Многомерные статистические методы

МНОГОМЕРНЫЕ  
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 

Методические указания  
по выполнению лабораторных работ
для студентов-магистров 
очной и заочной форм обучения  
по направлению подготовки  
«Прикладная информатика»,
профиль «Прикладная информатика в экономике» 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2021

Рецензент 
к. т. н., доцент 
Е.И. Улитина 

Составители: 
И.Л. Макарова  
А.М. Игнатенко 

Многомерные 
статистические 
методы: 
методические 
указания 
по
выполнению лабораторных работ / сост.: И.Л. Макарова, А.М. Игнатенко. — 
Москва : ФЛИНТА, 2021. — 65 с. — ISBN 978-5-9765-4763-6. — Текст : 
электронный.

Содержат основные темы курса «Многомерные статистические методы». 
Включают лабораторный практикум, состоящий из 7 лабораторных работ и 
описание инструментальных средств Microsoft Office Excel (встроенные функции, 
пакет анализа. 
Для студентов-магистров очной и заочной форм обучения по направлению 
«Прикладная информатика». 

УДК 519.237
ББК  22.172.6 

© ФГБОУ ВО «СГУ», 2018 
© Макарова И.Л., Игнатенко А.М., 
    составление, 2018

УДК 519.237 
ББК  22.172.6
         М73

М73

ISBN 978-5-9765-4763-6

Содержание 

 

 

Введение 
 

4 

I. 
Лабораторный практикум 
 

 
Лабораторная работа № 1. Статистические оценки 
6 

 
Лабораторная работа № 2. Корреляционный анализ 
12 

 
Лабораторная работа № 3. Частная корреляция 
13 

 
Лабораторная работа № 4. Множественная регрессия 
16 

 
Лабораторная работа № 5. Компонентный анализ 
21 

 
Лабораторная работа № 6. Факторный анализ 
25 

 
Лабораторная работа № 7. Кластерный и дискриминантный анализ 
 

31 

II. 
Инструментальные средства Microsoft Оffice Excel 
 

1. 
Встроенные функции Excel 
35 

2. 
Пакет анализа Excel 
54 
 

Библиографический список 
62 
 

Приложения:  
1. Форма титульного листа отчёта по лабораторной работе 

 
63 

2. Содержание отчета по лабораторной работе 
64 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 

Методы многомерного статистического анализа (МСА) часто 

называют 
интеллектуальным 
инструментарием 
современного 

исследователя. Они составляют обязательную часть фундаментальных 
курсов университетского образования. 

Многомерные статистические методы (МСМ) позволяют построить 

вероятностно-статистическую 
модель, 
которая 
наилучшим 
образом 

соответствует исходным статистическим данным, характеризующим 
реальное поведение исследуемой совокупности объектов, оценить 
надежность и точность выводов, сделанных на основании ограниченного 
статистического материала. 

Использование методов МСА в задачах принятия решений на основе 

анализа стохастической, неполной информации является не только 
оправданным, но существенно необходимым. Методами МСА могут 
решаться задачи уменьшения, концентрации исходных данных, выявления 
структуры и взаимосвязей между ними на основе построения обобщенных 
характеристик множества признаков и множества объектов. 

В настоящее время методы и модели МСА используются в составе 

новых информационных технологий. Можно выделить три основные 
задачи, решаемые в рамках МСА: 

1) исследование характера явных и неявных зависимостей между 

объектами или признаками; 

2) классификация объектов или признаков как при задании профиля 

групп, так и при его отсутствии; 

3) снижение размерности пространства признаков за счет выявления 

внутренней структуры в заданной совокупности. 

Развитие вычислительной техники и программного обеспечения 

способствует широкому внедрению методов МСА в практику. Однако, если 
исследователь применяет программы без понимания математической 
сущности используемых алгоритмов, это может привести к неверным или 
необоснованным результатам. Значимые практические результаты могут 
быть получены только на основе профессиональных знаний в предметной 
области, подкрепленных владением математическими методами и пакетами 
прикладных программ, в которых эти методы реализованы. 

