Статистическая теория радиотехнических систем

 
 

Томский университет систем управления и радиоэлектроники  

Кафедра радиотехнических систем  

 
 
 

В. И. Тисленко 

 
 
 
 

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 

 

РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

 

 
 
 
 

 

Учебно-методическое пособие к практическим 

занятиям и организации самостоятельной работы для студентов 

по курсу «Статистическая теория РТС» по 

направлению подготовки 11.03.01 -  «Радиотехника»  

(профиль «Аудиовизуальная техника», «Радиотехнические средства 
 передачи, приема и обработки сигналов», «Микроволновая техника  

и антенны», уровень подготовки «Бакалавриат») 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Томск – 2016 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

1. Введение……………………………………………………………………………………...3 

2. Программа курса «Статистическая теория радиотехнических систем»………………….4 

3. Контрольные вопросы по курсу…………………………………………………………….6 

4. Методические указания к практическим работам ………………………………….……11 

 
 4.1 Задание по практике № 1. Статистическое описание случайных сигналов…….………11 

 
 4.2 Задание по практике  №2. Статистические свойства огибающей и фазы смеси регуляр
ного сигнала и узкополосного стационарного гауссова шума…………………………...20 

 4.3 Задание по практике  № 3. Оптимальное обнаружение полезного сигнала на фоне шу
ма…………………………………………………………………………………………26 

4.4 Задание по практике  № 4. Оценка  неизвестных параметров сигналов при наличии по
по
мех…………………………………………………………………………………………..39 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

 

Курс «Статистическая теория радиотехнических систем» СТРТС изучается в _5_ семест
ре. Объем курса108 часов, из них: лекции 24 часа; практические занятия 36 часов и 48 часов 

самостоятельная работа. Дисциплина «Статистическая теория радиотехнических систем» 

(Б1.В.ДВ.5.1) относится к вариативной части профессионального цикла обязательных дисци
плин.  

Содержание курса соответствует требованиям Федерального Государственного образова
тельного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) третьего поколе
ния по направлению подготовки 11.03.01 -  «Радиотехника», по профилю «Аудиовизуальная 

техника», «Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов», «Мик
роволновая техника и антенны»  и уровню подготовки «Бакалавриат», форма обуче
ния «очная», утвержденного приказом Министерства образования и науки от года. 

Учебное методическое пособие предназначено для студентов при выполнении заданий 

по практике и организации самостоятельной работы в течение семестра. Оно также может ис
пользоваться при подготовке к зачету по данному курсу. В пособии содержатся необходимые 

теоретические сведения и указания по выполнению заданий по практическим занятиям. Вы
полнение всех работ предполагает применение  ПЭВМ с использованием пакета Mathcad. Ли
стинги программ содержатся в главе 7 учебного пособия «Статистические методы обработки 

сигналов в радиотехнических системах». Листинги программ для выполнения самостоятель
ных работ содержат пропуски. Заполнение пропусков требует изучения теоретической части 

работы. Студент получает листинг программы в электронной форме, на его основе  создает 

собственную программу в среде Mathcad и выполняет задание. Выполненное задание по прак
тике должно содержать разработанный листинг программы в среде Mathcad с выполненными 

пунктами задания и выводами.  

Зачет проводятся по контрольным  вопросам, которые приведены в данном пособии по 

каждой теме курса. По итогам выполненных заданий студент получает соответствующее ко
личество баллов, которые суммируются с другими, полученными в семестре результатами, и 

определяют в конце семестра общую оценку по рейтингу.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Программа курса «Статистическая теория радиотехнических систем»  

 

2.1 Математические модели сигналов и помех в радиотехнических системах  

(лекции – 6 час., практические занятия - 8 часов, самостоятельная работа – 10 час.) 

Общее описание сигналов и помех. Классификация сигналов и сообщений. Функция 

различия сигналов. Частотно-временная корреляционная функция узкополосного радиосигна
ла и ее структура. Функция неопределенности радиосигнала и связь ее параметров с парамет
рами радиосигнала. Принцип неопределенности. Примеры функций неопределенности про
стых и сложных импульсных сигналов.  

