Математика. Ч. I

И.А. Елецких, Т.М. Сафронова, 
Н.В. Черноусова  

МАТЕМАТИКА 

(ЧАСТЬ I) 

Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому  
и техническому образованию в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки:  
44.03.01 – «Педагогическое образование»  
(Профиль подготовки: «Начальное образование») 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2019

3-е издание, стереотипное

УДК 51 
ББК 22.1 
Е 50 

Рецензенты: 
доктор педагогических наук, профессор 
(Орловский государственный университет) О.В. Тарасова;
кандидат педагогических наук, доцент 
(Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина) Г.А. Симоновская

Елецких И.А.
Математика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / И.А. Елецких, 
Т.М. Сафронова, Н.В. Черноусова. Ч. I.  — 3-е изд., стер. — М. : 
ФЛИНТА, 2019. — 205 с.

ISBN 978-5-9765-4109-2 (ч. I) 
ISBN 978-5-9765-4108-5(общий)

Учебное 
пособие 
«Математика» 
написано 
в 
соответствии 
с 
федеральным государственным образовательным стандартом  высшего 
профессионального 
образования 
по 
направлению 
подготовки 
«Педагогическое 
образование» 
(профиль 
подготовки 
– 
 
Начальное 
образование,  квалификация выпускника – бакалавр) и нацелено на решение 
задачи обеспечения будущего учителя начальных классов математической 
подготовкой, необходимой ему для грамотного, творческого обучения и 
воспитания  младших школьников,  для дальнейшей работы по углублению и 
расширению математических знаний. 
Пособие содержит теоретический материал, изложение которого 
сопровождается разбором типовых примеров (задач). Завершается каждый 
параграф списком заданий для самостоятельной работы. Кроме того, в 
пособии имеются образцы контрольных работ по темам.  

УДК 51 
ББК 22.1 

© Елецких И.А., Сафронова Т.М., 
    Черноусова Н.В., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

ISBN 978-5-9765-4109-2 (ч. I) 
ISBN 978-5-9765-4108-5(общий)

Е 50 

Предисловие 

Современный учитель начальных классов поставлен перед выбором собственной методики обучения, направленной на всестороннее развитие личности младшего школьника средствами предмета. 
Учитывая, что в настоящее время в начальной школе используются 
как традиционные, так и вариативные учебники математики, от учителя требуется не только методическое мастерство, но и глубокое понимание сути математических понятий и фактов. Прежде всего, необходимо знание научных основ начального курса математики: различных подходов к определению понятия натурального числа, понятия 
величины и её измерения, понятия функции и функциональной зависимости между величинами, знание алгебры и геометрии. 
Учебное пособие «Математика» написано в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом  высшего 
профессионального образования по направлению подготовки  «Педагогическое образование» (профиль подготовки –  Начальное образование, квалификация выпускника – бакалавр) и нацелено на решение 
задачи обеспечения будущего учителя начальных классов математической подготовкой, необходимой ему для грамотного, творческого 
обучения и воспитания  младших школьников, для дальнейшей работы по углублению и расширению математических знаний.   
Модернизация высшего образования предполагает использование компетентностного подхода. В совокупности с другими дисциплинами базовой и вариативной частей ФГОС ВПО дисциплина «Математика» направлена на формирование общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций бакалавра педагогического образования. 
Высшая школа должна формировать целостную систему универсальных знаний, умений и навыков, а также опыт самостоятельной 
деятельности и личной ответственности студентов, то есть ключевые 
компетенции, определяющие современное качество содержания образования. Данное пособие предназначено для студентов очного и заочного отделений университетов. Его цель организовать самостоятельную работу при изучении теоретического курса математики и осуществить контроль за качеством усвоения основных вопросов. Задачи 
учебного пособия: изложение системы знаний по темам учебной дисциплины; раскрытие содержания курса в форме, удобной для изучения и усвоения; управление познавательной деятельностью студентов. 
Структура пособия такова: теоретический материал разбит на 
темы, темы – на параграфы. В содержании каждого параграфа студентам предоставляется: структурированный теоретический материал, 
образцы записи доказательств теорем. Изложение теоретического ма
3 

