Математика для юристов

А.В. Крахин

МАТЕМАТИКА
ДЛЯ
ЮРИСТОВ

Учебное пособие

2-е издание, исправленное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2020

УДК 51-027.22:34(075.8)
ББК 22.18+67я73

К78

Р е ц е н з е н т ы:

И.К. Лифанов, заслуженный деятель науки и техники России,

д-р физ.-мат. наук, проф. (Военно-воздушная

инженерная академия им. проф. Н.Е. Жуковского);

С.И. Цветков, д-р юрид. наук, проф.

(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова)

К78

ISBN 978-5-89349-799-1

Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Госу
дарственного стандарта высшего профессионального образования (Государственные требования к минимуму содержания и уровню подготовки
выпускника по специальности 030501 — Юриспруденция и 030505 —
Правоохранительная деятельность). Изложенные математические понятия
подобраны и раскрыты с точки зрения их приложения к юридической деятельности.

Для студентов вузов юридического профиля.

ISBN 978-5-89349-799-1
c⃝ Крахин А.В., 2005

УДК 51-027.22:34(075.8)
ББК 22.18+67я73

Крахин А.В. 
    Математика для юристов [Электронный ресурс] : учеб. пособие / 
А.В. Крахин. — 2-е изд., испр. — М. : ФЛИНТА, 2020. — 198 с.

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Введение. Общее представление о математике.
Математика и право . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Глава I. Основные понятия теории множеств. Элементы
комбинаторики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 1. Понятие множества. Операции над множествами
. . . . .
13
§ 2. Разбиение множества на классы. Мощность множества . .
16
§ 3. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 4. Отображение множеств. Общее понятие функции . . . . . 25

Глава II. Основы математических знаний . . . . . . . . . . . . . 29
§ 1. Понятие, виды и способы задания функции
. . . . . . . . 29
§ 2. Предел и непрерывность функции. Понятие производной
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 3. Исследование функций с помощью производной . . . . . .
41
§ 4. Понятие первообразной и неопределенного интеграла . . . 47
§ 5. Основные правила, формулы и методы интегрирования . . 49
§ 6. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§ 7. Понятие дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . 55
§ 8. Элементарные методы интегрирования
дифференциальных уравнений первого порядка . . . . . . 57
§ 9. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . .
61

Глава III. Элементы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . 66
§ 1. Понятие случайного события. Вероятность события . . . . 66
§ 2. Методы определения вероятности события . . . . . . . . . 69
§ 3. Понятие случайной величины. Закон распределения
случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
§ 4. Непрерывные функции распределения . . . . . . . . . . . . 85

Глава IV. Основные понятия и методы математической
статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 1. Задачи математической статистики
. . . . . . . . . . . . . 92
§ 2. Выборочный метод исследования. Основные понятия
теории выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§ 3. Первичная обработка результатов наблюдений . . . . . .
100
§ 4. Математические методы обработки статистических данных. Статистическая оценка параметров распределения . . 102

Оглавление

Глава V. Методы статистического анализа социально-правовых
явлений и процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§ 1. Понятия о методах статистического анализа. Факторный
анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§ 2. Корреляционный анализ. Регрессионный анализ . . . . . . 117

Глава VI. Математические и методические основы
моделирования социально-правовых процессов . . . . 129
§ 1. Понятие системы. Системный подход . . . . . . . . . . . . 129
§ 2. Понятие модели и моделирования . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 3. Виды моделирования в уголовно-правовой сфере
деятельности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 4. Математическое моделирование социально-правовых
объектов (процессов)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§ 5. Этапы разработки модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 6. Моделирование в уголовном процессе . . . . . . . . . . . . 143

Глава VII. Анализ и прогнозирование социально-правовых
процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
§ 1. Анализ социально-правовых процессов . . . . . . . . . . . 152
§ 2. Логико-математические основы анализа при
расследовании преступлений . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
§ 3. Прогнозирование социально-правовых процессов . . . . . . 161

Глава VIII. Принятие решений. Исследование операций . . . . 171
§ 1. Процесс принятия решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 2. Общие принципы исследования операций . . . . . . . . . . 172
§ 3. Модели исследования операций
. . . . . . . . . . . . . . . 175
§ 4. Линейное программирование: формулировка задачи и ее
графическое решение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 5. Определение транспортной модели линейного
программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
§ 6. Динамическое программирование (общее представление) . 186
§ 7. Математическая теория игр. Принятие решения
в условиях неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Предисловие

