Интерактивная стохастика

С.В. Щербатых, И.В. Китаева, К.Г. Лыкова, 
О.Ю. Мелякова, А.Ю. Рогачѐва 

ИНТЕРАКТИВНАЯ 
СТОХАСТИКА 

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2019

УДК 372.851
ББК 22.1 

Щ 61

Рецензенты: 

О.В. Тарасова, доктор педагогических наук, заведующий кафедрой 
геометрии и методики преподавания математики Орловского
государственного университета им. И.С. Тургенева;  

О.Н. Масина, доктор физико-математических наук, заведующий 
кафедрой математического моделирования и компьютерных технологий Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина 

Щербатых С.В.
Интерактивная стохастика [Электронный ресурс] : учеб. 
пособие / С.В. Щербатых, И.В. Китаева, К.Г. Лыкова, О.Ю. Мелякова, 
А.Ю. Рогачёва. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 141 с.

ISBN 978-5-9765-4135-1

Предложенный в пособии материал подкрепляет школьный курс 
математики. Отличительной особенностью пособия является применение инфокоммуникационных технологий при изложении основных вопросов стохастики и решении задач. 

Книга предназначена школьникам общеобразовательных школ, 

лицеев, гимназий и т.д., учителям математики, преподавателям методики математики педагогических вузов, а также студентам нематематических специальностей вузов, знакомящихся со стохастическими закономерностями. 

УДК 372.851 
ББК 22.1 

ISBN  978-5-9765-4135-1
© Щербатых С.В. и др., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

 Щ 61 

ВВЕДЕНИЕ 

Наука, изучающая случайные явления (стохастика), в последнее 
время превратилась в одну из самых быстро развивающихся математических наук. Новые теоретические результаты открывают возможности для 
естественнонаучного и практического использования методов стохастики. 
Более тонкое, более детальное изучение явлений природы, а также производственных, технических, экономических и иных процессов толкает в то 
же время стохастику на разыскание новых методов, закономерностей, которые порождаются случаем. 
Владение азами комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики позволяет на содержательных (как в математическом, так 
и прикладном отношениях) примерах изучить различные процессы, показать известную универсальность математических методов, продемонстрировать основные этапы решения прикладных задач средствами математики.  

В учебном пособии приведѐн теоретический материал изучаемых 

тем, снабжѐнный большим количеством решѐнных задач. Большинство 
задач являются авторским, а часть заимствована из пособий Е.А. Бунимовича и В.А. Булычѐва, Д.И. Золоторевской и других. Каждая тема заканчивается вопросами для самоконтроля. Затем предлагаются задачи для самостоятельного решения (большинство из них взяты из биологии, литературы, психологии, сельского хозяйства, физики, химии, экономики и т.д.). 

Книга завершается приложениями, представленными основными ве
роятностно-статистическими таблицами, списком использованной литературы. Отличительной особенностью данного пособия является применение 
инфокоммуникационных технологий при изложении основных вопросов 
стохастики и решении задач. 

Книга предназначена школьникам общеобразовательных школ, ли
цеев, гимназий и т.д., учителям математики, преподавателям методики математики педагогических вузов, а также студентам нематематических специальностей вузов, знакомящихся со стохастическими закономерностями. 

ТЕМА I. ЭЛЕМЕНТЫ ОПИСАТЕЛЬНОЙ 

СТАТИСТИКИ 

 

1.1. Выборки, основы выборочного метода 

 
Наблюдения над любыми объектами проводятся по тем или иным 

признакам, т.е. таким характерным особенностям, по которым можно отличить одну единицу наблюдения от другой, сравнивать их между собой.  

Пример 1. Так, если исследователя интересует, например, содер
жание зѐрен в колосьях пшеницы или какой-нибудь другой культуры, то 
последняя и будет объектом наблюдения, а признаком – количество зѐрен 
в колосьях, которые рассматриваются как единицы наблюдения, составляя в массе статистическую совокупность, подвергаемую изучению. 

Все рассматриваемые признаки варьируют, т.е. изменяются от 

случая к случаю в определенных пределах. Не надо обладать исключительной наблюдательностью для того, чтобы в массе однородных объектов 
видеть более или менее заметные индивидуальные различия в стандартности, величине, окраске, поведении и других признаках и свойствах.  

Измеряя содержание жира в молоке, подсчитывая число зерен или 

колосков в колосьях, взвешивая детенышей одного и того же помета, – во 
всех таких и подобных случаях величина каждого признака будет колебаться в некоторых границах от одной единицы наблюдения к другой.  

