Обыкновенные дифференциальные уравнения и система Maple

А.И. Егоров

Обыкновенные
дифференциальные уравнения
и система Maple

СОЛОН-Пресс

Москва
2019
2020

УДК 510
ББК 22.161.6, 32.97
      Е 30

Егоров А. И. 
Обыкновенные дифференциальные уравнения и система 
Maple. — М.: СОЛОН-Пресс, 2020. — 392 c.

Книга посвящена основным разделам теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Более полно рассмотрены краевые задачи для уравнений второго порядка, особые решения уравнений и систем уравнений, а 
также применение групп Ли в теории уравнений. Главная ее особенность 
состоит в широком использовании системы Maple. Анализ многочисленных 
примеров демонстрирует высокую ее эффективность при исследовании и 
решении разнообразных задач. Основная цель книги состоит в том, чтобы 
показать, что использование системы Maple позволяет более глубоко изучить теорию уравнений и научиться пользоваться этой системой в решении 
различных задач.
Книга предназначена тем читателям, которые изучают теорию обыкновенных дифференциальных уравнений или используют их в своей практической деятельности.

Сайт журнала «Ремонт & Сервис»: www.remserv.ru
Сайт издательства «СОЛОН-Пресс»: www.solon-press.ru

КНИГА — ПОЧТОЙ

Книги издательства «СОЛОН-Пресс» можно заказать и оплатить в издательстве 

с пересылкой Почтой РФ. Заказ можно оформить одним из перечисленных способов:

1.  Оформить заказ на сайте www.solon-press.ru в разделе «Книга — почтой».
2.  Заказать книгу по тел. (495) 617-39-64, (495) 617-39-65.
3.  Отправив заявку на e-mail: kniga@solon-press.ru (указать наименование издания, обратный адрес и ФИО получателя).

4.  Послать открытку или письмо по адресу: 123001, Москва, а/я 82.

При оформлении заказа следует правильно и полностью указать адрес, по которому 
должны быть высланы книги, а также фамилию, имя и отчество получателя. Желательно 
указать дополнительно свой телефон и адрес электронной почты.
Через Интернет вы можете в любое время получить свежий каталог издательства 
«СОЛОН-Пресс», считав его с адреса http://www.solon-press.ru/katalog.
Интернет-магазин размещен на сайте www.solon-press.ru.

По вопросам приобретения книг обращаться: 
ООО «СОЛОН-Пресс» 
Тел: (495) 617-39-64, (495) 617-39-65, 
E-mail: kniga@solon-press.ru, www.solon-press.ru

ISBN 978-5-91359-205-7 
© «СОЛОН-Пресс», 2020

 
© Егоров А. И., 2020 

Оглавление

Ведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Г л а в а 1. Классификация уравнений. Определение и
анализ решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1. Дифференциальные уравнения и их решения. . . . . . . . . . . . .13
1.1. Уравнения.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.2. Решение и интеграл дифференциального уравнения . . . . . . . . . . 13
2. Простейшие уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Уравнения с разделенными переменными. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2. Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Задача Коши. Классификация решений уравнений первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1. Основные определения. Теоремы Пеано и Осгуда. . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Теорема Коши и классификация решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3,3, Зависимость решений от начальных данных. Общие и особые
решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4. Зависимость решений от параметров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
3.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной . . . . . . . 41

Г л а в а 2. Методы решения уравнений первого порядка.45
1. Интегрирование простейших уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.1. Однородные и приводящиеся к ним однородные уравнения . . . . 46
2. Линейные однородные и неоднородные уравнения. . . . . . . .47
2.1. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2. Уравнения, приводящиеся к линейным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. Уравнение Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1. Общие свойства решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4. Уравнения в полных дифференциалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
4.1. Уравнения в полных дифференциалах
57
4.2. Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5. Уравнения, не разрешенные относительно производной . . 67
5.1. Уравнения, не содержащие одну из переменных . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2. Общий метод введения параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3. Уравнение Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

3

Гл. 1. Оглавление

5.4. Уравнение Клеро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6. Анализ особых решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
6.1. c- дискриминантная кривая и ее свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
6.2. Необходимые и достаточные условия существования
особой интегральной кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
6.3. Кривая касаний и некоторые ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7. Практические способы построения особых решений. .91
8. Параметрическая форма представления плоских кривых 95
8.1. Теоремы об огибающих семейства кривых на плоскости . . .
97
8.2. Точки возврата огибающей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102!