Виды помех. Стационарная гауссовская случайная помеха. Белый шум. Статистические 

свойства огибающей и фазы смеси регулярного сигнала и гауссовской помехи.  

Радиоканал и его свойства. Модель сигнала в однолучевом и многолучевом каналах. 

Пространственные частотные и временные искажения структуры электромагнитного поля в 

месте приема. Гауссовская модель полезного сигнала в многолучевом канале.   

 

 

2.2 Основы статистической теории обнаружения и различения сигналов  

при наличии помех  

(лекции – 8 час., практические занятия - 14 часов, самостоятельная работа – 18 час.) 

 

Общая характеристика задач статистической теории РТС. Согласованный линейный 

фильтр: импульсная реакция и комплексная частотная характеристика согласованного филь
тра; форма сигнала на выходе и отношение уровней сигнала к шуму на выходе согласованного 

фильтра. Примеры построения согласованных фильтров: фильтр для прямоугольного ра
диоимпульса с прямоугольной огибающей; для прямоугольного радиоимпульса с фазокодовой 

манипуляцией (ФКМ), фильтр для пачки когерентных радиоимпульсов.  

Байесовская теория синтеза оптимального приемника - различителя (обнаружителя) сиг
нала при наличии помех: функция потерь; средний байесов риск; отношение правдоподобия.  

Структура оптимального приемника – различителя (обнаружителя) детерминированного 

сигнала на фоне белого гауссова шума: корреляционный приемник и приемник с согласован
ным фильтром. Статистические характеристика качества различения и обнаружения.  

 

 

 

2.3 Основы статистической теории оценок неизвестных параметров  

сигнала при наличии помех. Разрешение сигналов по параметрам  

(лекции – 10 час., практические занятия -14 часов, самостоятельная работа – 20 час.) 

 

Оценки параметров сигналов и их свойства. Байесовская теория оценок: функция потерь; 

байесовский риск; оптимальные байесовские оценки. Функция правдоподобия и максимально 

правдоподобные оценки. Совместные оценки.  

Метод наименьших квадратов: оператор оценки в линейных моделях; статистические 

свойства оценок МНК. Примеры оценок неизвестных параметров.  

Общая структурная схема оптимального измерителя параметра сигнала известной фор
мы. Статистические характеристики (среднее и дисперсия) максимально правдоподобной 

оценки параметра сигнала при большом отношении уровня сигнала к шуму. Оптимальная 

оценка амлитуды и начальной фазы регулярного сигнала.  

Информация по Фишеру. Неравенство Крамера – Рао.  

Разрешение сигналов: критерий разрешения; разрешение двух сигналов по времени за
паздывания; простые и сложные сигналы. Совместное разрешение сигналов по времени запаз
дывания и частотному сдвигу. Тело неопределенности.  

 

Список рекомендуемой литературы 

 
Основная литература  

1. 
Тисленко В.И. Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических си
стемах. – Томск . 2007. 244 с.  

2. 
Статистические методы обработки сигналов в радиотехнических системах: Учебное 

пособие / Тисленко В. И. - 2007. 245 с. [Электронный ресурс] - Режим доступа: 

http://edu.tusur.ru/publications/2123.  

3. 
Тисленко В.И. Статистическая теория радиотехнических систем. – Томск. 2003 (19) 

4. 
Липкин И.А. Основы статистической радиотехники, теорииинформации и кодирова
ния. - М.: Сов. радио,1978. (19)  

Дополнительная литература 

1. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и 

систем. – М.: Радио и связь, 2004. (50) 

2.  Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем. Учебное пособие для вузов. – 

М.: Радиотехника, 2003.  

3. Контрольные вопросы по курсу СТРТС 

 

Раздел 2.1  

1. В чем принципиальное отличие сигнала и помехи?  

2. Почему РТС извлечения информации относят к системам с внешней модуляцией, а 

РТС передачи информации к системам с внутренней модуляцией?  

3. В чем отличие аддитивной помехи от мультипликативной?  

4. В чем различие детерминированного и статистического подходов к решению задач 

анализа и синтеза РТС? Почему детерминированный подход не состоятелен?  

5. Перечислите функции и параметры, задание которых связано с понятием «статистиче
ское описание» случайной функции?  