Методические указания по выполнению лабораторных работ по 

дисциплине «Многомерные статистические методы» содержат примеры 
выполнения лабораторных работ по основным разделам дисциплины: 
Статистические оценки, Корреляционный анализ, Частная корреляция, 
Множественная регрессия, Компонентный анализ, Факторный анализ, 
Кластерный и дискриминантный анализ. В методических указаниях 
подробно описано использование  возможностей стандартного пакета MS 
Excel для выполнения необходимых расчетов. 

Рекомендуется перед работой с исходными статистическими данными 

ознакомиться с теоретическими сведениями по соответствующей теме, 
используя лекционные записи, литературу и ресурсы Интернет.  
 
 
 
 
 
 
 

I. Лабораторный практикум 
 
Лабораторная работа № 1. Статистические оценки 

 
Задача 1. По данным таблицы найти оценки математических ожиданий, 

дисперсии и коэффициентов корреляции, доверительную область для 
вектора математических ожиданий с надежностью 𝛾 =  0,95.  

 

№ п/п 
х1 
х2 
x3 

1 
89 
69 
29 

2 
86 
58 
26 

3 
91 
62 
22 

4 
76,4 
49 
20 

5 
58 
40,5 
16 

6 
53,7 
37,6 
9,5 

7 
57 
38 
16,3 

8 
102 
52 
28 

9 
64 
47 
17 

10 
78 
45 
19 

11 
55 
54 
8 

12 
62 
37 
19,2 

13 
66,7 
42 
19,8 

14 
59 
50,3 
19,1 

15 
96,4 
58 
22,6 

16 
70 
64 
25 

17 
82 
66 
21,8 

18 
107 
76,5 
32,5 

19 
94,8 
74 
25,6 

20 
100,3 
74,7 
22 

 

Решение 

1. Найдем средние арифметические  𝑥1 =  77,415, 𝑥2 =  54,73 и 𝑥3  =

 20,92 и перейдем к центрированным величинам 𝑢𝑖𝑗 = 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑗. 

𝑈𝑇𝑈 = (

11,585
…
22,885

…
…
…

8,08
…
1,08

) (

11,585
…
8,08

…
…
…

22,885
…
1,08

) =

(

5865,986
3341,671
1654,994

3341,671
3201,982
996,948

1654,994
996,948
690,112

) 

𝑆̂ =
1

𝑛 − 1 𝑈𝑇𝑈 = 1

19 (

5865,986
3341,671
1654,994

3341,671
3201,982
996,948

1654,994
996,948
690,112

)

= (

308,736
175,877
87,105

175,877
168,525
52,471

87,105
52,471
36,322

) 

Таким образом, оценки дисперсий и среднеквадратических отклонений 

следующие: 𝑠̂1

2 = 308,736; 𝑠̂1 = 17,571; 𝑠̂2

2 = 168,525; 𝑠̂2  = 12,982; 𝑠̂3

2 =

36,322; 𝑠̂3  = 6,027. 

Эти расчеты можно выполнить, вызвав «Данные»- «Анализ данных» - 

«Описательная статистика»  

2. Найдем выборочные коэффициенты корреляции: «Данные» - «Анализ 

данных» - «Корреляция»  
                            𝑟12 = 0,771; 𝑟13 = 0,823; 𝑟23 = 0,671  

Обратная матрица к  𝑆̂ будет иметь вид  (функция «МОБР») 

𝑆̂−1 = (

0,014
−0,007
−0,022

−0,007
0,015
−0,004

−0,022
−0,004
0,086

) 

3. Тогда согласно уравнению 

(𝑥 − 𝜇)𝑇ŝ−1(𝑥 − 𝜇) = 𝑘(𝑛 − 1)