Не так важно приобрести знания, как способности мышления.
М. Лауэ

В настоящее время в учебных планах юридических вузов предусмотрено изучение курса информатики и математики. Данная дисциплина наряду с повышением общего культурного уровня обучаемых
призвана сформировать «технологические» основы для успешного освоения юридических дисциплин в части, касающейся использования современных информационных технологий и математического аппарата
в соответствующей отрасли права или профессиональной деятельности. Несомненно, математика имеет определенное (но не определяющее) мировоззренческое значение, но для юристов она в большей мере
служит инструментом анализа, организации, управления. Это должно
быть одновременно и отправной точкой и конечной целью изучения курса математики в вузе юридического профиля. Исходя из этого в ряде
случаев автор пожертвовал «чистотой математических знаний» в интересах установления связей с юридическими дисциплинами: уголовным
правом, криминалистикой, криминологией и др. Но это разумные компромиссы — не следует увлекаться исключительно профессиональной
подготовкой. Главная задача высшего образования — научить думать.
Предлагаемое учебное пособие акцентирует внимание на прикладном аспекте математики, ориентировано в первую очередь на возможность применения математических знаний в юридической деятельности. Книга состоит из восьми глав и введения. В первой главе рассматриваются основы теории множеств и элементы комбинаторики. Основные понятия математического анализа, интегрального и дифференциального исчислений, излагаются во второй главе. Третья и четвертая
главы раскрывают понятия и методы теории вероятностей и математической статистики, последующие три главы исследуют социальноправовые процессы и явления, рассматривают вопросы анализа, моделирования и прогнозирования объектов социально-правовой природы.
Заключительная глава посвящена введению в исследование операций
в контексте принятия решений. Учебный материал структурирован с
учетом принципа целостности, составляющие его главы имеют как промежуточную обратную связь, так и связь по конечному результату.

Предисловие

В конце каждой главы помещены: схема ключевых понятий, тестовые
вопросы для самопроверки и список литературы.
Настоящее учебное пособие предполагает рассмотрение в основном понятийного математического аппарата по разделам, представленным на схеме, и возможностей его применения для анализа объектов
социально-правовой природы, а также решения задач, стоящих перед
правоохранительными органами в уголовно-правовой сфере деятельности.

Предисловие
7

Формализованное описание
объектов и задач криминалистического
исследования (баллистическая экспертиза,
автотехническая экпертиза)

Теоретико-множественный подход
в уголовном праве

Оптимизация решений задач
организационного управления

Логико-математические основы выдвижения
 и доказывания следственных версий

Решение задач идентификации
в экспертной деятельности

Количественное описание объектов
криминологического исследования,
анализ динамики и структуры преступности

Методы
теории
множеств

Методы
математического
анализа

Методы
исследования
операций

Методы
теории
вероятностей

Методы
математической
статистики

Математические методы в уголовно-правовой
сфере деятельности

Введение
ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О МАТЕМАТИКЕ.
МАТЕМАТИКА И ПРАВО

В основе объективных законов реального мира лежат два фундаментальных принципа: качественный — принцип гармонии и количественный — принцип симметрии. Оба воплощают в природе и обществе идею порядка. Философия рассматривает математику в качестве
одного из важных инструментов научного и практического познания
количественной и структурной стороны объективной реальности.
Математика зарождалась как наука о числах и фигурах в интересах описания и даже предсказания законов природы. Построение
здания будущей науки математики осуществлялось аксиоматическим
способом — в качестве его фундамента закладывали аксиомы и изначально неопределимые понятия (точка, прямая, плоскость — в геометрии Евклида; множество — в теории множеств Кантора) так, чтобы их
следствия, сформулированные в виде теорем, согласовывались с реальным опытом. Философская проблема отношения математики и реальности — действительность создает математику (Дени Дидро) или математика творит реальность (Пифагор, Платон) — была решена исходя из
практического опыта. В определении Ф. Энгельса «чистая математика
имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Именно поэтому первоначально была
отвергнута «воображаемая» геометрия Лобачевского, теоремы которой
не согласовывались с чувственным опытом.
По мере развития математика перешагнула рамки своего первоначального (на этапе становления) предмета исследования. Чистая математика стала фундаментальной, в состав которой вошли такие разделы, как математической анализ, линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, функциональный анализ и др.
Наряду с фундаментальной, в качестве ее приложения для решения
прикладных задач, появилась прикладная математика — теория вероятностей, математическая статистика, исследование операций и другие
новые разделы математической науки.
В настоящее время на вопрос, что такое математика, невозможно
дать состоятельный ответ лишь на основе философских обобщений.

Введение. Общее представление о математике. Математика и право
9

Для понимания сути науки математики необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы. Отправным пунктом в развитии
теории вероятностей как науки «математики случайного» явились задачи, связанные с азартными играми. В своем сочинении «О расчетах в
азартных играх» Гюйгенс, в частности, писал, что в них закладываются
основы очень интересной и глубокой теории.
Сейчас, пожалуй, нет области знаний, в которой не использовались
бы методы теории вероятностей. На основе этих методов появились
новые науки, отпочковавшиеся от теории вероятностей: теория информации, теория надежности, планирование эксперимента и др. Теория
вероятностей послужила математической основой для относительно молодой науки кибернетики. В свою очередь, развитие кибернетических
идей способствовало росту прикладного значения теории вероятностей.
Существует определенная аналогия между математикой и правом,
заключающаяся в том, что они отражают (описывают) объективную
реальность с помощью специального языка понятий и категорий. Язык
математики — это особый язык науки. В отличие от юридического,
который в основном классифицирует предметы и поэтому является
языком качественным, язык математики прежде всего количественный.
Иными словами, математика есть язык порядка, о чем говорил «отец»
кибернетики Норберт Винер, подчеркивая, что высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в окружающем нас хаосе.