6. В чем отличие детерминированной, квазидетерминированной и случайной функций?  

7. В чем отличие аналогового и цифрового сообщений?  

8. Запишите общее выражение сигнала – переносчика сообщения  

9. В чем отличие сигналов с одноступенчатой и двухступечатой модуляцией? Приведите 

примеры осциллограмм.  

10. Что есть функция различия сигналов и каков ее смысл?  

11. Запишите выражение функции различия двух сигналов по одному информативному 

параметру x, когда он не является энергетическим. По двум параметрам?  

12. Запишите в общем виде частотно – временную корреляционную функцию узкополос
ного радиосигнала.  

13. Запишите выражение временной автокорреляционной функции (АКФ) узкополосного 

радиосигнала в действительной и комплексной форме.  

14. Запишите выражение комплексной огибающей временной АКФ узкополосного ра
диосигнала и обоснуйте тот факт, что это медленная ( в сравнении с 
0
cos(
)t

) функция 

времени.  

15. Что есть функция неопределенности (ФП) радиосигнала и каковы ее свойства?  

16. В чем сущность принципа неопределенности в радиолокации?  

17. Какие параметры радиосигнала определяют ширину ФП вдоль осей время – частота?  

18. Что есть база радиосигнала и в чем различие сигналов с простой и сложной модуля
цией?  

19. Почему для сигнала с простой модуляцией уменьшение ширины пика ФН по оси вре
мени непременно приводит (при постоянной мощности) к снижению энергии этого сиг
нала?  

20. Почему для сигнала со сложной модуляцией уменьшение ширины пика ФН по оси 

времени не приводит (при постоянной мощности) к снижению энергии этого сигнала?  

21. В каком случае ширина огибающей радиосигнала и ширина огибающей временной 

АКФ этого сигнала примерно одинаковы? Когда они могут различаться на несколько по
рядков?  

22. Изобразите графически временную АКФ одиночного радиоимпульса с прямоуголь
ной огибающей и простой модуляцией.  

23. Изобразите графически временную АКФ одиночного ФКМ радиоимпульса с прямо
угольной огибающей?  

24.Почему для полноты вероятностного описания случайного сигнала необходимо при
влечение плотностей распределения вероятностей более чем 1-го порядка ?  

25. Какая функция определяет спектральные свойства случайного стационарного процес
са, поясните ее вероятностный смысл и физическую единицу измерения?  

26. Какой случайный процесс называют нормальным и каковы его особенности?  

27. Что означает тот факт, что шум белый?  

28. Что означает тот факт, что шум стационарный и гауссов?  

29. Что есть радиоканал для радиосистем и каковы механизмы его влияния на свойства 

сигнала на входе приемного устройства РТС? Приведите примеры.  

30. В чем отличие моделей однолучевого и многолучевого радиоканалов? 

31. Поясните графически формирование квадратурных составляющих высокочастотного 

сигнала в многолучевом радиоканале.  

32. Покажите взаимосвязь квадратурных составляющих с огибающей и фазой радиосиг
нала.  

33. Запишите выражение для одномерной ПРВ огибающей и назовите параметры, кото
рые определяют вид этой функции.  

34. Какой параметр характеризует величину СКО огибающей (или фазы) смеси регуляр
ного и случайного сигналов относительно их средних значений.  

35. Сделайте эскиз ПРВ фазы смеси регулярного и случайного сигналов для двух значе
ний параметра когерентности a1 > a2.  

 

Раздел 2.2 

 

1. Назовите основные задачи статистической теории радиосистем.  

2. В чем суть задачи оптимизации РТС и каковы основные этапы ее решения?  

3. Изложите постановку задачи оптимизации характеристик линейного фильтра, решени
ем которой является согласованный фильтр.  

4. Если 
( )
g   есть комплексный частотный спектр полезного сигнала ( )
s t , то какой вид 

имеют комплексный коэффициент передачи согласованного фильтра и его импульсная 

реакция?  

5. Объясните работу согласованного фильтра на физическом уровне? 

6. Какие величины определяют максимальное отношение уровня сигнала к среднеквадра
тичному значению шума на выходе согласованного фильтра?  

7. В какой момент времени на выходе согласованного фильтра можно получить 

наибольшее превышение полезного сигнала над шумом?  