𝑛(𝑛 − 𝑘) 𝐹𝛼,𝑘,𝑛−𝑘

(77,415 − 𝜇1
54,73 − 𝜇2
20,92 − 𝜇3) (

0,014
−0,007
−0,022

−0,007
0,015
−0,004

−0,022
−0,004
0,086

) (

77,415 − 𝜇1
54,73 − 𝜇2
20,92 − 𝜇3

) =

= 3 ∙ 19

20 ∙ 17 3,197 = 0,536 

гдe 𝐹(0,05; 3; 17) = 3,197 находим по таблице (FРАСПОБР(0,05;3;17)) для 
𝛼 = 1 −  𝛾 = 0,05 и чисел степеней свободы 𝜈1 =  3 и 𝜈2 = 17.  
После преобразований получаем уравнение эллипсоида 

0,0137(77,415 − 𝜇1)2 + 0,0148(54,73 − 𝜇2)2 + 0,086(20,92 − 𝜇3)2 −

−0,0148(77,415 − 𝜇1)(54,73 − 𝜇2) − 0,0444(77,415 − 𝜇1)(20,92 − 𝜇3) −

−0,0072(54,73 − 𝜇2)(20,92 − 𝜇3) = 0,536, 

которое определяет границы доверительной области для вектора 
(𝜇1, 𝜇2, 𝜇3)𝑇.   
 

Задача 2. По данным Задачи 1 с помощью линейных комбинаций найти 

с надежностью 𝛾 = 0,95 интервальные оценки генеральных средних 𝜇1, 𝜇2 
и 𝜇3. 

Решение

1. Для нашего примера 𝛼 = 1 − 𝛾 = 0,05, 𝜈1 = 1, 𝜈2 = 𝑛 − 1 = 19. 

Согласно таблице F-распределения F(0,05; 1; 19) = 4,381.  
Для построения интервальной оценки средней 𝜇1 примем 𝐶1 = (1,0,0)𝑇, так 
что 𝐶1𝑥 = 77,415; 𝐶1

𝑇𝑆𝐶1 = 𝑆̂1

2 =308,736. Тогда границы доверительного 

интервала для  𝜇1 имеют вид  

𝐶𝑇𝑥 ± √

1

𝑛 𝐶𝑗

𝑇𝑆𝐶𝑗𝐹𝛼,1,𝑛−1  :  𝜇1 ∈ [77,415 ± √

1

20 308,736 ∙ 4,381] = [77,415 ± 8,223]    

Следовательно, 69,192 ≤ 𝜇1 ≤  85,638. 

2. Для построения интервальной оценки генерального среднего 𝜇2  

принимаем 𝐶2 = (0,1,0)𝑇, откуда 𝐶2

𝑇𝑥 = 54,73; 𝐶2

𝑇𝑆𝐶2=168,525.  

Тогда с надежностью 𝛾 = 0,95 границы доверительного интервала 

таковы:  

54,73 ± √ 1

20 168,525 ∙ 4,381 = 54,73 ± 6,076 

48,654 ≤ 𝜇2 ≤  60,806 

3. Для построения интервальной оценки генерального среднего 𝜇3  
принимаем 𝐶3 = (0,0,1)𝑇, откуда 𝐶3

𝑇𝑥 = 20,92; 𝐶3

𝑇𝑆𝐶3=36,322.  

Тогда с надежностью 𝛾 = 0,95 границы доверительного интервала 

таковы:  

20,92 ± √ 1

20 36,322 ∙ 4,381 = 20,92 ± 2,821 

18,099 ≤ 𝜇3 ≤  23,741 

 

Задача 3. По результатам измерений п = 17 изделий найдены средняя 𝑥 

= 56,2 мм и среднеквадратическое отклонение 𝑠 = 0,84 мм. Требуется 
определить доверительную область для вектора параметров с надежностью 
𝛾 = 0,95.  

Решение 

1. Определим сначала с надежностью 𝛾 = 0,95 доверительные интервалы 

для математического ожидания 𝜇 и cpeднеквaдpaтического отклонения 𝜎:  

𝑥 − 𝑡𝛼

𝑠

√𝑛−1 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝑡𝛼

𝑠

√𝑛−1 

√

𝑛𝑠2

𝜒2(

𝛼

2 ; 𝑛 − 1)

≤ 𝜎 ≤ √

𝑛𝑠2

𝜒2(1 −

𝛼

2 ; 𝑛 − 1)

 

По таблице t-распределения (СТЬЮДРАСПОБР(0,05;16)) для числа 
степеней свободы 𝜈 = 𝑛 − 1 = 16 и уровня значимости 𝛼 = 1 − 𝛾 = 0,05 
находим 𝑡𝛾  =  2,1199. 