Г л а в а 3. Уравнения n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1. Линейные однородные уравнения выше первого порядка103
1.1. Общие свойства линейных однородных уравнений . . . . . . . . . . . 103
2. Решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1. Решение линейных однородных уравнений с постоянными
коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
3. Решение линейных неоднородных уравнений выше первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1. Структура общего решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4. Применение операционного исчисления. . . . . . . . . . . . . . . . . .116
4.1. Основные определения и формулы операционного исчисления 116
4.2. Применение операционного исчисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
5. Различные задачи для уравнений второго порядка. . . . . . 125
5.1. Общее решение уравнение второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2. Краевые задачи для уравнений второго порядка. Функция
Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6. Cуществование решений краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.1. Положительные и положительно определенные операторы . . . 133
6.2. Энергетические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3. Обобщенные решения краевых задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
7. Собственные значения и собственные функции краевой
задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
7.1. Основные свойства собственных функций и собственных
значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2. Оценка собственных значений и собственных функций. . . . . . .151
7.3. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8. Аналитические решения уравнений второго порядка . . . . 154
8.1. Уравнения с колеблющимися решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Оглавление
5

8.2. Интегрирование уравнений с помощью.степенных рядов . . . . . 156
9. Нелинейные уравнения n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.1. Существование решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
9.2. Промежуточный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.3. Уравнения, допускающие понижение порядка. . . . . . . . . . . . . . .163
9.4. Многопараметрические семейства кривых на плоскости
и в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
10. Огибающие семейства поверхностей с двумя параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.2. Огибающие поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
10.1. Неявно заданные двупараметрические семейства поверхностей173

Г л а в а 4. Частные и общие решения систем линейных
уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
1. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1.2. Теорема Коши для линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.3. Анализ примеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.4. Системы линейных однородных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.1. Случай простых собственных значений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
2.1.1. Случай простых вещественных собственных значений. . . .188
2.1.2. Собственные значения простые, но не все вещественные . 189
2.2. Собственные значения вещественны и произвольной кратности191
2.3. Решение систем уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
3. Применение функций от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.1. Функция от матрицы, матричная экспонента . . . . . . . . . . . . . .
203
3.2. Практическое построение функции от матрицы. . . . . . . . . . . . 205
3.3. Случай кратных корней характеристического уравнения . . .
208
3.4. Применение полинома Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
4. Системы линейных неоднородных уравнений . . . . . . . . .
216
4.1. Структура решений системы. Матрица Коши . . . . . . . . . . . . .
216
4.2. Системы неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
5. Приводимые системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
5.1. Теорема Еругина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.2. Линейные системы с периодическими коэффициентами . . . . . . 221
6. Уравнения Риккати и линейные системы . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.1. Системы уравнений Риккати. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
7. Матричные многочленные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230

Гл. 1. Оглавление

7.1. Уравнения AX − XA = Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.2. Перестановочные матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
7.3. Решение линейного неоднородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.4. Скалярное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.5. Полиномиальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8. Квадратный корень из матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.1. Уравнение с жордановой матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.2. Уравнение с особенной матрицей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.3. Матричные уравнения второй степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9. Линейные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.1. Однородное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.2. Неоднородное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
9.3. Частное решение неоднородного уравнения. Формула Коши . . 268
9.4. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10. Матричное дифференциальное уравнение Риккати. . . . .270
10.1. Простейшие свойства уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272
10.2. Уравнения с постоянными матрицами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
10.3. Существование решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Г л а в а 5. Системы нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 282
1. Теорема существования и единственности решения. . . . . .282
1.1. Предварительный анализ системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 282
1.2. Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
1.3. Основные следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
1.4. Зависимость решений от параметров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286
1.5. Частные и общие решения системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . 289
2. Нелинейные системы уравнений первого порядка . . . . . . . 290
2.1. Основные свойства системы в нормальной форме . . . . . . . . . . . 291
2.2. Интегралы системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
3. Автономные системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.1. Симметричная форма системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
4. Особые решения системы уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299
4.1. Параметризованные семейства поверхностей и их огибающие . 300
5. Семейства неявно заданных поверхностей и их огибающие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Г л а в а 6. Уравнения с частными производными первого
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
1. Основные задачи интегрирования уравнений с частными
производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
2. Линейные однородные уравнения первого порядка . . . . . . 319
2.1. Общее решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319
2.2. Задача Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321

