Геометрия: Векторное пространство. Геометрия плоскости и пространства. Геометрические преобразования и построения

Т.И. Уткина
А.А. Уткин

ГЕОМЕТРИЯ:

Векторное пространство. 

Геометрия плоскости и пространства.

Геометрические преобразования и построения

Учебно-методическое пособие

2-е издание, стереотипное

Москва

Издательство «ФЛИНТА»

2018

УДК 514
ББК  22.151

У84

Рецензенты:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры функционального анализа и геометрии
Тверского государственного университета А.М. Шелехов; 

кандидат физико-математических наук, доцент 

кафедры общих и профессиональных дисциплин филиала Самарского 

государственного университета путей сообщения в г. Орске В.В. Пергунов

Уткина Т.И.

У84
Геометрия: Векторное пространство. Геометрия плоскости и 

пространства. 
Геометрические 
преобразования 
и 
построения

[Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Т.И. Уткина,
А.А. Уткин. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2018. — 144 с.

ISBN 978-5-9765-3944-0

Учебное пособие предназначено для управления самостоятельной 

учебной деятельностью студентов в процессе изучения геометрического 
материала, входящего в основные образовательные программы 
укрупненной группы специальностей и направлений подготовки 
«Образование и педагогические науки» бакалавриата и магистратуры. 

Пособие характеризуется методологической и профессионально
практической направленностью. Использование учебно-методических 
материалов способствует формированию целостного знания о 
методологии освоения геометрических знаний и практического
использования изучаемого материала в будущей профессиональной 
деятельности.

Учебное пособие адресовано бакалаврам, магистрам, аспирантам, 

учителям математики, преподавателям.

УДК 514
ББК  22.151

ISBN 978-5-9765-3944-0
© Уткина Т.И., Уткин А.А., 2018
© Издательство «ФЛИНТА», 2018

Содержание 

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................. 5

РАЗДЕЛ 1. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ......................................... 8 

1.1. Понятие вектора. Сложение векторов. Умножение 

вектора на число. Координаты вектора ................................................... 8 

1.2. Скалярное произведение векторов ................................... 21 
1.3. Векторное произведение векторов.................................... 27 
1.4. Смешанное произведение векторов.................................. 32 
1.5. Общий подход к решению содержательных 

геометрических задач методом векторов .............................................. 36 

1.6. Вопросы и задания.............................................................. 38 
1.7. Домашняя контрольная работа.......................................... 42

РАЗДЕЛ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 
ПЛОСКОСТИ ........................................................................................... 47 

2.1. Понятие геометрического преобразования...................... 47 
2.2. Движения плоскости. Классификация движений ........... 49 
2.3. Гомотетия............................................................................. 62 
2.4. Подобие................................................................................ 65 
2.5. Аффинные преобразования ............................................... 69 
2.6. Методы решения задач с использованием 

преобразований плоскости...................................................................... 73 

2.7. Домашняя контрольная работа.......................................... 83

РАЗДЕЛ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ 
НА ПЛОСКОСТИ .................................................................................... 92 

3.1. Понятие геометрических построений............................... 92 

3.2. Методы решения задач на построение............................. 94 

3.3. Домашняя контрольная работа........................................ 102

РАЗДЕЛ 4. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. ПРЯМАЯ 
ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ ................................................................... 105

4.1. Прямая линия на плоскости............................................. 105 

4.2. Общий подход к решению задач на составление 

уравнений прямых.................................................................................. 106 

4.3. Домашняя контрольная работа........................................ 111

РАЗДЕЛ 5. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА........................................ 116 

5.1. Вопросы и задания............................................................ 116 

5.2. Методы решения задач..................................................... 119 

5.3. Домашняя контрольная работа........................................ 124

РАЗДЕЛ 6. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ .......... 127 

6.1. Вопросы и задания............................................................ 127 

6.2. Методы решения задач на составление уравнений 

прямых и плоскостей в пространстве .................................................. 128 

6.3. Домашняя контрольная работа........................................ 130

РАЗДЕЛ 7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ........................ 137 

7.1. Вопросы и задания............................................................ 137 

7.2. Метод сечений в построении изображений поверхностей 

второго порядка...................................................................................... 139 

7.3. Домашняя контрольная работа........................................ 140

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................... .. 143 

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе резкого убыстрения темпов структурных, 

экономических и социальных преобразований во всех сферах общественной жизни в России все актуальнее становится проблема подготовки бакалавров нового качества по направлению «Образование и 
педагогические науки». Данное учебное пособие ориентировано на 
обеспечение высокого качества геометрической подготовки бакалавров по направлению «Образование и педагогические науки» в условиях сохранения её фундаментальности и соответствия потребностям 
личности и государства.

