Дифференциальная геометрия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Ю. В. Нагребецкая, О. Е. Перминова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ

Практикум

2-е издание, стереотипное

Москва
      Екатеринбург

Издательство «ФЛИНТА»
 Издательство Уральского университета

2019
     2019

УДК 514.7(076.5)
ББК  22.151я73

 Н16

В практикум включены краткие теоретические сведения по 
основам дифференциальной геометрии, задания для самостоятельного выполнения и примеры решения типовых задач.

Для студентов и преподавателей математических специальностей
и направлений.

ISBN 978-5-9765-4173-3 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-2649-5 (Изд-во Урал. ун-та)

Н16

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра физико-математических дисциплин
Российского государственного
профессионально-педагогического университета
(заведующий кафедрой кандидат физико-математических наук, 
доцент С. В. Анахов);
Л. Д. Сон, доктор физико-математических наук, профессор
(Уральский государственный педагогический университет)

Н а у ч н ы й р е д а к т о р:
доктор физико-математических наук, профессор М. В. Волков

Нагребецкая Ю. В.
Дифференциальная 
геометрия 
[Электронный 
ресурс] 
: 
практикум / Ю. В. Нагребецкая, О. Е. Перминова ; науч. ред. 
М. В. Волков. – 2-е изд., стер. – М. : ФЛИНТА ; 
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. – 72 с.

УДК 514.7(076.5)
ББК  22.151я73

ISBN 978-5-9765-4173-3 (ФЛИНТА)
© Уральский федеральный

университет, 2017

ISBN 978-5-7996-2649-5 (Изд-во Урал. ун-та)             © Нагребецкая Ю. В.,

Перминова О. Е., 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

От авторов .................................................................................................... 4

1. Аффинные евклидовы пространства ..................................................... 8

2. Гладкие линии на плоскости .................................................................. 18

3. Кривые на плоскости ............................................................................. 26

4. Кривые в пространстве ......................................................................... 37

5. Внутренняя геометрия поверхностей .................................................. 45

6. Внешняя геометрия гиперповерхностей .............................................. 58

Библиографические ссылки ...................................................................... 71

ОТ АВТОРОВ

Практикум «Дифференциальная геометрия» предназначен

для освоения дисциплины «Основы дифференциальной геометрии и топологии» студентами Института естественных наук и математики Уральского федерального университета, обучающимися
по направлениям «Математика», «Механика и математическое моделирование», «Математика и компьютерные науки». В рамках
указанных направлений дисциплина «Основы дифференциальной
геометрии и топологии» систематически излагается в обязательном лекционном курсе. Овладение лекционным материалом требует от студента знаний и умений, приобретенных в ходе предшествующего изучения дисциплин «Аналитическая геометрия»,
«Линейная алгебра», «Математический анализ» и «Дифференциальные уравнения». Кроме лекций рабочая программа курса предполагает проведение практических занятий, в том числе выполнение аудиторных и домашних контрольных работ. Соответственно
возникает необходимость в учебно-методическом пособии, в котором, во-первых, содержались бы краткие положения теории, во-вторых, были бы приведены решения типовых задач, а в-третьих,
имелся бы набор заданий по основным темам курса. Все эти задачи и решает данный практикум.

Состоит практикум из 6 глав, охватывающих основные раз
делы курса: аффинные евклидовы пространства, гладкие линии
на плоскости, кривые на плоскости, кривые в пространстве, внутренняя геометрия поверхностей, внешняя геометрия гиперповерхностей. При этом теория кривых и поверхностей излагается в пространствах произвольной размерности.

В начале каждой главы приводятся необходимые теоретичес
кие сведения: определения основных математических понятий, утверждения и теоремы (без доказательства), а также формулы, применяющиеся при решении помещенных далее задач. Для более

детального ознакомления с теоретическим материалом рекомендуем обратиться к учебному пособию С. В. Сизого «Лекции по дифференциальной геометрии» [3]. Все используемые в практикуме обозначения соответствуют обозначениям, принятым в «Лекциях...».

За теоретическими сведениями следует типовая задача с под
робным ее решением, для наглядности сопровождающимся иллюстрациями, а за ней – 25 вариантов заданий, причем сложные
задания снабжены указаниями к их решению. Задания нумеруются в пределах главы. На задания, требующие численного ответа
или ответа в виде уравнения или формулы, в конце глав приводятся ответы. При подборе заданий авторы частично использовали
хорошо себя зарекомендовавший сборник задач [2]. Кроме задач
из этого сборника и авторских задач в комплект индивидуальных
заданий входят задачи из работ [1] и [3].