териала сопровождается разбором типовых примеров (задач), которые 
раскрывают суть рассматриваемого материала. Завершается каждый 
параграф списком заданий для самостоятельной работы, предназначенных как для более глубокого усвоения теории, так и для формирования у будущего учителя ряда профессиональных умений, а также 
позволяющих проверить уровень усвоения изучаемого материала. 
Кроме того, в пособии имеются образцы контрольных работ по темам.  
При  разработке пособия использованы материалы авторов 
прошлых лет и современности (Н.Я. Виленкин, Л.П. Стойлова, 
А.П. Пышкало, Н.Н. Лаврова, А.П. Тонких и др.). Часть задач составлена авторами пособия, другая часть взята из известных задачников, 
справочников и учебных пособий. 

Отличие пособия от ранее изданных состоит в том, что в нем 

учтены преподавание дисциплины в рамках классического университета и разнообразие методических подходов в современных учебниках 
математики для начальной школы. 

Материал пособия может быть использован при подготовке к 
практическим занятиям, написанию курсовых работ, промежуточной 
и государственной итоговой аттестации. 
Работа с данным пособием позволит преподавателям осуществлять уровневую дифференциацию обучения, сокращать время на развитие у студентов практических навыков, включать студентов в активную учебную деятельность и повышать ее мотивацию. 

4 

ТЕМА 1. 
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И 
 МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ЛОГИКИ 

§1. Понятие высказывания. Простые и составные высказывания 

Определение.  Под высказыванием понимают всякое утверждение, 
о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или 
ложно. 

Примерами высказываний могут служить следующие утверждения: 
1) Москва – столица России;
2) Число 221 – простое;
3) 13 < 17.
Утверждения 1 и 3 истинны, а утверждение 2 ложно, так как 
221=13 · 17.  
Таким образом, каждое высказывание либо истинно, либо 
ложно. Одновременно быть истинным и ложным высказывание не 
может. 
Высказывания могут быть образованы с помощью слов или 
символов. Однако, не каждый набор слов или символов (даже осмысленный) является высказыванием. Например, утверждения: 
1) В Московский государственный университет поступить легко;
2) х = 0;
3) 2х+3 > 0
высказываниями не являются, так как судить об их истинности или 
ложности невозможно. 
Для обозначения высказываний обычно используют заглавные 
буквы латинского алфавита  А, В, С  и т.д. Например, пишут  А=(6<7), 
В=(число 6 - простое). Это означает, что высказывание А заключается 
в утверждении, что число 6 меньше числа 7, а высказывание В – в том, 
что 6 – простое число. Знак «=» заменяет слова «есть высказывание». 
Высказывания   А и  В являются примерами простых высказываний. Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок (союзов «и», «или», слов «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…») можно образовывать новые высказывания. Так, 
например из высказываний  А = (6 < 7) и  В = (число 6 - простое), используя логические связки, можно образовать следующие сложные 
высказывания: 
С=(6 < 7 и 6 – простое число); 
D=(6 < 7 или 6 – простое число); 
E=(если 6 < 7, то 6 – простое число); 

5 

G=(6 < 7 тогда и только тогда, когда 6 – простое число). 
Отметим, что новые высказывания можно образовывать и из 
таких высказываний, которые никак не связаны между собой по 
смыслу. Например, высказывание F=(если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами) составлено при помощи 
логической связки «если…, то…» из двух высказываний между которыми нет никакой смысловой связи. 
Истинность или ложность сложного высказывания определяется, во-первых, тем, какие логические связки использованы для образования сложного высказывания и, во-вторых, тем, какие из простых 
высказываний, образующих сложное, истинны и какие ложны. Для 
этого в логике высказываний вводятся операции над высказываниями, 
соответствующие связкам, при помощи которых образуются сложные 
высказывания. 