Цель учебного пособия – управление самостоятельной учебно
профессиональной деятельностью студентов на основе достижения 
требований ФГОС высшего образования укрупненной группы специальностей и направлений подготовки «Образование и педагогические 
науки» бакалавриата и магистратуры. 

В основу конструирования учебного пособия положены следу
ющие дидактические принципы:

– научность (означает достаточную глубину, корректность и до
стоверность изложения содержания учебного материала с учетом последних научных достижений); 

– доступность (означает необходимость определения степени 

теоретической сложности и глубины изучения учебного материала сообразно возрастным и индивидуальным особенностям обучающихся);

– проблемность (определяется сущностью и характером учебно
познавательной деятельности);

– наглядность (предполагает необходимость учета чувственного 

восприятия изучаемых объектов, их макетов, моделей и изображений);

– сознательность (предполагает развитие самостоятельности и 

активизации деятельности обучающихся, обеспечение понимания конечных целей и задач учебной деятельности. В основу разработки 
учебного пособия положен деятельностный подход. Для повышения 
активности студентов учебное пособие генерирует разнообразные 

учебные ситуации, формулирует разнообразные вопросы, предоставляя обучающемуся возможность выбора той или иной траектории 
изучения геометрии и управления учебно-профессиональной деятельностью);

– систематичность и последовательность (означает обеспечение 

последовательного усвоения обучающимися определенной системы 
знаний по геометрии);

– методологическая направленность (предполагает формирова
ние целостного знания о методологии процесса освоения геометрических знаний, обеспечивает познавательно-мировоззренческую, эвристическую, исследовательскую, креативную, прогностическую функции в деятельности будущего бакалавра по направлению 44.03.01 Педагогическое образование профиль: «Математика»;

– профессионально-практическая направленность (означает рас
крытие направлений практического использования изучаемого материала в будущей профессиональной деятельности). 

Учебное пособие соответствует Федеральному государственно
му образовательному стандарту высшего образования по направлению подготовки 44.03.01 Педагогическое образование (уровень бакалавриата) и 44.04.01 Педагогическое образование (уровень магистратуры).

Особенностью данного пособия является методологическая и 

профессионально-практическая направленность. В его основе лежит 
идея методологического освоения геометрии, когда студенты самоопределяются по отношению к различным методам изучения геометрических вопросов и осуществляют собственную самостоятельную 
учебно-профессиональную деятельность. В учебном пособии содержится материал, который позволяет организовать различные виды 
самостоятельной учебно-профессиональной деятельности студента: 
выявление и активизацию личного опыта, связанного с умением 
управлять деятельностью обучающихся по усвоению математических 
понятий, математических предложений и их доказательств; самоопределение по отношению к имеющимся методам; рефлексивное 

осознание процесса изучения геометрии. Методологические задания, 
включенные в каждый раздел учебного пособия, ориентируют будущего учителя математики на собственную инновационную деятельность в обучении математике. Выделяются следующие виды методологических заданий: на выявление существенных признаков понятий,
способов конструирования определений; на установление связи и отношения данного понятия с другими понятиями; на выяснение состава теоремы; на определение вида теоремы; на установление связи 
между теоремами; на выяснение состава доказательства теоремы; на 
определение вида доказательства теоремы и оформление доказательства теоремы.

Такие задания играют роль связующего звена между методиче
ской и математической подготовкой студентов. Кроме того, они вооружают будущего бакалавра по направлению 44.03.01 Педагогическое образование профиль: «Математика» общими приемами учебнопрофессиональной деятельности.

Материалы учебного пособия прошли многолетнюю экспери
ментальную проверку в образовательном процессе вуза.

Ссылки приводятся по учебным пособиям из библиографиче
ского списка.

РАЗДЕЛ 1. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1.1. Понятие вектора. Сложение векторов.

Умножение вектора на число. Координаты вектора

При построении курсов геометрии широко применяется понятие 

«вектор». Термин «вектор» (латинское слово «vector» означает «переноситель») был введен ирландским математиком и механиком Вильямом Роуаном Гамильтоном (1805-1865 гг.) в его «Лекциях о кватернионах» (1853 г.). Наряду с термином «вектор» Гамильтон ввел 
термины «vehend» («переносимое») и «vectum» («перенесенное»). 
Однако эти термины не нашли широкого применения. Вместо них 
стали употреблять соответственно «начало вектора» и «конец вектора». Современный вид векторному исчислению придали в конце XIX 
века американский физик Джозайя Виллард Гиббс в «Элементах векторного анализа» (1881-1884 гг.) и английский физик Оливер Хевисайд в «Электромагнитной теории» (1893 г.).