Оглавление
7

3. Квазилинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
3.1. Случай двух независимых переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
3.2. Задача Коши для уравнения с двумя независимыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
3.3. Квазилинейные уравнения. Общий случай. . . . . . . . . . . . . . . . . .328
3.4. Решение задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331

Г л а в а 7 Групповой анализ дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
1. Группы точечных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
1.1. Основные определения и теоремы теории групп Ли. . . . . . . . . .334
1.2. Инфинитезимальный оператор и инварианты группы . . . . . . . . 336
2. Интегрирование уравнения, допускающего группу . . . . . . 343
2.1. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. . . . . .343
2.2. Уравнения, допускающие группу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
2.3. Интегрирование уравнений первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 347
2.3.1. Первый способ (замена переменных) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
2.3.2. Второй способ (построение интегрирующего множителя) . 351
2.4. Интегрирование уравнений второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 352
3. Дифференциальные уравнения и допускаемые ими
группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354
3.1. Определяюшее уравнение. Алгебра Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4. Фундаментальная система решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360
4.1. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363

Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
1. Краткое описание систем Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365
2. Приложение 1. Работа с числами, наборами и списками . . . . . . . 368
3. Приложение 2. Матрицы и векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
4. Приложение 3. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
5. Приложение 4, Операции над функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374
6. Приложение 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения . . 376
7. Приложение 6. Визуализация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378
8. Приложение 7. Визуализация в дифференциальных уравнениях 381

Литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Введение

Очень новой и оригинальной
была бы книга, которая заставляла бы нас любить старые истины.
Л. Вовенарг
Эта книга предназначена для широкого круга читателей, интересующихся обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Интерес может быть вызван необходимостью решать те или иные
сравнительно простые задачи физики, механики и других наук.
Другой тип читателей заинтересован в глубоком изучении теории
уравнений с целью последующего использования полученных знаний в решении достаточно сложных научных задач. В этом случае требуется решать непростые дифференциальные уравнения с
привлечением утонченных методов. Для тех и других читателей
книга может служить учебным пособием по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В ней читатель найдет способы решения простейших уравнений и уравнений, решение которых требует привлечения специальных методов и использования компьютерных технологий.
Еще одна группа читателей, на которую особенно рассчитывает автор, состоит из преподавателей и студентов университетов и технических вузов. Эти читатели найдут в книге материал
по основным фактам теории уравнений (формулировки теорем и
следствий, классификация уравнений и их решений и т. д.), практические рекомендации по использованию компьютерной системы
Maple
на лекционных и семинарских занятиях.
Одна из основных особенностей в сложившейся системе обучения студентов дифференциальным уравнениям состоит в следующем. Обучение на лекциях и семинарских занятиях сводится
в основном к изучению практических методов получения точных
решений простейших дифференциальных уравнений. При этом основное внимание уделяется разбиению таких уравнений на группы
так, чтобы все уравнения из группы решались одним и тем же способом. Этот способ подробно описывается на лекциях.
Например, однородное уравнение первого порядка y′ = f(x, y)
нужно решать заменой y = zx. Линейное уравнение n-го порядка
с постоянными коэффициентами нужно решать с помощью характеристического уравнения. При этом подробно описываются возможные частные случаи.