56,2 − 2,1199 

0,84

√16 ≤ 𝜇 ≤ 56,2 + 2,1199

0,84

√16 , 

откуда  
                                                  55,755 ≤ 𝜇 ≤ 56,645.  
По таблице 𝜒2 - распределения  (ХИ2ОБР(0,025;16)) для числа степеней 
свободы 𝜈 = 16 и вероятности 

1−𝛾

 2  = 0,025 найдем верхнюю границу 𝜒2

2 = 

28,845 доверительного интервала для 𝜒2. Отсюда нижняя граница для  𝜎 
равна:  

                                          √

𝑛𝑠2

𝜒22 = √

20∙0,842

28,845  = 0,699. 

Для числа степеней свободы 𝜈 = 16 и вероятности 

1+𝛾

 2  = 0,975 найдем 𝜒1

2 = 

6,908. Отсюда верхняя граница 𝜎 имеет вид:  

                                          √

𝑛𝑠2

𝜒12 = √

20∙0,842

6,908 = 1,036.  

Таким образом,  
                                                   0,699  ≤ 𝜎 ≤  1,036 .  

2. Чтобы определить доверительную область для вектора (𝜇, 𝜎) с 

нaдежностью 𝛾 = 0,95, найдем по таблице интегральной функции Лапласа 
𝑡 = 1,955 из условия Ф(𝑡) = √𝛾 = 0,9747. 

По таблице 𝜒2- распределения находим  

𝜒1

2 = 𝜒2 (

1+√𝛾

2
, 𝑛 − 1) = 𝜒2(0,9873; 16) = 6,068 

         𝜒2

2 = 𝜒2 (

1−√𝛾

2
, 𝑛 − 1) = 𝜒2(0,0127; 16) = 31,207 

Теперь доверительная область:  
56,2 − 0,474𝜎 ≤ 𝜇 ≤  56,2 + 0,474𝜎;       0,672 ≤ 𝜎 ≤  1,524.  
 

Задача 4. По данным  о п = 10 промышленных предприятий (табл.) с 

уровнем значимости 𝛼 =  0,05 проверить гипотезу о соответствии средних 
уровней экономических показателей работы группы предприятий (𝑥1 - 
объем предложения продукции, 𝑥2 –  цена товара, 𝑥3 – зарплата 
сотрудников) контрольным значениям при известных значениях указанных 
в таблице параметров генеральной совокупности, которая является 
нормально распределенной.  

№ 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
𝜎𝑗

2 

Парная 

корреляция 

Контрольные 

значения 

𝜇0𝑗 

𝑥1 
75 90 105 110 120 130 130 130 135 140 
4 
𝜌12 = 0,41 
115 

𝑥2 
43 35 
38 
55 
50 
35 
40 
55 
45 
65 
1 
𝜌23
= 0,006 

48 

𝑥3 
6 
4 
4 
5 
3 
1 
2 
3 
1 
2 
4 
𝜌31
= −0,87 

3,3 

 

Решение 

Исходя из условия задачи требуется проверить гипотезу 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 

против 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0, причем 
𝜇0 = (115; 48; 3,3)𝑇. 
Здесь матрица Σ 

генеральных коэффициентов ковариации считается известной:  
𝜎1 = 2; 𝜎12 = 𝜎21 = 𝜌12𝜎1𝜎2  =  0,41 ∙  2 ∙ 1 =  0,82;  
𝜎13  = 𝜎31  = 𝜌31𝜎3𝜎1 = −0,87 ∙ 2 ∙ 2 = −3,48;  
𝜎2 =  1; 𝜎23  = 𝜎32  = 𝜌23𝜎2𝜎3 =  0,006 ∙ 1 ∙ 2 =  0,012; 𝜎3  =  2.  
Таким образом  

                             Σ = (

4
0,82
−3,48

0,82
1
0,012

−3,48
0,012
4

).  