При построении геометрических теорий понятием вектора поль
зуются как определяемым понятием (например, при построении геометрической теории с помощью системы аксиом Гильберта) или как 
неопределяемым (например, в системе аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства). В школьном курсе геометрии вектор определяется как направленный отрезок. Однако такое определение требует 
уточнения. С этой целью мы обратимся ко второму варианту – вектор 
является основным понятием, так же как и точка. 

Будем обозначать вектор буквой (или парой букв, в зависимости 

от ситуации) со стрелочкой сверху, например 𝑎⃗ или 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Множество 

векторов обозначим через V. На этом множестве каждой паре векто
ров 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ поставим в соответствие третий единственный вектор 𝑐⃗, который назовем суммой первых двух, а само соответствие сложением 

векторов. Запишем это соответствие в виде 𝑐⃗ = 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗. Заметим, что 
само соответствие мы не определяем. Потребуем, чтобы сложение 
обладало следующими свойствами:

A1. Сложение должно быть коммутативно, т.е. для любых векто
ров 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ выполняется равенство 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ + 𝑎⃗.

A2. Сложение должно быть ассоциативно, т.е. для любых векто
ров 𝑎⃗⃗⃗, 𝑏⃗⃗⃗ и 𝑐⃗ справедливо равенство (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) + 𝑐⃗ = 𝑎⃗ + (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗).

А3. На множестве V существует такой вектор 0⃗⃗, что равенство 

𝑎⃗ + 0⃗⃗ = 𝑎⃗ выполняется для любого вектора 𝑎⃗. Вектор 0⃗⃗ называют 
нулевым вектором.

А4. Для любого вектора 𝑎⃗⃗⃗ существует вектор, обозначаемый -𝑎⃗⃗⃗, 

такой, что 𝑎⃗ + (−𝑎⃗) = 0⃗⃗. Вектор -𝑎⃗ называют противоположным для 
вектора 𝑎⃗⃗⃗.

Свойства А1, А2, А3, А4 называют аксиомами сложения векторов. 

Эти аксиомы задают алгебраическую структуру, известную под 
названием коммутативная группа. Таким образом, множество векторов с операцией сложения есть коммутативная группа.

Добавим к множеству векторов множество действительных чи
сел (скаляров) R. Возьмем некоторое число (скаляр) k и некоторый 
вектор 𝑎⃗ и поставим паре (k, 𝑎⃗) в соответствие некий единственный 

вектор 𝑏⃗⃗ и запишем 𝑏⃗⃗ = 𝑘 ∙ 𝑎⃗. Заметим, что мы не говорим, как выби
рается вектор 𝑏⃗⃗. Таким образом, каждой паре (k, 𝑎⃗⃗⃗) соответствует 

свой единственный вектор 𝑏⃗⃗. Это соответствие называют операцией 
умножения вектора на скаляр. Потребуем, чтобы эта операция умножения вектора на число (скаляр) обладала следующими свойствами 
для любых чисел и векторов:

А5. 1 а = а ;
А6. k1 (k2 а ) = (k1 k2) а ;
А7. (k1 + k2) 𝑎⃗= k1 𝑎⃗ + k2 𝑎⃗ (распределительный закон умножения 

вектора на число относительно сложения чисел);

А8. k (𝑎⃗ +𝑏⃗⃗) = k 𝑎⃗+ k 𝑏⃗⃗ (распределительный закон умножения 

вектора на число относительно сложения векторов).

Эти четыре свойства называют аксиомами умножения вектора

на число (скаляр).

Определение 1.1.1. Множество векторов с операциями сложе
ния векторов и умножения вектора на число (скаляр) называют векторным пространством над полем действительных чисел (над полем 
скаляров).

В это определение входит термин «поле». Дело в том, что дей
ствительные числа можно складывать, умножать, делить число на 
другое число, отличное от нуля, и они образуют алгебраическую 
структуру, называемую полем. 

Если воспользоваться нашими обозначениями, структура век
торного пространства записывается так: {V, R, +, ∙}. Договоримся 
обозначать векторное пространство так же, как и множество векторов, т.е. V.

Изложенный выше подход к построению векторного простран
ства называется аксиоматическим. Представление об аксиоматическом методе построения теории заложено в школьных учебниках по 
геометрии.