§2. Операции над высказываниями 

2.1. Отрицание высказывания 

Определение 1. Отрицанием высказывания А называется высказывание, которое истинно, если А ложно, и ложно, если А истинно. 

Отрицание высказывания А обозначается символом  ����̅ (читается «не А»). Таблица истинности для высказывания   ����̅ имеет вид 

А
����̅

и
л

л
и

Пример 1. Дано высказывание А=(27 нацело делится на 3). Сформулировать отрицание этого высказывания и определить его истинность. 
Решение. 
Отрицание данного высказывания имеет вид  ����̅=(27 не делится 
на 3). Так как данное высказывание истинно, то высказывание  ����̅ является ложным. 

Пример 2.  Сформулировать отрицание высказывания В=(3≥5) и 
определить его истинность. 

6 

Отрицанием ложного высказывания  В является истинное высказывание ����=(3 < 5). 

2.2. Конъюнкция высказываний 

Определение 2. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно лишь при условии, что истинны оба высказывания А и В одновременно, и ложно во всех 
остальных случаях. 

Конъюнкция высказываний А и В обозначается символом 
���� ∧ ���� (читается «А и В»). Таблица истинности высказывания  ���� ∧ ����  
имеет вид 

А
В
���� ∧ ���� 

и
и
и

и
л
л

л
и
л

л
л
л

Пример 1. Из высказываний А=(2 – простое число) и В=(2 – четное 
число) составить высказывание С= ���� ∧ ����  и определить его истинность. 
Решение. 
С=(2 – простое число и 2 – четное число). Так как  А истинное 
высказывание и В истинное высказывание, то по определению конъюнкции С также истинное высказывание. 

Пример 2. Определить истинность высказывания С=(3 – корень 
уравнения х2 – 9 = 0 и 3 – целое число). 
Решение. 
Высказывание С состоит из двух простых высказываний  А=(3 
– корень уравнения х2 – 9 = 0) и В = (3 – целое число). Высказывание А
истинно, высказывание  В истинно, высказывание С образовано из 
высказываний А и В при помощи логической связки «и», которая соответствует операции конъюнкции. Согласно определению конъюнкции С – истинное высказывание. 

2.3. Дизъюнкция высказываний 

Определение 3.  Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно при условии, что истинно хо
7 

Решение. 

тя бы одно из высказываний А или В, и ложно, когда высказывания А и В одновременно ложны. 
Дизъюнкция высказываний А и В обозначается символом 
���� ∨ ���� (читается «А или В»). Таблица истинности для высказывания 
���� ∨ ���� имеет вид 

А
В
���� ∨ ����

и
и
и

и
л
и

л
и
и

л
л
л

Пример 1.  Из высказываний А=(3 < 5) и В=(3 = 5) составить высказывание С= ����⋁���� и определить его истинность. 
Решение. 
С= (3 < 5 или 3 = 5)=(3 ≤ 5). А – истинное высказывание, В – 
ложное высказывание;  С составлено при помощи операции дизъюнкции, следовательно, по определению дизъюнкции оно также истинно. 

Пример 2. Определить истинность высказывания С = (уравнение 
х -5 = 0 имеет корни 2 или 5). 
Решение. 
Высказывание С состоит из высказываний А=(уравнение х-5=0 
имеет корень 2) и В=(уравнение х – 5 = 0 имеет корень  5). Высказывание А ложно, высказывание  В истинно, следовательно, по определению дизъюнкции двух высказываний С – истинное высказывание. 

2.4. Импликация высказываний 

Определение 4.  Импликацией высказываний А и В называется высказывание, которое ложно лишь при условии, что А истинно, а В ложно, и истинно во всех остальных случаях.  