Введение
9

В итоге получается набор не связанных между собой групп
уравнений и взятых «с потолка» методов решений. Единственным
обоснованием выбора конкретного метода решения для каждой
группы уравнений является то, что с помощью этого метода удается получить точное решение. При этом процесс практического
применения того или иного метода может оказаться достаточно
хлопотным.
Достаточно вспомнить как решается линейное уравнение y′ =
Ay + f(x), где A — квадратная постоянная матрица. Процесс решения обычно состоит в том, что сначала находятся собственные
значения матрицы A и соответствующие им собственные, а возможно и присоединенные векторы. С использованием полученных
данных строится фундаментальная матрица решений. Затем методом вариации постоянных (или каким-либо специальным приемом) строится частное решение. Для построения этого частного
решения приходится решать громоздкую задачу. В итоге, реализуя простую идею построения решения уравнения, студент тратит
массу времени на решение вспомогательных алгебраических задач
как на лекционных, так и на семинарских занятиях.
На изучение теоретических вопросов времени почти не остается. Обычно ограничиваются теоремой Коши, теоремой Штурма и
еще, быть может, парой теорем о структуре общего решения одного линейного уравнения или системы таких же линейных уравнений.
В итоге такого изучения предмета студент фактически не знает
теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Он овладевает навыками решения лишь простейших уравнений. Из-за обилия различных типов таких уравнений и соответствующих приемов их решения (не связанных между собой) полученные знания
оказываются непрочными. Из всего набора типов уравнений и методов их решения студент через год-два может вспомнить лишь
простейшие из них (обычно с разделяющимися переменными и с
постоянными коэффициентами).
По мнению автора этих строк возможности современных компьютерных технологий позволяют принципиально изменить сложившуюся ситуацию. Предлагаемое пособие предназначено помочь
в решении этой задачи.
Книга не имеет аналогов среди учебников и учебных пособий по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Основная
мысль, которую автор хотел донести до читателя, состоит в том,

Введение

что использование системы Maple при изучении дифференциальных уравнений позволяет а) научить читателя аналитически решать достаточно широкий круг задач, которые практически невозможно решить без использования компьютерных технологий; б)
существенно повысить уровень теоретической подготовки читателя по обыкновенными дифференциальным уравнениям. Что касается элементарных задач, которые в настоящее время решаются
студентами при изучении курса, то они решаются в системе Maple
с помощью двух-трех команд. В частности, чтобы найти общее
решение уравнения y′ = Ay + f(x) с постоянной матрице A достаточно воспользоваться одной командой matrixDE(A,f,x) (см.
Maple -Рис. 4.14).
Вряд ли стоит доказывать исключительную роль компьютерных технологий в совершенствовании численных методов решения
различных математических и прикладных задач. С появлением
компьютеров теория численных методов и их приложения стали
самостоятельным разделом современной математики. Сейчас математическое сообщество стоит у порога аналогичного прорыва в
аналитическом исследовании различных математических и прикладных задач. Непрерывно совершенствующиеся компьютерные
технологии (основанные на системах Maple , Matematica и т. д.)
позволяют решать аналитически все более сложные задачи.
Поэтому изучение дифференциальных уравнений с использованием системы Maple
представляется вполне естественным для
математика и прикладника, решающих и исследующих эти уравнения в своей практической деятельности.
Особенности книги в изложении материала следующие.
1. Максимально подробно анализируются определения основных понятий дифференциальных уравнений с анализом простейших примеров.
2. Теоремы, леммы, следствия, которые достаточно полно рассмотрены в учебной литературе, здесь только формулируются, но
доказательства их не приводятся. При необходимости рассматриваются иллюстративные примеры, которые, как правило, решаются двумя способами (без использован компьютера и с использованием компьютера).
3. Решения примеров с использованием компьютера представлены на Maple -рисунках. На них показана полная картина получения решения с некоторыми комментариями. Эти рисунки имеют
свою нумерацию.