8. Какую форму имеет полезный сигнал на выходе согласованного фильтра, если входной 

сигнал есть: одиночный прямоугольный видеоимпульс; радиоимпульс с прямоугольной 

огибающей; одиночный радиоимпульс с ФКМ?  

9. Изобразите структурную схему согласованного фильтра для радиоимпульса с ФКМ; 

для пачки радиоимпульсов с простой модуляцией.  

10. Изложите постановку задачи в байесовской теории синтеза оптимального  приемника 

- раличителя (обнаружителя) 2 – х полезных сигналов на фоне помехи.  

11. Каков смысл величин, определяющих платежную матрицу в задаче синтеза опти
мального приемника  - различителя?  

12. Что есть средний байесов риск в задаче синтеза оптимального приемника – различи
теля 2- х сигналов; приемника – обнаружителя полезного сигнала на фоне шума?  

13. Запишите в общем виде оптимальное решающее правило приемника – различителя 2- 

х сигналов на фоне помехи.  

14. Почему отношение 2 – х плотностей распределения вероятностей, участвующих  при 

фомировании решения на выходе оптимального приемника – различителя, называют от
ношением правдоподобия?  

15. Дайте формулировку критерия «идеального наблюдателя»; критерия Неймана – Пир
сона?  

16. Изобразите структуру оптимального приемника – различителя для случая 2 – х пол
ностью известных сигналов, поступающих на вход приемника вместе с белым гауссовым 

шумом.  

17. Изобразите структуру оптимального приемника – обнаружителя полностью известно
го, поступающего  на вход приемника вместе с белым гауссовым шумом.  

18. Почему в структуре оптимального приемника – различителя (обнаружителя) полно
стью известных сигналов возможно применение согласованных фильтров?  

19. В каких координатах представляют графики кривых, определяющих статистические 

характеристики качества бинарного приемника – различителя?  

20. Какие из перечисленных четырех случайных событий в приемнике – обнаружителе 

являются противоположными: ложная тревога; пропуск сигнала; правильное обнаруже
ние; неправильное обнаружение?  

21. Изобразите графически ПРВ 
1
0
( /
)
( /
)
W z H
и W z H
 выходного сигнала оптимального 

приемника – различителя (обнаружителя) и укажите площади, определяющие вероятно
сти принятия ошибочных решений.  

 

Раздел 2.3 

 

1. Изложите в общем виде постановку задачи в статистической теории оценивания.  

2. Что есть смещение оценки неизвестного параметра сигнала?  

3. Запишите выражение для среднеквадратической ошибки параметра сигнала.  

4. Поясните свойство состоятельности оценок.  

5. Изложите постановку задачи оценки параметра сигнала в байесовской теории оцени
вания.  

6. Какой смысл имеет функция потерь в байесовской теории оценивания и каковы основ
ные типы этих функций?  

7. Что есть байесовский риск в теории оценивания?  

8. Запишите в общей форме выражение байесовского риска. 

9. Каков содержательный смысл априорной ПРВ 
( )
W   и апостериорной ПРВ 

1
2
( /
,
,...,
)
n
W
y y
y

 оцениваемого параметра  ?  

10. Запишите в общей форме выражение байесовской оценки при квадратичной функции 

потерь.  

11. Как изменяется вид байесовской оценки при назначении простой функции потерь?.  

12. Что есть функция правдоподобия и оценка параметра по максимуму правдоподобия?  

13. Запишите выражение, связывающее апостериорную ПРВ оцениваемого параметра и 

функцию правдоподобия; запишите в общем виде уравнение правдоподобия.  

14. Запишите в общей форме математическую модель наблюдаемого сигнала, которая 

содержит аддитивную помеху и является линейной по отношению к одному (двум, трем) 

неизвестным параметрам.  

15. Каков смысл и вид целевой функции при определении оценок по методу наименьших 

квадратов (МНК) ?  

16. В чем состоит особенность оператора, определяющего оценку 
( )
мнк

y  в случае ли
нейной по параметрам модели наблюдаемого сигнала?  

17. Выполните необходимые преобразования и получите выражение для оценки постоян
ного параметра методом наименьших квадратов.  