Поскольку рабочей программой курса «Основы дифферен
циальной геометрии и топологии» предусмотрены три домашние
контрольные работы, данный практикум может быть использован
преподавателями для их составления. Каждая контрольная рассчитана на 25 индивидуальных вариантов, по две задачи в каждом.
Формировать домашние контрольные работы рекомендуется следующим образом:

– контрольная работа № 1 составляется из задач главы 1 и главы 2;
– контрольная работа № 2 – из задач главы 3 и главы 4;
– контрольная работа № 3 – из задач главы 5 и главы 6.
При этом порядковый номер задачи из каждой главы должен

соответствовать порядковому номеру фамилии студента в «Журнале студентов».

Домашние контрольные работы целесообразно предлагать

студентам после прохождения ими на лекциях и на практических
занятиях тем курса, соответствующих теме контрольной работы.
За каждую контрольную работу студент получает баллы по балльнорейтинговой системе УрФУ согласно технологической карте курса.

Перед тем как приступить к домашней контрольной работе,

студентам следует ознакомиться с теоретическим материалом и разобраться с решением типовых задач, данных в практикуме по указанным в работе темам.

При выполнении домашней контрольной работы студенту не
обходимо руководствоваться изложенными ниже требованиями.

1. Контрольную работу следует выполнять на отдельных лис
тах, листы должны быть скреплены. В начале первого листа обязательно указываются фамилия и инициалы студента, номер группы, номер варианта и номер контрольной работы.

2. Перед решением задачи желательно привести ее условие.
3. Решение задачи нужно сопровождать формулами, ссылками

на соответствующие утверждения и теоремы, развернутыми расчетами и пояснениями к ним, для наглядности – иллюстрациями.

4. Если задача требует численного ответа или ответа в виде

формулы, в конце задачи записывается ответ. Ответ должен быть
сверен с ответом к соответствующему заданию в практикуме.

Задачи, помещенные в практикуме, дополняют и расширяют

перечень задач учебного пособия [3], используемого в качестве задачника на практических занятиях по дифференциальной геометрии для студентов Института естественных наук и математики.
Кроме того, эти задачи могут выдаваться студентам на практических занятиях в качестве домашних заданий с целью получения дополнительных баллов по балльно-рейтинговой системе УрФУ, а также включаться в комплект аудиторных контрольных работ. Теоретический материал может быть также использован при составлении
заданий для мини-контролей на лекциях.

* * *

Мы выражаем искреннюю признательность нашему коллеге

Сергею Викторовичу Сизому, профессору кафедры алгебры и фундаментальной информатики, за блестящие лекции и практические
занятия по дифференциальной геометрии, которые сделали наше
знакомство с этой непростой дисциплиной ярким и увлекательным.
Сергей Викторович также оказал ценную поддержку и помощь
во всех вопросах, возникавших у нас по методике преподавания
дифференциальной геометрии.

Благодарим научного редактора М. В. Волкова, рецензентов

С. В. Анахова и Л. Д. Сона, чьи предложения и советы несомненно
улучшили разработанное нами пособие.

Отдельное спасибо редактору Е. И. Маркиной за полезные за
мечания и доработку рукописи в ходе ее подготовки к печати.

Надеемся, что данный практикум будет способствовать более

глубокому изучению студентами дисциплины «Основы дифференциальной геометрии и топологии», поскольку именно самостоятельное решение задач и получение практических навыков ведут
к пониманию и скорейшему усвоению трудного теоретического
материала.

1. АФФИННЫЕ ЕВКЛИДОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

Пусть 

,
, 



V V
 – конечномерное евклидово аффинное про
странство, где V – множество «точек», 


V  – множество векторов,

«+» – операция откладывания вектора от точки. Отображение
A : V  V называется  а ф ф и н н ы м  о п е р а т о р о м,  если
существует такой линейный оператор A :






V
V , что для любой

точки  р V и вектора x
V





 выполняется равенствоо

 
 
A(
)
A
A
.
p
x
p
x





 

Обычно считают, что операторA



обратим. Пусть 

1
,
, ...,




n
O b
b
 –

некоторый репер аффинного пространства 

,
, 



V V
. Обозначим

через x
 
 


 столбец координат вектора x
V





в базисе е 


1,...,





n
b
b
b
,

через A







 – матрицу оператора A



 в этом базисе и через [p] – коор
динаты точки p в репере 

1
,
, ...,




n
O b
b
, т. е. координаты вектора





Op
p
O  в базисе b. Тогда для любой точки qV  выполняется

равенство 
 


 
0
A
A



 








q
q
q , где q0 = A (O).

Утверждение. Любой аффинный оператор плоскости перево
дит прямую в прямую, касательную в касательную, сохраняет параллельность прямых и отношение отрезков.

Теорема об изометрии. Отображение А конечномерного евк
лидова аффинного пространства в себя является изометрией тогда
и только тогда, когда отображение А является аффинным оператором и соответствующий линейный оператор A



является ортого
нальным.