Введение
11

4. Основные сведения о системе Maple
и решение элементарных задач алгебры, геометрии, математического анализа в этой системе вынесены в приложение. Там же приводятся рекомендации
по практическому использованию богатейшей справочной системы
Maple . Последнее позволило отказаться от создания специального
предметного указателя по Maple -командам.
5. Теоретический материал, который недостаточно полно представлен в учебной литературе, излагается более подробно. Это в
первую очередь относится к теории особых решений, к теории
групп Ли и к краевым задачам.
6. В заключение анализа каждого разделе теории с соответствующими примерами сформулированы контрольные вопросы и
темы для практических упражнений.
Изложение материале дается в традиционном для теории дифференциальных уравнений порядке. Сначала рассматриваются
уравнения первого порядка, затем уравнения выше первого порядка и т. д. Заканчивается изложение небольшой, достаточно элементарной частью теории групп Ли. Включение этого материала
в предлагаемое пособие представляется вполне естественным по
ряду причин. Основные из них состоят в следующем.
В учебной литературе достаточно полно отражена роль обыкновенных дифференциальных уравнений в теории уравнений с
частными производными первого порядка. Вместе с тем аппарат
теории уравнений с частными производными широко используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
Это достигается через теорию групп Ли.
Использование групп Ли не только дополняет теорию дифференциальных уравнений. С помощью групп устанавливается естественная связь между различными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы (конкретные подстановки, специальные типы интегрирующих множителей и т. д.)
обычно излагаются в учебной литературе как практические рекомендации при решении тех или иных типов уравнений без соответствующего теоретического обоснования.
Применение групп Ли позволяет также использовать аналитические методы отыскания подстановок, с помощью которых можно
понизить порядок дифференциального уравнения или получить
его точное решение. Аналогично удается доказать необходимые и
достаточные условия существования интегрирующего множителя
и указать его вид для конкретного уравнения. Кроме того, теория
групп Ли предлагает обоснованные методы для построения различных классов интегрируемых дифференциальных уравнений.

Введение

Представленный в книге материал по группам Ли, к сожалению, не достаточно полно отражает возможности этой теории в
решении различных задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Его можно рассматривать лишь как введение в один из
важнейших методов исследования таких уравнений. То же самое
можно сказать и о представленном в книге материале по использованию системы Maple
в решении различных задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ее возможности значительно превосходят то, что изложено в этой книге.
Несколько слов о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений. В учебной литературе они обычно рассматриваются вместе с теорией уравнений с частными производными при анализе метода Фурье. В системе Maple
задача Коши
и краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения решаются с помощью одной о той же команды dsolve (см.
Maple -Рис. 5.1 и Maple l-Рис. 6.1). Этот факт и послужил основным мотивом для включения элементов теории краевых задач в
настоящее пособие.
Достижения последних лет в области компьютерных вычислений позволяют выполнять на компьютере многие достаточно
сложные аналитические вычисления, с которыми зачастую приходится иметь дело при решении дифференциальных уравнений. Системы компьютерной математики имеют не только большие возможности для аналитического решения различных задач, но и для
их глубокого аналитического анализа. В этой книге приведены
лишь простейшие методы компьютерной алгебры. Maple располагает достаточно мощными средствами программирования, что
дает возможность пользователю составлять собственные программы.
В список литературы включены источники по системе Maple
и по дифференциальным уравнениям. В нем только книги. Он не
претендует на полноту и не на каждый источник есть ссылка в тексте книги. Назначение приведенного списка в том, чтобы указать
читателю те книги, которые помогут при более глубоком изучении
материала,
В заключение несколько слов о специальных обозначениях и
символах. Символом
△= обозначается равенство по определению.
Символами ■ и ▲ обозначаются окончание доказательства теоремы и окончание примера соответственно. Каждый комментарий к
Maple -рисункам приводится в рамке.

Глава 1

Классификация уравнений.
Определение и анализ решений

Двигайтесь вперед, а уверенность явится позже.
Франц. пословица

1. Дифференциальные уравнения и их решения
1.1. Уравнения. В учебной литературе используются различные (и зачастую не только по форме) определения понятия дифференциального уравнения первого порядка и его решения1). В
предлагаемом пособии делается попытка ввести максимально общие определения основных понятий теории дифференциальных
уравнений, опираясь исключительно на классический математический анализ.
Определение 1.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F
x, y, dy

dx

= 0,
(1.1)

или
Φ(x, y, dx, dy) = 0,
(1.2)
где F и Φ— заданные функции своих аргументов и Φ является
однородной относительно dx и dy, т. е. удовлетворяет условию
Φ(x, y, tdx, tdy) = tmΦ(x, y, dx, dy)
(1.3)
при всех тех значениях t, при которых определена функция
Φ(x, y, tdx, tdy).
В уравнении (1.1) переменная x называется независимой переменной или аргументом, а y — зависимой переменной. В уравнении (1.2) переменные x и y равноправны. Если воспользоваться

1)См., например, П е т р о в с к и й И. Г. Лекции по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. —М.: Изд-во УРСС, 2003, П о н т р я ги н Л. С.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения. — М.: Изд-во УРСС, 2005,
Т р е н о г и н В. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Физматлит, 2009.