18. Каково условие несмещенности оценок по МНК?  

19. Какие величины определяют СКО оценки 
( )
мнк

y  постоянного параметра  , если 

выборка состоит из некоррелированных отсчетов наблюдаемого сигнала?  

20. Изобразите в общем виде структуру оптимального измерителя неизвестного парамет
ра сигнала и поясните функции отдельных элементов измерителя.  

21. Запишите выражение для дисперсии оценки ˆМП

 неизвестного параметра сигнала, 

поступающего в смеси с белым гауссовым шумом на вход приемника – измерителя и пе
речислите величины, которые определяют ее значение.  

22. Запишите в общей форме функцию правдоподобия параметра   для случая выборки, 

состоящей из n статистически независимых отсчетов 
1
2
,
,...,
n
y y
y  наблюдаемого сигнала 

( )
y t .  

24. Как определяют вклад выборки y  и отдельного наблюдения 
iy , являющегося элемен
том статистически независимой выборки?  

25. Как определяют количество информации по Фишеру о параметре  , содержащееся в 

независимой выборке y  объема n ?  

26. Какими свойствами обладают максимально правдоподобные оценки ˆМП

 неизвест
ного параметра   при выполнении условий регулярности для функции правдоподобия?  

27. Запишите неравенство Крамера – Рао. Что определяет это неравенство?  

28. В чем состоит особенность задачи разрешения сигналов по параметру в сравнении с 

задачей различения сигналов?  

29. Что есть мера разрешения двух сигналов по параметру временной задержки?  

30. Что определяет величину потенциальной разрешающей способности двух сигналов 

известной формы по времени задержки?  

31. Как следует построить приемник – обнаружитель, чтобы реализовать предельную 

разрешающую способность сигналов известной формы по времени задержки?  

32. Что дает применение сигналов с большой базой в плане их разрешения по времени 

задержки?  

33. Каковы особенности разрешения сигналов одновременно по двум параметрам – вре
мени задержки и частотному сдвигу?  

34. Почему применение сигнала с простой модуляцией не позволяет одновременно по
вышать разрешение сигналов по временной задержке и частотному сдвигу?  

35. В чем состоит преимущество применения сигналов с большой базой при достижении 

высокого разрешения сигналов по временной задержке и частотному сдвигу?  

 

4. Методические указания к практическим работам 

 

4.1 Задание по практике №1 

 

Статистическое описание случайных сигналов 

 
 

Цель работы: Изучение и экспериментальная оценка основных вероятностных характеристик 

случайных сигналов с непрерывным множеством значений.  

 

1. Основные положения теории случайных сигналов. 

 

1.1 Случайный сигнал- это функция времени 
( )
X t , численное значение которой в любой 

момент времени 
it  является случайной величиной, т.е. 
( )
i
i
X t
X

. Далее будем иметь в виду 

такие случайные сигналы, у которых множество значений непрерывно. Оно может быть огра
ниченным и тогда 
( ; )
i
X
a b

, где a  и b  постоянные величины или не ограниченным, напри
мер, 
(
;
)
i
X    .  

В инженерной практике широко используют представление сигналов в дискретном вре
мени. Таким образом, если иметь в виду дискретную последовательность моментов времени 

1
2
3
, , ,..., n
t t t
t , то случайный процесс есть последовательность случайных величин 
1
2
,
,...,
n
X
X
X . 

Важно отметить, что для описания случайного сигнала необходимо рассматривать совместно 

систему n случайных величин. Вопрос о том, сколько следует взять моментов времени и как их 

задать, заслуживает отдельного рассмотрения.  

1.2. Ансамбль реализаций и функция распределения вероятностей. Заведомо опреде
лить значение величины 
i
X  невозможно, поскольку это случайная величина. Таким образом, 

i
X  или, если иметь в виду любой текущий момент времени t , то 
( )
X t , есть по существу обо
значение множества (совокупности, ансамбля) значений случайной функции. Конкретные 

численные значения случайной величины X  обозначают малой буквой x . В теории случай
ных сигналов конкретную реализацию случайного сигнала 
( )
X t  обозначают 
( )

k
x
t . При этом 

полный ансамбль реализаций полагают бесконечно большим.