Существует много конкретных множеств, на которых определе
ны операции сложения и умножения таким образом, что для них указанные выше восемь аксиом выполняются. Их называют моделями 
векторного пространства. Здесь мы остановимся на одной из них, 
знакомой из школьных учебников по геометрии.

Определение 1.1.2. Отрезок называется направленным, если 

установлен порядок следования его концов.

Одна точка направленного отрезка называется началом, вторая –

концом. Если отрезок [АВ] направленный и А – его начало, а В – ко
нец, то такой отрезок обозначают так: 
. Направленный отрезок 𝐴𝐴
̅̅̅̅

называют нулевым направленным отрезком.

Отрезки 
и 
называются одинаково (противоположно) 

направленными, если одинаково (противоположно) направлены лучи 
[АВ) и [CD). Пишут 
(
) СD
АВ


.

Определение 1.1.3. Направленные отрезки называются эквипо
лентными, если они имеют одинаковое направление и равные длины.

АВ

АВ
CD

Запись 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 𝐶𝐷
̅̅̅̅ означает эквиполентность отрезков 𝐴𝐵
̅̅̅̅ и 𝐶𝐷
̅̅̅̅, 

то есть AB = CD и
СD
АВ 
.

Из определения 1.1.3 следует, что эквиполентность есть отно
шение на множестве направленных отрезков, и оно обладает следующими свойствами.

1. Каждый направленный отрезок эквиполентен сам себе, то 

есть 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 𝐴𝐵
̅̅̅̅ (рефлексивное свойство).

2. Если отрезок 𝐴𝐵
̅̅̅̅̅ эквиполентен отрезку 𝐶𝐷
̅̅̅̅̅, то отрезок 𝐶𝐷
̅̅̅̅̅ эк
виполентен отрезку 𝐴𝐵
̅̅̅̅̅, то есть из 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 𝐶𝐷
̅̅̅̅ следует 𝐶𝐷
̅̅̅̅̅ = 𝐴𝐵
̅̅̅̅̅ (свой
ство симметрии).

3. Если отрезок 𝐴𝐵
̅̅̅̅̅ эквиполентен отрезку 𝐶𝐷
̅̅̅̅̅ и отрезок 𝐶𝐷
̅̅̅̅̅ экви
полентен отрезку 𝐸𝐹
̅̅̅̅̅, то отрезок 𝐴𝐵
̅̅̅̅ эквиполентен отрезку 𝐸𝐹
̅̅̅̅ (тран
зитивное свойство).

Отношение, обладающее этими тремя свойствами, называется 

отношением эквивалентности. Следовательно, эквиполентность есть 
отношение эквивалентности на множестве направленных отрезков и 
разбивает это множество на непересекающиеся классы (подмножества).

Определение 1.1.4. Вектором называется класс эквиполентных 

отрезков.

Заметим, что это определение отличается от того определения, 

которое дается в школьных учебниках. Это вызвано необходимостью 
корректного определения сложения векторов. 

Направленный отрезок, принадлежащий данному вектору, назы
вается его представителем. Вектор может быть задан любым своим 
представителем. Вектор, заданный нулевым отрезком, называется 
нуль-вектором.

Вектор (класс) обозначается одной буквой, над которой ставится 

стрелка 𝑎⃗,  𝑏⃗⃗⃗ и т. д. Если 
а
АВ


, то вектор (класс) а также обозна
чают 

→

.
АВ

Для векторов (классов) можно ввести операции сложения, вычи
тания, умножения на число через соответствующие операции над их 
представителями.

Определение 1.1.5. Суммой векторов а и b



с представителями 

АВ и ВС соответственно называется вектор с с представителем АС .

Сумму векторов а и b



обозначают так: 
b
а
с




+
=
или
=

→
АС

→
АВ + 

→

.
ВС Указанное правило нахождения суммы называют правилом треугольника (рис. 1). 

Рис. 1
Рис. 2

Достроим треугольник ABC на рисунке 1 до параллелограмма 

ABCD (рис. 2). Исходя из свойств параллелограмма и определения 
1.1.3., получаем:

𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

Таким образом, для нахождения суммы векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ нужно от 

некоторой точки А отложить представители этих векторов 𝐴𝐵
̅̅̅̅ и 𝐴𝐷
̅̅̅̅ и 

на них построить параллелограмм ABCD. Направленный отрезок 𝐴𝐶
̅̅̅̅

(диагональ параллелограмма) будет служить представителем искомой 
суммы. Это правило нахождения суммы двух векторов называется 
правилом параллелограмма. Итак, при нахождении суммы двух векторов можно использовать правило треугольника или правило параллелограмма.

D

C

B

A
A

C

B