13

Гл. 1. Классификация уравнений. Основные определения

условием (1.3) и положить в нем t = 1/dx, то, уравнение (1.2)
можно записать в виде

ϕ
x, y, dy

dx

= 0,
где ϕ
x, y, dy

dx

△= Φ
x, y, 1, dy

dx

.

В этом уравнении x — аргумент, а y — зависимая переменная.
Аналогично, полагая в (1.3) t = 1/dy, уравнение (1.2) можно
записать в виде

ψ
x, y, dx

dy

= 0,
где ψ
x, y, dx

dy

△= Φ
x, y, dx

dy , 1
.

Здесь x — зависимая переменная, а y — аргумент.

Пример 1.1. Уравнение (x−y)dx−(x+y)dy = 0 можно представить
в виде
dy
dx = x − y

x + y,

если x + y ̸= 0. При этом x является аргументом, а y — зависимой
переменной. При x − y ̸= 0 то же уравнение можно записать в виде
dx
dy = x + y

x − y.

Здесь x — зависимая переменная, а y — аргумент.
При x2 − y2 ̸= 0 все три формы представления уравнения эквивалентны друг другу.▲

Следующие два примера иллюстрируют тот факт, что уравнения (1.1) и (1.2), вообще говоря, не эквивалентны друг другу.

Пример 1.2. В уравнении

dy
dx =
y − x2

sin(y − x2)

правая
часть
не
определена
при
y
=
x2.
Однако
уравнение
sin(y − x2) dy − (y − x2) dx = 0 определено при всех вещественных значениях x и y.▲

Пример 1.3. Если ограничиваться анализом уравнений только в
вещественной области изменения x и y, то в уравнении

dy
dx =

y + 1
x + 1

правая часть определена при (y + 1)/(x + 1) ⩾ 0. Однако уравнение
√x + 1 dy − √y + 1 dx = 0 j определено лишь при одновременном выполнении неравенств x ⩾ −1, y ⩾ −1.▲

1.1. Дифференциальные уравнения и их решения
15

1.2. Решение и интеграл дифференциального уравнения. В научно-популярной и учебной литературе приводятся различные определения понятия решения дифференциального уравнения первого порядка. Приведем некоторые из них2.)

(1) Решением дифференциального уравнения

F
x, y, dy

dx

= 0
(1.4)

или
dy
dx = f(x, y)
(1.5)

называется всякая функция y = ϕ(x), которая, будучи
подставлена в уравнение (1.4) или (1.5), обратит его в тождество.
В.В. Степанов
(2) Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.
Л.Э. Эльсгольц
(3) Функция y = y(x), определенная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале (α, β), (конечном или
бесконечном), называется решением дифференциального
уравнения (1.5) на этом интервале, если a) (x, y(x)) ∈ G
для любых x ∈ (α, β)) и b) равенство y′ = f(x, y(x)) выполняется для любых x ∈ (α, β).
В.А. Треногин

Рис. 1.1.1

Каждое из этих определений является недостаточно общим. Решением уравнения y′ = y является функция y = ex.
Ее график (интегральная линия) определен на всей числовой оси. Однако уравнение

dy
dx = y − 5x

5y + x
,

имеет решение x(t)
=
et sin 5t, y(t)
=
= et cos 5t), которое не может быть представлено в виде y
=
y(x). Интегральной линией в этом случае
является спираль (см. Рис. 1.1.1). Поэтому решение такого уравнения "не подпадает" ни под одно из приведенных определений.

2)Функции F(x, y, z) и f(x, y) предполагаются непрерывными в некоторых
произвольно заданных областях H и G.