Определение 1. Колебания величины одного и того же признака, наблюдаемые в общей массе его числовых значений, называются вариациями, а отдельные числовые значения варьирующего признака принято называть вариантами (от латинского varians, variantis – различимый, изменяющийся). 
Все признаки варьируют, но не все поддаются непосредственному 

измерению. Отсюда следует их деление: 

 

признаки

качественные
количественные

Качественные признаки не поддаются непосредственному измере
нию и учитываются по наличию их у элементов данной совокупности.  

Пример 2. Если имеется партия деталей, то качественным при
знаком может служить стандартность детали, а количественным – 
контролируемый размер детали. 

В популяциях растений можно подсчитать число экземпляров с 

разной окраской цветков – белой, розовой, фиолетовой, голубой и т.п. В 
массе животных нетрудно отличить и учесть количество особей разного пола или разной масти. Количественные признаки, такие, например, 
как размер и масса колосьев, количество содержащихся в них зерѐн 
или колосков, урожай той или иной культуры с единицы земельной 
площади, мясная и молочная продуктивность животных, яйценоскость 
и т.п., можно непосредственно измерить или сосчитать.  

Деление признаков на качественные и количественные условно: в 

каждом качестве можно обнаружить множество количественных градаций, например в окраске листьев и цветков (по количеству содержащегося 
в них пигмента), равно как и совокупность числовых значений количественных признаков можно подразделить на качественно обособленные 
группы, например, на хороших, посредственных и плохих или высоких, 
низких и средних и т. д. 

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов отно
сительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.  

Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каж
дый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно. Препятствовать сплошному обследованию может 
большое число объектов, недоступность их.  

Пример 3. Если, например, нужно знать среднюю глубину воронки 

при взрыве снаряда из опытной партии, то, производя сплошное обследование, мы уничтожим всю партию. Нельзя обследовать все произведѐнные лампочки на длительность их работы, или все банки с консервами, произведѐнными на данном заводе и т.д. 

Если обследование объекта связано с его уничтожением или тре
бует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследова

ние практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают 
их изучению. И здесь мы приходим к понятию выборки. 

Определение 2. Выборочной совокупностью или просто выборкой 
называют совокупность случайно отобранных объектов. 
Определение 3. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. 
Пример 4. В научной лаборатории в 100 колбах проводится реакция 

омыления жиров – генеральная совокупность, причѐм в некоторых из них 
реакция прошла успешно. Эксперт для установления качества получившегося продукта случайным образом отбирает и исследует содержимое 7 
колб – выборка. 

Определение 4. Число объектов генеральной совокупности и выборки называют соответственно объѐмом генеральной совокупности и объѐмом выборки и обозначается: N и n. 
Пример 5. 120 плодов одного растения обследуют на наличие специ
фического для данного сорта вкуса. Для этого отбирают 20 плодов. Тогда 
120

N
 – объѐм генеральной совокупности, а 
20

n
 – объѐм выборки. 

Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойст
ва объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть представительной или репрезентативной (от латинского represento – представляю). Считается, что выборка репрезентативна, если все 
объекты генеральной совокупности имеют одинаковые шансы попасть в 
выборку, т.е. выбор производится случайно.  

Пример 6. Для того чтобы оценить стандартность произведѐн
ных в цехе изделий, необходимо сделать выборку из генеральной совокупности и исследовать их характеристики (размер, форму и т.д.). Если вся 
выборка будет сделана с одного станка, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных изделий со случайно выбранных станков. 

Статистические данные в «сыром» виде представляют, как правило, 

беспорядочную массу материала. Поэтому первой задачей анализа является такая группировка данных, при помощи которой можно было бы 
оценить их значение в связи с поставленной задачей, облегчить сравнение 

с другими данными того же рода и получить возможность дальнейшего 
анализа. Прежде чем результаты наблюдений будут подвергнуты дальнейшему анализу и обобщению, позволяющим делать из них выводы, им 
должна быть придана определенная форма и ясная структура. 

Первым этапом предварительного анализа данных является их 

ранжирование. 

Определение 5. Ряд называется ранжированным, если все его 
значения расположены в порядке возрастания (от французского 
ranger – выстраивать в ряд по ранжиру, т.е. по росту). 
После операции ранжирования опытные данные можно сгруп
пировать так, чтобы в каждой группе признак принимал одно и то же 
значение, которое, как было замечено ранее, называется вариантом и 
обозначается: 
ix . 

Определение 6. Число элементов в каждой группе называется 
частотой варианта или весом варианта и обозначается: 
in . 

Замечание. Следует отметить, что общая сумма частот всегда 

равна объѐму данной совокупности: 
n
n
n
n
k 



...
2
1
. 