Критическая область задается следующим неравенством  
                                       𝑛(𝑥 − 𝜇0)𝑇Σ−1(𝑥 − 𝜇0) > 𝜒2(𝛼, 𝑘). 
𝑥1 =  116,5, 𝑥2 =  46,1 и 𝑥3  =  3,1 

Σ−1 = (

3,537
−2,937
3,086

−2,937
3,439
−2,566

3,086
−2,566
2,942

),   (𝑥 − 𝜇0)𝑇 = (1,5
−1,9
−0,2) 

Так как 𝜒набл

2
= 33,432 > 𝜒2(0,05; 3) = 7,815, т.е. 𝑥набл принадлежит 

критической области, гипотеза 𝐻0 отвергается с вероятностью ошибки 
0,05. 
 

Задача 5. В условиях задачи 4 решить задачу при неизвестных параметрах 

-  генеральных дисперсиях и коэффициентах корреляции.  
 
 

Решение 

Требуется проверить гипотезу 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0  против 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 при 

неизвестной матрице Σ генеральных коэффициентов ковариации. 
𝑥1 =  116,5, 𝑥2 =  46,1 и 𝑥3  =  3,1 

Найдем оценку ковариационной матрицы («Данные» – «Анализ 

данных» – «Ковариация») 

                                           𝑆̂ = (

405,25
78,35
−27,65

78,35
89,09
0,09

−27,65
0,09
2,49

),  

Ŝ−1 = (

0,036
−0,032
0,404

−0,032
0,040
−0,361

0,404
−0,361
4,906

) 

Критическая область задается следующим неравенством  
                               𝑛(𝑥 − 𝜇0)𝑇Ŝ−1(𝑥 − 𝜇0) >

𝑘(𝑛−1)

𝑛−𝑘 𝐹𝛼,𝑘,𝑛−𝑘.  

F(0,05; 3; 7) = 4,3468 

10 (1,5
−1,9
−0,2) (

0,036
−0,032
0,404

−0,032
0,040
−0,361

0,404
−0,361
4,906

) × (

1,5
−1,9
−0,2

)> 9∙

3

7 ∙ 4,3468  

или 0,90097>16,766. Так как 0,90097>16,766 неверно, то нулевая гипотеза 
принимается с вероятностью ошибки 0,05.  
 

Задача 6. Проверить влияние территориального расположения на 

экономические показатели на основе следующих выборочных данных 

Среднедушевой 
денежный доход в 
месяц, тыс. руб, 
𝒙𝟏 

2,8 
2,4 
2,1 
2,6 
2,7 
2,5 
2,4 
2,6 
2,8 
2,6 

Розничная 
продажа 
телевизоров, 
 тыс. шт., 𝒙𝟐 

28 
21,3 
21 
23,3 
25,8 
21,9 
20 
22 
23,9 
26 

 

Среднедушевой 
денежный доход 
в месяц, тыс. 
руб, 𝒚𝟏 

2,5 
2,7 
2,6 
2,8 
2,9 
3,1 
3,2 
3,3 
3,9 
4 

Розничная 
продажа 
телевизоров, 
тыс. шт., 𝒚𝟐 

21 
22 
23 
24 
27 
28 
30 
31 
32 
34 

Решение 
1. Будем предполагать, что приведенные выборки взяты из двумерных 

нормально распределенных генеральных совокупностей  𝑥 = (𝑥1, 𝑥2)𝑇 и  
𝑦 = (𝑦1, 𝑦2)𝑇 с неизвестными параметрами  

                𝜇𝑥 = (𝜇𝑥1

𝜇𝑥2);         Σ𝑥 = (
𝜎𝑥1

2
𝜎𝑥1𝜎𝑥2𝜌𝑥1𝑥2

𝜎𝑥1𝜎𝑥2𝜌𝑥1𝑥2
𝜎𝑥2

2
) 

и  

𝜇𝑦 = (

𝜇𝑦1
𝜇𝑦2);         Σ𝑦 = (

𝜎𝑦1

2
𝜎𝑦1𝜎𝑦2𝜌𝑦1𝑦2

𝜎𝑦1𝜎𝑦2𝜌𝑦1𝑦2
𝜎𝑦2

2
). 