Особенности математического языка

Логическая обоснованность
(отношение логического
следования)

Применение символических
средств (чисел, формул,
графиков и др.)

Формальный характер
(общность и абстрактность
понятий)

Отражение количественных
и структурных
характеристик

Схема 1

Особенностью математических конструкций является их формальный характер, стройность и логическая обоснованность (схема 1). Внут

Введение. Общее представление о математике. Математика и право

ренний порядок устанавливается особым образом — с помощью отношения логического следования. При взаимодействии математики с той
или иной юридической наукой язык последней, а точнее, отдельные его
элементы, ассимилируются с языком взаимодействующей с ней математической науки.
Широкому
внедрению
математических
методов
в
социальноправовые исследования способствовало появление персональных компьютеров (ПЭВМ). Специальные программные пакеты сделали математические методы более доступными и наглядными: теперь уже не
требуется вручную выполнять трудоемкие расчеты по сложным формулам, строить графики — всю эту черновую работу взял на себя компьютер, а человеку остаются постановка задач, выбор методов их решения
и интерпретация результатов.
Современные ПЭВМ предоставляют огромные возможности в области компьютерного моделирования для осмысления действительности
и изучения сложных процессов и явлений, прежде всего социальных.
Исторически возникли и самостоятельно развились два направления,
две основные ветви в моделировании: математическое и мысленнообразное. У каждого свой язык, свои методы, своя сфера приложения.
Математическое направление касается прежде всего сферы технических наук. Именно в рамках этого направления моделирование стали
ассоциировать с научным методом познания. Мысленно-образное направление развивается в основном в сфере гуманитарных исследований,
искусства. В настоящее время на базе новых информационных технологий идет объединение (синтез) этих двух направлений (что особенно
заметно в индустрии развлечений). Компьютерная модель, например в
виде компьютерного тренажера, реализует сложную динамическую последовательность многомерных образов со сложными ассоциативными
взаимосвязями.
Применение математических моделей и методов в социально-правовом исследовании связано с методологией системного подхода. Расширяя рамки чисто качественного подхода правовых наук, математика
способствует формированию мышления юриста на ином содержательном уровне, а именно уровне системы знаний и владения приемами
логико-математического абстрагирования, методами анализа и синтеза
при решении сложных юридических вопросов.
На сегодняшний день во многих сферах юридической деятельности
используется достаточно серьезный математический аппарат. В частности, трудно представить себе криминологию без использования аппарата математической статистики, криминалистику — без теории вероят

Введение. Общее представление о математике. Математика и право
11

ностей. Большинство задач, которые решают эксперты-криминалисты,
содержат элементы неопределенности. Объясняется это тем, что процессы формирования объектов криминалистической экспертизы протекают под влиянием множества факторов. В каждом конкретном случае
их комбинации и степень воздействия различны. Поэтому признаки
объектов, возникающие под влиянием совокупности факторов, не поддаются однозначной оценке и приобретают вероятностный характер.
Теория вероятностей и математическая статистика позволяют выявлять
закономерности на фоне случайностей, делать обоснованные выводы и
прогнозы.
Вероятностный, математико-статистический (в диалоге с компьютером) анализы объектов социально-правовой природы с целью принятия
решений требуют определенных навыков алгоритмизации (схема 2).
Слово «алгоритм» появилось как результат латинской транскрипции имени великого ученого IX в. Аль Хорезми, который сформулировал общие правила (алгоритмы) выполнения арифметических операций
над десятичными числами. До него вычисления были своего рода искусством, которым владели лишь мудрецы.

Алгоритмические основы принятия решений

Алгоритмы сравнения
информационных
комплексов

Алгоритмы
обоснования выводов

Алгоритмы выделения
информации

Алгоритмы преобразования
(обработки) выделенной
информации

Схема 2

В последние годы этот термин стал настолько употребляемым, что
уже не требует особых пояснений. Обусловлено это тем, что практически в любой сфере деятельности человек так или иначе реализует
алгоритмы. Это относится и к деятельности по расследованию преступлений. Однако сущность алгоритмов, применяемых при расследовании преступлений, и их особенность состоят в том, что каждый из
них в той или иной степени «ослаблен» (по сравнению с классически

Введение. Общее представление о математике. Математика и право

ми алгоритмами, используемыми в математике и технической кибернетике). Именно это и обеспечивает возможность их использования
в условиях, когда исходные данные недостаточно определены, а субъект деятельности оперирует признаками объектов познания, не всегда
поддающимися количественному измерению. Математику не следует
рассматривать только как вычислительный аппарат, она способствует
уточнению, совершенствованию и развитию системы представлений и
понятий во многих областях знаний. Структурно-математическая характеристика понятийного аппарата любой науки служит индикатором
ее зрелости, критерием научной красоты, суть которого — «единство в
многообразии».