Задача 1. Пусть точки P1, P2, P3 лежат по одной на каждой

стороне (или на продолжении сторон) некоторого треугольника,
а точки P1  , P2  , P3  получены отражением точек P1, P2, P3 относительно середин сторон этого треугольника. Тогда точки P1, P2, P3 лежат
на одной прямой тогда и только тогда, когда точки P1 , P2 , P3  лежат
на одной прямой.

Решение. Докажем сначала, что существует аффинный опе
ратор плоскости, переводящий произвольный треугольник OAB
в прямоугольный равнобедренный треугольник OAB с единичными катетами. Пусть 

1
2
,
,
 
O е е
– стандартный репер. Обозначим

через 
1 


с
OA, 
2 


с
OВ, и пусть A= О + 
1
е , В= О + 
2
е  (рис. 1).

Рис. 1



O
A

B

B

А

  a

b

c1

 c2

e1

e2

Рассмотрим линейный оператор A



 векторов плоскости, переводя
щий базис 

1
2
,
 
е е
 в базис 

1
2
,
 
с с . Если ОА
a




, ОB
b




, АОВ
ОВ = ,

то матрица оператора A



в базисе 

1
2
,
 
е е  равна 
cos

0
sin




   

 





a
b
A
b
.

Очевидно, A



 – обратимый оператор. Линейный оператор 

1

B
A







переводит базис 

1
2
,
 
с с  в базис 

1
2
,
 
е е
.

Рассмотрим аффинный оператор  
 
B
В



 
x
O
х , где 





x
Ox.

Очевидно, В(О) = О,  


 
 
1
1
1
B
B
B
B











A
O
с
O
с
О
е
А, ана
логично В(В) = В. Таким образом, аффинный оператор В перево

дит треугольник ОАВ в треугольник ОАВ. Обратный аффинный
оператор А переводит треугольник ОАВ в треугольник ОАВ.

Поскольку аффинный оператор сохраняет параллельность пря
мых и отношение отрезков и переводит прямую в прямую, теперь
исходную задачу достаточно решить для треугольника ОАВ.

Введем прямоугольную систему координат хОу, как показано

на рис. 2. Пусть 
1

1
0, 2


 





P
, 
2

1
1
β,
β
2
2










P
, 
3

1
γ, 0
2









P
, где 
де ,

,  – произвольные числа. Тогда 
1

1
0, 2



 





P
, 
2

1
1
,
2
2











P
,

3

1
, 0
2




 





P
.  Далее 1
2

1
,
2




  






PP
, 
1
3

1
1
,
2
2




   






PP
, 
1
2
  


P P

1
,
2




  



 , 
1
3

1
1
,
2
2



 
    






P P
.

Точки P1, P2, P3 лежат на одной прямой тогда и только тогда,

когда векторы 
1
2


Р Р  и 
1
3


Р Р коллинеарны, т. е. 1/ 2
1/ 2

1/ 2

 
 



 

1
4
     
.

Рис. 2

O

 P1

P2

P3

P1

P2

P3















x

 y
1

1

1
2

1
2

Аналогично точки P1, P2, P3 лежат на одной прямой тогда

и только тогда, когда векторы 
1
2




P P  и 
1
3
 


P P  коллинеарны, т. е.

1
4
     
. Таким образом, точки P1, P2, P3 лежат на одной

прямой тогда и только тогда, когда точки P1, P2, P3  лежат на одной
прямой.

Задания

1. Вписанный эллипс касается параллельных сторон AB и CD

четырехугольника ABCD в точках P и Q. Докажите, что | PB | = | QC |,
если эллипс касается стороны BC в ее середине.

Указание. Введите аффинный оператор, который переводит

эллипс в окружность.

2. Пусть ABC – треугольник, BD – медиана треугольника ABC,

а X, Y и Z – три точки на отрезке BC такие, что | BX | = | XY | =
= | YZ | = | ZC |. Пусть прямая AX пересекает BD в точке P. С помощью аффинной геометрии докажите, что | AP | / | AX | = 4/5.

Указание. Введите аффинный оператор, который переводит

треугольник ABC в равнобедренный прямоугольный треугольник
ABC (А– прямой), и решите задачу для треугольника ABC.

3. Эллипс вписан в четырехугольник так, что касается всех че
тырех его сторон в серединах. Докажите, что четырехугольник является параллелограммом.

Указание. Введите аффинный оператор, который переводит

эллипс в окружность.

4. Аффинный оператор 
0
( )
А( )
A x
p
х



  , р0 = А(О), 

 
x
O
х

пространства 
3
  переводит точки A(–1, 0, 1), B(2, 1, –1), C(1, 1, 1),

D(0, 1, –1) в точки A(1, 2, 3), B(–1, –2, 1), C(0, 1, 0), D(–1, 0, 0)

соответственно. Найдите координаты точки p0 и матрицу A







 опе
ратора A



 в стандартном базисе.

5. В аффинном пространстве даны четыре различные точки A,

B, C, D. Точки K, L, M, N делят отрезки AB, BC, CD, DA в одина