Проверим на уровне значимости 𝛼=0,05 гипотезу о равенстве 

ковариационных матриц Σ𝑥 и  Σ𝑦.  

2. Вычислим 
оценки 
основных 
параметров 
двух 
генеральных 

совокупностей:  
                𝑥 = ( 2,55

23,32);  𝑦 = ( 3,1

27,2);  𝑠̂𝑥 = (0,045
0,408

0,408
6,646);  𝑠̂𝑦 = (0,267
2,211

2,211
20,622); 

              𝑆̂𝑥𝑦 =

1

𝑛𝑥+𝑛𝑦−2 ((𝑛𝑥 − 1)𝑆̂𝑥 + (𝑛𝑦 − 1)𝑆̂𝑦) = (0,156
1,309

1,309
13,634). 

Для 
вычисления 
статистики 
критерия 
получим 
значения 

определителей матриц оценок ковариаций:       |𝑆̂𝑥| = 0,133;      |𝑆̂𝑦| = 0,610;      
|𝑆̂𝑥𝑦| = 0,410. 

3. Определим  

𝑎 = (𝑛𝑥+𝑛𝑦 − 2)𝑙𝑛|𝑆̂𝑥𝑦| −  ((𝑛𝑥 − 1) 𝑙𝑛|𝑆̂𝑥| + (𝑛𝑦 − 1) 𝑙𝑛|𝑆̂𝑦|) = 6,568

𝑏 = 1 − (
1

𝑛𝑥 − 1 +
1

𝑛𝑦 − 1 −
1

𝑛𝑥+𝑛𝑦 − 2) 2𝑘2 + 3𝑘 − 1

6(𝑘 + 1)
= 0,8796 

𝑊набл =  𝑏 ∙ 𝑎 = 5,777 

𝐶 = 𝑘(𝑘 + 1)

48𝑏2
{(𝑘 − 1)(𝑘 + 2) [
1

(𝑛𝑥 − 1)2 +
1

(𝑛𝑦 − 1)

2 +
1

(𝑛𝑥 − 1)2 + (𝑛𝑦 − 1)

2]

− 6(1 − 𝑏)2} 

𝐶 = 0,0059 

4. Используя встроенную функцию ХИ2ОБР(0,05;3), получим   

                                            𝑊𝑘𝑝 = 𝜒2 (𝛼; 

𝑘(𝑘+1)

2
) = 7,815. 

Так как 𝑊набл не попало в критическую область (𝑊набл< 𝜒2(0,05; 3)), 

то мы гипотезу 𝐻0 не отвергаем и будем считать ковариационные матрицы 
генеральных совокупностей одинаковыми. 
5. Теперь можно проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, 
𝐻0: μ𝑥 = μ𝑦 на уровне значимости 𝛼 = 0,05 против альтернативы 𝐻1: μ𝑥 ≠
μ𝑦. Используем статистику Хотеллинга:    𝑇2 =

𝑛𝑥𝑛𝑦
𝑛𝑥+𝑛𝑦 (𝑥 − 𝑦)𝑇𝑆̂𝑥𝑦

−1(𝑥 − 𝑦);  

𝑆̂𝑥𝑦

−1 = (33,253
−3,194

−3,194
0,380 );       (𝑥 − 𝑦)𝑇 = (−0,55
−3,88);  :    𝑇2 = 10,751. 

6. 𝑇𝑘𝑝

2 =

(𝑛𝑥+𝑛𝑦−2)𝑘

𝑛𝑥+𝑛𝑦−𝑘−1 𝐹𝛼,𝑘,𝑛𝑥+𝑛𝑦−𝑘−1 = 7,606. Здесь F(0,05;2;17) = 3,592. 

Так как 𝑇набл

2
 >𝑇𝑘𝑝

2 , гипотеза о равенстве векторов генеральных 

средних отвергается с вероятностью ошибки 0,05.