линии изображают пунктиром);  
3) изображение должно быть легко выполнимым, то есть правила построения должны быть максимально простыми. 
Необходимо четко различать понятие верного и понятие наглядного изображения. Верность изображения является строго определяемым математическим понятием. Чтобы изображение было верным, 
достаточно строить его в соответствии с законами параллельного 
проектирования. Понятие наглядности относится к субъективным, 
так как оно связано с индивидуальным восприятием изображаемой 
фигуры. 
Так, все представленные на рисунках 1 (а-в) изображения – это 
верные изображения правильной четырехугольной пирамиды. Однако наглядным нам представляется лишь изображение, показанное на 
рисунке 1б.  
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

     Рис. 1 а
        Рис. 1 б
Рис. 1 в

 
Если изображение содержит ошибки, то его нельзя считать 
наглядным, так как оно вызывает неправильное представление об 
оригинале. Так, на рисунке 2 показано неверное изображение усеченной пирамиды (боковые ребра при своем продолжении пересекаются 
в разных точках), а на рисунке 3 – неверное изображение конуса, 

вписанного в сферу (конус и сфера изображены в различных проекциях: конус в произвольной параллельной проекции, а сфера – в ортогональной).  

 

 
          
 
 

 
 

 

 
 
 
 

Рис. 2 
Рис. 3

 
Последнее требование – простоты выполняемых построений – 
является специфическим. Именно оно резко выделяет задачу педагогических изображений среди других задач начертательной геометрии. 
Если преподаватель сопровождает изложение темы чертежом, то 
он не может при выполнении чертежа производить какие-либо другие 
построения, кроме тех, которые вызываются ходом рассуждения. К 
тому же эти построения должны следовать в том порядке, в котором 
происходит изложение темы. В этом и заключается трудность выполнения изображений на уроке. 
В зависимости от цели используются изображения следующих 
видов: иллюстративные, полные, метрически определенные. 
Изображение фигуры Ф0 называется полным, если каждая точка А0, принадлежащая фигуре Ф0, является заданной на проекционном чертеже. 
Параллельные проекции любой призмы и любой пирамиды являются полными изображениями. 
Если изображение фигуры является полным, то на нем разрешима любая позиционная задача, то есть задача о построении пересечения элементов фигуры. 
Неполные изображения, или иллюстративные, используются в 
практике преподавания при изучении первых разделов стереометрии. 
При этом основными считают следующие построения: 

− построение плоскости, проходящей через три точки; 
− построение линии пересечения двух плоскостей; 
− все известные построения на плоскости. 
С понятием верного изображения связано понятие его метрической определенности. Изображение фигуры Ф0 называется метрически определенным, если по нему можно восстановить фигуру Ф0 с 
точностью до подобия. 
Полное изображение в общем случае еще не является метрически определенным, но, сопровождая изображение указанием некоторых метрических зависимостей, присущих оригиналу этого изображения, можно сделать его метрически определенным. Так, если указать, что призма, изображенная на рисунке, правильная, то ее изображение еще не будет метрически определенным. Если же дополнительно указать, что боковое ребро призмы равно стороне основания, 
то метрическая определенность изображения будет обеспечена.  
Изображение, сопровождаемое условиями, позволяющими восстановить оригинал с точностью до подобия, называют условным. 
Условные изображения используются на уроках стереометрии в 
старших классах. Эти условия (их обычно записывают в краткой записи данных к теореме или задаче) весьма разнообразны. 
В процессе решения стереометрической задачи приходится выполнять различные дополнительные построения на имеющемся изображении. Например, строить угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, линейный угол двугранного 
угла и т. д. При этом важно понимать, что на полном и метрически 
определенном чертеже произвола построений быть не может, они 
должны выполняться в соответствии с построениями, проводимыми в 
пространстве на оригинале. 
Особо следует выделить проблему изображения перпендикулярных прямых и плоскостей. В общем случае, перпендикуляр, проведенный в пространстве из данной точки к данной прямой, на рисунке изображается прямой, не перпендикулярной изображению данной прямой. Если нужно правильно показать на рисунке такой пер