Пример 7. Из урожая картофеля, собранного на одной из опыт
ных делянок, случайным способом, т.е. наугад, было отобрано 25 клубней, в которых подсчитывалось число глазков. Результат оказался следующий: 6, 9, 5, 10, 7, 9, 8, 10, 9, 10, 8, 11, 9, 12, 9, 10, 8, 10, 11, 9, 10, 9, 8, 7, 
11. Чтобы разобраться в этих данных, расположим их в порядке возрастания числовых значений признака, т.е. ранжируем таким образом, 
чтобы подсчитать, сколько раз каждая варианта (
ix ) встречается в 

данной совокупности, получим ряд: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 
9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12. 

Так как признак варьирует в пределах от 5 до 12 единиц, выборка 

распределяется следующим образом: 

ix
5
6
7
8
9
10
11
12

in
1
1
2
4
7
6
3
1

Рассмотренный в примере двойной ряд чисел, показывающий, ка
ким образом числовые значения признака (
ix ) связаны с их повторяемо

стью (
in ) в данной совокупности, называется вариационным или рядом 

распределения.  

Частоты выражаются не только абсолютными, но и относительны
ми числами – в долях единицы от общей численности вариант, составляющих данную совокупность. В таких случаях веса называют относительными частотами или частостями, которые находятся по формуле:  

n
n
w
i

i 
. 

Замечание. 
Общая 
сумма 
частостей 
равна 
единице: 

1
...
2
1




k
w
w
w
. 

Замена частот частостями не обязательна, но иногда она бывает 

полезной и даже необходимой, так как облегчает сопоставление одного 
вариационного ряда с другим, что особенно важно в тех случаях, когда 
сопоставляемые ряды различаются по численности составляющих их вариант. 

Если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значе
ния встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот 
становятся излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных 
строят интервальный ряд.  

Существует способ, который позволяет в каждом конкретном слу
чае определить то оптимальное число классов (h ), на которое следует 
разбить вариацию признака, чтобы получился хорошо обозримый вариационный ряд. Приблизительно это число ( h ) определяется с помощью 
следующей таблицы (*): 

Объѐм выборки (от-до)
Число классов

25-40
5-6

40-60
6-8

60-100
7-10

100-200
8-12

более 200
10-15

Определив, на какое число групп будут разбиваться все данные, 

ширину 
интервала 
группирования 
находят 
из 
соотношения 

h

x
x
min
max 


, где   – ширина интервала, 
max
x
 и 
min
x
 – соответственно 

максимальное и минимальное измеренные значения. 

За начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное 

или ближайшее к нему целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал, 
или выраженное в долях отношение этого числа к общей численности 
совокупности. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу. 

Следует иметь в виду, что чем однороднее материал, тем число 

интервалов выбирается большим и наоборот. 

Определив число и ширину интервала, приступают к заполнению 

таблицы распределения численностей, т.е. определяют, какое число экспериментальных значений попадает в каждый класс-интервал.  

Пример 8. Пусть на партии из 50 электроламп изучали продолжи
тельность их горения (в часах). По результатам составили такую таблицу, являющуюся примером интервального вариационного ряда: 

Продолжительность горения, ч
Частота
Частость

До 200
1
1/50

200-400
3
3/50

400-600
5
1/10

600-800
9
9/50

800-1000
16
8/25

1000-1200
9
9/50

1200-1400
5
1/10

1400-1600
2
1/25

 

Пример 9. Компьютерные технологии помогают современным 
людям в вычислении величин. Рассмотрим пример 8 с использованием электронной таблицы (ЭТ)(Популярная версия - M.Excel
или другое программное обеспечение). Заполним столбцы А и В 
исходными данными, а для подсчета частности в ячейку С2 

вставим формулу =$B2/50 и копируем еѐ в другие ячейки столбца. Программа сама вычислит частности относительно данных 
частот.

 

 

1.2. Представление данных (диаграммы, гистограммы) 

 
Таблицы распределения численностей позволяют исследователю 

представить экспериментальный материал в упорядоченном виде и 
служат исходным пунктом для дальнейшего анализа. Фактически в 
этих таблицах сконцентрирована вся информация о характере экспериментальных данных. 

Учитывая, однако, что человек лучше ориентируется в графически 

представленных данных, чем в цифрах, желательно таблицы распределения частот (частостей) изображать графически.  

Замечание. Графически можно изображать распределение и каче
ственных признаков. 

Одним из хорошо известных вам способов наглядного представле
ния ряда данных является построение столбчатой диаграммы. 

Столбчатые диаграммы используются тогда, когда хотят проиллю
стрировать динамику изменения данных во времени или распределение 
данных, полученных в результате статистического исследования. 

Если в ходе статистического исследования проведена группировка 

одинаковых данных и для каждой группы указана соответствующая частота (или относительная частота), то каждая группа изображается на 
столбчатой диаграмме прямоугольником, высота которого при выбранном 
масштабе равна соответствующей частоте (или относительной частоте).