Импликация высказываний А и В обозначается символом 
���� ⇒ ���� (читается «если А, то В»). Таблица истинности высказывания 
���� ⇒ ���� имеет вид 

А
В
���� ⇒ ����

и
и
и

и
л
л

л
и
и

л
л
и

8 

Пример. Из высказываний А=(30 делится на 6) и В=(30 делится на 3) 
составить высказывание С= ���� ⇒ ���� и определить его истинность. 
Решение. 
С=(если 30 делится на 6, то 30 делится на 3). Высказывание 
А истинно, высказывание  В истинно, высказывание С образовано из 
высказываний А и В при помощи  операции импликации. Согласно 
определению 4  С – истинное высказывание. 

Высказывание А называется условием, а высказывание В – заключением импликации  ���� ⇒ ����. Если в импликации   ���� ⇒ ����поменять 
местами условие и заключение, то получим новую импликацию 
���� ⇒ ����, которая называется импликацией обратной данной. Импликация  ����̅ ⇒ ����называется противоположной импликации  ���� ⇒ ����. 
Импликация ����⇒ ����̅  называется обратной для противоположной. 

2.5. Эквиваленция высказываний 

Определение 5. Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно, если А и В имеют одинаковую 
истинность (либо оба истинны, либо оба ложны), и ложно 
во всех остальных случаях. 

Эквиваленция высказываний А и В обозначается символом 
���� ⇔ ���� (читается «А тогда и только тогда, когда В» или «А эквивалентно В»). Таблица истинности высказывания  ���� ⇔ ���� имеет вид  

А
В
���� ⇔ ����

и
и
и

и
л
л

л
и
л

л
л
и

Пример.  Из высказываний А=(60 делится на 10) и В=(60 оканчивается цифрой 0) составить высказывание С= ���� ⇔ ���� и определить его 
истинность. 
Решение. 
Высказывание А истинно, высказывание  В истинно, значит 
высказывание С=(60 делится на 10 тогда и только тогда, когда 60 
оканчивается цифрой 0) также будет истинным высказыванием по 
определению эквиваленции. 

9 

Итак, в логике высказываний определяют пять операций: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию, 
определения которых приводились в этом параграфе. 

§3. Формулы логики высказываний 

Определение 1. Элементарные высказывания и составные высказывания, составленные из элементарных высказываний при 
помощи знаков ¯ ,   ∧, ∨, ⇒, ⇔ называются формулами логики высказываний. 

Примерами формул логики высказываний могут служить следующие высказывания:   ����, ����̅ ∧ ����, ����̅ ⇒ (���� ∨ ����), ���� ⇒ (���� ⟺ ����) и другие.  

Определение 2. Две формулы логики высказываний называются равносильными, если они имеют одну и ту же истинность при 
любых предположениях об истинности логических переменных, из которых эти формулы составлены. 

Равносильность формул логики высказываний обозначается знаком ≡ . 

Примеры равносильных формул логики высказываний 
1. Высказывание и двойное отрицание высказывания равносильны:
���� ≡ ����̿. 
2. ���� ∧ ���� ≡ ����;    ���� ∨ ���� ≡ ����.
3. ���� ∧ ���� ≡ ���� ∧ ����;    ���� ∨ ���� ≡ ���� ∨ ����. Эти две равносильности выражают
коммутативность операций конъюнкции и дизъюнкции.
4. (���� ∧ ����) ∧ ���� ≡ ���� ∧ (���� ∧ ����);    (���� ∨ ����) ∨ ���� ≡ ���� ∨ (���� ∨ ����) - ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции.

5. Отрицание дизъюнкции высказываний А и В равносильно конъюнкции их отрицаний:  ���� ∨ ����
≡ ����̅ ∧ ����.

Отрицание конъюнкции высказываний А и В равносильно дизъюнкции их отрицаний:  ���� ∧ ����
≡ ����̅ ∨ ����.

Для доказательства равносильности формул логики высказываний строят таблицы истинности для высказываний и сравнивают 
столбцы, соответствующие этим формулам. 

Пример 1. Доказать, что   ���� ∧ ����
≡ ����̅ ∨ ����. 

Решение. 
Строим таблицу истинности, в которую входят высказывания 
из данной формулы: 

10